MSP4111: Matemática Financeira Aplicada à Medicina

R, HP12C, WolframAlpha e Python

Bastão de Asclépio & Símbolo do Dinheiro

Legenda: Os exemplos oferecidos neste texto, sempre que possível, apresentam as soluções utilizando mais que um recurso, algumas vezes como alternativas e em outras como partes complementares (quando diferentes ferramentas conseguem aspectos diversos da solução). Os seguintes ícones apontam os trechos executados em cada caso: … código em R … código em Python … comando de WolframAlpha … Desmos … comando em Terminal

Pacote R

suppressMessages(library(DescTools, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(DiagrammeR, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(distributional, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(FinancialMath, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(FinCal, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(ggplot2, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(HDInterval, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(HH, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(jrvFinance, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(kableExtra, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(mvtnorm, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(PearsonDS, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(reticulate, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(rootSolve, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(tvm, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(vcd, warn.conflicts=FALSE))

Função em R

• eiras.fluxo.caixa.R

Código em R

• r_milionario.R

• r_ferrari.R

• r_cashflow_ex0a.R

• r_cashflow_ex0b.R

Pacote Python

import numpy_financial

Ao menos no Linux e no macOS, Python é usado em muitas ferramentas e utilitários desenvolvidos pela comunidade. No Windows, nenhuma funcionalidade do sistema depende de Python, que é totalmente externo ao sistema e é instalado por ação do usuário ou de softwares específicos. Em qualquer dos casos é recomendado que ambientes para executar os scripts ligados a cada projeto sejam isolados. Ao instalar pacotes, como o numpy_financial mencionado acima, outros scripts desenvolvidos anteriormente pode podem deixar de funcionar por causa de mistura de versões. Misturar pacotes em um mesmo ambiente é pedir conflito silencioso, que pode quebrar o Python em seu computador. Assim, poderá ser difícil localizar o problema, fazendo você ficar caçando dependências; cada vez que fizer alguma correção, pode introduzir problemas em outros projetos. Não é razoável ter que verificar tudo o que já foi feito, especialmente se você gostar de Python e vier a utilizá-lo em múltiplos projetos. Um opção é utilizar o conda. Este sistema cria ambientes que não só gerenciam os pacotes, mas também isolam as respectivas dependências. No presente caso, criei um ambiente chamado ‘matfin’ com Python 3.11 (poderia ser outro, se quisesse, mas esta é uma versão atualmente bem consolidada), no qual instalarei os pacotes que forem requeridos. Procure as instruções pertinentes ao seu sistema operacional para instalar o conda na Internet (Miniconda3 em meu caso, em janeiro de 2026, que é um gerenciador relativamente leve e fácil de usar). Uma vez instalado, você precisará do bash, para criar seus ambientes. Terminais são naturalmente disponíveis em Linux e macOS, mas no Windows você precisará abrir o Miniconda Prompt. Para criar, por exemplo, um ambiente de que denominarei de matfin, no bash, utiliza-se: conda create -n matfin python=3.11 Para ativar o ambiente: conda activate matfin Com o ambiente ativo, pode instalar: pip install numpy-financial Caso você queira compilar o rmarkdown que oferecemos, abra-o no RStudio mas, antes de utilizar knit, execute library(reticulate) reticulate::use_condaenv("matfin", required = TRUE) para o conda escolher o Python e respectivos pacotes disponíveis no ambiente matfin que definimos acima. Caso queira conferir que o ambiente está ativo e qual versão está utilizando, experimente reticulate::py_config()

Incluir

• FinCal::EIR: Equivalent/proportional Interest Rates

• library(jrvFinance)

• Hardle & Simar (2015): Chapter 19: Applications in Finance

Pensamento

“A Ciência destrói fantasias.”

Material

• Texto da disciplina em HTML de Rmarkdown em RPubs
• Texto da disciplina em PDF em ResearchGate

Ferramenta computacional

Matemática em Inteligência Artificial

• Interactive Mathematics (IA)

Matemática em Internet

• WolframAlpha
• SCILAB on cloud
• Microsoft Math Solver
• Desmos: calculadora gráfica
  • Desmos 2D
  • Desmos 3D
• Interactive Mathematics (IA)

Matemática em App para Android

• WolframAlpha Apps: Android e iOS
• Maple Calculator
• Microsoft Math Solver

Fundamentos

“Se a matemática é um instrumento importantíssimo para a tomada de decisões e, se essas para acontecerem exigirem o acesso a conhecimentos que possibilitem intervenção no mundo, então a Matemática Financeira e Comercial é fundamental nesse processo de constituição de cidadãos críticos que por sua vez se associa ao comportamento ético.” (Sá, 2011, Prefácio)

• Cidadania Financeira (exercício de direitos e deveres que permite ao cidadão gerenciar bem seus recursos financeiros): Banco Central do Brasil

Introdução

Moeda ateniense de prata (tetradracma), cunhada no século V a.C., símbolo da antiga economia grega. A coruja, símbolo de Atena, representa sabedoria e vigilância, enquanto a inscrição ‘ΑΘΕ’ refere-se a Atenas. Esta moeda é um exemplo histórico da utilização de metais preciosos como meio de troca e reserva de valor, conceitos fundamentais na evolução da matemática financeira.

O presente texto tem como objetivo apresentar a Matemática Financeira de forma conceitual e aplicada. A tarefa não é impossível, mas é desafiadora. Para alcançar esse propósito, é necessário reificar e ressignificar os conceitos fundamentais da Matemática Financeira.

Reificar significa traduzir fórmulas e modelos matemáticos em códigos computacionais e, para este texto, elegemos a linguagem R, transformando conceitos abstratos em implementações práticas. Ressignificar, por sua vez, consiste em criar novos conceitos derivados da reificação, ampliando o entendimento e proporcionando novas perspectivas de aplicação. Esse ciclo contínuo de reificação e ressignificação permite que a Matemática Financeira evolua tanto conceitualmente quanto em sua aplicação prática.

As fórmulas matemáticas foram uniformizadas e simplificadas, utilizando sempre que possível os fatores de capitalização e amortização tradicionais da Matemática Financeira. Essa abordagem possibilitou aprimorar tanto as implementações (reificações) quanto as interpretações (ressignificações), proporcionando um tratamento mais consistente e intuitivo dos modelos apresentados.

Os modelos quantitativos em finanças podem ser classificados de acordo com o regime de capitalização adotado e a forma de tratamento do tempo. Essa classificação distingue dois grupos principais: modelos de finanças comerciais e modelos de finanças de mercado. A escolha do modelo quantitativo depende do tipo de operação financeira, da convenção de tempo adotada e do regime de capitalização utilizado.

Em geral, as finanças comerciais utilizam modelos discretos, apropriados para operações financeiras com prazos definidos e capitalização periódica. Por outro lado, as finanças de mercado empregam modelos contínuos, que melhor capturam a dinâmica de operações financeiras sujeitas a variações constantes no tempo, como negociações em mercados financeiros e aplicações envolvendo taxas compostas continuamente.

No Brasil, a implementação dos modelos financeiros em livros didáticos tem sido predominantemente realizada com o uso da calculadora portátil programável HP12C e da planilha eletrônica Excel. No entanto, essas ferramentas apresentam limitações significativas, especialmente por serem comerciais e fechadas. A linguagem R, por outro lado, é um software livre e gratuito, oferecendo maior flexibilidade e transparência no desenvolvimento de modelos financeiros. Outros motivos para essa escolha serão discutidos ao longo do texto.

Sempre que possível, também utilizaremos a HP12C para resolver problemas, exemplos e exercícios, garantindo continuidade com práticas já estabelecidas. O WolframAlpha também será empregado em situações específicas. O uso da linguagem Python, embora ainda incipiente neste contexto, será explorado pontualmente.

Finanças

Finanças Comerciais

• Capitalização: discreta

• Convenções de tempo:

  • Ano comercial: 360 dias (12 meses de 30 dias)
    
  • Ano bancário: 252 dias úteis (12 meses de 21 dias)

Essas convenções são utilizadas para simplificar cálculos em contratos, operações bancárias e de crédito.

RCJS: Regime de Capitalização de Juro Simples

\[ F = P \left(1 + i n\right) \]

• Capitalização: discreta linear
  
• \(i\): taxa proporcional ao período
  
• \(n\): número de períodos em ano comercial ou útil (bancário)
  
• Aplicações: operações de curto prazo como duplicatas, adiantamentos, protestos

RCJC: Regime de Capitalização de Juro Composto com taxa proporcional

\[ F = P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{k n} \]

• Capitalização: discreta geométrica
  
• \(i\): taxa nominal ao período base (normalmente ao ano comercial ou bancário)
  
• \(n\): número de períodos em ano comercial ou útil (bancário)
  
• \(k\): número de capitalizações por período
• Aplicações: financiamentos, consórcios, empréstimos de médio e longo prazo

Os melhores livros sobre finanças comerciais são:

• BROWN, P & ZIMA, RL (2011) Mathematics of Finance. 2^nd ed. Schaum’s Outline Series. NY: McGraw-Hill.

• MATIAS, R (2018) Cálculo financeiro: teoria e prática. 6ª ed. Lisboa: Escolar.

• DE FARO, C & LACHTERMACHER, G (2012) Introdução à matemática financeira. Rio de Janeiro: Saraiva / FGV Editora.

• PARK, CS & SHARP-BETE, GP (1990) Advanced Engineering Economics. NJ: Wiley.

• Manuais da HP12C

  • HP (2005) HP12C Calculadora Financeira: Guia do Usuário. 4ª ed. EUA: HP.
  • HP (2003) HP12C Platinum: Manual do usuário e guia de resolução de problemas. EUA: HP.
  • HP (2005b) HP12C Financial Calculator: User’s Guide. 4ª ed. EUA: HP.
  • HP (1992) HP12C: Owner’s Handbook and Problem-Solving Guide. 2ª ed. EUA: HP.
  • HP (s.d.) HP12C: Solutions Handbook. EUA: HP.
  • GOLDMAN, MH & STEPHEN, DM (1984) HP12C: Real Estate: Applications Handbook. EUA: HP.

HP12C é uma calculadora portátil programável para finanças comerciais.

Finanças de Mercado

Capitalização: contínua

Convenção de tempo: ano civil ou exato ou fiscal (de contabilidade) (365 dias)

Usada em modelagem matemática e precificação de ativos e derivativos e proteção (hedging).

RCJCC: Regime de Capitalização de Juro Composto Contínuo

\[ F = P e^{i n} \]

• \(i\): taxa efetiva contínua
  
• \(n\): tempo exato em anos
  
• Capitalização: contínua exponencial
  
• Aplicações: títulos públicos, derivativos, modelos de precificação racional como Black-Scholes

Os melhores livros sobre finanças de mercado são:

• LUENBERGER, DG (2013) Investment Science. 2ª ed. NY: Oxford.

• MERTON, RC (1990) Continuous-time Finance. USA: Blackwell.

• BAXTER, M, & RENNIE, A (1996) Financial Calculus: An introduction to Derivative Pricing. UK: Cambridge.

• CAMPBELL, JY, LO, AW, & MACKINLAY, AC (1997) The Econometrics of Financial Markets. USA: Princeton.

Resumindo

Regime	Fórmula	Capitalização	Tempo	Aplicações
RCJS	\(F = P(1 + i n)\)	Discreta linear	360 ou 252	Duplicatas, curto prazo, protestos
RCJC	\(F = P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{k n}\)	Discreta geométrica	360 ou 252	Empréstimos, financiamentos, leasing
RCJCC	\(F = P e^{i n}\)	Contínua exponencial	365 ou 366	Mercado financeiro, derivativos, títulos

Exemplo: Quanto preciso hoje para ser milionário em 30 anos?

O objetivo é acumular \(F = 1.000.000\) em \(n = 30\) anos, sob uma taxa anual de \(i = 6\%\). A pergunta central é simples e incômoda: quanto capital inicial \(P\) é necessário hoje para atingir esse objetivo, e o quanto essa resposta depende do regime de capitalização adotado?

Para isso, calcula-se \(P\) sob três regimes distintos:

• juro simples, em que \(F = P(1 + i n)\);
• juro compostos discretos com capitalização anual, em que \(F = P(1 + i)^n\); e
• juro compostos contínuos, em que \(F = P e^{i n}\).

Os valores obtidos são então comparados graficamente, evidenciando que regimes matematicamente diferentes implicam esforços financeiros iniciais substancialmente distintos para o mesmo objetivo de longo prazo.

# Parâmetros
F <- 1e6        # Montante desejado
i <- 0.06       # Taxa de juro anual
n <- 30         # Período em anos
k <- 1

# RCJS: Regime de Capitalização a Juros Simples
P_js <- F / (1 + i * n)
# RCJC: Regime de Capitalização a Juros Compostos (discretos)
P_jc <- F / ((1 + i/k)^(n*k))
# RCJCC: Regime de Capitalização Contínua
P_jcc <- F / exp(i * n)

# Resultado em tela
regimes <- c("RCJS", "RCJC", "RCJCC")
valores <- c(P_js, P_jc, P_jcc)
labels <- sprintf("R$ %s",
                  format(round(valores, 2),
                         nsmall = 2, big.mark = ".", decimal.mark = ","))
cat("\nCapital inicial requerido:\n",
    paste("\t", regimes, ": ", labels, sep = "", collapse = "\n"), "\n")

Capital inicial requerido:
    RCJS: R$ 357.142,86
    RCJC: R$ 174.110,13
    RCJCC: R$ 165.298,89 

# Gráfico comparativo
bp <- barplot(valores,
              names.arg = regimes,
              col = c("gray", "lightblue", "lightgreen"),
              ylab = "Capital Inicial (R$)",
              main = "Capital Inicial Necessário para \nF = R$ 1.000.000 em 30 anos com i = 6% a.a.",
              ylim = c(0, max(valores) * 1.1))
text(x = bp,
     y = valores,
     labels = labels,
     pos = 3, cex = 0.8)

Visão gráfica em Desmos: RCJC: Desmos Gráfico

\[\Diamond\]

Vídeo em YouTube:

• INTEREST: Simple Interest vs Compound Interest vs Continuous Interest: Dr. Trefor Bazett: YouTube

HP12C: Calculadora Financeira Portátil Programável

A HP12C é uma calculadora financeira programável utilizada na execução de funções de matemática financeira e comercial. Os Manuais da HP12C estão disponíveis sem custo para consulta na Web.

História da HP12C

A calculadora HP12C foi lançada pela empresa de informática e tecnologia estadunidense Hewlett-Packard em 1981, em substituição às calculadoras HP 38E e 38C.

Para oferecer uma alternativa com menor custo, a empresa brasileira BrtC lançou a calculadora FC-12, seu segundo modelo de calculadora financeira e uma calculadora similar à HP12C Platinum, incluindo as funções financeiras e o método RPN (Reverse Polish Notation) e algébrico.

HP12C

Estrutura da HP12C

HP12C: B&W

HP12C: Registradores e memória

Configuração da HP12C

1. ON: ligar/desligar; desliga automaticamente após alguns minutos; não apaga os valores registrados.
   
2. Teste da HP12C: OFF; Ficar pressionando x; ON mantendo x pressionado; soltar x.
   
3. Separador decimal: OFF; Ficar pressionando .; ON.
   
4. Formatação do número de casas decimais: f k; k de 0 a 9; HP12C trabalha sempre com 9 casas decimais nos cálculos.
   • Exemplo de arredondamento: CLx 2 f 2 ENTER 3 ÷ f 9 f 2 f RND f 9.
     
5. Formato numérico de notação científica: f ..
   
6. Modo de capitalização no período:
   • Final/postecipado (default): g END.
     
   • Início/antecipado: g BEG.
     
7. Regime de capitalização da parte fracionária do período (n):
   • Juro simples (default): STO EEX.
     
   • Juro composto: STO EEX {C}.
     
8. Formato de data:
   • MM.DDYYYY (default): g M.DY.
     
   • DD.MMYYYY: g D.MY.
     
9. Indicação de bateria fraca: Se a bateria da calculadora estiver fraca, aparecerá um indicador * piscando no canto inferior esquerdo.

Significados de Teclas da HP12C

• CHS (CHange Sign): Altera o sinal de um número.
  
• CLx (CLear X): Limpa o número exibido no visor, sem afetar a memória.
  
• STO (Store): Armazena um valor em um dos dez registros (0 a 9).
  
• RCL (ReCaLl): Recupera valores armazenados na memória.
  
• PV (Present Value): Valor presente de fluxos de caixa futuros.
  
• FV (Future Value): Valor futuro de um investimento com juros acumulados.
  
• PMT (PayMenT): Valor do pagamento periódico em operações financeiras.
  
• INT: Juro simples.
  
• i: Juro composto.
  
• INTG: Elimina a parte decimal.
  
• FRAC: Elimina a parte inteira.
  
• RND: Mantém os dígitos decimais apresentados no visor.
  
• NPV (Net Present Value): Calcula o valor presente líquido de fluxos de caixa.
  
• IRR (Internal Rate of Return): Calcula a taxa interna de retorno de um projeto.
  
• REG (REGister): Refere-se aos registros de memória da calculadora.
  
• FIN (FINancial): Funções financeiras como PV, FV, PMT, NPV e IRR.
  
• ∆DYS (DaYS): Calcula o número de dias entre duas datas.
  
• EEX: Enter EXponent de um número em notação científica.
  
• DATE: Calcula uma data futura ou passada adicionando ou subtraindo dias.

  • Exemplo: Qual é o dia da semana de 29 de fevereiro de 2024?
    CLx g 4 29.022024 ENTER 0 g DATE {4=quinta-feira}

    (1 - segunda-feira; 2 - terça-feira; 3 - quarta-feira; 4 - quinta-feira; 5 - sexta-feira; 6 - sábado; 7 - domingo.)

Notação Polonesa Reversa (RPN)

Introdução

A Notação Polonesa Reversa (RPN, do inglês Reverse Polish Notation) é um método eficiente para realizar cálculos matemáticos e uma característica distintiva das calculadoras HP, incluindo a HP12C. Diferentemente da notação algébrica padrão, onde os operadores são colocados entre os operandos (por exemplo, 3 + 4), a RPN posiciona o operador após os operandos (por exemplo, 3 4 +).

A RPN é uma ferramenta poderosa para profissionais que realizam cálculos frequentemente, como engenheiros, matemáticos e profissionais de finanças. Uma vez acostumados ao método RPN, muitos usuários o consideram mais intuitivo e eficiente do que a notação padrão. A HP12C é uma das calculadoras mais icônicas que utilizam a RPN, tornando-se uma escolha popular entre profissionais das áreas financeira, comercial e contábil.

Como Funciona a RPN

Na RPN, primeiro insere-se os números (operandos) e, em seguida, indica-se a operação desejada (por exemplo, adição, subtração, multiplicação, divisão). Esse método elimina a necessidade de parênteses para determinar a ordem das operações, tornando os cálculos mais rápidos e reduzindo o risco de erros.

Vantagens da RPN

1. Eficiência: A RPN pode ser mais rápida que a notação algébrica padrão, especialmente para cálculos complexos, pois reduz o número de passos necessários para realizar uma operação.
   
2. Menor Risco de Erro: Como a ordem das operações é explicitamente definida pela posição dos operandos e operadores, há menos ambiguidade e menor chance de erros de interpretação.
   
3. Não Necessita de Parênteses: Cálculos que normalmente exigiriam parênteses em notação algébrica padrão podem ser realizados sem eles na RPN, simplificando a entrada de dados.

Emuladores de HP12C

Disponíveis para usar na Web

• Calculadora HP12C Online
  
• Emulador HP12C

Windows

• Vichinsky HP12C
  
• HP12C na Microsoft Store

Android

• HP12C Emulator no Google Play

Exemplo: Profissão de Médico no Brasil

“O raro é caro.”

• Conheça quais são as profissões mais bem pagas do Brasil, segundo IBGE: Médicos especialistas, matemáticos, atuários e médicos generalistas estão entre os profissionais mais bem remunerados do Brasil: ICL Notícias, 13/11/2024

• Qual a situação financeira dos médicos? Levantamento traz cenário atualizado: Estratégia MED, 19/04/2022

• Scheffer, M. C. et al. (2022) Physicians’ income in Brazil: a study on information sources. Rev. Assoc. Med. Bras. 68 (5)

• Scheffer, M. et al. (2016) Reasons for choosing the profession and profile of newly qualified physicians in Brazil. Rev Assoc Med Bras 62(9):853-861

Podemos calcular os possíveis salários típicos de médicos (de 10 a 30 mil) ao longo de suas vidas de trabalho trazidos a valor presente.

Na HP12C, isso é feito com a sequência abaixo (os valores que aparecem {entre chaves} não são digitados: são os que aparecem no visor da HP12C em cada etapa):

f REG f 2 40 g 12x 6 g 12÷

10000 CHS PMT PV {1.817.475,84} 27.5 % - {1.317.669,99}

20000 CHS PMT PV {3.634.951,69} 27.5 % - {2.635.339,97}

30000 CHS PMT PV {5.452.427,53} 27.5 % - {3.953.009,96}

O equivalente em R (assume renda uniforme e cada pagamento é trazido a valor presente por juros compostos e depois somado):

i   <- 0.06 / 12 # juros de 6% aa, por mês
n   <- 40 * 12 # 40 anos, 12 meses, 480 períodos
t  <- 1:n

# faixas de salario
salarios <- c(10000,20000,30000)
for (PMT in salarios)
{
  PV <- sum(PMT / (1 + i)^t) # RCJc
  cat("\nTotal: ",sprintf("R$ %s",
          format(round(PV, 2),
                 nsmall = 2, big.mark = ".", decimal.mark = ",")),sep="")
  PV <- PV - PV*(27.5/100)
  cat(" ... - 27,5% (IRPF): ",sprintf("R$ %s",
                          format(round(PV, 2),
                                 nsmall = 2, big.mark = ".", decimal.mark = ",")),sep="")
}

Total: R$ 1.817.475,84 ... - 27,5% (IRPF): R$ 1.317.669,99
Total: R$ 3.634.951,68 ... - 27,5% (IRPF): R$ 2.635.339,97
Total: R$ 5.452.427,53 ... - 27,5% (IRPF): R$ 3.953.009,96

Os valores presentes, após 40 anos, permitem comprar uma Ferrari usada. Encontramos as seguintes ofertas em Webmotors:

Diagrama de Fluxo de Caixa

Uma ajuda inestimável na utilização de sua calculadora para um cálculo financeiro é o diagrama de fluxo de caixa. Ele é simplesmente uma representação pictórica dos montantes e sentidos das transações financeiras, rotuladas com termos que correspondem às teclas da calculadora.

O diagrama começa com uma linha horizontal, denominada a linha do tempo. Ela representa a duração do problema financeiro e é dividida em períodos de capitalização.

O fluxo de dinheiro em um problema é representado por setas verticais. O dinheiro recebido é representado por uma seta para cima começando no ponto na linha de tempo que corresponde ao momento em que a transação ocorre; o dinheiro pago é representado por uma seta para baixo.

