Se tienes dos activos
\[dR_t= \rho R_t\] Activo en resta fija
\[dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t\]
Activo en renta variables
\[dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t\] \[S_t := S_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma B_t}\] Sobre un comportamiento monótono se hace la estimación de la media y de la volatilidad del activo sobre los retornos logarítmicos.
\[ u_t := log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) \] \[ \hat \mu = \bar u / (\Delta t) \]
\[ \hat \sigma = s_u/ (\Delta t) \]
\[ S_t = K+C_t-P_t \]
\[ C(S_t,T) - S_t = P(S_t,T)-K \]
\[ Π(S_t,T) - S_t \]
\[ C_t:=(S_t-K)^+ = máx\{S_t-K,0\} \]
\[ P_t:=(K-S_t)^+ = máx\{K-S_t,0\} \] # Contrato europeo, bajo renta fija Límite de una sucesión binomial se tiene la exponencial \[ \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{tr}{n})^n = e^{tr} \] \[ \lim_{n \rightarrow \infty}S_0(1+\frac{tr}{n})^n = S_0e^{tr} \] # Tasa de inetrés por unidad de tiempo \[ C(S_t,T) - S_t = P(S_t,T)-Ke^{-r(T-t)} \]
La ecuación de Black-Scholes es un modelo matemático utilizado para calcular el precio teórico de las opciones financieras, especialmente las opciones europeas de compra (call) y venta (put). Desarrollada por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton en 1973, esta ecuación se basa en la suposición de que el precio del activo subyacente sigue un proceso estocástico de difusión geométrica. La fórmula considera factores como el precio actual del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta la madurez de la opción, la volatilidad del activo y la tasa de interés libre de riesgo. La ecuación de Black-Scholes ayuda a los inversionistas a valorar opciones y tomar decisiones informadas sobre la compra o venta de estos instrumentos financieros.
La fórmula de Black-Scholes para una opción de compra (Call) es:
\[ C = S_0 \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) \]
Y para una opción de venta (Put) es:
\[ P = K \cdot e^{-rT} \cdot N(-d_2) - S_0 \cdot N(-d_1) \]
Donde:
\[ d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right) T}{\sigma \sqrt{T}} \]
\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]
\[ dS_t := \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\\ dR_t := \rho R_t dt \] Estimar tres parámetros
# Cargar la librería necesaria
library(stats)
# Función de la ecuación de Black-Scholes para opción de compra (Call)
black_scholes_call <- function(S, K, T, r, sigma) {
d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
call_price <- S * pnorm(d1) - K * exp(-r * T) * pnorm(d2)
return(call_price)
}
# Función de la ecuación de Black-Scholes para opción de venta (Put)
black_scholes_put <- function(S, K, T, r, sigma) {
d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
put_price <- K * exp(-r * T) * pnorm(-d2) - S * pnorm(-d1)
return(put_price)
}
# Ejemplo de parámetros
S <- 100 # Precio del activo subyacente
K <- 95 # Precio de ejercicio
T <- 1 # Tiempo hasta el vencimiento (en años)
r <- 0.05 # Tasa de interés libre de riesgo
sigma <- 0.2 # Volatilidad
# Calcular precios
call_option <- black_scholes_call(S, K, T, r, sigma)
put_option <- black_scholes_put(S, K, T, r, sigma)
# Imprimir resultados
cat("El precio de la opción Call es:", call_option, "\n")## El precio de la opción Call es: 13.34646cat("El precio de la opción Put es:", put_option, "\n")## El precio de la opción Put es: 3.71326\[f(x,y)\\ df(x,y)= \frac{df}{dx}dx +\frac{df}{dy}dy \]
\[V_t := \alpha R_t + \beta S_t\\ dV_t := \frac{dV}{dt}dt +\frac{dV}{dS}dS + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}dS^2\\ \Delta W_t \sim N(0, \Delta t)\\ dV_t := \frac{dV}{dt}dt + \mu S dt + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 dt +\sigma S_t \frac{dV}{dS}dW\\ \]
Haciendo uso de la formula de Ito
Ecuación de Balck Scholes.
Modela el precio del contrato Call dados \(\mu\), \(\sigma\), \(\rho\)
\[ dV_t := \left(\frac{dV}{dt} + \mu S + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 \right)dt +\sigma S_t \frac{dV}{dS}dW \]
\[\Pi = V(S,t) - \Delta S\] \[d\Pi = dV(S,t) - \Delta S dS\]
\[ d\Pi := \left(\frac{dV}{dt} + \mu S + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 \right)dt +\sigma S_t \frac{dV}{dS}dW - \Delta \left(\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\right) \]
\[ d\Pi := \left(\frac{dV}{dt} + \mu S + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 \right)dt +\sigma S_t \frac{dV}{dS}dW - \frac{dV}{dS} \left(\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\right) \]
\[ d\Pi := \left(\frac{dV}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 \right)dt \] \[\left(\frac{dV}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 \right)dt = r(V - \frac{dV}{dS}S)dt \] \[ \frac{dV}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2} \sigma^2 S^2 + r\frac{dV}{dS}S -rV = 0 \]