Ketidakpastian Estimasi

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.

# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1

## [1] 4.253188 5.746812

# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2

## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit.
Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit.
Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas dengan variabilitas nilai yang berbeda.

Data

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10
Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA

## [1] 71.80184 78.19816

# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB

## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi Hasil

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).
Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432).
Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakan dua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data

Sampel: 50 hari
Rata-rata penjualan: 100 produk
Standar deviasi: 15 produk
Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas

Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.

# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90

## [1]  96.4435 103.5565

# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99

## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).
Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinan yang lebih tinggi.

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan data historis, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36 mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval

## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm).
Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebut berada dalam rentang ini.
Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standar deviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval

## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm).
Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini.
Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Presisi Estimasi
- Kasus 4 (Standar Deviasi Diketahui): Interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm, 171.63 cm) karena informasi tambahan tentang variabilitas populasi tersedia.
- Kasus 5 (Standar Deviasi Tidak Diketahui): Interval kepercayaan lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena variabilitas harus diestimasi dari sampel, yang menambah ketidakpastian.
Distribusi yang Digunakan
- Standar deviasi diketahui: Menggunakan distribusi z (normal).
- Standar deviasi tidak diketahui: Menggunakan distribusi t (Student’s t).
Ukuran Sampel
- Kasus 4: Sampel lebih besar (36 vs 25), berkontribusi pada interval yang lebih sempit.
- Kasus 5: Sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan karena lebih banyak informasi tersedia.
Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi tinggi), semakin lebar selang kepercayaan karena data yang lebih bervariasi memerlukan rentang yang lebih luas.
Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar karena membutuhkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi.

Kesimpulan

Estimasi dalam selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kita membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami dan menghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untuk pengambilan keputusan.

TUGAS

Simulasi ini bertujuan untuk mempelajari bagaimana ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan informasi tentang standar deviasi populasi mempengaruhi lebar interval kepercayaan 95%.

Kode Simulasi

# Load library
library(ggplot2)
library(knitr)

# Menentukan faktor dan level
sampel <- c(5, 30, 100)  # Ukuran sampel
standar_deviasi <- c(10, 50, 90)  # Variabilitas data
alpha <- 0.05  # Tingkat signifikansi

# Menyimpan hasil
hasil <- data.frame()

# Loop untuk menghitung interval kepercayaan
for (n in sampel) {
  for (sd in standar_deviasi) {
    # Interval kepercayaan jika standar deviasi diketahui (gunakan distribusi normal z)
    z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
    margin_error_z <- z_value * sd / sqrt(n)
    lebar_interval_z <- 2 * margin_error_z

    # Interval kepercayaan jika standar deviasi tidak diketahui (gunakan distribusi t)
    t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
    margin_error_t <- t_value * sd / sqrt(n)
    lebar_interval_t <- 2 * margin_error_t

    # Simpan hasil ke dalam data frame
    hasil <- rbind(hasil, data.frame(
      Ukuran_Sampel = factor(n),  # Faktor untuk visualisasi
      Standar_Deviasi = sd,
      Distribusi = "Z (Diketahui)",
      Lebar_Interval = round(lebar_interval_z, 2)
    ))

    hasil <- rbind(hasil, data.frame(
      Ukuran_Sampel = factor(n),
      Standar_Deviasi = sd,
      Distribusi = "T (Tidak Diketahui)",
      Lebar_Interval = round(lebar_interval_t, 2)
    ))
  }
}

# Menampilkan hasil dalam bentuk tabel
kable(hasil, caption = "Hasil Simulasi Lebar Interval Kepercayaan 95%")

Hasil Simulasi Lebar Interval Kepercayaan 95%
Ukuran_Sampel	Standar_Deviasi	Distribusi	Lebar_Interval
5	10	Z (Diketahui)	17.53
5	10	T (Tidak Diketahui)	24.83
5	50	Z (Diketahui)	87.65
5	50	T (Tidak Diketahui)	124.17
5	90	Z (Diketahui)	157.77
5	90	T (Tidak Diketahui)	223.50
30	10	Z (Diketahui)	7.16
30	10	T (Tidak Diketahui)	7.47
30	50	Z (Diketahui)	35.78
30	50	T (Tidak Diketahui)	37.34
30	90	Z (Diketahui)	64.41
30	90	T (Tidak Diketahui)	67.21
100	10	Z (Diketahui)	3.92
100	10	T (Tidak Diketahui)	3.97
100	50	Z (Diketahui)	19.60
100	50	T (Tidak Diketahui)	19.84
100	90	Z (Diketahui)	35.28
100	90	T (Tidak Diketahui)	35.72

# Visualisasi 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Lebar Interval
ggplot(hasil, aes(x = Ukuran_Sampel, y = Lebar_Interval, fill = Distribusi)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ Standar_Deviasi, labeller = label_both) +
  labs(title = "Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Lebar Interval Kepercayaan",
       x = "Ukuran Sampel",
       y = "Lebar Interval Kepercayaan",
       fill = "Distribusi") +
  theme_minimal()

# Visualisasi 2: Pengaruh Variabilitas terhadap Lebar Interval
ggplot(hasil, aes(x = factor(Standar_Deviasi), y = Lebar_Interval, fill = Distribusi)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ Ukuran_Sampel, labeller = label_both) +
  labs(title = "Pengaruh Variabilitas terhadap Lebar Interval Kepercayaan",
       x = "Standar Deviasi",
       y = "Lebar Interval Kepercayaan",
       fill = "Distribusi") +
  theme_minimal()

Hasil simulasi menunjukkan bahwa tiga faktor utama—ukuran sampel, variasi data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi—mempengaruhi lebar interval kepercayaan 95%.

Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit interval kepercayaan, yang berarti hasil estimasi lebih akurat. Sebaliknya, semakin besar variasi data (standar deviasi), semakin lebar intervalnya, menandakan ketidakpastian yang lebih tinggi dalam estimasi.

Selain itu, jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan harus diestimasi dari sampel (menggunakan distribusi T), interval kepercayaan cenderung lebih lebar, terutama jika jumlah sampel kecil. Namun, ketika sampel semakin besar, perbedaan antara distribusi Z dan T menjadi lebih kecil.

Kesimpulannya, untuk mendapatkan estimasi yang lebih akurat, diperlukan sampel yang cukup besar dan data dengan variasi yang rendah.

Ketidakpastian Estimasi

Ahmad Hikmah Ali Pahrizi

2025-03-14

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Data

Tugas

Interpretasi

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Data

Tugas

Interpretasi Hasil

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Data

Tugas

Interpretasi

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Tugas

Penyelesaian

Interpretasi

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi

Tugas

Penyelesaian

Interpretasi

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Kesimpulan

TUGAS

Kode Simulasi