Suponha que você tenha depositado (pago) R$ 1.000 em uma conta que rende juros anuais de 6% com capitalização mensal, tendo depois depositado R$ 50 adicionais no fim de cada mês durante os 2 anos seguintes. O diagrama de fluxo de caixa para esse problema ficaria assim:

Implementado em R fica assim:

source("eiras.fluxo.caixa.R")
valores <- c(100,rep(50,23))
date.ini <- as.Date("2026-02-01")
dates <- seq(from = date.ini, by = "month", length.out = 24)
data <-data.frame(dates,valores)
extra.PV <- data[nrow(data),]
extra.PV$valores <- -150 # valor ficticio
data <- rbind(data,extra.PV)
CashFlow(data,position = "creditor",col="royalblue")

A seta para cima no lado direito do diagrama indica que se recebe dinheiro no fim da transação. Todo diagrama de fluxo de caixa completo deve incluir pelo menos um fluxo de caixa em cada sentido. Observe que os fluxos de caixa correspondentes à acumulação de juros não são representados por setas no diagrama.

As datas não precisam ser uniformes e podemos desenhar o fluxo do ponto de vista do credor ("creditor") ou do devedor ("debtor"); por exemplo:

source("eiras.fluxo.caixa.R")
valores <- c(5,4,-6,8)
dates <- as.Date(c("2023-05-20",
                   "2023-05-30",
                   "2023-07-11",
                   "2023-12-31"))
dt_test <-data.frame(dates,valores)
CashFlow(dt_test,col="gold4")

CashFlow(dt_test,col="gold4",position = "creditor")

Convenção para sinais de fluxos de caixa

Quando da entrada dos fluxos de caixa PV, PMT e FV, as quantidades precisam ser informadas à calculadora com o sinal apropriado, \(+\) (mais) ou \(–\) (menos), segundo a convenção para sinais de fluxos de caixa: o dinheiro recebido (seta para cima) é entrado ou exibido como um valor positivo (\(+\)). O dinheiro pago (seta para baixo) é entrado ou exibido como um valor negativo (\(−\)).

Modo de vencimento

Mais um dado precisa ser especificado antes de você poder resolver um problema que envolve pagamentos periódicos. Tais pagamentos podem ser feitos no início do período de capitalização (anuidade antecipada) ou no final do período (anuidade postecipada ou vencida). Os resultados de cálculos com pagamentos postecipados e antecipados são diferentes. São apresentados abaixo diagramas de fluxo de caixa parciais mostrando pagamentos antecipados (Início) e postecipados (Fim). No problema ilustrado no diagrama de fluxo de caixa acima, os pagamentos são postecipados.

Independente do modo de vencimento (antecipado ou postecipado), o número de pagamentos deve ser igual ao número de períodos de capitalização.

Para especificar o modo de vencimento:

• Aperte 9 BEG para pagamentos feitos no início dos períodos de capitalização.
• Aperte 9 END para pagamentos feitos no final dos períodos de capitalização.

O indicador de estado BEGIN está presente quando o modo de vencimento é antecipado. Se BEGIN não estiver presente, o modo de vencimento será postecipado.

O modo de vencimento permanece ativo até ser alterado; não é necessário reconfigurá-lo toda vez que a calculadora é ligada. Porém, se a Memória Contínua for reinicializada, o modo de vencimento será configurado para postecipado.

Capital e Juro

“Pagar e morrer, quanto mais tarde, melhor!”

Capital

Capital é o estoque de recursos econômicos disponíveis para a produção e circulação de bens e serviços, sendo utilizado como fator de produção e instrumento de financiamento das atividades empresariais.

Capital, conceitualmente, representa a capacidade de um agente econômico — pessoa física ou jurídica — de mobilizar riqueza para gerar mais valor no tempo, sob risco e incerteza.

• Pessoa física: indivíduos que consomem, trabalham, poupam ou investem.

• Pessoa jurídica: empresas, instituições financeiras, governo ou organizações que produzem, distribuem ou consomem bens e serviços.

Do ponto de vista da teria econômica, os fatores de produção são divididos em trabalho, capital, terra e capacidade empresarial, sendo que a cada um desses fatores corresponde uma remuneração denominada, respectivamente, salário, juro, aluguel e lucro.

No contexto de Matemática Financeira, capital é dinheiro.

Juro

Juro é o valor em dinheiro que deve ser pago pelo direito de se dispor temporariamente de um capital, sendo, portanto, um prêmio em dinheiro que o credor recebe, além da restituição integral do capital cedido.

Juro pode ser compreendido como uma espécie de preço do aluguel de dinheiro.

Juro (interest) é a remuneração do dinheiro num prazo. Juro é expresso como percentual sobre o capital (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juro simples (simple interest) ou juro composto (compound interest).

Conforme Matias (2018, p. 6), juro justifica-se por três motivos:

1. Privação de liquidez: Quem empresta capital (dinheiro) fica impedido de o destinar a outros fins (consumo, poupança ou ambos), dando esta possibilidade à outra parte. É compreensível que este sacrifício por parte de quem empresta deva ser pago. Quanto maior for o prazo do empréstimo, mais este efeito se faz sentir (importância do fator tempo).

2. Perda de poder de compra: Devido à inflação, aquilo que em média custa hoje R$ 100,00 custará, daqui a um ano, mais do que este valor. Normalmente, quanto maior for o prazo do empréstimo, maior será o efeito da inflação (importância do fator tempo).

3. Risco de inadimplência: Quem empresta corre sempre o risco de não vir a receber de volta o capital que emprestou. Isso pode acontecer por diversas razões, intrínsecas e extrínsecas (a contraparte pode ser má pagadora; mesmo não o sendo, pode ficar impossibilitada de honrar o compromisso, por diversas razões: desemprego, doença, morte, guerra etc.). Quanto maior a probabilidade de ocorrer algumas destas situações, maior o risco envolvido de inadimplência (importância do fator tempo).

Taxa de juro

Na prática financeira, a grandeza do juro é definida por um coeficiente denominado taxa de juro. Duas são as taxas habitualmente usadas:

1. A taxa unitária que representa o juro por unidade de capital tomado num determinado período por unidade de tempo. E.g.: se o juro do capital R$ 1,00 em 1 ano é R$ 0.05, diz-se que a taxa unitária de juro é 5%.

2. A taxa percentual que representa o juro do capital R$ 100,00 no período tomado por unidade de tempo. E.g.: se o capital R$ 100,00 rende R$ 5,00 em 1 ano, diz-se que a taxa anual de juro é 5%.

Portanto, a taxa percentual é igual a 100 vezes a taxa unitária correspondente.

Do ponto de vista econômico, a taxa de juro tem duas parcelas:

1. Preço do capital estabelecido pela concorrência do mercado financeiro.

2. Prêmio de seguro para o capital emprestado que é função da confiança inspirada pelo devedor, como também de acordo com os riscos a que está sujeito o credor por circustâncias quaisquer.

Montante do capital

Se um capital é colocado a juro durante um certo prazo, chama-se montante ou valor final desse capital a soma do capital e do juro por ele produzido durante esse prazo.

Comparação de capitais

Os três motivos acima (privação de liquidez, perda de poder de compra e risco de inadimplência) estão intimamente ligados a um fator comum: o tempo.

Uma situação financeira envolve capitais em momentos diferentes. Capitais em momentos diferentes não são diretamente comparáveis. Por exemplo, somar capitais de momentos distintos é um erro. Por isso, quando estão envolvidos capitais em diferentes momentos, é necessário homogeneizá-los, ou seja, exprimi-los numa mesma unidade de tempo.
Exprimir capitais (valores monetários) numa mesma unidade equivale a exprimi-los num mesmo momento (data focal).

A data focal é o momento considerado para estabelecer a equação de equivalência de capitais, ou seja, o instante no qual se pretende exprimir todos os capitais envolvidos.

A equação de equivalência ou equação de valor é a equação que estabelece a equivalência, numa data focal, entre dois capitais em momentos distintos.

Juro (valor do fator tempo) é o elemento que permite estabelecer essa equivalência de capitais.

Habitualmente, a taxa de juro é expressa em porcentagem anual.

Portanto, o juro depende de três fatores:
- Capital (C)
- Tempo (t)
- Taxa de juro (i)

Ceteris paribus, quanto maior um desses fatores, maior será o juro.

Regra de Ouro do Cálculo Financeiro

Para comparar capitais é necessário que estejam em uma mesma data focal.

Operação Financeira

Uma operação financeira transforma um ou mais capitais por ação do tempo e da taxa de juro. A operação pode ser de:

• Curto prazo: até 1 ano
  
• Médio prazo: até 3 ou 5 anos
  
• Longo prazo: acima de 5 ou 10 anos

Em qualquer operação financeira, intervêm pelo menos duas partes:
- Mutuário (devedor / borrower): quem pede emprestado.
- Mutuante (credor / lender): quem empresta.

Etimologia de “Mutuário” e “Mutuante”

A origem dos termos “mutuário” e “mutuante” remonta ao latim, refletindo a relação financeira entre as partes envolvidas:

• Mutuário: Deriva do termo latino mutuarius, originado de mutuare, que significa “emprestar” ou “tomar emprestado”. O sufixo “-ário” indica relação ou pertencimento, referindo-se à pessoa que recebe algo por empréstimo. O verbo mutuare está ligado à ideia de troca ou mudança, enfatizando a natureza temporária do empréstimo.

• Mutuante: Também se origina de mutuare. O sufixo “-ante” indica um agente de ação, referindo-se à parte que faz o empréstimo, ou seja, a pessoa ou entidade que fornece o recurso financeiro ou bem emprestado.

Esses termos são fundamentais no contexto de transações financeiras, onde o mutuante é quem empresta o dinheiro ou bem, e o mutuário é quem recebe o empréstimo e tem a obrigação de devolvê-lo conforme as condições acordadas.

Juro Simples

Consideremos um intervalo de tempo (ano, mês, dia etc.) que usaremos como unidade e que denominaremos período financeiro ou simplesmente período. Sejam, \(P\) um capital e \(J\) seu juro no fim de um período. Diz-se que o capital \(P\) está colocado a juro simples durante \(n\) períodos se o juro produzido em cada período é constantemente igual a \(J\).

No regime de capitalização de juro simples (RCJS), a taxa de juro é aplicada sobre o valor inicial de forma linear em todos os períodos, ou seja, não considera que o valor sobre o qual incidem juros muda ao longo do tempo.

Problema

Manuel possui R$ 100.00. Qual a diferença entre depositá-lo numa caderneta de poupança e deixá-lo guardado em casa?

Resposta: Na poupança, o dinheiro cresce, mas em casa, diminui por causa da inflação.

Conceito-chave

\[ \text{Valor Presente} + \text{Juro} = \text{Valor Futuro} \]

• Valor Presente ou Principal \(P\) = valor do dinheiro hoje, no presente.
  
• Juro \(J\) = quantidade de dinheiro que se ganha ou se cobra pelo uso do dinheiro; remuneração do capital.
  
• Valor Futuro ou Montante \(F\) = soma do principal e do valor do juro acumulado no período.

Dessa forma, a relação básica do juro simples é dada por:

\[ P + J = F \]

Problema 1

Se Manuel depositar seus R$ 100.00 num banco, como o dinheiro pode crescer?

Solução:

O dinheiro pode crescer linearmente no regime de capitalização a juro simples (RCJS) ou geometricamente/exponencialmente no regime de capitalização de juro composto (RCJC) conforme uma taxa de juro ao período, \(i\).

Problema 2: Juro Simples = Juro Composto para um período

Imagine que você deposite 100.00 u.m. (unidade monetária; e.g., real brasileiro, euro, dólar americano) num banco a 8% a.a. em RCJS. Qual é o valor futuro daqui a um ano comercial (360 dias)?

Solução:

\[ \begin{align} F_s &= 100 + 100 \times 0.08 \\ &= 100 \times (1 + 0.08) \\ &= 100 \times 1.08 \\ F_s &= 108 \end{align} \]

f REG f 2 360 n 100 CHS PV 8 i INT + {108.00}

f REG f 2 n 100 CHS PV 8 i FV {108.00}

RCJS: simple interest

RCJS: annual interest, i=8%, n=1, PV=R$100

RCJC: annual interest, rate=8%, periods=1, present value=R$100

RCJC: compound interest

Siglas de Taxa de Juro

• a.a.: ao ano comercial (360 = 12 × 30 dias)
  
• a.a.c.: ao ano civil ou exato ou fiscal (de contabilidade) (365 ou 366 dias corridos)
  
• a.a.u.: ao ano útil ou bancário (252 = 12 × 21 dias úteis)
  
• a.s.: ao semestre
  
• a.q.: ao quadrimestre
  
• a.t.: ao trimestre
  
• a.b.: ao bimestre
  
• a.m.: ao mês comercial (30 dias)
  
• a.d.: ao dia (do ano comercial)
  
• a.d.c.: ao dia civil
  
• a.d.u.: ao dia útil
  
• a.p.: ao período

Notação matemática

Observar que se \(P = 100\), o juro equivale à taxa de juro em porcentagem.

\[ \begin{align} F_S &= P + J \\ F_S &= P + P i \\ F_S &= P (1 + i) \\ \\ J_S(1) &= P i \\ F_S(1) &= P + J_S(1) \end{align} \]

Se a aplicação do principal é feita em \(n\) anos ou períodos, então a fórmula do juro é:

\[ \begin{align} J_S(n) &= P i n \\ F_S(n) &= P + J_S(n) \end{align} \]

Sendo que \(n\) é o número de anos ou períodos no qual a taxa de juro é expressa.

Portanto, a fórmula final do valor futuro é:

\[ F_S(n) = P (1 + i n) \]

O valor futuro é função do principal, da taxa de juro e do número de períodos:

\[ F_S(P, i, n) = P (1 + i n) \]

O valor presente é função do montante, da taxa de juro e do número de períodos:

\[ P_S(P, i, n) = \dfrac{F_S}{1 + i n}= F(1 + i n)^{-1} \]

Sinonímia financeira

Sinonímia é a relação entre palavras ou expressões que têm o mesmo significado ou significados muito próximos, podendo ser usadas de forma intercambiável em determinados contextos, sem alterar o sentido essencial da frase.

Em finanças, a sinonímia permite reconhecer que termos diferentes podem se referir ao mesmo conceito, por exemplo:

• valor presente, \(P\): capital inicial, principal, valor atual
  
• valor futuro, \(F\): montante, valor acumulado, capital final
  
• taxa de juro, \(i\): taxa de retorno, rentabilidade, interest rate
  
• número de períodos, \(n\): prazo de capitalização, tempo de aplicação, número de prestações

A sinonímia pode ser absoluta (significados idênticos) ou relativa (semelhança de sentido com variações conforme o uso e o contexto).

Lista de termos equivalentes ao valor presente, \(P\):

• valor presente (VP ou PV)
• valor atual
  
• valor descontado
  
• valor de hoje
  
• valor equivalente atual
  
• capital atual
  
• capital inicial (C)
• principal (P)
• valor presente líquido (VPL ou NPV: Net PV)
  
• montante equivalente no tempo zero
  
• montante (quando referido ao início da operação)

Observação: o termo montante normalmente designa o valor futuro, mas pode aparecer como sinônimo de valor presente em alguns contextos específicos, especialmente quando comparado com outros montantes equivalentes em diferentes momentos do tempo.

Lista de termos equivalentes ao valor futuro, \(F\):

• valor futuro (VF ou FV)
• montante
  
• capital final
  
• valor acumulado
  
• valor projetado
  
• valor equivalente futuro
  
• saldo final
  
• montante acumulado
  
• valor a receber
  
• valor vencível
  
• valor de vencimento

Esses termos são usados em diferentes contextos para representar o valor de um capital após a aplicação de juros ou rendimentos ao longo do tempo.

Lista de termos equivalentes a taxa de juro, \(i\):

• taxa de juro(s)
  
• taxa de rendimento
  
• taxa de retorno
  
• taxa de rentabilidade
  
• taxa percentual
  
• taxa efetiva
  
• taxa nominal
  
• taxa proporcional
  
• taxa equivalente
  
• custo do capital
  
• custo do dinheiro no tempo
  
• taxa de desconto (quando calculamos o valor presente, \(P\))
  
• yield (em inglês, especialmente em títulos)
  
• interest rate (termo geral em inglês)

Esses termos variam conforme o tipo de regime (simples, composto), o contexto (empréstimos, investimentos, avaliação de projetos) e o período de capitalização.

Lista de termos equivalentes ao número de períodos de capitalização, \(n\):

• número de períodos
  
• número de capitalizações
  
• número de parcelas
  
• número de prestações
  
• número de meses (ou anos, dias, conforme a unidade)
  
• horizonte temporal
  
• prazo da operação
  
• prazo de capitalização
  
• tempo de aplicação
  
• tempo do investimento
  
• duração do financiamento
  
• período total
  
• tempo \(n\) (quando simbolicamente citado)

Esses termos são usados conforme o contexto: financeiro, atuarial, bancário ou contábil.

Análise dimensional da fórmula de juro simples

• Referências:
  • PAULI, RU et al. (1980) Física 4: eletricidade, magnetismo, física moderna e análise dimensional. São Paulo: EPU.
  • SIMÃO, C (1980) Manual do professor de física 4 de Pauli et al. São Paulo: EPU.

\[F=P C\]

sendo que:

• \(F=\) montante (unidade monetária \(\$\))
• \(P=\) principal (unidade monetária \(\$\))

O fator de capitalização no juro simples é dado por:

\[C=1+in\]

Sendo que:

• \(i=\) taxa de juro (por unidade de tempo \(T^{-1}\))
• \(n=\) número de períodos (tempo \(T\))

Substituindo as dimensões na equação do fator de capitalização:

\[ \begin{align} [C]&=[1+i n] \\ &=[1]+[i][n] \\ &=1+[i][n] \\ &=1+T^{-1}T \\ &=1+1 \\ [C]&=1 \end{align} \]

Portanto, o fator de capitalização do RCJS, \(C\), é adimensional.

\[F=PC\]

Substituindo as dimensões na equação de juro simples:

\[ \begin{align} [F]&=[PC] \\ &=[P][C] \\ &=\$\times 1 \\ [F]&=\$ \\ \$&=\$ \end{align} \]

Portanto, a equação é dimensionalmente homogênea.

Problema 3

Qual é o valor futuro anual do Manuel até 30 anos? Mostrar graficamente como o dinheiro dele cresce. Suponha que o banco permite que o aplicador apenas retire o valor futuro exatamente ao final de cada ano.

Solução:

\[ F_S(P = 100, i = 0.08, n) = 100 \times (1 + 0.08 \times n) \]

Evolução do Valor Futuro com Juros Simples

P	i	n	F
100	0.08	0	100
100	0.08	1	108
100	0.08	2	116
100	0.08	3	124
100	0.08	4	132
100	0.08	5	140
100	0.08	6	148
100	0.08	7	156
100	0.08	8	164
100	0.08	9	172
100	0.08	10	180
100	0.08	11	188
100	0.08	12	196
100	0.08	13	204
100	0.08	14	212
100	0.08	15	220
100	0.08	16	228
100	0.08	17	236
100	0.08	18	244
100	0.08	19	252
100	0.08	20	260
100	0.08	21	268
100	0.08	22	276
100	0.08	23	284
100	0.08	24	292
100	0.08	25	300
100	0.08	26	308
100	0.08	27	316
100	0.08	28	324
100	0.08	29	332
100	0.08	30	340

O gráfico de barras representa um crescimento:
- Discreto, pois os valores são calculados em períodos específicos.
- Linear, pois o valor futuro cresce proporcionalmente ao tempo.

Problema 4

Plotar o gráfico do valor futuro se o banco permitir que Manuel retire a qualquer momento o seu valor futuro da aplicação.

Solução:

O gráfico é uma reta truncada à direita, pois o crescimento continua sendo linear, mas agora contínuo, permitindo retiradas em qualquer instante.

Problema 5

De que maneira a fórmula do valor futuro pode ser expressa como a função de uma reta?

Solução:

A fórmula do valor futuro pode ser expressa como uma função afim ou função de reta:

\[ f(x) = a x + b \]

Sendo que:
- \(a\) é a inclinação.
- \(b\) é o intercepto.

Imagine que os valores do principal (\(P\)) e da taxa de juro (\(i\)) estejam fixados. Portanto, o valor futuro (\(F\)) depende apenas da variação do número de períodos \(n\), supondo que \(n\) é um número real.

A função do valor futuro pode ser expressa da seguinte maneira:

\[ F(n) = P + (P i) n \]

Comparando com a equação da reta:

\[ a = P i, \quad b = P, \quad x = n \]

Aplicando essa fórmula ao caso de Manuel, temos:

\[ F_S(n) = 8 n + 100 \]

Dessa forma, no caso de Manuel:
- Inclinação: \(a = 8\) reais por ano.
- Intercepto: \(b = 100\) reais.

Isto significa que seu capital cresce sempre 8 reais por ano a partir do principal de 100 reais.

Problema 6: Interpretação geométrica da inclinação

Esboçar o gráfico da função do valor futuro. Qual a relação da inclinação da função linear com a tangente da reta em relação ao eixo das abscissas?

Solução:

A relação é a seguinte:

\[ a = \tan(\theta) = P i \]

Sendo que:
- \(\tan( \theta)\) é a tangente do ângulo \(\theta\) entre o eixo das abscissas (tempo) e a reta do valor futuro.
- A tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente do triângulo retângulo formado pela abscissa e a reta.

Problema 7: Interpretação algébrica da inclinação

Qual a relação da inclinação da função linear com a derivada da função do valor futuro em relação ao número de períodos?

Solução:

A relação é a seguinte:

\[ a = \tan(\theta) = \dfrac{dF_S(n)}{dn} = P i \]

Problema 8

Qual o valor do juro entre dois instantes quaisquer em RCJS?

Solução:

Total de juros ganhos nos \(n\) períodos (capitalização simples):

\[ \begin{align} J_S(k, k+m) &= \Delta F_S (k, k+m) \\ &= F_S (P, i, k+m) - F_S (P, i, k) \\ &= P i (k+m) - P i k \\ &= P i m \\ J_S(k, k+m) &= J_S(m) \end{align} \]

Exemplo 1

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro simples entre o primeiro e o terceiro ano de capitalização. Então, \(k = 1\) e \(m = 2\):

\[ \begin{align} J_S(k, k+m) &= J_S(m) \\ J_S(1,3) &= J_S(2) \\ J_S(1,3) &= 16 \end{align} \]

• Juro entre o instante inicial e um instante qualquer (capitalização simples)

\[ \begin{align} J_S(0,n) &= \Delta F_S (1,n) \\ &= F_S (P, i, n) - F_S (P, i, 0) \\ &= P i n \\ J_S(0,n) &= J_S(n) \end{align} \]

• Juro entre dois instantes consecutivos quaisquer (capitalização simples)

\[ \begin{align} J_S(k, k+1) &= \Delta F_S (k, k+1) \\ &= F_S (P, i, k+1) - F_S (P, i, k) \\ &= P i (k+1) - P i k \\ &= P i \\ J_S(k, k+1) &= J_S(1) \end{align} \]

Exemplo 2

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro simples entre dois instantes consecutivos. Então \(m = k + 1\):

\[ \begin{align} J_S(k, k+1) &= J_S(1) \\ J_S(k, k+1) &= 8 \end{align} \]

O crescimento do juro entre duas capitalizações simples consecutivas segue uma função constante. Logo, os juros simples consecutivos não crescem.

