Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka.Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data:

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas:

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
  3. Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.
# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1
## [1] 4.253188 5.746812
# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2
## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi:

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit.

Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit. Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit,menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas denganvariabilitas nilai yang berbeda.

Data:

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10

Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas:

1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.

2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.

3. Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA
## [1] 71.80184 78.19816
# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB
## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi:

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).

Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432). Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yanglebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakandua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data:

Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas:

1. Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.

2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.

3. Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.

# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90
## [1]  96.4435 103.5565
# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99
## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi:

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).

Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).

Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinanyang lebih tinggi.

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi:

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan datahistoris, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas:

1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.

2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian: Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval
## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standardeviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas:

1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.

2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian:

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval
## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yangmenghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

1. Presisi Estimasi:

Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm,171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi.

Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambah ketidakpastian.

2. Distribusi yang Digunakan:

Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal).

Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).

3. Ukuran Sampel:

Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebih sempit.

Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Beberapa faktor yang dapat mempengaruhi lebar selang kepercayaan antara lain:

1. Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan, karena semakinbanyak informasi yang tersedia untuk mengestimasi parameter populasi.

2. Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi), semakin lebar selang kepercayaan. Halini karena data yang lebih variabel memerlukan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi.

3. Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, karena kita memerlukan rentang yang lebih luas untuk meningkatkan keyakinan bahwa parameterpopulasi tercakup.

Kesimpulan

Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kitauntuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami danmenghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untukpengambilan keputusan.

Tugas

Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan 95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut:

- Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100

- Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90

- Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)

Interpretasikan hasilnya..

# Fungsi untuk menghitung lebar interval kepercayaan 95%
lebar_interval <- function(n, sd, sigma_diketahui) {
  # Generate data dari distribusi normal dengan mean = 100 dan standar deviasi = sd
  data <- rnorm(n, mean = 100, sd = sd)
  
  if (sigma_diketahui) {
    # Jika sigma diketahui, gunakan z-interval
    margin_error <- qnorm(0.975) * (sd / sqrt(n))
    batas_bawah <- mean(data) - margin_error
    batas_atas <- mean(data) + margin_error
  } else {
    # Jika sigma tidak diketahui, gunakan t-interval
    margin_error <- qt(0.975, df = n - 1) * (sd(data) / sqrt(n))
    batas_bawah <- mean(data) - margin_error
    batas_atas <- mean(data) + margin_error
  }
  
  # Hitung lebar interval
  lebar <- batas_atas - batas_bawah
  return(lebar)
}

# Parameter simulasi
ukuran_sampel <- c(5, 30, 100)
standar_deviasi <- c(10, 50, 90)
sigma_diketahui <- c(TRUE, FALSE)

# Data frame untuk menyimpan hasil
hasil_simulasi <- expand.grid(n = ukuran_sampel, sd = standar_deviasi, sigma_diketahui = sigma_diketahui)
hasil_simulasi$lebar <- NA

# Lakukan simulasi untuk setiap kombinasi
set.seed(123)  # Untuk reproducibility
for (i in 1:nrow(hasil_simulasi)) {
  n <- hasil_simulasi$n[i]
  sd <- hasil_simulasi$sd[i]
  sigma_diketahui <- hasil_simulasi$sigma_diketahui[i]
  
  # Hitung lebar interval
  hasil_simulasi$lebar[i] <- lebar_interval(n, sd, sigma_diketahui)
  
 # Cetak output menggunakan print(paste(...))
print(paste("Faktor 1: ", n))  
print(paste("Faktor 2: ", sd))  
if (sigma_diketahui) {  
  print(paste("Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"))  
} else {  
  print(paste("Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"))  
}  
print(paste("Lebar Interval: ", hasil_simulasi$lebar[i]))  

# Tambahkan jarak antar output
cat("\n") 

}
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  17.5304508115316"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  7.15677657486862"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  3.91992796908011"
## 
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  87.6522540576581"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  35.7838828743431"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  19.5996398454005"
## 
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  157.774057303785"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  64.4109891738177"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  35.279351721721"
## 
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  22.4768571005706"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  8.2224565958648"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  10"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  3.63503289903494"
## 
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  106.581970019716"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  36.3551175930465"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  50"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  20.3276842168407"
## 
## [1] "Faktor 1:  5"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  110.585449069042"
## 
## [1] "Faktor 1:  30"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  67.3623099044972"
## 
## [1] "Faktor 1:  100"
## [1] "Faktor 2:  90"
## [1] "Faktor 3: Standar deviasi populasi tidak diketahui"
## [1] "Lebar Interval:  35.7492908429104"

Interpretasi: