Ketidakpastian Estimasi

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda

Data:

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.

# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1

## [1] 4.253188 5.746812

# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2

## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi :

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit.
Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit.
Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit,menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas denganvariabilitas nilai yang berbeda.

Data:

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10
Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA

## [1] 71.80184 78.19816

# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB

## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi:

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).
Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432).
Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yanglebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakandua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data:

Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk
Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas:

Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.

# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90

## [1]  96.4435 103.5565

# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99

## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi:

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).
Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinanyang lebih tinggi.

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan datahistoris, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval

## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standardeviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai.

berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)
tinggi_badan

##  [1] 165 168 170 172 169 167 171 166 173 174 170 168 169 167 172 171 170 169 168
## [20] 173 172 170 169 167 171

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian:

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval

## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yangmenghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vsTidak Diketahui

Presisi Estimasi:

Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm,171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi.
Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebarWeek 5 - Ketidakpastian Estimasi(168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambahketidakpastian.

Distribusi yang Digunakan:

Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal).
Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).

Ukuran Sampel:

Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebihsempit.
Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Beberapa faktor yang dapat mempengaruhi lebar selang kepercayaan antara lain: 1. Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan, karena semakinbanyak informasi yang tersedia untuk mengestimasi parameter populasi. 2. Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi), semakin lebar selang kepercayaan. Halini karena data yang lebih variabel memerlukan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi.3. Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, karena kita memerlukan rentang yang lebih luas untuk meningkatkan keyakinan bahwa parameterpopulasi tercakup.

Kesimpulan

Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kitauntuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami danmenghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untukpengambilan keputusan.

Tugas

Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), danpengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut:

Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100
Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90
Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)

# Mengguanakan set.seed untuk menetapkan hasil tetap konsisten
set.seed(123) 

# Definisi parameter
n_values <- c(5, 30, 100)      
sigma_values <- c(10, 50, 90)  
knowledge_levels <- c("Diketahui", "Tidak Diketahui")  

# Simulasi
simulasi_results <- expand.grid(n = n_values, sigma = sigma_values, knowledge = knowledge_levels)
# Kolom untuk menyimpan lebar interval kepercayaan
simulasi_results$CI_Width <- NA  

for (i in 1:nrow(simulasi_results)) {
  n <- simulasi_results$n[i]
  sigma <- simulasi_results$sigma[i]
  knowledge <- simulasi_results$knowledge[i]
  
  # Simulasi data dari distribusi normal dengan mean 100
  data_sample <- rnorm(n, mean = 100, sd = sigma)
  sample_mean <- mean(data_sample)
  sample_sd <- sd(data_sample)
  
  # Hitung lebar interval kepercayaan 95%
  alpha <- 0.05
  if (knowledge == "Diketahui") {
    # Z-score untuk 95% CI
    z_value <- qnorm(1 - alpha/2)  
    margin_error <- z_value * (sigma / sqrt(n))
  } else {
    # t-score untuk 95% CI
    t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)  
    margin_error <- t_value * (sample_sd / sqrt(n))
  }
  
  simulasi_results$CI_Width[i] <- 2 * margin_error  
}

# Tampilkan hasil simulasi
print(simulasi_results)

##      n sigma       knowledge   CI_Width
## 1    5    10       Diketahui  17.530451
## 2   30    10       Diketahui   7.156777
## 3  100    10       Diketahui   3.919928
## 4    5    50       Diketahui  87.652254
## 5   30    50       Diketahui  35.783883
## 6  100    50       Diketahui  19.599640
## 7    5    90       Diketahui 157.774057
## 8   30    90       Diketahui  64.410989
## 9  100    90       Diketahui  35.279352
## 10   5    10 Tidak Diketahui  22.476857
## 11  30    10 Tidak Diketahui   8.222457
## 12 100    10 Tidak Diketahui   3.635033
## 13   5    50 Tidak Diketahui 106.581970
## 14  30    50 Tidak Diketahui  36.355118
## 15 100    50 Tidak Diketahui  20.327684
## 16   5    90 Tidak Diketahui 110.585449
## 17  30    90 Tidak Diketahui  67.362310
## 18 100    90 Tidak Diketahui  35.749291

# Visualisasi hasil
library(ggplot2)
ggplot(simulasi_results, aes(x = factor(n), y = CI_Width, fill = factor(knowledge))) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ sigma, scales = "free") +
  labs(title = "Pengaruh Ukuran Sampel, Variabilitas, dan Pengetahuan σ terhadap Lebar CI 95%",
       x = "Ukuran Sampel (n)", y = "Lebar Interval Kepercayaan",
       fill = "Pengetahuan Standar Deviasi") +
  theme_minimal()

Interpretasi

Ukuran sampel (n) lebih besar. Seiring meningkatnya ukuran sampel dari 5 ke 30 ke 100, rata-rata lebar interval kepercayaan berkurang. Dikarenakan varians sampel berkurang dengan bertambahnya sampel, menghasilkan estimasi yang lebih presisi.
Variabilitas data lebih besar. Standar deviasi yang lebih besar (σ = 90 dibandingkan σ = 10) menyebabkan interval kepercayaan yang lebih lebar. Ini karena data yang lebih bervariasi menghasilkan ketidakpastian yang lebih besar.
Mengetahui σ (standar deviasi populasi) mempersempit interval. Jika σ diketahui, kita menggunakan distribusi normal (Z), yang cenderung menghasilkan interval kepercayaan yang lebih sempit. Jika σ tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t-Student, yang memiliki ekor lebih tebal dan menghasilkan interval yang lebih lebar, terutama untuk sampel kecil.

Dengan hasil ini, dapat saya simpulkan bahwa ukuran sampel besar dan mengetahui standar deviasi populasi mempersempit interval kepercayaan, sedangkan variabilitas tinggi memperlebar interval.

Ketidakpastian Estimasi

Muhammad Faza Farizqi

2025-03-14

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas

Interpretasi :

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas

Interpretasi:

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi:

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Tugas:

Penyelesaian

Interpretasi

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Tugas:

Penyelesaian:

Interpretasi

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vsTidak Diketahui

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Kesimpulan

Tugas

Interpretasi