Exemplo 3

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro simples entre o instante inicial e o último ano de capitalização, isto é, o juro simples total do investimento. Então \(k = 0\) e \(m = n = 30\) anos:

\[ \begin{align} J_S(0,30) &= J_S(30) \\ J_S(0,30) &= 240 \end{align} \]

Problema 9: Fazendo pagamento com juro simples

Quanto deve ser pago mensalmente (prestação mensal) se fizer um empréstimo de R$ 10.000,00 em uma instituição que emprega juros simples para o cálculo de valores futuros?

Imagine que o empréstimo tenha que ser pago em 4 anos e que a taxa de juro aplicada ao principal seja 5% a.a.

Solução:

Seja \(PM\) o valor do pagamento mensal. Dessa forma, temos que:

\[ PM_S(n) = \dfrac{F(n)}{n \times 12} \]

O custo total do empréstimo é o valor futuro. Portanto, o valor do pagamento mensal para esse problema específico é R$ 250.00, conforme cálculos a seguir:

\[ \begin{align} PM_S(4) &= \dfrac{F(4)}{4 \times 12} \\ &= \dfrac{12000}{48} \\ PM_S(4) &= 250 \end{align} \]

f REG f 2 4 ENTER 360 x n 10000 CHS PV 5 i f INT + 4 ENTER 12 x ÷ {250.00}

Taxas de juro proporcionais

Duas taxas são proporcionais se os seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.

As taxas de juros \(i_1\) ao período \(n_1\) e \(i_2\) ao período \(n_2\) têm seus períodos expressos na mesma unidade de tempo. Portanto, se as taxas de juro são proporcionais, temos que:

\[ \dfrac{i_1}{i_2} = \dfrac{n_1}{n_2} \]

Exemplo 1

As taxas de juro de 18% a.a. e 1.5% a.m. são proporcionais.

\[ \dfrac{0.18}{0.015} = 12 \]

\[ \dfrac{12 \text{ mês}}{1 \text{ mês}} = 12 \]

Para obter uma taxa de juro proporcional a uma taxa de juro dada, imagine que a taxa de juro \(i\) é relativa a um período e que \(i_k\) é a taxa de juro proporcional relativa à fração \(\dfrac{1}{k}\) do período expressa na mesma unidade de tempo do período. Portanto, temos que:

\[ \begin{align} \dfrac{i_k}{i} &= \dfrac{\dfrac{1}{k}}{1} \\ \dfrac{i_k}{i} &= \dfrac{1}{k} \\ i_k &= \dfrac{i}{k} \end{align} \]

Exemplo 2

A taxa de juro de 2.5% a.m. é proporcional a 30% a.a.

\[ \begin{align} k &= 12 \\ i_k &= 0.025 \\ i &= 0.30 \end{align} \]

\[ \begin{align} i_k &= \dfrac{i}{k} \\ 0.025 &= \dfrac{0.30}{12} \end{align} \]

Exemplo 3

A taxa de juro de 2.4% a.m. é proporcional a 0.08% a.d.

\[ \begin{align} k &= 30 \\ i_k &= 0.0008 \\ i &= 0.024 \end{align} \]

\[ \begin{align} i_k &= \dfrac{i}{k} \\ 0.0008 &= \dfrac{0.024}{30} \end{align} \]

Exemplo 4

A taxa de juro de 32% a.a. é proporcional a 8% a.t.

\[ \begin{align} k &= 4 \\ i_k &= 0.08 \\ i &= 0.32 \end{align} \]

\[ \begin{align} i_k &= \dfrac{i}{k} \\ 0.08 &= \dfrac{0.32}{4} \end{align} \]

Taxas de juro equivalentes

Duas taxas de juro são equivalentes se produzem o mesmo valor futuro, dado o mesmo principal e o mesmo período.

Teorema

Em regime de capitalização de juro simples (RCJS), duas taxas de juro proporcionais são taxas de juro equivalentes e vice-versa.

Prova

A taxa de juro \(i\) é relativa a um período em que \(i_k=\dfrac{i}{k}\) é a taxa de juro proporcional relativa à fração \(\dfrac{1}{k}\) do período expressa na mesma unidade de tempo do período.

RCJS discreto (RCJSD) é o regime no qual há \(k = 2,3, \dots\) capitalizações por período:

\[ F_S = P \left(1 + \dfrac{i}{k} n k\right)=P (1 + i n) \]

No RCJS discreto, a taxa de juro equivalente é a taxa de juro proporcional.

A taxa de juro proporcional pode ser usada para ajustar a taxa de juro nominal para o mesmo período da quantidade de períodos de capitalização \(n\).

Período	Taxa
\(i_{\text{período}}\)	\(i_k\)
\(i_{\text{ano}}\)	\(i_1 = i = 8\% \text{ a.a.}\)
\(i_{\text{semestre}}\)	\(i_2 = \dfrac{i}{2} = 4\% \text{ a.s.}\)
\(i_{\text{trimestre}}\)	\(i_4 = 2\% \text{ a.t.}\)
\(i_{\text{mês}}\)	\(i_{12} = 0.\bar{6}\% \text{ a.m.}\)
\(i_{\text{dia comercial}}\)	\(i_{360} = 0.0\bar{2}\% \text{ a.d.}\)
\(i_{\text{dia civil}}\)	\(i_{365} \approx 0.022\% \text{ a.d.c.}\)
\(i_{\text{dia útil}}\)	\(i_{252} \approx 0.032\% \text{ a.d.u.}\)

Exemplo

As fórmulas de cálculo do montante \(F_S\), do principal \(P\), da taxa \(i\) e da quantidade de períodos \(n\) no regime de capitalização simples são:

VD	Equação
Montante	\(F_S = P (1 + i n)\)
Principal	\(P = \dfrac{F_S}{1 + i n}\)
Taxa	\(i = \dfrac{F_S - P}{n P}\)
Período	\(n = \dfrac{F_S - P}{i P}\)

Prazo médio

Prazo médio, \(\bar{n}\), é o tempo durante o qual deve ser aplicada a soma de \(m\) capitais, à mesma taxa de juro \(i\), de modo que o juro por ela produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos \(m\) capitais:

\[ \begin{align} \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)i\bar{n}&=\sum_{k=1}^{m}{\left(P_kin_k\right)}\\ \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)i\bar{n}&=\left(\sum_{k=1}^{m}{P_kn_k}\right)i\\ \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)\bar{n}&=\left(\sum_{k=1}^{m}{P_kn_k}\right)\\ \bar{n}&=\dfrac{\sum_{k=1}^{m}{P_kn_k}}{\sum_{k=1}^{m}{P_k}} \end{align} \]

Se \(P_1=P_2=\cdots=P_m\):

\[ \begin{align} \bar{n}&=\dfrac{\sum_{k=1}^{m}{n_k}}{m} \end{align} \]

Exemplo

Os capitais R$ 6.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juro simples durante 9, 5 e 8 meses, respectivamente. Durante quanto tempo deveria ser empregada a soma desses capitais, à mesma taxa de juro simples, para qu eo juro por ela produzido fosse igual à soma dos juros daqueles capitais nos prazos dados?

Solução:

\[ \begin{align} \bar{n}&=\dfrac{6000\times9+10000\times5+8000\times8}{6000+10000+8000}\\ \bar{n}&=7\\ \end{align} \]

P <- c(6000, 10000, 8000)
n <- c(9, 5, 8)
weighted.mean(x=n, w=P)

[1] 7

Resposta:

O prazo médio é 7 meses.

Taxa de juro média

Taxa de juro média é a taxa de juro a que deve ser aplicada a soma dos capitais durante o mesmo prazo, de modo que o juro por ela produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos capitais dados.

\[ \begin{align} \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)\bar{i}n&=\sum_{k=1}^{m}{\left(P_ki_kn\right)}\\ \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)\bar{i}n&=\left(\sum_{k=1}^{m}{P_ki_k}\right)n\\ \left(\sum_{k=1}^{m}{P_k}\right)\bar{i}&=\left(\sum_{k=1}^{m}{P_ki_k}\right)\\ \bar{i}&=\dfrac{\sum_{k=1}^{m}{P_ki_k}}{\sum_{k=1}^{m}{P_k}} \end{align} \]

Se \(P_1=P_2=\cdots=P_m\):

\[ \begin{align} \bar{i}&=\dfrac{\sum_{k=1}^{m}{i_k}}{m} \end{align} \]

Exemplo

Em RCJS, um médico tem seus haveres empregados nas seguintes condições: a metade a 4% a.a., a terça parte a 6% a.a. e o restante a 9% a.a. A que taxa de juro única poderia empregar todo capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?

Solução:

\[ \begin{align} \bar{i}&=\dfrac{1}{2}0.04+\dfrac{1}{3}0.06+\dfrac{1}{6}0.09\\ \bar{i}&=0.055\\ \end{align} \]

P <- c(1/2, 1/3, 1/6)
i <- c(0.04, 0.06, 0.09)
weighted.mean(x=i, w=P)

[1] 0.055

Resposta:

A taxa de juro média é 5.5% a.a.

Juro composto

compound interest

Diz-se que um capital está aplicado a juro composto ou no regime de capitalização composto, se, no fim de cada período financeiro, previamente estipulado, o juro produzido é adicionado ao capital e passa a render juro.

O juro composto é o método pelo qual o juro é calculado em cada período sobre o principal e o juro acumulado em períodos anteriores (juro sobre juro = anatocismo). Esse processo é denominado regime de capitalização a juro composto (RCJC).

A intervalos estabelecidos, o juro vencido (sobre uma conta de poupança, por exemplo) é adicionado ao principal. Nesse caso, o juro se diz composto ou convertido em principal e, daí em diante, produz também juros. Assim, o principal cresce periodicamente e o juro convertido em principal aumenta sucessivamente ao longo do prazo da transação. A soma devida, no fim da transação, denomina-se montante composto ou valor futuro composto.

A diferença entre o montante composto e o principal chama-se juro composto. ### Problema 1

Como são calculados os juros compostos para a aplicação do Manuel ao final do segundo ano, isto é, qual é o valor futuro após dois anos usando o regime de juro composto? Primeiramente tente estimar mentalmente sem o uso de fórmulas (solução heurística). Em seguida, calcule exatamente o valor futuro ao final do segundo ano.

Solução:

O valor futuro após o primeiro ano é R$ 108.00. Então, 8% do valor futuro R$ 108.00 é R$ 8.64. Portanto, o valor futuro ao final do segundo ano é R$ 116.64.

Note que esse valor é um pouco maior do que o valor futuro que seria obtido se o regime fosse de juros simples, isto é, R$ 116.00.

annual interest, rate=8%, present value=R$100, periods=2

annual interest, i=8%, PV=R$100, n=2

f REG f 2 f 8 i 2 n 100 CHS PV FV {116.64}

FinCal::fv.simple(r=0.08, n=2, pv=-100)

[1] 116.64

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.08, nper=2, pmt=0, pv=-100),2))

116.64

Problema 2

Se o principal, a taxa de juro e o número de períodos são fixados, então o valor futuro no regime de juro composto é sempre maior que o valor futuro no regime de juro simples?

Solução:

Sim, se \(n > 1\), i.e., se a quantidade de períodos é maior que 1. O contrário ocorre dentro do primeiro período (ver exercício 17).

Notar que a função do valor futuro no regime de juros compostos passa a ser escrito como \(F_C\).

O fator \((1 + i)^n\) é chamado de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

\[ \begin{align} F_C(P, i, 1) &= P (1 + i) \\ F_C(P, i, 2) &= F_C(P, i, 1) (1 + i) \\ F_C(P, i, 2) &= P (1 + i) (1 + i) \\ F_C(P, i, 2) &= P (1 + i)^2 \\ \end{align} \]

De forma geral, a fórmula para qualquer número de períodos \(n\) é:

\[ F_C(P, i, n) = P (1 + i)^n \]

As fórmulas de cálculo do montante \(F_C\), do principal \(P\), da taxa \(i\) e da quantidade de períodos \(n\) no regime de capitalização composto são:

VD	Equação
Montante	\(F_C = P (1 + i)^n\)
Principal	\(P = \dfrac{F_C}{(1 + i)^n} = F_C(1 + i)^{-n}\)
Taxa	\(i = \sqrt[n]{\dfrac{F_C}{P}} - 1\)
Período	\(n = \dfrac{\ln \left( \dfrac{F_C}{P} \right)}{\ln(1 + i)}\)

Análise dimensional da fórmula de juro composto

• Referências:
  • PAULI, RU et al. (1980) Física 4: eletricidade, magnetismo, física moderna e análise dimensional. São Paulo: EPU.
  • SIMÃO, C (1980) Manual do professor de física 4 de Pauli et al. São Paulo: EPU.

\[ F=P C \]

sendo que:

• \(F=\) montante (unidade monetária \(\$\))
• \(P=\) principal (unidade monetária \(\$\))

O fator de capitalização no juro composto é dado por:

\[ C=(1+i)^n \]

Sendo que:

• \(i=\) taxa de juro (por unidade de tempo \(T^{-1}\))
• \(n=\) número de períodos (tempo \(T\))

Substituindo as dimensões na equação do fator de capitalização:

\[ \begin{align} [C]&=([1]+[i])^{[n]} \\ [C]&=\left(1+T^{-1}\right)^{T} \end{align} \]

Portanto, o fator de capitalização do RCJS, \(C\), não é adimensional.

\[ F=P C \]

Substituindo as dimensões na equação de juro composto:

\[ \begin{align} [F] &=[PC] \\ &=[P][C] \\ [F] &=\$ \times \left( 1+T^{-1} \right)^{T} \end{align} \]

Portanto, a equação não é dimensionalmente homogênea.

C ou não C? Eis a questão na HP12C!

Quando a quantidade de períodos é fracionária, e.g., \(17/12 = 1.416\ldots\), o regime de capitalização da parte fracionária, i.e., na parte \(0.416\ldots\), pode ser selecionado na HP12C.

Se o usuário fizer aparecer no visor a letra C pressionando [STO] [EEX], a HP12C usa o regime de capitalização composta na parte fracionária do período.

Se o usuário fizer desaparecer do visor a letra C pressionando [STO] [EEX], a HP12C usa o regime de capitalização simples na parte fracionária do período.
Aplicar esse método da HP12C no Exercício 17.

Problema 3

Como o dinheiro do Manuel cresce no regime de juro composto? Qual a forma funcional que representa esse crescimento? Plotar as funções de crescimento linear e a nova no mesmo gráfico.

Solução:

\[ F_C(P = 100, i = 0.08, n) = 100 (1 + 0.08)^n = 100 (1.08)^n \]

f REG f 2 f 8 i 0 n 100 CHS PV FV 1 n

FV 2 n FV … 30 n FV

n	F Simples	F Composto
0	100	100.00
1	108	108.00
2	116	116.64
3	124	125.97
4	132	136.05
5	140	146.93
6	148	158.69
7	156	171.38
8	164	185.09
9	172	199.90
10	180	215.89
11	188	233.16
12	196	251.82
13	204	271.96
14	212	293.72
15	220	317.22
16	228	342.59
17	236	370.00
18	244	399.60
19	252	431.57
20	260	466.10
21	268	503.38
22	276	543.65
23	284	587.15
24	292	634.12
25	300	684.85
26	308	739.64
27	316	798.81
28	324	862.71
29	332	931.73
30	340	1006.27

É conveniente lembrar a estrutura de uma função geométrica (versão discreta) e exponencial (versão contínua):

\[ f(x) = a b^x \]

Portanto, a função do valor futuro no regime de juro composto pode ser expressa matematicamente da seguinte forma:

\[ \begin{aligned} F_C(n) &= P (1 + i)^n \\ a &= P \\ b &= 1 + i \\ x &= n \end{aligned} \]

Notar que \(b^0 = 1\), se \(b \neq 0\).

Problema 4

Como R$ 100 do Manuel no RCJC cresce a 1%, 5%, 10%, 15% a.a.?

Plotar as funções de crescimento do dinheiro no mesmo gráfico supondo que \(n\) é inteiro.

Solução:

• 5%: O principal dobra em 15 anos.
  
• 10%: Quadruplica em 15 anos.
  
• 15%: Octuplica em 15 anos.

\[\Diamond\]

O juro composto é dado por:

\[ \begin{align} J_C &= F_C - P \\ &= P (1 + i)^n - P \\ J_C &= P \left[ (1 + i)^n - 1 \right] \end{align} \]

O total de juro ganho em \(m\) períodos (capitalização composta) é:

\[ \begin{align} J_C(k, k + m) &= \Delta F_C(k, k + m) \\ &= F_C(P, i, k + m) - F_C(P, i, k) \\ &= P (1 + i)^{k + m} - P (1 + i)^k \\ J_C(k, k + m) &= P (1 + i)^k \left[ (1 + i)^m - 1 \right] \end{align} \]

De forma geral:

\[ J_C(k, k + m) = F_C(k) \left[ (1 + i)^m - 1 \right], \quad k = 0, 1, 2, \dots, n - m \]

Exemplo 1

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro composto entre o primeiro e o terceiro anos de capitalização. Então para \(k = 1\) e \(m = 2\):

\[ \begin{align} J_C(k, k + m) &= P (1 + i)^k \left[ (1 + i)^m - 1 \right] \\ J_C(1, 3) &= 100 \times 1.08^1 \times\left[ 1.08^2 - 1 \right] \\ J_C(1, 3) &= 100 \times 1.08 \times [1.1664 - 1] \\ J_C(1, 3) &= 17.97 \end{align} \]

Valor do juro composto entre o instante inicial e o último ano de capitalização:

\[ \begin{aligned} J_C(0, n) &= \Delta F_C(0, n) \\ &= F_C(P, i, n) - F_C(P, i, 0) \\ &= P (1 + i)^n - P (1 + i)^0 \\ &= P (1 + i)^n - P \\ J_C(0, n) &= P \left[ (1 + i)^n - 1 \right] \end{aligned} \]

Exemplo 2

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro composto entre o instante inicial e o último ano de capitalização, isto é, o juro composto total do investimento.

Então para \(k = 0\) e \(m = n = 30\) anos:

\[ \begin{align} J_C(0, n) &= P \left[ (1 + i)^n - 1 \right] \\ J_C(0, 30) &= 100 \times \left[ (1 + i)^{30} - 1 \right] \\ J_C(0, 30) &= 906.27 \end{align} \]

Juro entre dois instantes consecutivos quaisquer (capitalização composta):

\[ \begin{align} J_C(k, k + 1) &= \Delta F_C(k + 1, k) \\ &= F_C(P, i, k + 1) - F_C(P, i, k) \\ &= P (1 + i)^{k+1} - P (1 + i)^k \\ &= P (1 + i)^k \left[ (1 + i) - 1 \right] \\ &= P (1 + i)^k i \\ J_C(k, k + 1) &= F_C(k) i, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \end{align} \]

Exemplo 3

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro composto entre os anos 2 e 3.

Então para \(k = 2\):

\[ \begin{align} J_C(k, k+1) &= P \times (1 + i)^k \times i \\ J_C(2, 3) &= P \times (1 + i)^2 \times i \\ &= 100 \times (1.08)^2 \times 0.08 \\ &= 100 \times 1.1664 \times 0.08 \\ J_C(2, 3) &= 9.33 \end{align} \]

O crescimento dos juros entre duas capitalizações compostas consecutivas segue uma função geométrica. Logo, os juros compostos crescem geometricamente (versão discreta) e exponencialmente (versão contínua).

Esse é um fato curioso, pois o valor futuro cresce geometricamente e os juros compostos consecutivos também.

Problema 5

Qual o valor do juro composto ganho descontado o juro simples?

Solução:

\[ \begin{align} \Delta J(k, k+m) &= J_C(k, k+m) - J_S(k, k+m) \\ &= P (1 + i)^k \left[ (1 + i)^m - 1 \right] - P i m \\ &= P \times \left( (1 + i)^k \left[ (1 + i)^m - 1 \right] - i m \right) \\ \Delta J(k, k+m) &= F_C(k) \left[ (1 + i)^m - 1 \right] - J_S(m), \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-m \end{align} \]

Exemplo 1

Imagine que se deseja saber qual o valor do juro composto entre os anos 1 e 3 em relação à capitalização simples.

Então para \(k = 1\) e \(m = 2\):

\[ \begin{align} \Delta J(k, k+m) &= P \times (1 + i)^k \left[ (1 + i)^m - 1 \right] - i m \\ \Delta J(1, 3) &= 100 \times (1.08)^1 \times \left[ (1.08)^2 - 1 \right] - 0.08 \times 2 \\ \Delta J(1, 3) &= 1.97 \end{align} \]

Valor do juro composto entre o instante inicial e o prazo final do investimento em relação à capitalização simples:

\[ \begin{align} \Delta J(0, n) &= J_C(0, n) - J_S(0, n) \\ &= P (1 + i)^0 \left[ (1 + i)^n - 1 \right] - P i n \\ &= P \left[ (1 + i)^n - 1 - i n \right] \\ &= P \left[ (1 + i)^n - (1 + i n) \right]\\ \Delta J(0, n) &= F_C(n) - F_S(n) \end{align} \]

Exemplo 2

Imagine que se deseja calcular o valor do juro composto entre o instante inicial e o prazo final do investimento em relação à capitalização simples.
Então para \(k = 0\) e \(m = n = 30\) anos:

\[ \begin{align} \Delta J(0, n) &= P \left[ (1 + i)^n - (1 + i n) \right] \\ \Delta J(0, 30) &= 100 \times \left[ (1.08)^{30} - (1 + 0.08 \times 30) \right] \\ \Delta J(0, 30) &= 666.27 \end{align} \]

Note que o valor futuro da capitalização simples é \(F_S(30) = 340.00\) e o da composta é \(F_C(30) = 1006.27\). Então:

\[ \Delta J(0, 30) = 666.27 = 1006.27 - 340.00 \]

\[ \begin{align} \Delta J(k, k+1) &= J_C(k, k+1) - J_S(k, k+1) \\ &= P i (1 + i)^k - P i \\ &= P i \left[ (1 + i)^k -1 \right]\\ \Delta J(k, k+1) &= F_C(k) i - J_S(1), \quad k = 0,1,2,\dots,n-1 \end{align} \]

Exemplo 3

Imagine que se deseja calcular o valor do juro composto entre os anos 2 e 3 em relação à capitalização simples.

