Simulasi Tugas Week 5

# Definisi faktor dan levelnya
sample_sizes <- c(5, 30, 100)
std_devs <- c(10, 50, 90)
known_pop_sd <- c(TRUE, FALSE)

# Tingkat kepercayaan
alpha <- 0.05

# Fungsi untuk menghitung interval kepercayaan
calc_ci <- function(n, sd, known) {
  mean_val <- 100  # Misalkan rata-rata populasi adalah 100
  
  if (known) {
    # Gunakan distribusi Z jika standar deviasi populasi diketahui
    z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
    error_margin <- z_value * sd / sqrt(n)
  } else {
    # Gunakan distribusi t jika standar deviasi populasi tidak diketahui
    t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
    error_margin <- t_value * sd / sqrt(n)
  }
  
  ci_lower <- mean_val - error_margin
  ci_upper <- mean_val + error_margin
  width <- ci_upper - ci_lower
  
  return(width)
}

# Simulasi untuk setiap kombinasi faktor
results <- expand.grid(n = sample_sizes, sd = std_devs, known = known_pop_sd)
results$ci_width <- mapply(calc_ci, results$n, results$sd, results$known)

# Tampilkan hasil
print(results)

##      n sd known   ci_width
## 1    5 10  TRUE  17.530451
## 2   30 10  TRUE   7.156777
## 3  100 10  TRUE   3.919928
## 4    5 50  TRUE  87.652254
## 5   30 50  TRUE  35.783883
## 6  100 50  TRUE  19.599640
## 7    5 90  TRUE 157.774057
## 8   30 90  TRUE  64.410989
## 9  100 90  TRUE  35.279352
## 10   5 10 FALSE  24.833280
## 11  30 10 FALSE   7.468123
## 12 100 10 FALSE   3.968434
## 13   5 50 FALSE 124.166400
## 14  30 50 FALSE  37.340614
## 15 100 50 FALSE  19.842170
## 16   5 90 FALSE 223.499520
## 17  30 90 FALSE  67.213105
## 18 100 90 FALSE  35.715905

Interpretasi :

1. Pengaruh Ukuran Sampel (n) terhadap Lebar Interval Kepercayaan Semakin besar ukuran sampel, semakin kecil lebar interval kepercayaan. Hal ini dapat dilihat dari contoh berikut pada sd = 10 dan standar deviasi populasi diketahui (known = TRUE) :

   • n = 5 → ci_width = 17.53

   • n = 30 → ci_width = 7.16

   • n = 100 → ci_width = 3.91

Polanya konsisten untuk semua nilai standar deviasi. Ukuran sampel yang lebih besar mengurangi standar error, sehingga estimasi rata-rata menjadi lebih akurat dan interval kepercayaan lebih sempit.

2. Pengaruh Standar Deviasi (sd) terhadap Lebar Interval Kepercayaan Semakin besar standar deviasi, semakin besar pula lebar interval kepercayaan. Contoh untuk n = 30 dan standar deviasi populasi diketahui (known = TRUE):

   • sd = 10 → ci_width = 7.16

   • sd = 50 → ci_width = 35.78

   • sd = 90 → ci_width = 64.41

Interval kepercayaan menjadi lebih lebar seiring meningkatnya standar deviasi karena semakin tinggi variabilitas data, semakin besar pula ketidakpastian dalam estimasi rata- rata.

3. Pengaruh Pengetahuan tentang Standar Deviasi Populasi Jika standar deviasi populasi diketahui, interval kepercayaan lebih kecil dibandingkan jika tidak diketahui. Contoh untuk n = 5 dan sd = 10 :

   • Standar deviasi diketahui (TRUE) → ci_width = 17.53

   • Standar deviasi tidak diketahui (FALSE) → ci_width = 24.83

Demikian pula untuk n = 30 dan sd = 50 :

  • Standar deviasi diketahui (TRUE) → ci_width = 35.78

  • Standar deviasi tidak diketahui (FALSE) → ci_width = 37.34

Jika standar deviasi populasi tidak diketahui, distribusi yang digunakan adalah distribusi t, yang memiliki tail lebih lebar dibandingkan distribusi normal Z. Hal ini menyebabkan interval kepercayaan lebih besar, terutama pada ukuran sampel kecil. Namun, untuk ukuran sampel yang besar (n = 100), perbedaan antara kedua kondisi ini menjadi lebih kecil karena distribusi t semakin mendekati distribusi normal.

Kesimpulan

Berdasarkan hasil simulasi, dapat disimpulkan bahwa :

• Peningkatan ukuran sampel menyebabkan interval kepercayaan menjadi lebih sempit, sehingga estimasi rata-rata lebih akurat.

• Peningkatan standar deviasi menyebabkan interval kepercayaan menjadi lebih lebar, karena data yang lebih bervariasi meningkatkan ketidakpastian dalam estimasi rata-rata.

• Jika standar deviasi populasi diketahui, interval kepercayaan lebih kecil dibandingkan jika standar deviasi harus diestimasi dari sampel, terutama pada ukuran sampel yang kecil.