Então para \(k = 2\):

\[ \begin{align} \Delta J(k, k+1) &= P i \left[ (1 + i)^k -1 \right] \\ \Delta J(2,3) &= 100 \times 0.08 \times \left[ (1.08)^2 -1 \right] \\ \Delta J(2,3) &= 1.33 \end{align} \]

Equivalência e (in)cindibilidade do prazo: influência da data focal

O problema de substituição de compromissos é chamado de problema de equivalência financeira entre conjuntos de capitais, que é a questão central da Matemática Financeira.

Dois valores nominais em diferentes datas são equivalentes, a uma dada taxa de juro, se, fixada uma data como a de comparação (data focal/ de avaliação/ de referência), os respectivos valores presentes na data focal são iguais.

Conforme Faro (2006), o capital inicial \(P\) é capitalizado em \(n=2,3, \ldots\) períodos com taxa de juro \(i\%\) a.p. Um regime de capitalização tem a propriedade de cindibilidade se o montante resultante num subprazo \(n_1<n\) é reinvestido no mesmo regime de capitalização e mesma taxa de juro no subprazo restante \(n_2=n-n_1\) resulta no mesmo montante do investimento no prazo total \(n\) com o mesmo regime de capitalização e mesma taxa de juro.

Cindibilidade no RCJC:

No RCJC, um capital inicial \(P\) cresce ao longo do tempo de acordo com a seguinte equação:

\[ F_C = P (1 + i)^n \]

O montante acumulado ao final do primeiro subperíodo \(n_1\) é:

\[ F_{C}^{1} = P (1 + i)^{n_1} \]

Se aplicarmos a mesma taxa ao capital \(F_{C}^{1}\) durante o segundo subperíodo \(n_2\), obtemos:

\[ \begin{align} F_{C}^{1\&2} &= F_{C}^{1} (1 + i)^{n_2} \\ &= P (1 + i)^{n_1}(1 + i)^{n_2} \\ &= P (1 + i)^{n_1+n_2} \\ &= P (1 + i)^{n} \\ F_{C}^{1\&2} &= F_C \end{align} \]

O que demonstra que o regime composto permite a cindibilidade, i.e., o capital pode ser fracionado em diferentes períodos, e o valor presente de um capital futuro é o mesmo independentemente do caminho percorrido.

Incindibilidade no RCJS:

No RCJS, um capital inicial \(P\) cresce ao longo do tempo de acordo com a seguinte equação:

\[ F_S = P (1 + in) \]

O montante acumulado ao final do primeiro subperíodo \(n_1\) é:

\[ F_{S}^{1} = P (1 + in_1) \]

Se aplicarmos a mesma taxa ao capital \(F_{S}^1\) durante o segundo subperíodo \(n_2\), obtemos:

\[ \begin{align} F_{S}^{1\&2} &= F_{S}^{1} (1 + in_2) \\ &= P (1 + in_1)(1 + in_2) \\ &= P \left(1 + i n_1 + i n_2 + i^2 n_1 n_2\right) \\ &> P \left(1 + i n_1 + i n_2 \right) \\ &=P \left(1 + i (n_1 + n_2) \right) \\ &=P \left(1 + i n \right) \\ F_{S}^{1\&2} &> F_S \end{align} \]

No RCJS (Regime de Capitalização de Juro Simples), ocorre a incidibilidade do prazo, i.e., a formação do montante e, reciprocamente, a determinação do valor presente são não-cindíveis, no sentido de que não se pode fracionar o prazo de aplicação.

Portanto, no RCJS, a equivalência financeira depende da data focal. No RCJC (Regime de Capitalização de Juro Composto), a equivalência financeira não depende da data focal.

Representação Gráfica:

O gráfico a seguir ilustra a diferença entre os dois métodos. O eixo \(x\) representa o tempo \(n\), enquanto o eixo \(y\) representa o montante acumulado \(F\).

1. A curva linear representa a capitalização simples \(F_S = P(1 + i n)\).
   
2. A curva suavemente crescente representa a capitalização com prazo fracionado \(F_{S}^{1\&2} = P (1 + in_1)(1 + in_2)\).

Gráfico esperado:

• A capitalização composta cresce mais rapidamente do que a simples devido ao termo adicional \(i^2 n_1 n_2\).
  
• Para um mesmo prazo total \(n\), a decomposição do prazo gera um montante maior na capitalização composta.

Exemplo: Nota Promissória

Uma nota promissória é um instrumento de crédito que consiste numa promessa de pagamento incondicional por escrito que obriga o emissor (devedor/mutuário) a pagar ao portador (credor/mutuante) um valor nominal especificado em dinheiro numa data futura.

As características principais de uma nota promissória incluem:

• Valor Nominal: A quantia em dinheiro que o emissor se compromete a pagar.

• Data de Emissão: Quando a nota promissória é criada e assinada.

• Data de Vencimento: Quando o pagamento prometido deve ser feito.

• Assinatura do Emissor: A assinatura do devedor, que confirma a promessa de pagar o valor estipulado.

Nota Promissória

Uma nota promissória tem valor nominal (de face) de \(N\) reais com prazo de vencimento de 2 anos. A taxa de juro é de 100% a.a.

O emissor deseja substituir esta nota promissória por outra com prazo de vencimento de 1 ano com valor nominal \(X\).

O valor nominal de um compromisso é o valor do compromisso na data de seu vencimento.

Fluxos de caixa da Nota Promissória

Problema

Qual é o valor nominal desta nova nota promissória em RCJS e RCJC?

Solução:

1. Data focal menor ou igual a 1 ano

\[ 0 \leq t \leq 1 \]

RCJS:

\[ \begin{align} \dfrac{X}{1 + 1(1 - t)} &= \dfrac{N}{1 + 1(2 - t)} \\ X &= \dfrac{2 - t}{3 - t} N \end{align} \]

• Mínimo em \(t = 1\): \(X = \dfrac{1}{2} N\)
  
• Máximo em \(t = 0\): \(X = \dfrac{2}{3} N = 0.\overline{6} N\)

RCJC:

\[ \begin{align} \dfrac{X}{(1 + 1)^{1 - t}} &= \dfrac{N}{(1 + 1)^{2 - t}} \\ X &= \dfrac{1}{2} N \end{align} \]

2. Data focal entre 1 e 2 anos

\[ 1 \leq t \leq 2 \]

RCJS:

\[ \begin{align} X (1 + 1(1 - t)) &= \dfrac{N}{1 + 1(2 - t)} \\ X &= \dfrac{1}{t(3 - t)} N \end{align} \]

• Mínimo em \(t = \dfrac{3}{2}\): \(X = \dfrac{4}{9} N = 0.\overline{4} N\)
  
• Máximo em \(t=1\) e \(t=2\): \(X = \dfrac{1}{2} N\)

RCJC:

\[ \begin{align} X (1 + 1)^{1 - t} &= \dfrac{N}{(1 + 1)^{2 - t}} \\ X &= \dfrac{1}{2} N \end{align} \]

3. Data focal maior ou igual a 2 anos

\[ t \geq 2 \]

RCJS:

\[ \begin{align} X (1 + 1(1 - t)) &= N (1 + 1(2 - t)) \\ X &= \dfrac{t - 1}{t} N \end{align} \]

• Mínimo em \(t = 2\): \(X = \dfrac{1}{2} N\)
  
• Máximo em \(t \to \infty\): \(X = N\)

RCJC:

\[ \begin{align} X (1 + 1)^{1 - t} &= N (1 + 1)^{2 - t} \\ X &= \dfrac{1}{2} N \end{align} \]

Direito vs. Matemática Financeira no Brasil

Conforme Faro (2006, p. 434):

“Por força de um entendimento da questão que reputamos totalmente inadequada, a jurisprudência ora em vigor em nossos tribunais estabelece que, em certas situações, como na cobrança de débitos associados a cartões de crédito, não possa ocorrer o que, no jargã jurídico, se denomina anatocismo. Ou seja, na linguagem da matemática financeira, é vedado que sejam cobrados juros sobre juros. Dessa forma, em tais operações não se poderia aplicar o regime de juros compostos; sendo, pois, obrigatória a adoção do regime de juros simples.

Ora, como já foi visto, em especial na seção 7.1 do Capítulo 3, e como veremos mais adiante na seção seguinte deste apêndice, a visão de nossos tribunais nos afigura como equivocada, ensejando conclusões estapafúrdias. Nesta seção, buscando evidencias, de maneira elementar, a confusão que parece reinar no meio jurídico, consideremos a seguinte variante do exercício 5 do Capítulo 1.”

• Declaração em defesa de uma ciência matemática e financeira Os principais professores e autores de livros de matemática financeira publicaram no Sindicato dos Economistas de São Paulo um abaixo-assinado em 2004

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 1: Empréstimo no RCJS

Quanto, de juro simples, é gerado num empréstimo de R$ 25.000,00 por 4 anos, se a taxa de juro é 10% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 25000 \\ i &= 0.1 = 10\% \\ n &= 4 \\ \\ J_S &= P \times i \times n \\ J_S &= 25000 \times 0.1 \times 4 \\ J_S &= 10000 \end{align} \]

f REG f 2 25000 CHS PV 10 i 4 ENTER 360 x n f INT {10,000.00}

Resposta:

\(J_S = 10000\)

Exercício 2: Determinação de pagamento mensal no RCJS

Qual é a parcela do pagamento mensal de um empréstimo de R$ 18.000,00 que deverá ser paga durante 5 anos a uma instituição que cobra juro simples de 8% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 18000 \\ i &= 0.08 = 8\% \\ n &= 5 \\ \\ F_S &= P (1 + i n) \\ F_S &= 18000 \times (1 + 0.08 \times 5) \\ F_S &= 25200 \end{align} \]

f REG f 2 18000 CHS PV 8 i 5 ENTER 360 x n f INT + {25,200.00}

\[ \begin{align} PM_S &= \dfrac{F_S}{12 \times n} \\ PM_S &= \dfrac{25200}{12 \times 5} \\ PM_S &= \dfrac{25200}{60} \\ PM_S &= 420 \end{align} \]

5 ENTER 12 x ÷ {420.00}

Resposta:

\(PM_S = 420\) por mês.

Exercício 3: Intercepto e inclinação da função do valor futuro no RCJS contínuo

Identificar o intercepto e a inclinação na função do valor futuro quando ela depender apenas do principal em RCJS contínuo. Fazer o mesmo para quando ela depender apenas da taxa de juro. Plotar os gráficos das duas retas.

Solução:

\[ \begin{align} F_S(n) &= (P i) n + P \\ a &= P i \\ b &= P \\ x &= n \end{align} \]

Por exemplo, no caso do problema do Manuel (\(i = 0.08\) a.a.):

\[ \begin{align} F_S(n) &= (100 \times 0.08) n + 100 \\ F_S(n) &= 8 n + 100 \\ a &= P i = 8 \\ b &= P = 100 \end{align} \]

Resposta:

A inclinação é \(a = 8\) e o intercepto é \(b = 100\).

Exercício 4: Regime de Capitalização

O capital inicial de R$ 100,00 depositado por 3 anos a 8% a.a. tem montante de R$ 125,97. Qual é o regime de capitalização adotado?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 100 \\ i &= 0.08 = 8\% \\ n &= 3 \\ \\ F_S &= P (1 + i n) \\ &= 100 \times (1 + 0.08 \times 3) \\ &= 100 \times 1.24 \\ F_S &= 124 \end{align} \]

f REG f 2 100 CHS PV 8 i 3 ENTER 360 x n f INT + {124.00}

\[ \begin{align} F_C &= P (1 + i)^n \\ &= 100 \times (1 + 0.08)^3 \\ &= 100 \times 1.259712 \\ F_C &\approx 125.97 \end{align} \]

f REG f 2 8 i 3 n 100 CHS PV FV {125.97}

FinCal::fv.simple(r=0.08, n=3, pv=-100)

[1] 125.9712

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.08, nper=3, pmt=0, pv=-100),2))

125.97

Resposta:

Regime de capitalização de juro composto (RCJC).

Observação:

\[ \begin{array}{c} (1.\underbrace{1}_{1})^3 = 1.\underbrace{331}_{3 = 1 \times 3} \\ \\ (1.\underbrace{08}_{2})^3 = 1.\underbrace{259712}_{6 = 2 \times 3} \\ \\ (1.\underbrace{0725}_{4})^2 = 1.\underbrace{15025625}_{8 = 4 \times 2} \end{array} \]

Exercício 5: Cálculo do Montante no RCJC

Mostre que o capital inicial de R$ 100,00 tornar-se-á R$ 115,76 em 3 anos, com uma taxa de juro de 5% a.a.

Solução:

\[ \begin{align} P &= 100 \\ i &= 0.05 = 5\% \\ n &= 3 \\ \\ F_C &= P (1 + i)^n \\ F_C &= 100 \times (1 + 0.05)^3 \\ F_C &= 100 \times 1.157625 \\ F_C &\approx 115.76 \end{align} \]

f REG f 2 5 i 3 n 100 CHS PV FV {115.76}

FinCal::fv.simple(r=0.05, n=3, pv=-100)

[1] 115.7625

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.05, nper=3, pmt=0, pv=-100),2))

115.76

Resposta:

\(F_C = 115.76\)

Exercício 6: Cálculo do Montante no RCJC

Em 10 anos, qual será o valor de R$ 100,00 se o banco pagar a taxa de 8% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 100 \\ i &= 0.08 = 8\% \\ n &= 10 \\ \\ F_C &= P (1 + i)^n \\ F_C &= 100 \times (1 + 0.08)^{10} \\ F_C &= 100 \times 2.15892499727278669824 \\ F_C &\approx 215.89 \end{align} \]

f REG f 2 8 i 10 n 100 CHS PV FV {215.89}

FinCal::fv.simple(r=0.08, n=10, pv=-100)

[1] 215.8925

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.05, nper=10, pmt=0, pv=-100),2))

162.89

Resposta:

\(F_C = 215.89\)

Exercício 7: Cálculo do Montante no RCJC

Em 10 anos, quanto será o valor de R$ 1.000,00 se o banco pagar uma taxa de 8% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 1000 \\ i &= 0.08 = 8\% \\ n &= 10 \\ \\ F_C &= P (1 + i)^n \\ &= 1000 \times (1 + 0.08)^{10} \\ &= 1000 \times 2.15892499727278669824 \\ F_C &\approx 2158.93 \end{align} \]

f REG f 2 8 i 10 n 1000 CHS PV FV {2158.93}

FinCal::fv.simple(r=0.08, n=10, pv=-1000)

[1] 2158.925

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.08, nper=10, pmt=0, pv=-1000),2))

2158.92

Resposta:

\(F_C = 2158.93\)

Exercício 8: Cálculo do Montante no RCJC

Em 10 anos, quanto será o valor de R$ 1.000,00 se o banco pagar uma taxa de 10% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 1000 \\ i &= 0.1 = 10\% \\ n &= 10 \\ \\ F_C &= P (1 + i)^n \\ &= 1000 \times (1 + 0.1)^{10} \\ &= 1000 \times 2.5937424601 \\ F_C &\approx 2593.74 \end{align} \]

f REG f 2 10 i 10 n 1000 CHS PV FV {2593.74}

FinCal::fv.simple(r=0.1, n=10, pv=-1000)

[1] 2593.742

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.1, nper=10, pmt=0, pv=-1000),2))

2593.74

Resposta:

\(F_C = 2593.74\)

Observação:

Para resolver os três exercícios anteriores na HP12C, siga os passos abaixo, sendo que {visor} representa o valor exibido:

f REG f 2 100 CHS PV 8 i 10 n FV {215.89}

1000 CHS PV FV {2158.92}

10 i CHS FV {2593.74}

Exercício 9: Vendas de uma empresa crescendo geometricamente

Imagine que o valor futuro de vendas de uma empresa é uma função de capitalização composta que cresce com um fator de 5% a.a. nos próximos 4 anos. Imagine também que as vendas do último ano foram R$ 400.000,00. Expressar matematicamente a função de vendas. Plotar o gráfico da função de vendas juntamente com o gráfico que representa a situação na qual as vendas permanecem constantes ao longo do tempo.

Solução:

As funções são:

\[ V(n) = 400000 \times 1.05^n \quad \text{e} \quad V(n) = 400000. \]

Exercício 10: Novo modelo de crescimento de vendas

Imagine que a empresa anterior queira lançar uma campanha publicitária e que ela se prolongará pelos próximos quatro anos. O consultor da campanha prevê que as vendas totais da empresa aumentarão 4% a cada ano pelo aumento das vendas.

1. O que sua intuição diria quanto à nova taxa de crescimento para o próximo ano?
   
2. Expressar matematicamente a nova fórmula das vendas.
   
3. Adicionar ao gráfico anterior o gráfico da nova função de vendas.

Solução:

Plotar as duas funções anteriores e a seguinte no mesmo gráfico:

\[ \begin{align} V^{\prime}(n) &= V_0 \left[(1 + 0.05) (1 + 0.04)\right]^n \\ &= V_0 \times 1.092^n \\ &\approx V_0 \times 1.09^n \\ V^{\prime}(n) &\approx V_0 (1 + 0.05 + 0.04) \end{align} \]

A dedução do fator \(1.092\) segue:

\[ \begin{align} 1.092 &= (1 + 0.05) \times (1 + 0.04) \\ &= 1 + 0.05 + 0.04 + 0.05 \times 0.04 \\ &= 1 + 0.05 + 0.04 + 0.002 \\ 1.092 &\approx (1 + 0.05 + 0.04) \\ 1.092 &\approx 1.090 \\ \\ 0.092 &\approx 0.090 \end{align} \]

O gráfico da função \(V^{\prime}(n) = V_0 \times 1.092^n\) é:

Exercício 11: Efeito da Inflação

A taxa anual de inflação é uma estatística que mede o aumento de preço de bens e serviços, conforme determinado pelo Índice de Preços ao Consumidor (IPC), também conhecido como Índice de Custo de Vida. O IPC é determinado por preços de bens e serviços consumidos por uma família de quatro pessoas. A inflação é um erosionador do valor do dinheiro no tempo, i.e., é o “terror dos preços”.

Imagine que um determinado produto em 1995 custava R$ 10,00. A taxa de inflação nos últimos sete anos foi aproximadamente igual a 8% ao ano. Qual será o preço desse produto em 2002?

Solução:

\[ \begin{align} P_{2002} &= P_{1995} (1 + i)^7 \\ &= 10 \times (1 + 0.08)^7 \\ P_{2002} &\approx 17.38 \end{align} \]

f REG f 2 8 i 7 n 10 CHS PV FV {17.14}

FinCal::fv.simple(r=0.08, n=7, pv=-10)

[1] 17.13824

print(round(numpy_financial.fv(rate=0.08, nper=7, pmt=0, pv=-10),2))

17.14

Resposta:

O preço desse produto em 2002 será R$ 17.14.

Exercício 12: Planejamento da Aposentadoria

Imagine que você tem 25 anos e pretende se aposentar aos 60 anos. A taxa para esse tipo de investimento (Plano de Aposentadoria Privada) é de 20% a.a. no RCJC.

Numa primeira simulação, imagine que você tenha que fazer um depósito inicial de R$ 5.000,00 e queira fazer três depósitos cada um no valor de R$ 50.000,00 aos 30 anos, 40 anos e o último aos 50 anos.

Qual o valor futuro de cada um desses depósitos? Qual o valor futuro total quando você tiver 60 anos?

Considere que a capitalização ocorre ao final do período.

Solução:

Resolver das duas maneiras possíveis e mostrar que o resultado é o mesmo: R$ 17.048.623,65.

Método 1:

Neste método, calculamos o valor futuro de cada depósito considerando que a capitalização ocorre no RCJC com taxa de 20% a.a.

Cada depósito é aplicado em momentos diferentes ao longo do tempo, então o fator de capitalização para cada um depende de quanto tempo o valor ficará investido até os 60 anos.

• Depósito inicial aos 25 anos:
  • Esse valor fica aplicado por 35 anos até a aposentadoria.
    
  • Ele cresce segundo a fórmula \(D_{25} \times 1.2^{35}\).
• Depósito aos 30 anos:
  • Esse valor ficará investido por 30 anos.
    
  • O montante final será \(D_{30} \times 1.2^{30}\).
• Depósito aos 40 anos:
  • Esse valor ficará investido por 20 anos.
    
  • Seu valor futuro será \(D_{40} \times 1.2^{20}\).
• Depósito aos 50 anos:
  • Esse valor ficará investido por 10 anos.
    
  • O montante final será \(D_{50} \times 1.2^{10}\).

O valor futuro total \(A_{60}\) é obtido somando todos os montantes individuais:

\[ A_{60} = D_{25} \times 1.2^{35} + D_{30} \times 1.2^{30} + D_{40} \times 1.2^{20} + D_{50} \times 1.2^{10} \]

Reorganizando a equação, podemos fatorar \(5.000 \times 1.2^{10}\), pois todos os termos contêm essa base em comum:

\[ \begin{align} A_{60} &= 5.000 \times 1.2^{10} \times \left( 1.2^{25} + 10 \times \left(1.2^{20} + 1.2^{10} + 1\right) \right) \\ A_{60} &\approx 17048623.65 \end{align} \]

Esse resultado mostra que, ao final de 60 anos, o investidor terá acumulado aproximadamente R$ 17.048.623,65.

Método 2:

No segundo método, seguimos uma abordagem recursiva para calcular o valor futuro dos depósitos.

Cada depósito é atualizado sucessivamente ao longo do tempo, considerando os anos restantes até a aposentadoria. Assim, agrupamos os depósitos de forma sequencial para facilitar os cálculos.

A expressão matemática é estruturada da seguinte forma:

\[ A_{60} \equiv \left( \left( \left( 5.000 \times 1.2^5 + 50.000 \right) \times 1.2^{10} + 50.000 \right) \times 1.2^{10} + 50.000 \right) \times 1.2^{10} \]

Dessa forma, obtemos o mesmo valor futuro acumulado:

\[ A_{60} \approx 17048623.65 \]

Exercício 13: Planejamento para a Universidade do Filho

Imagine que a anuidade da universidade na qual seu filho gostaria de estudar é atualmente R$ 20.000,00. O curso é de 4 anos. Seu filho deverá ingressar no curso universitário daqui a 10 anos. A anuidade aumenta segundo a taxa de 10% a.a. A taxa da caderneta de poupança é 20% a.a. Quanto você deveria depositar na caderneta de poupança hoje para “bancar” a universidade dos sonhos do seu filho?

Solução:

O pai precavido precisa depositar hoje o valor de R$ 29.551,15 na caderneta de poupança.

Método 1:

\[ \begin{align} F_{\text{anuidade}_1} &= 20000 \times (1.1)^{10} \\ F_{\text{anuidade}_1} &= 51874.85 \end{align} \]

\[ \begin{align} F_{\text{anuidade}_2} &= 20000 \times (1.1)^{11} \\ &= F_{\text{anuidade}_1} \times 1.1 \\ &= 51874.85 \times 1.1 \\ F_{\text{anuidade}_2} &= 57062.33 \end{align} \]

\[ \begin{align} F_{\text{anuidade}_3} &= 20000 \times (1.1)^{12} \\ &= F_{\text{anuidade}_2} \times 1.1 \\ &= 57062.33 \times 1.1 \\ F_{\text{anuidade}_3} &= 62768.57 \end{align} \]

\[ \begin{align} F_{\text{anuidade}_4} &= 20000 \times (1.1)^{13} \\ &= F_{\text{anuidade}_3} \times 1.1 \\ &= 62768.57 \times 1.1 \\ F_{\text{anuidade}_4} &= 69045.42 \end{align} \]

Agora, calculamos os valores presentes dessas anuidades com taxa de desconto de 20% a.a.:

\[ \begin{align} P_{\text{anuidade}_1} &= F_{\text{anuidade}_1} \times (1.2)^{-10} \\ &= 20000 \times (1.1)^{10} \times (1.2)^{-10} \\ &= 51874.85 \times (1.2)^{-10} \\ P_{\text{anuidade}_1}&= 8378.08 \end{align} \]

\[ \begin{align} P_{\text{anuidade}_2} &= F_{\text{anuidade}_2} \times (1.2)^{-11} \\ P_{\text{anuidade}_2} &= 7679.90 \end{align} \]

\[ \begin{align} P_{\text{anuidade}_3} &= F_{\text{anuidade}_3} \times (1.2)^{-12} \\ P_{\text{anuidade}_3}&= 7039.91 \end{align} \]

\[ \begin{align} P_{\text{anuidade}_4} &= F_{\text{anuidade}_4} \times (1.2)^{-13} \\ P_{\text{anuidade}_4}&= 6453.25 \end{align} \]

A soma dos valores presentes das anuidades é calculada como:

\[ \begin{align} P_{\text{total}} &= P_{\text{anuidade}_1} + P_{\text{anuidade}_2} + P_{\text{anuidade}_3} + P_{\text{anuidade}_4} \\ &= 8378.08 + 7679.90 + 7039.91 + 6453.25 \\ &= 29551.15 \end{align} \]

Método 2:

\[ \begin{align} P_{\text{anuidades}} &= \sum_{j=1}^{4} P_{\text{anuidade}_j} \\ &= \sum_{j=1}^{4} F_{\text{anuidade}_j} \times 1.2^{-(10+(j-1))} \\ &= \sum_{j=1}^{4} 20000 \times 1.1^{(10+(j-1))} \times 1.2^{-(10+(j-1))} \\ &= 20000 \times \sum_{j=1}^{4} \dfrac{1.1^{(10+(j-1))}}{1.2^{(10+(j-1))}} \\ &= 20000 \times \sum_{j=1}^{4} \left( \dfrac{1.1}{1.2} \right)^{(10+(j-1))} \\ &= 20000 \times \sum_{j=1}^{4} 0.92^{(9+j)} \\ P_{\text{anuidades}} &= 29551.15 \end{align} \]

Exercício 14: Regra 7-10

Mostre que o dinheiro investido a 7% a.a. dobra em aproximadamente 10 anos no RCJC. O mesmo ocorre quando o dinheiro é investido a 10% a.a. em 7 anos no RCJC.

Solução:

Se \(i = 7\%\) a.a. e \(n = 10\), então o montante quase dobra:

\[ \begin{align} F_C &= P \times 1.07^{10} \\ &\approx P \times 1.9671 \\ F_C &\approx 2 P \end{align} \]

Se \(i = 10\%\) a.a. e \(n = 7\), então o montante quase dobra:

\[ \begin{align} F_C &= P \times 1.1^7 \\ &\approx P \times 1.9487 \\ F_C &\approx 2 P \end{align} \]

rule of seventy

Exercício 15: Taxa de juro real

Mostre que a taxa de juro real é dada por:

\[ i_{\text{real}} = \dfrac{i_{\text{nominal}} - i_{\text{inflação}}}{1 + i_{\text{inflação}}} \]

Exemplo:

Qual é a taxa de juro real se \(i_{\text{nominal}}\) for igual a 20% a.a. e \(i_{\text{inflação}}\) for igual a 7% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= F \left(1 + i_{\text{nominal}}\right)^{-n} = F \left(\left(1 + i_{\text{inflação}}\right) (1 + i_{\text{real}})\right)^{-n} \\ \\ 1 + i_{\text{real}} &= \dfrac{1 + i_{\text{nominal}}}{1 + i_{\text{inflação}}} \\ \\ i_{\text{real}} &= \dfrac{1 + i_{\text{nominal}}}{1 + i_{\text{inflação}}} - 1 \\ \\ &= \dfrac{i_{\text{nominal}} - i_{\text{inflação}}}{1 + i_{\text{inflação}}} \\ \\ &= \dfrac{0.20 - 0.07}{1 + 0.07} \\ \\ &= \dfrac{0.13}{1.07} \\ \\ i_{\text{real}}&\approx 0.1215 \end{align} \]

Resposta:

A taxa de juro real é 12.15% a.a. Note que \(20\% - 7\% = 13\%\).

real rate of return

MatFin no BRasil: SELIC e IPCA

Taxa SELIC é taxa nominal.

Em 2025, a taxa de juro real no Brasil pode ser estimada utilizando as projeções da Taxa SELIC e do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). De acordo com o Boletim Focus, a expectativa é que a Taxa SELIC encerre o ano em 15%, enquanto a projeção para o IPCA é de 5.60%.

A taxa de juro real pode ser calculada pela fórmula:

\[ i_{\text{real}} = \dfrac{1 + i_{\text{SELIC}}}{1 + i_{\text{IPCA}}} - 1 \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{align} i_{\text{real}} &= \dfrac{1 + 0.15}{1 + 0.056} - 1 \\ &= \dfrac{1.15}{1.056} - 1 \\ i_{\text{real}} &\approx 8.9\% \end{align} \]

Portanto, com base nessas projeções, a taxa de juro real esperada para 2025 é de aproximadamente 8.9% a.a.

• “Em Fevereiro de 2025, Selic completa 3 anos acima de 10% sem perspectivas de ficar abaixo”: Poder360

• “Em 29 de janeiro de 2025, Brasil ocupa a 4ª posição, com uma taxa SELIC de 13.25% ao ano”: Poder360

• “Inflação do Brasil fecha 2024 a 4,83%, acima da meta”: Poder360

Inflação nos principais países (2025)

	País	Inflação	Referência
1	Argentina	84.50	2025-01
2	Turquia	42.12	2025-01
3	Rússia	9.90	2025-01
4	Brasil	4.56	2025-01
5	Índia	4.31	2025-01
8	Japão	3.60	2024-12
6	México	3.59	2025-01
7	Holanda	3.30	2025-01
12	Estados Unidos	3.00	2025-01
13	Reino Unido	3.00	2025-01
14	África Do Sul	3.00	2024-12
11	Espanha	2.90	2025-01
9	Zona Euro	2.50	2025-01
24	Austrália	2.40	2024-12
10	Alemanha	2.30	2025-01
21	Coréia Do Sul	2.20	2025-01
22	Arábia Saudita	2.00	2025-01
18	Canadá	1.90	2025-01
15	França	1.70	2025-01
17	Cingapura	1.60	2024-12
16	Itália	1.50	2025-01
20	Indonésia	0.76	2025-01
19	China	0.50	2025-01
23	Suíça	0.40	2025-01

Fonte: TAXA DE INFLAÇÃO - LISTA DE PAÍSES: Trading Economics

• “O Brasil manteve o 2º lugar no ranking global de juros reais (quando é descontada a inflação). A taxa do Brasil anualizada projetada passa a ser de 9,18% depois da alta de 1 ponto percentual da Selic feita pelo BC (Banco Central) nesta 4ª feira (29.jan.2025). O país só fica atrás da Argentina, com taxa de 9,36%”: Poder360

A Taxa Selic, o IPCA e a taxa de juro real são indicadores econômicos fundamentais para a economia brasileira, influenciando decisões de consumo, investimento e políticas monetárias.

A Taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação e de Custódia) é a taxa básica de juros da economia brasileira. Ela é definida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM) do Banco Central do Brasil e serve como referência para as demais taxas de juros praticadas no mercado, como empréstimos, financiamentos e aplicações financeiras. A Selic é utilizada como principal instrumento de política monetária para controle da inflação. Quando a inflação está alta, o Banco Central tende a elevar a SELIC para desestimular o consumo e reduzir a pressão sobre os preços. Quando a inflação está baixa, a Selic pode ser reduzida para estimular a economia.

O IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo) é o indicador oficial da inflação no Brasil, medindo a variação dos preços de uma cesta de bens e serviços consumidos pelas famílias com renda entre 1 e 40 salários mínimos. Ele é calculado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e serve como parâmetro para a meta de inflação definida pelo Conselho Monetário Nacional (CMN). O Banco Central utiliza o controle da Taxa Selic para manter o IPCA dentro da meta estabelecida.

A taxa de juro real representa o retorno real de um investimento ou o custo efetivo de um empréstimo, considerando o efeito da inflação. Ela é calculada a partir da taxa nominal de juros descontada pela inflação, conforme a seguinte fórmula:

\[ i_{\text{real}} = \dfrac{i_{\text{SELIC}} - i_{\text{IPCA}}}{1 + i_{\text{IPCA}}} \]

Se a taxa nominal for superior à inflação, a taxa de juro real será positiva, indicando um ganho real no investimento. Caso contrário, a taxa de juro real será negativa, o que significa que o poder de compra do dinheiro investido está diminuindo ao longo do tempo.

Quanto menor a taxa de juro real, maior a propensão do país em empreender. Em avaliações internacionais de ecossistemas empreendedores, um dos levantamentos amplamente citados é o Índice Global de Empreendedorismo (Global Entrepreneurship Index – GEI), elaborado pelo The Global Entrepreneurship and Development Institute (GEDI). Na edição mais recente divulgada antes da pandemia (2019), o Top 5 foi:

1. Estados Unidos
2. Suíça
3. Canadá
4. Reino Unido
5. Austrália

O Brasil figurou no 113º lugar naquele ranking num total de 137 países.

Exercício 16: Taxa de retorno é taxa de juro

Um ativo é um instrumento que pode ser comprado por um preço \(p_c\) hoje e vendido por um preço \(p_v\) no futuro. O retorno total ou retorno \(R\) a.p. é definido como:

\[ R = \dfrac{p_v}{p_c} \]

A taxa de retorno \(r\) a.p. é definida como:

\[ r = \dfrac{p_v - p_c}{p_c} \]

Mostrar que a taxa de retorno funciona como uma taxa de juro.

Solução:

\[ p_v = p_c R = p_c (1 + r) \]

Exercício 17: RCJS vs. RCJC

Uma pessoa \(P_2\) pede emprestado a uma pessoa \(P_1\) a quantia de R$ 10.000,00 por 5 meses à taxa de juro igual a 70% a.a. no regime de juro composto.

Imediatamente, \(P_2\) empresta R$ 10.000,00 por 5 meses a outro amigo \(P_3\), porém no regime de juro simples.

Você deve estar pensando que \(P_2\) não entende Matemática Financeira! Será?
(i) Fazer o gráfico dos valores futuros \(F\) em função de \(n\).

2. Determinar o lucro de \(P_2\).

Solução:

\(P_1\) recebe:

\[ \begin{align} F_C &= 10000 \times 1.7^{5/12} \\ F_C &\approx 12474.42 \end{align} \]

de \(P_2\).

\(P_2\) recebe:

\[ \begin{align} F_S &= 10000 \times \left(1 + 0.7 \times \dfrac{5}{12}\right) \\ F_S &\approx 12916.67 \end{align} \]

de \(P_3\).

Portanto, a diferença entre os ganhos é:

\[ \begin{align} F_S - F_C &= 12916.67 - 12474.42 \\ F_S - F_C&= 442.25 \end{align} \]

Ou seja, \(P_2\) lucrou R$ 442.25!

f REG f 2 10000 CHS PV 70 i 5 ENTER 12 ÷ n FV {12,916.67}

STO EEX f REG f 2 10000 CHS PV 70 i 5 ENTER 12 ÷ n FV {12,474.42} STO EEX

Outra forma de interpretar o resultado é entender o que ocorreu apenas do ponto de vista de \(P_2\). Após 5 meses, \(P_2\) terá que desembolsar o valor de R$ 12474.42 para \(P_1\) e deverá receber R$ 12916.67 de \(P_3\), lucrando R$ 442.25.

Observação:

C ou não C? Eis a questão na HP12C!

Quando a quantidade de períodos é fracionária, e.g.: \(17/12 = 1.416\dots\), o regime de capitalização da parte fracionária, i.e., na parte \(0.416\dots\), pode ser selecionado na HP12C.

Se o usuário fizer aparecer no visor a letra C pressionando [STO] [EXX], a HP12C usa o regime de capitalização composta na parte fracionária do período.

Se o usuário fizer desaparecer do visor a letra C pressionando [STO] [EXX], a HP12C usa o regime de capitalização simples na parte fracionária do período.

3. Qual é o prazo ótimo dentro de um ano, isto é, o prazo que maximiza o lucro de \(P_2\)?

Obs.: \(f(x) = a^x \Rightarrow \dfrac{df(x)}{dx} = a^x \ln(a)\)

Solução:

\[ \begin{align} D(n) &= F_{\text{S}}(n) - F_{\text{C}}(n) \\ \\ \dfrac{dD(n)}{dn} &= \dfrac{d}{dn} \left[P(1 + i)n\right] - \dfrac{d}{dn} \left[P (1 + i)^n\right] \\ \\ \dfrac{dD(n)}{dn} &= P \left[ \dfrac{d}{dn} (1 + in) - \dfrac{d}{dn} \left[(1 + i)^n\right] \right] \\ \\ \dfrac{dD(n)}{dn} &= P \left[ i - (1 + i)^n \ln(1 + i) \right] \end{align} \]

A condição para o máximo global de \(D(n)\) é:

\[ \begin{align} \dfrac{dD(n^{\ast})}{dn} &= 0 \\ \\ i - (1 + i)^{n^{\ast}} \ln(1 + i) &= 0 \end{align} \]

Isolando \(n^{\ast}\):

\[ \begin{align} n^{\ast} &= \dfrac{\ln \left(\dfrac{i}{\ln(1 + i)}\right)}{\ln(1 + i)} \approx 0.5 \text{ ano} \end{align} \]

i	n ótimo
0	0.500
10	0.500
20	0.510
30	0.510
40	0.510
50	0.510
60	0.520
70	0.523
80	0.520
90	0.530
100	0.530

O \(n\) ótimo (\(n^{\ast}\)) vale aproximadamente 0.523 ano ou 6.28 meses para \(i = 70\%\) a.a. Sendo que a diferença máxima entre os ganhos vale aproximadamente R$ 465.50. Portanto, \(P_2\) deveria tentar combinar com \(P_1\) e \(P_3\) esse prazo para maximizar seu lucro.

Portanto, \(P_2\) entendeu perfeitamente a teoria de Matemática Financeira!

Exercício 18: Mercado imobiliário

Uma pessoa possui um imóvel cujo preço de mercado \(t\) anos a partir de agora será \(v(t) = 20.000 e^{\sqrt{t}}\) reais. Se a taxa de juro do mercado monetário permanecer constante a 7% a.a. composta continuamente, isto é, ela pode vender o imóvel e ganhar no mínimo a qualquer momento essa taxa, quando será mais vantajoso vender o imóvel?

Obs.:

\[ e \approx 2.7182 \]

\[ f(x) = e^{g(x)} \Rightarrow \dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{dg(x)}{dx} e^{g(x)} \]

Solução:

A taxa de juro instantânea calculada a partir do preço de mercado é igual a:

\[ \begin{align} \dfrac{\dfrac{dv(t)}{dt}}{v(t)} &= \dfrac{\dfrac{10000 e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}}{20000 e^{\sqrt{t}}} \\ \dfrac{\dfrac{dv(t)}{dt}}{v(t)}&= \dfrac{1}{2\sqrt{t}} \end{align} \]

Sabemos que a taxa de juro de mercado é 7% a.a., então:

\[ \begin{align} \dfrac{\dfrac{dv(t)}{dt}}{v(t)} &= 0.07 \end{align} \]

Igualando as expressões:

\[ \begin{align} \dfrac{1}{2\sqrt{t}} &= 0.07 \end{align} \]

Isolando \(t\):

\[ \begin{align} t^{\ast} &= \left(\frac{1}{2 \times 0.07} \right)^2 \\ t^{\ast}&\approx 51 \end{align} \]

O imóvel deve ser vendido 51 anos a partir de agora e o valor resultante da venda deve ser investido a 7% a.a. no mercado monetário composto continuamente.

Exercício 19: Regra do 69

O número de anos \(n\) necessários para que um investimento dobre de valor a uma taxa de juro \(i\) deve satisfazer a equação \(P(1 + i)^n = 2P\). Usando \(\ln 2 = 0.69\) e a aproximação \(\ln(1 + i) \approx i\) válida para valores pequenos de \(i\), i.e., menores que 0.1, mostre que \(n \approx \dfrac{69}{i \cdot 100}\), sendo que \(i\) é a taxa de juro. Mostre que a Regra do 69 produz a Regra 7-10.

Solução:

\[ \begin{align} P(1 + i)^n &= 2P \\ (1 + i)^n &= 2 \\ n \ln(1 + i) &= \ln(2) \\ n &= \dfrac{\ln(2)}{\ln(1 + i)} \\ n &\approx \dfrac{0.69}{i} \\ n &\approx \dfrac{69}{i \cdot 100} \end{align} \]

A equação

\[n \times i \approx 69\]

estabelece uma regra de duplicação do capital.

A Regra 7-10 é obtida a partir da regra do 69:

\[ \begin{align} n &\approx \dfrac{69}{i \cdot 100} \approx \dfrac{70}{i \cdot 100} \end{align} \]

Se \(i = 10\%\), então \(n = 70/10 = 7\).

\[ i \approx \dfrac{70}{n \cdot 100} \]

Se \(n = 10\), então \(i \approx 70/1000 = 7\%\).

A equação \(n \times i \approx 69\) estabelece uma regra de duplicação do capital.

rule of seventy

Exercício 20: Pequenas taxas de juro

Mostre que para valores pequenos de taxas de juro, i.e., menores que \(i\le 0.5\%=0.005\) e o número de períodos não é muito grande, i.e., \(n<60\), a seguinte aproximação é válida:

\[ i \approx \sum_{j=1}^{n} i_j \]

Se as taxas de juros são iguais, mostre que a aproximação é:

\[ i \approx n \cdot i^{\prime} \]

Solução:

Observe que a capitalização composta se comporta aproximadamente igual à capitalização simples quando a taxa de juro é pequena, i.e., menores que \(i\le 0.5\%=0.005\) e o número de períodos não é muito grande. Esse resultado se aplica à taxa de juro mensal da caderneta de poupança e à taxa de retorno diária de uma ação, por exemplo.

\[ \begin{align} 1 + i &= \prod_{j=1}^{n} (1 + i_j) \\ 1 + i&\approx 1 + \sum_{j=1}^{n} i_j\\ &i \approx \sum_{j=1}^{n} i_j \end{align} \]

Se as taxas de juro são iguais, então a aproximação linear é:

\[ \begin{align} 1 + i &= (1 + i^{\prime})^n \\ 1 + i&\approx 1 + n \, i^{\prime}\\ i &\approx n \, i^{\prime} \end{align} \]

i <- 0.005
n <- 12
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 0.0617

print(round(n*i, 4))

[1] 0.06

n <- 60
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 0.3489

print(round(n*i, 4))

[1] 0.3

i <- 0.01
n <- 12
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 0.1268

print(round(n*i, 4))

[1] 0.12

n <- 60
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 0.8167

print(round(n*i, 4))

[1] 0.6

i <- 0.05
n <- 12
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 0.7959

print(round(soma <- n*i, 4))

[1] 0.6

n <- 60
print(round(prod(rep(1+i,n)) - 1, 4))

[1] 17.6792

print(round(soma <- n*i, 4))

[1] 3

Exercício 22: Fórmulas no Regime de Capitalização Simples

Deduzas as seguintes fórmulas de cálculo do montante \(F_S\), do principal \(P\), da taxa \(i\) e da quantidade de períodos \(n\) no regime de capitalização simples.

Variável	Fórmula
Montante	\(F_S = P (1 + i n)\)
Principal	\(P = \dfrac{F_S}{1 + i n}\)
Taxa	\(i = \dfrac{F_S - P}{n P}\)
Período	\(n = \dfrac{F_S - P}{i P}\)

Solução:

Montante:

A fórmula do montante \(F_S\) no regime de capitalização simples parte da definição:

\[ \begin{align} F_S &= P + J \\ &= P + P i n \\ F_S &= P (1 + i n) \end{align} \]

Principal:

Partindo da fórmula do montante e isolando \(P\):

\[ \begin{align} F_S &= P (1 + i n) \\ P &= \dfrac{F_S}{1 + i n} \end{align} \]

Taxa de Juro:

Partindo da definição dos juro simples e isolando \(i\):

\[ \begin{align} J &= F_S - P \\ P i n &= F_S - P \\ i &= \dfrac{F_S - P}{n P} \end{align} \]

Período:

Isolando \(n\) na equação do montante:

\[ \begin{align} F_S &= P (1 + i n) \\ F_S - P &= P i n \\ n &= \dfrac{F_S - P}{i P} \end{align} \]

Exercício 22: Dedução das Fórmulas no Regime de Capitalização Composta

Deduzimos as seguintes fórmulas para o cálculo do montante \(F_C\), do principal \(P\), da taxa \(i\) e da quantidade de períodos \(n\) no regime de capitalização composto.

Fórmula	Expressão
Montante	\(F_C = P (1 + i)^n\)
Principal	\(P = \dfrac{F_S}{(1 + i)^n}\)
Taxa	\(i = \sqrt[n]{\dfrac{F_C}{P}} - 1\)
Período	\(n = \dfrac{\ln{(F_C / P)}}{\ln{(1 + i)}}\)

Solução:

Montante:

A fórmula do montante \(F_C\) no regime de capitalização composta parte da definição:

\[ \begin{align} F_C &= P (1 + i)^n \end{align} \]

Principal:

Partindo da fórmula do montante e isolando \(P\):

\[ \begin{align} F_C &= P (1 + i)^n \\ P &= \dfrac{F_C}{(1 + i)^n} \end{align} \]

Taxa de Juro:

Partindo da definição dos juros compostos e isolando \(i\):

\[ \begin{align} F_C &= P (1 + i)^n \\ \left( \dfrac{F_C}{P} \right)^{\frac{1}{n}} &= 1 + i \\ i &= \sqrt[n]{\dfrac{F_C}{P}} - 1 \end{align} \]

Período:

Isolando \(n\) na equação do montante:

\[ \begin{align} F_C &= P (1 + i)^n \\ \dfrac{F_C}{P} &= (1 + i)^n \\ n &= \dfrac{\ln{\left( \dfrac{F_C}{P} \right)}}{\ln{(1 + i)}} \end{align} \]

Exercício 23: RCJS: prazo comum

Em RCJS, determinar o prazo comum se os montantes são iguais.

Solução :

\[ \begin{align} F_1 &= F_2 \\ P_1 (1 + i_1 n) &= P_2 (1 + i_2 n) \\ n &= \dfrac{P_1 - P_2}{P_2 i_2 - P_1 i_1} \end{align} \]

Exercício 24: RCJC: prazo comum

Em RCJC, determinar o prazo comum se os montantes são iguais.

Solução:

\[ \begin{align} F_1 &= F_2 \\ P_1 (1 + i_1)^n &= P_2 (1 + i_2)^n \\ n &= \dfrac{\ln(P_2) - \ln(P_1)}{\ln(1 + i_1) - \ln(1 + i_2)} \end{align} \]

Exercício 25: Taxa de juro composto para simples- I

Determinar a taxa de juro simples equivalente à taxa de juro composta num prazo comum se os montantes são iguais e os principais são iguais.

Solução:

\[ \begin{align} F_1 &= F_2 \\ P_1 &= P_2 \\ n_1 &= n_2 \\ \\ P(1 + i_S n) &= P(1 + i_C)^n \\ i_S &= \dfrac{(1 + i_C)^n - 1}{n} \end{align} \]

Exercício 26: Taxa de juro composto para simples - II

Determinar a taxa de juro simples equivalente à taxa de juro composta num prazo comum se os montantes são iguais.

Solução:

\[ \begin{align} F_1 &= F_2 \\ P_1 &= P_2 \\ \\ P(1 + i_S n_1)^{n_1} &= P(1 + i_C)^{n_2} \\ i_S &= \dfrac{(1 + i_C)^{n_2} - 1}{n_1} \end{align} \]

Exercício 27: Capital particionado

Dividir o capital em duas partes tais que, aplicados à juro composto à mesma taxa \(i\) durante os prazos \(n_1\) e \(n_2\), respectivamente, produzam o mesmo montante.

Solução:

\[ \begin{align} P &= P_1+P_2 \\ P_1(1+i)^{n_1} &= P_2(1+i)^{n_2} \end{align} \]

Portanto:

\[ \begin{align} P_1 &= P\dfrac{(1+i)^{n_2}}{(1+i)^{n_1}+(1+i)^{n_2}}\\ P_2 &= P\dfrac{(1+i)^{n_1}}{(1+i)^{n_1}+(1+i)^{n_2}} \end{align} \]

A Dinâmica da Capitalização

“Quer perder um amigo? Empreste dinheiro para ele.”

Introdução

O regime de capitalização a juro composto gera montante maior que o simples se a quantidade de períodos é maior que 1.

Será que a capitalização composta pode produzir um montante ainda maior?

A resposta é sim!

Capitalização contínua

Suponha um investimento de \(P\) u.m. em RCJC.

O capital acumulado após 1 período de capitalização é \(F = P (1 + i)\).
Suponha agora que a periodicidade a que são efetuadas as capitalizações é alterada passando estas a ser feitas em subperíodos de \(\dfrac{1}{k}\), \(k = 2,3, \dots\), do período, à taxa proporcional, \(i_k = \dfrac{i}{k}\).

Assim, haverá \(k\) capitalizações por período, após as quais o capital acumulado será

\[ \begin{align} [k] &= T^{-1} \\ \\ F &= P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^k \\ \\ [F] &= \$\times \left(1+\dfrac{T^{-1}}{T^{-1}}\right)^{T^{-1}} \\ $ &= \$\times 1^{T^{-1}} \end{align} \]

A equação de juro composto com capitalizações no período ainda não é dimensionalmente homogênea.

Imaginemos agora subperíodos cada vez menores, tendendo para \(0\) (zero), i.e., imaginemos que o número de capitalizações durante o período, \(k\), vai aumentando para \(\infty\).

Do ponto de vista da teoria financeira, diz-se que vigora a capitalização contínua ou capitalização instantânea.

Problema 1

Alternativa 1: Banco Seguro de São Paulo

• 8% de taxa de juro
  • Cuidamos bem de seu dinheiro e capitalizamos uma vez ao ano. Pagamos integralmente os 8% e damos um cafezinho.

Alternativa 2: Banco Melhor de São Paulo

• 8% de taxa de juro
  • Não aceite pagamento anual de juro. Nós somos melhores! Capitalizamos trimestralmente, pois é melhor para Você!

Se o capital inicial é aplicado anualmente, capitalizar trimestralmente significa:

1. Dividir a taxa de juro de 8% a.a. pelo número de capitalizações compostas dentro de um ano, i.e., 4. Portanto, a nova taxa é \(0.08 / 4 = 0.02\) ao trimestre.

2. O número de momentos de capitalização dentro de um período aumenta de 1 (geralmente a capitalização ocorre no final do período) para 4. Há então uma quantidade discreta de capitalizações, i.e., 4 capitalizações no período.

A nova fórmula do montante composto com \(k = 2,3, \dots\) momentos de capitalização composta por período é:

\[ F_C = P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{kn}>P(1+i)^n \]

Se \(P = 100\), \(i = 8\), \(n = 1\) e \(k = 4\), então:

\[ \begin{align} F_C(100,8,1,4) &= 100 \left(1 + \dfrac{0.08}{4} \right)^{4 \times 1} \\ &= 100 \times (1 + 0.02)^4 \\ F_C(100,8,1,4) &= 108.24>108 \end{align} \]

Note que R$ 100,00 investidos por um ano no Banco Melhor de São Paulo, dada uma taxa de 8% a.a. capitalizada trimestralmente, resulta um valor futuro de R$ 108,24.

Será que o cafezinho vale mais que R$ 0,24? Se o cafezinho valer mais do que R$ 0,24, investir no Banco Seguro de São Paulo; caso contrário, é preferível investir no Banco Melhor de São Paulo.

Análise da homogeneidade dimensional de juro composto com capitalizações no período

\[ \begin{align} F &= P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{kn} \\ \\ [F] &= \$\times \left(1+\dfrac{T^{-1}}{T^{-1}}\right)^{TT^{-1}} \\ &= \$\times \left(1\right)^{1} \\ [F] &= \$ \\ \$ &= \$ \end{align} \]

A equação de juro composto com capitalizações nos períodos é dimensionalmente homogênea.

Cindibilidade de prazo do RCJC discreto

\[ \begin{align} F_C &= P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{kn}\\ F_C &= P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{k(n_1+n_2)}\\ F_C &= \left(P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{kn_1}\right) \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{kn_2}\\ \end{align} \]

Problema 2

Percebe-se que aumentando a frequência de capitalização composta no período, o juro aumenta também. Será que existe um limite máximo de juro a ser ganho à taxa de 8% a.a.?

Se a capitalização for semestral (\(k = 2\)), o valor futuro será R$ 108,16.

\[ F_C(k) = 100 \left( 1 + \dfrac{0.08}{k} \right)^k \]

k	F
1	108.00
2	108.16
3	108.22
4	108.24
12	108.27
360	108.30
8640	108.33

Podemos notar que o valor futuro converge para R$ 108,33 quando o número de capitalizações dentro do período da taxa original aumenta a partir de 360 dias.

compound interest calculator

f REG f 4 8 ENTER 2 n ÷ i 100 PV FV CHS 100 – {8.1600}

f REG f 4 8 ENTER 3 n ÷ i 100 PV FV CHS 100 - {8.2152}

f REG f 4 8 ENTER 360 n ÷ i 100 PV FV CHS 100 - {8.3277}

f REG f 4 8 ENTER 8640 n ÷ i 100 PV FV CHS 100 - {8.3287}

f REG f 4 8 ENTER 2 n ÷ i CHS PMT FV {8.1600}

f REG f 4 8 ENTER 3 n ÷ i CHS PMT FV {8.2152}

f REG f 4 8 ENTER 360 n ÷ i CHS PMT FV {8.3277}

f REG f 4 8 ENTER 8640 n ÷ i CHS PMT FV {8.3287}

FinCal::ear(r=0.08, m=2)

[1] 0.0816

FinCal::ear(r=0.08, m=3)

[1] 0.0821523

FinCal::ear(r=0.08, m=360)

[1] 0.08327744

FinCal::ear(r=0.08, m=8640)

[1] 0.08328667

Note que agora temos duas taxas de juro: 8% a.a. e 8.33% a.a. Portanto, existe um teto de taxa de juro para a capitalização contínua.

Taxa de juro anual nominal

A taxa de juro anual nominal é a taxa de juro que é dividida pelo número de capitalizações dentro de um ano. Por exemplo, se a taxa de juro ao ano está definida como 8% a.a., capitalizada semestralmente, então 8% é chamada de taxa de juro anual nominal. A taxa de 4% a.s. é chamada de taxa de juro periódica ou proporcional.

Taxa de juro anual efetiva

A taxa de juro anual efetiva ou rendimento anual efetivo (RAE) é a taxa de juro resultante das capitalizações compostas usando a taxa de juro periódica dentro de um ano.

Por exemplo, se a taxa de juro anual nominal é 8% a.a., capitalizada semestralmente, então a taxa de juro periódica é 4% a.s. Portanto, a taxa de juro anual efetiva é 8,16% a.a.

Note que a taxa efetiva é sempre maior que a nominal, se \(k > 1\).

Taxas equivalentes

Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo intervalo de tempo.

Problema 3

Qual é a fórmula da taxa efetiva em função da taxa nominal?

\[ \begin{align} F_C(P; i_{\text{efetiva}}; n) &= F_C(P; i_{\text{nominal}}; n; k) \\ P (1 + i_{\text{efetiva}})^n &= P \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^{kn} \\ 1 + i_{\text{efetiva}} &= \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^k \\ i_{\text{efetiva}} &= \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^k - 1 \end{align} \]

Portanto, a taxa efetiva com capitalização composta discretizada trimestralmente relativa à taxa nominal de 8% a.a. é:

\[ \begin{align} i_{\text{efetiva}}(i_{\text{nominal}}; k) &= \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^k - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= \left( 1 + \dfrac{0.08}{4} \right)^4 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 1.02^4 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 1.08243216 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 0.08243216 \end{align} \]

f REG f 2 8 ENTER 4 n ÷ i 100 PV FV CHS 100 - {8.24}

FinCal::ear(r=0.08, m=4)

[1] 0.08243216

Resposta:

A taxa de juro efetiva é aproximadamente 8.24% a.a.

Problema 4

O cálculo do valor futuro em regime de capitalização de juros compostos com um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a. durante 1 ano e à taxa de 2% a.m. durante 12 meses resultaram:

1. \[ F = 1000 \times 1.24 = 1240.00 \]

2. \[ F = 1000 \times \left(1 + \dfrac{0.24}{12}\right)^{12} = 1000 \times 1.02^{12} = 1268.24 \]

Portanto, taxas de juro proporcionais não são equivalentes.

Note que \(\dfrac{0.24}{12} = 0.02\), ou seja, as taxas são proporcionais no RCJS, mas não no RCJC.

Problema 5

Determinar a taxa nominal em função da efetiva.

Solução:

A taxa nominal pode ser obtida a partir da taxa efetiva da seguinte forma:

\[ \begin{align} i_{\text{efetiva}} &= \left(1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k}\right)^k - 1 \\ \left(1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k}\right)^k &= i_{\text{efetiva}} + 1 \\ \sqrt[k]{\left(1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k}\right)^k} &= \sqrt[k]{i_{\text{efetiva}} + 1} \\ 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} &= \sqrt[k]{i_{\text{efetiva}} + 1} \\ \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} &= \sqrt[k]{i_{\text{efetiva}} + 1} - 1 \\ i_{\text{nominal}}(i_{\text{efetiva}},k) &= k \left(\sqrt[k]{1 + i_{\text{efetiva}}} - 1\right) \end{align} \]

Exemplo:

Qual é a taxa nominal resultante de uma taxa efetiva de 8.24% a.a. e capitalização trimestral?

f REG 4 n 100 ENTER PV 8.24 + CHS FV i RCL n x f 2 {8.00}

# Definir os parâmetros
taxa_efetiva_anual = 0.0824  # Taxa efetiva de 8.24% a.a.
k = 4  # Capitalização trimestral (4 trimestres por ano)

# Calcular a taxa nominal usando a relação: i_nominal = k * [(1 + i_efetivo)^(1/k) - 1]
taxa_nominal_anual = k * ((1 + taxa_efetiva_anual) ** (1/k) - 1)

# Exibir resultado formatado
cat("Taxa de juro nomimal a.a. =", round(taxa_nominal_anual,4),"\n")

Taxa de juro nomimal a.a. = 0.08 

Resposta:

A taxa de juro nominal é 8% a.a.

Problema 6

A taxa efetiva converge para qual valor quando a frequência de capitalização é infinita?

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{efetiva}} \left( i_{\text{nominal}}, k \to \infty \right) &= \lim_{k \to \infty} \left\{ \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^k -1 \right\} \\ &= \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^k -1 \\ i_{\text{efetiva}} \left( i_{\text{nominal}} , k \to \infty \right) &= e^{i_{\text{nominal}}} -1 \end{align} \]

limit ((1+i/k)^k - 1) as k->infinity

Como \(e \approx 2.72\), esse resultado pode ser aproximado para:

\[ \begin{align} i_{\infty} \approx 2.72^{i_{\text{nominal}}} -1 \end{align} \]

Portanto, a taxa de juro composta efetiva discreta está entre a taxa nominal e a efetiva composta continuamente.

Exemplo:

Qual é a taxa efetiva composta continuamente resultante de uma taxa nominal de 8% a.a.?

compound interest calculator

plot e^r - 1, r: 0..1, axes label "i_n" "i_e"

FinCal::ear.continuous(r=0.08)

[1] 0.08328707

CLx f 8 1 ENTER 8 ÷ g eˣ Δ% {8.32870680}

Resposta:

A taxa efetiva contínua é 8.33% a.a.

Problema 7

Determinar a taxa nominal em função da taxa efetiva composta continuamente.

Solução:

\[ \begin{align} i_{\infty} &= e^{i_{\text{nominal}}} - 1 \\ e^{i_{\text{nominal}}} &= i_{\infty} + 1 \\ \ln \left( e^{i_{\text{nominal}}} \right) &= \ln \left( i_{\text{efetiva}} + 1 \right) \\ i_{\text{nominal}} &= \ln \left( i_{\infty} + 1 \right) \end{align} \]

Portanto, a taxa nominal é:

\[ i_{\text{nominal}} = \ln \left( 1+i_{\infty} \right) \]

A fórmula do montante capitalizado continuamente é a seguinte:

\[ \begin{align} F_C \left( P, i_{\text{nominal}}, n, k \to \infty \right) &= \lim_{k \to \infty} \left\{ P \left[ \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^{k} \right]^n \right\} \\ &= P \left[ \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \dfrac{i_{\text{nominal}}}{k} \right)^{k} \right]^n \\ &= P \left[ e^{i_{\text{nominal}}} \right]^n \\ F_C \left( P, i_{\text{nominal}}, n, k \to \infty \right) &= P e^{n i_{\text{nominal}}} \\ F_{\infty} &= P e^{n i_{\text{nominal}}} \end{align} \]

limit P (1+i/k)^(n k) as k->infinity

Dessa forma, o maior montante possível capitalizado compostamente é o contínuo, isto é, é o valor futuro \(F_{\text{efetiva}}\), dado pela fórmula anterior.

A taxa de juro nominal pode ser obtida da seguinte maneira:

\[ i_{\text{nominal}} = \dfrac{\ln \left( \dfrac{F_{\infty}}{P} \right)}{n} \]

Para um período (\(n = 1\)), temos:

\[ i_{\text{nominal}} = \ln \left( \dfrac{F_{\infty}}{P} \right) \]

Análise da homogeneidade dimensional de juro composto com capitalização contínua

\[ \begin{align} F_{\infty} &= P e^{n i_{\text{nominal}}} \\ \\ [F_{\infty}]&=[P]\times [e]^{[n] [i_{\text{nominal}}]} \\ &=\$\times 1^{T T^{-1}} \\ &=\$\times 1^{1} \\ [F_{\infty}]&=\$ \\ \$&=\$ \end{align} \]

A equação de juro composto com capitalização contínua é dimensionalmente homogênea.

Integração dos regimes de juro simples e composto

Os regimes de capitalização de juro simples (RCJS) e composto (RCJC) são casos particulares do regime de capitalização contínua (RCC).

Seja \(F(t)\) o valor do capital no instante \(t\), sendo \(t\ge0\).

O juro, \(\Delta F(t)\), é o acrescimo que o valor do capital sofre entre os instantes \(t\) e \(t+\Delta t\).

Considerando-se um intervalo infinitesimal de tempo, \(dt\), podemos, de maneira aproximada, substituir o acréscimo finito \(\Delta F(t)\) pelo diferencial \(dF(t)\).

Consequentemente:

\[ \begin{align} \dfrac{dF(t)}{dt}&=\delta(t)F(t)\\ dF(t)&=\delta(t)F(t)dt \end{align} \]

O juro instantâneo \(dF(t)\) é diretamente proporcional ao capital, \(F(t)\), e também ao intervalo de tempo infinitesimal, \(dt\), em que o capital foi utilizado. O fator de proporcionalidade é a taxa de juro instantânea , \(\delta(t)\).

Reescrevendo a equação diferencial de primeira ordem como:

\[ \begin{align} \dfrac{dF(t)}{F(t)}&=\delta(t)dt\\ \end{align} \]

Integrando ambos os membros da equação entre os instantes \(0\) e \(n\), temos a fórmula geral da capitalização contínua:

\[ F=P\exp\left(\int_{0}^{n}{\delta(t)\, dt}\right) \]

Sendo que \(\delta(t)\) é a taxa de juro instantânea no instante \(t\).

F'(t) = d(t) F(t), F(0)=P

RCJS:

Se \(\delta(t)=\dfrac{1}{\gamma+t}\), sendo \(\gamma > 0\), então:

\[ F=P\left(1+in\right) \]

Sendo que \(i=\dfrac{1}{\gamma}\).

Note que no RCJS, o capital evolui de acordo com uma progressão aritmética de razão igual a \(iP\).

RCJC:

Se \(\delta(t)=\ln(1+i)\), então:

\[ F=P\left(1+i\right)^n \]

Note que no RCJC, o capital evolui de acordo com uma progressão geométrica de razão igual a \(1+i\).

RCJC Contínuo (RCJCC):

Se \(\delta(t)=i\), então:

\[ F=Pe^{in} \]

Generalização da (in)cindibilidade de prazo

RCJS e RJCC são casos particulares de RCC.

Por meio do modelo de RCC, torna-se mais fácil mostrar a (in)cindibilidade dos regimes simples e composto.

Suponha que prazo de aplicação seja cindido em duas partes tal que \(0<n^{\prime}<n\):

\[ \begin{align} F&=P\exp\left(\int_{0}^{n}{\delta(t)\, dt}\right)\\ F&=P\exp\left(\int_{0}^{n^{\prime}}{\delta(t)\, dt}\right)\exp\left(\int_{n^{\prime}}^{n}{\delta(t)\, dt}\right)\\ \end{align} \]

Cindibilidade do prazo no RCJC:

Se \(\delta(t)=\ln(1+i)\), então:

\[ \begin{align} F&=P\exp\left(\int_{0}^{n^{\prime}}{\ln(1+i)\, dt}\right)\exp\left(\int_{n^{\prime}}^{n}{\ln(1+i)\, dt}\right)\\ &=P\left(1+i\right)^{n^{\prime}} \left(1+i\right)^{n-n^{\prime}}\\ F&=P\left(1+i\right)^{n}\\ \end{align} \]

Cindibilidade do prazo no RCJCC:

Se \(\delta(t)=i\), então:

\[ \begin{align} F&=P\exp\left(\int_{0}^{n^{\prime}}{i\, dt}\right)\exp\left(\int_{n^{\prime}}^{n}{i\, dt}\right)\\ &=P\exp\left(in^{\prime}\right)\exp\left(i\left(n-n^{\prime}\right)\right)\\ &=P\exp\left(in\right)\\ F&=Pe^{in}\\ \end{align} \]

Incindibilidade do prazo no RCJS:

Se \(\delta(t)=\dfrac{1}{\gamma+t}\), sendo \(\gamma > 0\), então:

\[ \begin{align} F&=P\exp\left(\int_{0}^{n^{\prime}}{\dfrac{1}{\gamma+t}\, dt}\right)\exp\left(\int_{n^{\prime}}^{n}{\dfrac{1}{\gamma+t}\, dt}\right)\\ F&=P\exp\left(\ln\left(\dfrac{\gamma+n^{\prime}}{\gamma+0}\right)\right) \exp\left(\ln\left(\dfrac{\gamma+n}{\gamma+n^{\prime}}\right)\right)\\ F&=P\left(1+\dfrac{1}{\gamma}n^{\prime}\right)\left(1+\dfrac{1}{\gamma+n^{\prime}}\left(n-n^{\prime}\right)\right) \end{align} \]

Se o prazo total não é cindido, o capital acumulado no fim dos \(n\) períodos é dado por:

\[ F=P\left(1+\dfrac{1}{\gamma}n\right) \]

Se o prazo é cindido, para que não se altere o valor do capital acumulado no final dos \(n\) períodos, a taxa de juro não pode permanecer constante, sendo \(\gamma^{-1}\) a taxa de juro nos primeiros \(n^{\prime}\) períodos e uma taxa de juro menor \(\left(\gamma+n^{\prime}\right)^{-1}\) no prazo restante.

Conforme Faro (2006), a incindibilidade do prazo no RCJS torna a sua aplicação inadequada como método de amortização de dívidas, toda vez que houver mais de um pagamento.

Elasticidade

A elasticidade de uma função no ponto \(n\) (períodos de capitalização) ou \(i\) (taxa de juro) mede a sensibilidade relativa da função do montante \(F\) em relação à variável \(n\) ou \(i\).

Em termos matemáticos, a elasticidade é dada por:

\[ \eta(n) = \left|\dfrac{n}{F(n)} \dfrac{dF(n)}{dn}\right| \]

Ela representa a variação percentual da função em resposta a uma variação de 1% na variável independente, i.e., indica o quanto a função varia quando \(n\) ou \(i\) varia 1%.

Se \(n\) é a variável independente da função do montante, então:

• Se \(\eta(n) > 1\), a função é elástica no ponto \(n\), ou seja, uma variação de 1% em \(n\) causa uma variação proporcionalmente maior em \(F(n)\).
• Se \(\eta(n) < 1\), a função é inelástica, ou seja, uma variação de 1% em \(n\) gera uma variação proporcionalmente menor em \(F(n)\).
• Se \(\eta(n) = 1\), a função tem elasticidade unitária, significando que uma variação de 1% em \(n\) resulta na mesma variação percentual em \(F(n)\).

As funções de elasticidade do montante para RCJS, RCJC Contínuo e RCJC Discreto:

1. \(F_S = P (1+in)\)
2. \(F_{\infty}=Pe^{in}\)
3. \(F_C = P (1+i)^n\)

São as seguintes:

1. \(\eta_{n}(F_S)=\eta_{i}(F_S)=\dfrac{in}{1+in}\)

2. \(\eta_{n}(F_{\infty})=\eta_{i}(F_{\infty})=in\)

3. \(\eta_{n}(F_C)=n\ln(1+i)\) e \(\eta_{i}(F_C)=\dfrac{in}{1+i}\)

A elasticidade da função de montante linear (RCJS) é não-linear.

A elasticidade da função de montante não-linear (RCJCC) é linear.

RCJS é inelástica e menos sensível a mudanças em \(n\) e \(i\), enquanto RCJCC é a mais sensível (maior elasticidade). RCJC fica no meio-termo. A escolha do regime impacta fortemente a resposta do montante a variações temporais e de taxa.

Modelos de finanças comerciais e de mercado

Os modelos quantitativos em finanças podem ser classificados de acordo com o regime de capitalização adotado e a forma de tratamento do tempo. Essa classificação distingue dois grupos principais: modelos de finanças comerciais e modelos de finanças de mercado.

A escolha do modelo quantitativo depende do tipo de operação, da convenção de tempo utilizada e do regime de capitalização adotado. Finanças comerciais usam modelos discretos, enquanto finanças de mercado utilizam modelos contínuos.

Regime	Fórmula	Capitalização	Tempo	Aplicações
RCJS	\(F = P(1 + i n)\)	Discreta linear	360 ou 252	Duplicatas, curto prazo, protestos
RCJC	\(F = P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{k n}\)	Discreta geométrica	360 ou 252	Empréstimos, financiamentos, leasing
RCJCC	\(F = P e^{i n}\)	Contínua exponencial	365 ou 366	Mercado financeiro, derivativos, títulos

RCJC: Desmos Gráfico

Vídeo em YouTube:

• INTEREST: Simple Interest vs Compound Interest vs Continuous Interest: Dr. Trefor Bazett: YouTube

Finanças Comerciais

• Capitalização: discreta

• Convenções de tempo:

  • Ano comercial: 360 dias (12 meses de 30 dias)
    
  • Ano bancário: 252 dias úteis (12 meses de 21 dias)

Essas convenções são utilizadas para simplificar cálculos em contratos, operações bancárias e de crédito.

1. RCJS: Regime de Capitalização de Juro Simples

\[ F = P \left(1 + i n\right) \]

• Capitalização: discreta linear
  
• \(i\): taxa proporcional ao período
  
• \(n\): número de períodos em ano comercial ou útil (bancário)
  
• Aplicações: operações de curto prazo como duplicatas, adiantamentos, protestos

2. RCJC: Regime de Capitalização de Juro Composto com taxa proporcional

\[ F = P \left(1 + \dfrac{i}{k} \right)^{k n} \]

• Capitalização: discreta geométrica
  
• \(i\): taxa nominal ao período base (normalmente ao ano comercial ou bancário)
  
• \(n\): número de períodos em ano comercial ou útil (bancário)
  
• \(k\): número de capitalizações por período
• Aplicações: financiamentos, consórcios, empréstimos de médio e longo prazo

HP12C é uma calculador portátil programável para finanças comerciais.

Os melhores livros sobre finanças comerciais são:

• BROWN, P & ZIMA, RL (2011) Mathematics of Finance. 2^nd ed. Schaum’s Outline Series. NY: McGraw-Hill.

• MATIAS, R (2018) Cálculo financeiro: teoria e prática. 6ª ed. Lisboa: Escolar.

• DE FARO, C & LACHTERMACHER, G (2012) Introdução à matemática financeira. Rio de Janeiro: Saraiva / FGV Editora.

• PARK, CS & SHARP-BETE, GP (1990) Advanced Engineering Economics. NJ: Wiley.

• Manuais da HP12C

  • HP (2005) HP12C Calculadora Financeira: Guia do Usuário. 4ª ed. EUA: HP.
  • HP (2003) HP12C Platinum: Manual do usuário e guia de resolução de problemas. EUA: HP.
  • HP (2005b) HP12C Financial Calculator: User’s Guide. 4ª ed. EUA: HP.
  • HP (1992) HP12C: Owner’s Handbook and Problem-Solving Guide. 2ª ed. EUA: HP.
  • HP (s.d.) HP12C: Solutions Handbook. EUA: HP.
  • GOLDMAN, MH & STEPHEN, DM (1984) HP12C: Real Estate: Applications Handbook. EUA: HP.

Finanças de Mercado

Capitalização: contínua

Convenção de tempo: ano civil ou exato ou fiscal (de contabilidade) (365 dias)

Usada em modelagem matemática e precificação de ativos e derivativos e proteção (hedging).

RCJCC: Regime de Capitalização de Juro Composto Contínuo

\[ F = P e^{i n} \]

• \(i\): taxa efetiva contínua
  
• \(n\): tempo exato em anos
  
• Capitalização: contínua exponencial
  
• Aplicações: títulos públicos, derivativos, modelos de precificação racional como Black-Scholes

Os melhores livros sobre finanças de mercado são:

• LUENBERGER, DG (2013) Investment Science. 2ª ed. NY: Oxford.

• MERTON, RC (1990) Continuous-time Finance. USA: Blackwell.

• BAXTER, M, & RENNIE, A (1996) Financial Calculus: An introduction to Derivative Pricing. UK: Cambridge.

• CAMPBELL, JY, LO, AW, & MACKINLAY, AC (1997) The Econometrics of Financial Markets. USA: Princeton.

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 1

Qual é a taxa de juro anual efetiva se a taxa de juro nominal anual é 20% a.a., capitalizada semestralmente, trimestralmente, bimestralmente, mensalmente, diariamente e horariamente?

Solução:

• \(k = 2\) \(\Rightarrow\) capitalização semestral
  
• \(k = 4\) \(\Rightarrow\) capitalização trimestral
  
• \(k = 6\) \(\Rightarrow\) capitalização bimestral
  
• \(k = 12\) \(\Rightarrow\) capitalização mensal
  
• \(k = 360\) \(\Rightarrow\) capitalização diária
  
• \(k = 8.640\) \(\Rightarrow\) capitalização horária

A taxa efetiva é calculada pela fórmula:

\[ i_{\text{efetiva}}(0.20, k) = \left(1 + \dfrac{0.20}{k} \right)^k - 1 \]

Podemos calcular os valores numéricos em R:

# Definir função da taxa efetiva
taxa_efetiva <- function(i_nominal, k) {
  return((1 + i_nominal / k)^k - 1)
}

# Taxa nominal
i_nominal <- 0.20

# Valores de k
k_values <- c(2, 4, 6, 12, 360, 8640)

# Calcular taxa efetiva para cada k
taxas_efetivas <- sapply(k_values, 
                         function(k) taxa_efetiva(i_nominal, k))

# Criar tabela com os resultados
tabela <- data.frame("k" = k_values,
                     "Taxa Efetiva" = round(taxas_efetivas, 4),
                     check.names = FALSE)
knitr::kable(tabela, row.names = FALSE)

k	Taxa Efetiva
2	0.2100
4	0.2155
6	0.2174
12	0.2194
360	0.2213
8640	0.2214

k <- 4
i <- 0.2
print(FinCal::ear(r=i, m=k), digits=4)

[1] 0.2155

print(FinancialMath::rate.conv(rate=i, conv=k)[1], digits=4)

[1] 0.2155

Exercício 2

Para qual valor aproximado converge a taxa de juro anual efetiva do Exercício 1?

Solução:

A taxa efetiva converge para o limite da capitalização contínua:

\[ i_{\infty} = e^{i_{\text{nominal}}} - 1 \]

Substituindo \(i_{\infty} = 0.20\):

exp(1)^0.2 - 1

[1] 0.2214028

FinCal::ear.continuous(0.2)

[1] 0.2214028

Resposta:

A taxa efetiva contínua é 22.14% a.a.

Exercício 3

Quais são os valores exato e aproximado da taxa de juro anual efetiva composta continuamente do Exercício 1?

Solução:

O valor exato é dado por:

\[ i_{\infty} = e^{0.2} - 1 \]

O valor aproximado é:

\[ i_{\infty} \approx 2.72^{0.2} - 1 \approx 0.2214 \]

FinCal::ear.continuous(0.2)

[1] 0.2214028

Exercício 4: Ganhei na loteria! E agora…?

Você acabou de ganhar R$ 100.000,00 na loteria. O que fazer com o dinheiro? São apresentadas a você duas oportunidades de investimento:

• 1. O Banco Bom Tempo está anunciando uma taxa de 6% a.a. capitalizada trimestralmente.
• 2. O Banco Boa Esperança está oferecendo 6% a.a. capitalizada continuamente.

Determine a taxa efetiva para cada aplicação, para decidir qual a melhor oportunidade de valorização em prazo de 10 anos.

Solução:

A melhor alternativa de investimento é a (B), pois:

• Banco Bom Tempo: A taxa efetiva é dada por:

\[ i_{\text{efetiva}} = \left( 1 + \dfrac{0.06}{4} \right)^{40} - 1 \]

Calculando:

\[ i_{\text{efetiva}} = 1.015^{40} - 1 \approx 81.40\% \]

• Banco Boa Esperança: A taxa efetiva contínua é:

\[ i_{\infty} = e^{10 \times 0.06} - 1\approx 82.21\% \]

k <- 2
i <- 0.06
print(FinCal::ear(r=i, m=k), digits=4)

[1] 0.0609

print(FinancialMath::rate.conv(rate=i, conv=k)[1], digits=4)

[1] 0.0609

print(FinCal::ear.continuous(i), digits=4)

[1] 0.06184

Portanto, a alternativa (B) é a melhor, pois proporciona um retorno maior.

Exercício 5: Herança do tio

Você acabou de receber uma pequena herança de R$ 10.000,00, deixada por um tio seu. Você decide investir o dinheiro, para não gastá-lo todo de uma vez. Você faz uma pesquisa na internet e acha duas opções de investimento:

• Uma oferece 12% a.a. de capitalização contínua.
• A outra oferece 12.2% a.a., capitalizados semestralmente.

Qual é a melhor alternativa de investimento?

Solução:

A taxa efetiva para capitalização contínua é:

\[ i_{\infty} = e^{0.12} - 1 \]

Calculando:

\[ i_{\infty} \approx 12.75\% \]

Para capitalização semestral:

\[ i_{\text{efetiva}} = \left( 1 + \dfrac{0.122}{2} \right)^2 - 1\approx 12.57\% \]

print(FinCal::ear.continuous(0.12), digits=4)

[1] 0.1275

k <- 2
i <- 0.122
print(FinCal::ear(r=i, m=k), digits=4)

[1] 0.1257

print(FinancialMath::rate.conv(rate=i, conv=k)[1], digits=4)

[1] 0.1257

Portanto, o investimento com capitalização contínua (12.75%) é melhor do que o investimento com capitalização semestral (12.57%).

Exercício 6: Taxa de inflação surpreendente!

Hoje foi anunciado na Revista Analista de Investimentos Vinícolas que a inflação subiu um pouco mais que o esperado no mês passado, i.e., 0.32% a.m. para produtos na indústria vinícola e de bebidas alcoólicas em geral. O mercado vinícola está considerando uma taxa de inflação de 1.6% a.a. O mercado tem motivos para ficar surpreso com essa taxa de inflação?

Solução:

Sim, pois a taxa efetiva anual equivalente a 0.32% a.m. é:

\[ i_{\text{efetiva}} = \left( 1 + 0.0032 \right)^{12} - 1 \]

Calculando:

\[ i_{\text{efetiva}} \approx 3.908\% \text{ a.a.} \]

que é bem maior que 1.6% a.a.!

A taxa efetiva mensal equivalente a 1.6% a.a. é:

\[ i_{\text{efetiva}} = \left( 1 + 0.016 \right)^{\frac{1}{12}} - 1 \]

Calculando:

\[ i_{\text{efetiva}} \approx 0.13\% \text{ a.m.} \]

que é bem menor que 0.32% a.m.!

Exercício 7

Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% a.a.?

Solução:

Se o regime de capitalização é o simples, então a taxa equivalente trimestral é \(0.3 / 4 = 0.075\), i.e., 7.5% a.t. No entanto, como o regime é composto, então a taxa de juro composta é necessariamente menor que a proporcional.

Dessa forma, temos que \(i_{\text{trimestral}}\) é equivalente a \(i_{\text{anual}}\) se:

\[ \begin{align} F_C(P ; i_{\text{trimestral}}, n = 1 \text{ ano}) &= F_C(P ; i_{\text{anual}} , n = 1 \text{ ano}) \\ F_C(P ; i_{\text{trimestral}}, n = 4 \text{ trimestres}) &= F_C(P ; i_{\text{anual}} , n = 1 \text{ ano}) \\ P (1 + i_{\text{trimestral}})^4 &= P (1 + i_{\text{anual}}) \\ (1 + i_{\text{trimestral}})^4 &= 1 + i_{\text{anual}} \\ 1 + i_{\text{trimestral}} &= \sqrt[4]{1 + i_{\text{anual}}} \\ i_{\text{trimestral}} &= \sqrt[4]{1.3} - 1 \\ i_{\text{trimestral}} &\approx 0.0678 \end{align} \]

Resposta:

6.78% a.t. é equivalente a 30% a.a.

Exercício 8

Qual é a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Solução:

\[ \begin{align} F_C(P , i_{\text{anual}} , n = 1 \text{ ano}) &= F_C(P , 0.02 , n = 12 \text{ meses}) \\ P (1 + i_{\text{anual}}) &= P \times 1.02^{12} \\ 1 + i_{\text{anual}} &= 1.02^{12} \\ i_{\text{anual}} &= 1.02^{12} - 1 \\ i_{\text{anual}} &\approx 0.2682 \end{align} \]

Resposta:

26.82% a.a. é equivalente a 2% a.m.

Exercício 9

Qual é a taxa mensal equivalente a 0.2% a.d.?

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{mensal}} &= 1.002^{30} - 1 \\ i_{\text{mensal}} &\approx 0.0618 \end{align} \]

Resposta:

6.18% a.m. é equivalente a 0.2% a.d.

Exercício 10

Qual é a taxa semestral equivalente a 45% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{semestral}} &= \sqrt{1.45} - 1 \\ i_{\text{semestral}} &\approx 0.2042 \end{align} \]

Resposta:

20.42% a.s. é equivalente a 45% a.a.

Exercício 11

Qual é o montante composto de um capital de R$ 50.000,00, no fim de 2 anos, com taxa de juro de 24% a.a. capitalizado trimestralmente?

Solução:

\[ \begin{align} F &= 50000 \times \left(1 + \dfrac{0.24}{4}\right)^{2 \times 4} \\ F &= 50000 \times 1.593848 \\ F &= 79693.00 \end{align} \]

compound interest

Resposta:

O montante composto é R$ 79.693,00.

Exercício 12

Uma taxa nominal de 18% a.a. é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{efetiva}} &= \left(1 + \dfrac{0.18}{2}\right)^2 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 1.09^2 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 1.1881 - 1 \\ i_{\text{efetiva}} &= 0.1881 \end{align} \]

Resposta:

A taxa efetiva é 18.81% a.a.

Exercício 13: Taxa aparente e real

Taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Taxa real é a taxa aparente sem o efeito da inflação. Quando não há inflação, a taxa real é igual à taxa aparente. O dinheiro cresce no banco à taxa aparente nominalmente, porém seu poder de compra decresce à taxa da inflação.

Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0.8% a.m. e a uma inflação de 20% a.m.?

Solução:

\[ \begin{align} 1 + i_{\text{real}} &= \dfrac{1 + i_{\text{aparente}}}{1 + i_{\text{inflação}}} \\ i_{\text{aparente}} &= (1 + i_{\text{real}}) (1 + i_{\text{inflação}}) - 1 \\ i_{\text{aparente}} &= 1.008 \times 1.2 - 1 \\ i_{\text{aparente}} &= 1.2096 - 1 \\ i_{\text{aparente}} &= 0.2096 \end{align} \]

Resposta:

A taxa aparente é 20.96% a.m.

Exercício 14

Qual a taxa semestral equivalente a 10% a.a.?

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{semestre}} &= \sqrt{1 + 0.1} - 1 \\ i_{\text{semestre}} &\approx 0.0488 \end{align} \]

Resposta:

A taxa 4.88% a.s. é equivalente a 10% a.a.

Exercício 15

Qual a taxa anual equivalente a 7% a.b.?

Solução:

\[ \begin{align} i_{\text{anual}} &= \left(1 + 0.07\right)^6 - 1 \\ i_{\text{anual}} &\approx 0.5007 \end{align} \]

Resposta:

A taxa 50.07% a.a. é equivalente a 7% a.b.

Exercício 16: Taxas equivalentes em períodos quaisquer

Mostrar que a taxa de 2.01% a.m. em dois meses é equivalente à taxa de 3.0301% a.m. em três meses.

Solução:

Se os períodos de tempo \(n_1\) e \(n_2\) são números primos entre si, então as respectivas taxas de juros compostos \(i_1\) e \(i_2\) são equivalentes se:

\[ \begin{align} F_C \left(P , i_1 , n_2 \right) &= F_C \left(P , i_2 , n_1 \right) \\ P \left(1 + i_1\right)^{n_2} &= P \left(1 + i_2\right)^{n_1} \\ \left(1 + i_1\right)^{n_2} &= \left(1 + i_2\right)^{n_1} \\ 1 + i_1 &= \left(1 + i_2\right)^{\frac{n_1}{n_2}} \\ i_1 &= \left(1 + i_2\right)^{\frac{n_1}{n_2}} - 1 \\ i_1 &= \sqrt[n_2]{\left(1 + i_2\right)^{n_1}} - 1 \end{align} \]

Como \(n_1 = 2\) meses, \(n_2 = 3\) meses, \(i_1 = 0.0201\) a.m. e \(i_2 = 1.030301\) a.m., então:

\[ \begin{align} i_1 &= \sqrt[3]{\left(1 + i_2\right)^2} - 1 \\ &= \sqrt[3]{1.030301^2} - 1 \\ i_1 &\approx 0.0201 \end{align} \]

Exercício 17: Expansão de Maclaurin - I

Mostre que \(\ln(1+i) \approx i - \dfrac{i^2}{2}\) para valores de \(i\) próximos de zero, i.e., \(0 < i < 0.05\).

Solução:

Usando a expansão de Taylor de \(\ln(1 + i)\) em torno de \(i=0\) (expansão de Maclaurin), temos que:

\[ \begin{align} \ln(1+i) &= \ln(1+i_0) + \dfrac{1}{1+i_0} (i - i_0) - \dfrac{1}{2(1+i_0)^2} (i - i_0)^2 + \cdots\\ \ln(1+i) &\approx \ln(1+i_0) + \dfrac{1}{1+i_0} (i - i_0) - \dfrac{1}{2(1+i_0)^2} (i - i_0)^2 \end{align} \]

Se \(i_0 = 0\),

\[ \begin{align} \ln(1+i) &\approx i - \dfrac{i^2}{2} \end{align} \]

Exercício 18: Expansão de Maclaurin - II

Mostre que \(\ln(1+i) \approx i\) se \(i\) for pequeno, i.e., \(0 < i < 0.05\).

Solução:

Usando a expansão de Taylor de \(\ln(1+i)\) em torno de \(i = 0\) (expansão de Maclaurin), temos que:

\[ \ln(1+i) \approx i - \dfrac{i^2}{2} \]

Como \(i^2 \ll i\), podemos aproximar:

\[ \ln(1+i) \approx i \]

Se taxa de juro efetiva composta continuamente, \(i_{\infty}\), é menor que 0.05, então a taxa de juro nominal dada por \(\ln(1+i_{\infty})\) é aproximadamente igual a \(i_{\infty}\).

Exercício 19: Expansão de Maclaurin - III

Mostre que \(e \approx 2.71828\) usando a expansão de Maclaurin de \(e^x\).

Solução:

Usando a expansão de Maclaurin de \(e^x\), temos que:

\[ \begin{align} e^x&=\sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{x^j}{j!} \\ e^x&=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+\cdots \end{align} \]

Fazendo \(x=1\), temos:

\[ \begin{align} e&=\sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{1}{j!} \\ &=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}+\dots \\ e&\approx 2.71828 \end{align} \]

# Definir função para calcular a soma da série de Maclaurin de e^x
aprox_e <- function(n) {
  sum(sapply(0:n, function(j) 1 / factorial(j)))
}

# Calcular a aproximação de e com os primeiros 10 termos
print(aprox_e(10), digits=10)

[1] 2.718281801

# Calcular a aproximação de e com os primeiros 5 termos
print(exp(1), digits=10)

[1] 2.718281828

Exercício 20: \(F_S\), \(F_C\) e \(F_\infty\)

Sejam:

\[ \begin{align} F_{\infty} &= P e^{rt} \\ F_C &= P (1 + r)^t \\ F_S &= P (1 + r t) \end{align} \]

Se \(P>0\), \(i>0\), \(t>0\), mostre que:

1. \(F_{\infty} > F_C\) e \(F_{\infty} > F_S\)
   
2. \(F_S > F_C\), se \(0 < t < 1\)
   
3. \(F_C > F_S\), se \(t > 1\)

Solução:

Se \(P>0\), \(i>0\), \(t>0\), mostre que:

1. \(F_{\infty} > F_C\) e \(F_{\infty} > F_S\)

\(F_{\infty} > F_C\):

\[ \begin{align} F_{\infty} &> F_C \\ P e^{r t} &> P (1 + r)^t \\ r &> \ln(1 + r) \end{align} \]

ln(1+r) < r , r > 0

Plot[{r, ln(1+r)}, {r, 0, Infinity}]

\(F_{\infty} > F_S\):

\[ \begin{align} F_{\infty} &> F_S \\ P e^{r t} &> P (1 + r t) \\ r t &> \ln(1 + r t) \\ x &> \ln(1 + x) \end{align} \]

2. \(F_S > F_C\), se \(0 < t < 1\)

\[ \begin{align} F_S &> F_C \\ P (1 + r t) &> P (1 + r)^t \\ 1 + r t &> (1 + r)^t \end{align} \]

E.g.: \(r = 1\)

\[ 1 + t > 2^t \]

1 + t > 2^t, 0 < t < 1

Plot[{1+ t, 2^t}, {t, 0, 1}]

3. \(F_C > F_S\), se \(t > 1\)

\[ \begin{align} F_S &< F_C \\ P (1 + r t) &< P (1 + r)^t \\ 1 + r t &< (1 + r)^t \end{align} \]

Exemplo: \(r = 1\)

\[ 1 + t < 2^t \]

1 + t < 2^t, t > 1

Plot[{1 + t, 2^t}, {t, 1, \infty}]

Matemática Comercial

“Fiado é só para amanhã.”

Regime de capitalização a juro simples

Juro

Juro é a compensação financeira ou preço do aluguel do dinheiro, isto é, é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

O valor do juro a ser pago ou recebido é determinado por uma taxa percentual referida a um intervalo de tempo (período financeiro ou de capitalização), denominada taxa de juro.

Época de capitalização é a data na qual ocorre a capitalização.

Taxa de juro

A taxa de juro ou valor de desconto é o valor da moeda no tempo associada a valores mobiliários ou títulos sem risco, isto é, é uma taxa não ajustada ao risco.

Exemplo:

Manoel deposita R$100,00 hoje na caderneta de poupança e recebe 8 reais de juro daqui a 1 ano. A taxa de juro anual percentual é \(8\% = 8/100\).

Taxas de juro unitária e percentual

A taxa de juro unitária é a taxa de juro expressa em número decimal.

Exemplo:

\(i = 0.08\) a.a.

A taxa de juro percentual é a taxa de juro expressa em porcentagem.

Exemplo:

\(i = 8\%\) a.a.

Dessa forma, a taxa de juro pode ser expressa equivalentemente pelas taxas unitária e percentual.

Uma taxa de juro percentual que passa de \(8\%\) para \(9\%\) tem um aumento de 1 ponto percentual.

Problema 1

Calcular 30% de 15%.

Solução:

\[0.3 \times 0.15 = 0.045 = 4.5\%\]

Problema 2

De quantas formas as taxas de juro 8% a.a. e 8.25% podem ser expressas?

Solução:

\(8\% = 0.08 = \dfrac{8}{100} = \dfrac{4}{50} = \dfrac{2}{25} = 8 \times 10^{-2} = 8\text{E}-2\)
\(8.25\% = 8\frac{1}{4} = 0.0825 = 8.25 \times 10^{-2} = 8.25\text{E}-2\)

Regime de capitalização

Regime de capitalização (RC) é o processo de formação do juro.

No RC a juro simples (RCJS), apenas o principal é capitalizado, isto é, o juro não é capitalizado. Juro simples é a remuneração calculada unicamente sobre o principal.

No RC a juro composto (RCJC), o principal e o juro são capitalizados. Juro simples é a remuneração calculada sobre o principal e o juro.

RCJS

Juro simples é aquele que em cada período de capitalização, a partir do primeiro, é calculado sobre o principal.

Problema 3

Suponha que um investidor aplicou R$100,00 no RCJS à taxa de juro de 8% a.a. por 3 anos. Qual é o montante em cada ano?

Solução:

Ano	Juro	Montante
0	\(0\)	\(100\)
1	\(100 \times 0.08 = 8\)	\(108\)
2	\(100 \times 0.08 = 8\)	\(116\)
3	\(100 \times 0.08 = 8\)	\(124\)

Ano	Juro	Montante
0	\(0\)	\(P\)
1	\(J_1 = P i\)	\(F_1 = P + J_1 = P + P i = P (1 + i)\)
2	\(J_2 = P i\)	\(F_2 = F_1 + J_2 = P (1 + i) + P i = P (1 + 2i)\)
3	\(J_3 = P i\)	\(F_3 = F_2 + J_3 = P (1 + 2i) + P i = P (1 + 3i)\)

A equação fundamental do RCJS é dada por:

\[F_S = P (1 + i n)\]

Juro simples:

\[J_S = P i n\]

A taxa de juro \(i\) e a quantidade de períodos de capitalização \(n\) são expressos no mesmo período.

O juro simples é diretamente proporcional ao número de períodos \(n\), sendo que \(Pi\) é o fator de proporcionalidade. Isto é, o juro simples é uma função linear da variável independente \(n\), sendo que a inclinação da reta é a taxa de juro \(Pi\):

\[ \begin{align} J_S &= (Pi) n \\ \\ y &= a x \\ \\ y &= J_S \\ x &= P i \\ a &= n \end{align} \]

Taxas de juro efetiva e nominal

A taxa de juro efetiva é a taxa de juro expressa no mesmo período da quantidade de períodos de capitalização \(n\). Isto é, a taxa é efetiva se \(i\) e \(n\) estão expressos no mesmo período.

A taxa de juro nominal é a taxa de juro que não é expressa no mesmo período da quantidade de períodos de capitalização \(n\). Isto é, a taxa é nominal se \(i\) e \(n\) não estão expressos no mesmo período.

Taxa de juro proporcional

A taxa de juro \(i\) é relativa a um período em que \(i_k=\dfrac{i}{k}\) é a taxa de juro proporcional relativa à fração \(\dfrac{1}{k}\) do período expressa na mesma unidade de tempo do período.

RCJS discreto (RCJSD) é o regime no qual há \(k = 2,3, \dots\) capitalizações por período:

\[F_S = P \left(1 + i_k kn\right)= P \left(1 + \dfrac{i}{k} kn\right)=P (1 + i n)\]

No RCJS discreto, a taxa de juro equivalente é a taxa de juro proporcional.

A taxa de juro proporcional pode ser usada para ajustar a taxa de juro nominal para o mesmo período da quantidade de períodos de capitalização \(n\).

Período	Taxa
\(i_{\text{período}}\)	\(i_k\)
\(i_{\text{ano}}\)	\(i_1 = i = 8\% \text{ a.a.}\)
\(i_{\text{semestre}}\)	\(i_2 = \dfrac{i}{2} = 4\% \text{ a.s.}\)
\(i_{\text{trimestre}}\)	\(i_4 = 2\% \text{ a.t.}\)
\(i_{\text{mês}}\)	\(i_{12} = 0.\bar{6}\% \text{ a.m.}\)
\(i_{\text{dia comercial}}\)	\(i_{360} = 0.0\bar{2}\% \text{ a.d.}\)
\(i_{\text{dia civil}}\)	\(i_{365} \approx 0.022\% \text{ a.d.c.}\)
\(i_{\text{dia útil}}\)	\(i_{252} \approx 0.032\% \text{ a.d.u.}\)

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 1

Assinale Verdadeiro ou Falso:

1. Taxas de juro equivalentes produzem juros simples iguais.
   [ ] V [ ] F

2. Taxas equivalentes são taxas com períodos diferentes que aplicadas a principais iguais, produzem juros iguais e montantes iguais em prazos iguais.
   [ ] V [ ] F

3. Para o cômputo correto do montante simples é sempre necessário que a taxa seja a efetiva.
   [ ] V [ ] F

4. Para o cômputo correto do juro simples é sempre necessário que a taxa seja a efetiva.
   [ ] V [ ] F

Solução: a. V; b. V; c. V; d. V

Exercício 2

Um capital inicial de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses à taxa de 25% a.a. Determine o juro e a taxa efetiva.

Solução:

A taxa de juro nominal é \(i=25\%\) a.a., pois não está expressa ao mês.
A taxa efetiva equivalente é a taxa proporcional mensal, isto é,
\(i_{\text{efetiva}} = \dfrac{25\%}{12} = 2083\%\) a.m.

\[ \begin{align} P &= 2.400 \\ n &= 10 \text{ meses} \\ \\ J_S &= P \times i_{\text{efetiva}} \times n \\ &= 2400 \times \dfrac{25\%}{12} \times 10 \\ J_S &= 500 \end{align} \]

Exercício 3

Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias à taxa de 36% a.a.

Solução 1:

\[ \begin{align} P &= 18500 \\ n &= 2 \times 360 + 4 \times 30 + 10 = 850 \text{ dias comerciais} \\ i_{\text{efetiva}} &= \dfrac{36}{360} \% \text{ a.d.} = 0.1\% \text{ a.d.} \\ \\ J_s &= P \times i_{\text{efetiva}} \times n \\ J_s &= 18500 \times 0.1\% \times 850 \\ J_s &= 15725 \end{align} \]

Solução 2:

\[ \begin{align} P &= 18500 \\ n &= 2 + 4 \div 12 + 10 \div 360 = 2.36\overline{1} \text{ anos} \\ i_{\text{efetiva}} &= 36\% \text{ a.a.} \\ \\ J_s &= P \times i_{\text{efetiva}} \times n \\ J_s &= 18500 \times 36\% \times 2.36\overline{1} \\ J_s &= 15725 \end{align} \]

Exercício 4

Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado entre 11 de novembro de 2011 e 12 de dezembro de 2012 à taxa de 36% a.a.

Solução:

\[ \begin{align} P &= 18500 \\ n &= 391 \div 360 = 1.086\overline{1} \text{ anos} \\ i_{\text{efetiva}} &= 36\% \text{a.a.} \\ J_s &= P \times i_{\text{efetiva}} \times n \\ J_s &= 18500 \times 36\% \times 1.086\overline{1} \\ J_s &= 7233.50 \end{align} \] Determinar número de dias comerciais entre duas datas:

g [D.MY]

(define o formato de data dd.mmaaaa)

f REG f 0 g D.MY 11.112011 ENTER 12.122012 g ∆DYS x<->y {391}

• Calendário permanente

days from 11/11/2011 to 12/12/2012

how long from today is 1/5/2025?

calendar for 2025

holidays 2025 in Brazil

Juro simples comercial

O juro simples comercial (JSC), como mostrado abaixo, é a técnica mais comumente usada pelo banco na função de credor, pois resulta o juro máximo em qualquer transação.

Há quatro maneiras de determinar o juro simples:

1. Juro simples comercial a tempo exato (JSCTE):

   \(n_E\): número de dias exatos ou corridos

   \[ \begin{align} i_{360} &= \dfrac{i}{360} \\ \text{JSCTE} &= P \dfrac{i}{360} n_E \end{align} \]

2. Juro simples comercial a tempo aproximado (JSCTA):

   \(n_C\): número de dias comerciais

   \[ \begin{align} i_{360} &= \dfrac{i}{360}\\ \text{JSCTA} &= P \dfrac{i}{360} n_C \end{align} \]

3. Juro simples exato a tempo exato (JSETE):

   \(n_E\): número de dias exatos ou corridos

   \[ \begin{align} i_{365} &= \dfrac{i}{365}\\ \text{JSETE} &= P \dfrac{i}{365} n_E \end{align} \]

4. Juro simples exato a tempo aproximado (JSETA):

   \(n_C\): número de dias comerciais

   \[ \begin{align} i_{365} &= \dfrac{i}{365}\\ \text{JSETA} &= P \dfrac{i}{365} n_C \end{align} \]

Note que:

\[ \begin{align} \text{JSCTE}-\text{JSETE}=P \dfrac{i}{360} n_E-P \dfrac{i}{365} n_E=P \dfrac{i}{72} n_E\\ \text{JSCTA}-\text{JSETA}=P \dfrac{i}{360} n_C-P \dfrac{i}{365} n_C=P \dfrac{i}{72} n_C\\ \end{align} \]

Então:

\[ \begin{align} \text{JSCTE} &> \text{JSETE} \\ \text{JSCTA} &> \text{JSETA} \end{align} \]

Portanto, o juro simples comercial (JSC) resulta o juro máximo em qualquer transação para o credor.

Data Inicial	Data Final	nE	nC	Comparação	Comentário
01/02/2013	01/03/2013	28	30	JSCTA > JSCTE	No curto prazo, JSCTA é melhor para credor
	01/04/2013	59	60	JSCTA > JSCTE
	01/05/2013	89	90	JSCTA > JSCTE
	01/06/2013	120	120	JSCTA = JSCTE
	01/07/2013	150	150	JSCTA < JSCTE	No médio prazo, JSCTE é melhor para credor
	01/08/2013	181	180	JSCTA < JSCTE

Às vezes é mais conveniente transformar o período da quantidade de períodos de capitalização \(n\) para o mesmo da taxa de juro.

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 5

Qual é a taxa mensal que deve ser aplicada à quantia de R$ 666,00 para que em 3 meses e 3 dias renda juro de R$ 333,00? Qual é a taxa anual equivalente?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 666 \\ J_s &= 333 \\ n &= 3\,\text{meses e} \,3\,\text{dias comerciais} = 3 + \dfrac{3}{30} = 3.1 \,\text{meses} \\ \\ i_{12} &= \dfrac{J_s}{P n} = \dfrac{333}{666 \times 3.1} \approx 16\% \text{ a.m.} \\ i &= i_{12} \times 12 = 16\% \times 12 = 194\% \text{ a.a.} \end{align} \]

Desconto

O desconto é um benefício que ocorre nos casos de antecipação de pagamento (devedor efetua pagamento antes da data de vencimento) ou de recebimento (o credor necessita do dinheiro antes da data de vencimento). Essas operações financeiras são denominadas operações de desconto e sua execução é chamada descontar um título de crédito.

O desconto de título é o adiantamento de recursos aos clientes, feito pelo banco, sobre valores referenciados em duplicatas de cobrança (DC) ou notas promissórias (NP), para antecipar o fluxo de caixa do cliente. O cliente transfere o risco do recebimento de suas vendas a prazo ao banco e garante o recebimento imediato dos recursos que, teoricamente, só teria disponíveis no futuro. O banco por sua vez, deve selecionar cuidadosamente a qualidade de crédito das DC e NP, para evitar inadimplência. Normalmente, o desconto de DC e NP é feito sobre títulos com prazo médio de trinta e noventa dias.

Exemplo: Nota Promissória

Uma nota promissória é um instrumento de crédito que consiste numa promessa de pagamento incondicional por escrito que obriga o emissor (devedor/mutuário) a pagar ao portador (credor/mutuante) um valor nominal especificado em dinheiro numa data futura.

As características principais de uma nota promissória incluem:

• Valor Nominal: A quantia em dinheiro que o emissor se compromete a pagar.

• Data de Emissão: Quando a nota promissória é criada e assinada.

• Data de Vencimento: Quando o pagamento prometido deve ser feito.

• Assinatura do Emissor: A assinatura do devedor, que confirma a promessa de pagar o valor estipulado.

Nota Promissória

Desconto simples

O título de crédito (TC) é um comprovante de uma dívida entregue ao credor pelo devedor no qual constam o valor da dívida (nominal) e a data de vencimento, sendo que o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

O desconto é umas das mais comuns aplicações do RCJS.

Duplicata de cobrança (DC), nota promissória (NP) e letra de câmbio (LC) são exemplos de título de crédito.

A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica (PJ) contra seu cliente que pode ser pessoa física (PF) ou jurídica (PJ) para a qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

Conforme Carvalho (1985, p. 64-5), mediante o endosso bancário, os títulos de crédito, podendo ser transferidos de possuidor a possuidor, tornam-se instrumentos importantes de circulação fiduciária e dão origem à operação de desconto.

Suponhamos que o titular de um título de crédito, cujo vencimento ocorrerá dentro um certo prazo, necessite, antes desse prazo, da importância nele fixado. Dirigir-se-á, então, a um banco ao qual transferirá, por endosso, a propriedade do título, recebendo, em troca, aquela importância, diminuída de certo ágio. Diz-se, então, que o título foi descontado pelo banco. O desconto é, pois, a operação de compra de um título de crédito mediante a transferência, por endosso, de sua propriedade ao comprador.

A importância que está indicada no título e que representa, portanto, a soma a ser paga no dia do vencimento, denomina-se valor nominal do mesmo. A quantia paga pelo banco a seu possuidor (valor nominal menos o ágio) denomina-se valor líquido a pagar.

O ágio cobrado pelo banco é tem duas partes:

1. O desconto propriamente dito, que representa um juro do capital adiantado pelo banco;

2. Uma parte relativa a taxas e comissões cobradas pelo banco para cobrir as despesas e riscos decorrentes da operação.

O desconto cobrado pelo banco pode ser calculado segundo duas modalidades:

1. Desconto bancário, comercial ou por fora, visto ser o preferido pelos bancos;

2. Desconto racional ou por dentro, também denominado desconto real ou verdadeiro.

Desconto comercial

O desconto bancário é o juro do valor nominal do título, à taxa de juro estipulada pelo banco, durante o tempo que decorre da data da transação ao vencimento do mesmo.

No Brasil, como na maioria dos países, toma-se para desconto bancário o juro simples do valor nominal.

O desconto comercial simples, bancário ou por fora \(d\) é o juro simples produzido pelo valor nominal do título de crédito \(N\) no período de tempo referente à antecipação \(n\) e à taxa de desconto \(i\):

\[ \begin{align} d = N i n \end{align} \]

O desconto comercial só deve ser usado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal. Dessa forma, para que \(d < N\) é necessário que \(n < \dfrac{1}{i}\).

O valor nominal também é chamado de valor de face ou de resgate.

Valor atual comercial

O valor atual comercial ou valor atual descontado comercial, \(A\), é a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial simples:

\[ \begin{align} A &= N - d \\ A &= N - Nin \\ A &= N (1 - i n) \end{align} \]

Observe que \(A < N\), pois \(0 < d < N\).

O cálculo do valor atual comercial não respeita o princípio da equivalência financeira (que exigiria divisão pelo fator de capitalização, como ocorre no desconto racional). Por isso, a terminologia mais precisa é valor atual comercial ou valor atual obtido pelo desconto bancário (comercial), para diferenciá-lo do valor atual racional.

Valor nominal comercial:

\[ \begin{align} N &= A + d \\ N &= \dfrac{A}{1 - i n} \end{align} \]

Período de tempo referente à antecipação:

\[ n = \dfrac{d}{N i} \]

Taxa de desconto:

\[ i = \dfrac{d}{N n} \]

Taxa de juro efetiva:

\[ \begin{align} N &= A (1 + i_f n) \\ i_f &= \dfrac{d}{A n} \end{align} \]

Relação entre a taxa de desconto e a efetiva:

\[ \begin{align} \dfrac{i}{i_f} &= \dfrac{\dfrac{d}{N n}}{\dfrac{d}{A n}} \\ \dfrac{i}{i_f}&= \dfrac{A}{N} < 1 \\ i &= \dfrac{A}{N} i_f \Rightarrow i < i_f \end{align} \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 6

Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva ao mês.

Solução:

\[ \begin{align} N &= 23000 \\ A &= 21068 \end{align} \]

\[ \begin{align} n &= 112 \text{ dias} = \dfrac{112}{30} \text{ meses} = 3.7\bar{3} \text{ meses} \\ d &= N - A = 23000 - 21068 = 1932 \end{align} \]

\[ \begin{align} i &= \dfrac{d}{N n} = \dfrac{1932}{23000 \times 3.7\bar{3}} = 2.25\% \text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} i_f &= \dfrac{d}{A n} = \dfrac{1932}{21068 \times 3.7\bar{3}} = 2.46\% \text{ a.m.} \end{align} \]

Desconto racional simples

O desconto racional simples ou por dentro é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

Embora o desconto comercial simples seja amplamente usado em algumas operações bancárias de curto prazo (principalmente no Brasil), em muitas operações financeiras modernas e no mercado internacional utiliza-se o desconto racional ou o desconto composto, justamente por respeitarem o princípio da equivalência financeira. O desconto comercial, por ser linear, não reflete adequadamente o valor do dinheiro no tempo.

O desconto racional simples pode ser interpretado como a primeira aproximação linear do desconto composto para taxas pequenas ou períodos curtos. Seria didaticamente relevante explicar essa relação, mostrando que o racional é uma boa aproximação do composto quando \(in\le 1\)). in≪1

O desconto racional simples (ou por dentro) é financeiramente mais consistente que o desconto comercial, pois calcula o desconto sobre o valor atual do título, respeitando o princípio da equivalência financeira. Esse modelo garante que o desconto nunca ultrapasse o valor nominal, o que pode ocorrer no modelo comercial.

\[ \begin{align} d_r &: \text{desconto racional} \\ A_r &: \text{valor atual ou descontado racional} \end{align} \]

\[ \begin{align} d_r &= A_r i n \\ A_r &= N - d_r \\ \therefore d_r &= \dfrac{N i n}{1 + i n} = \dfrac{d}{1 + i n} \Rightarrow d_r < d \\ A_r &= \dfrac{N}{1 + i n} \end{align} \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 10

Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2.1% a.m. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine (a) os valores do desconto comercial e do racional e (b) o valor atual racional.

Solução:

\[ \begin{align} N &= 6000 \\ i &= 2.1\% \text{ a.m.} \\ n &= 45 \text{ dias} = 1.5 \text{ meses} \end{align} \]

\[ \begin{align} d &= N i n = 6000 \times 0.021 \times 1.5 = 189 \\ d_r &= \dfrac{d}{1 + i n} = \dfrac{189}{1 + 0.021 \times 1.5} = \dfrac{189}{1.0315} = 183.22 \\ A_r &= N - d_r = 6000 - 183.22 = 5816.78 \end{align} \]

O desconto comercial é R$ 189,00. O desconto racional é R$ 183,22. O valor atual racional é R$ 5.816,78.

Relações entre os descontos comercial e racional

Diferença entre os descontos comercial e racional simples

\[ \begin{align} d-d_r &= d_r i n \\ d-d_r &= \dfrac{d i n}{1+in} \end{align} \]

Exemplo

Sendo R$ 180,00 o desconto racional simples de um título, à taxa de 6% a.a., 90 dias antes de seu vencimento, calcular seu desconto bancário à mesma taxa.

Solução:

A diferença entre os dois descontos é:

\[d-d_r=d-180=d_rni=180\times\dfrac{90}{360}\times0.06=2.7\]

Portanto, \(d=180+2.7=182.7\).

Resposta:

O desconto bancário é R$ 182,70.

Relações geométricas entre os descontos comercial e racional simples

\[ \begin{align} N&=\dfrac{d\,d_r}{d-d_r}\\ d&=\dfrac{Nd_r}{N-d_r} \end{align} \]

Exemplo

Sabendo-se que o desconto racional simples de um título de valor nominal R$ 36.240,00 é R$ 240,00, calcular seu desconto bancário à mesma taxa.

Solução:

\[ \begin{align} d&=\dfrac{Nd_r}{N-d_r}\\ &=\dfrac{36240\times240}{36240-240}\\ d&=241.60 \end{align} \]

Resposta:

O desconto bancário é R$ 241,60.

Regime de capitalização a juro composto

No regime de capitalização a juro composto (RCJC), o juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no RCJC, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.

Problema 4

Suponha que um investidor aplicou R$ 100,00 no RCJC à taxa de juro de 8% a.a. por 3 anos. Quais são os montantes de cada ano?

Solução:

Ano	Juro	Montante
0	\(0\)	\(100\)
1	\(100 \times 0.08 = 8\)	\(108\)
2	\(108 \times 0.08 = 8.64\)	\(116.64\)
3	\(116.64 \times 0.08 = 9.33\)	\(125.97\)

Ano	Juro	Montante
0	\(0\)	\(P\)
1	\(J_1 = P i\)	\(F_1 = P + J_1 = P + P i = P(1+i)\)
2	\(J_2 = F_1 i\)	\(F_2 = F_1 + J_2 = F_1 + F_1 i = F_1 (1+i) = P(1+i)(1+i) = P(1+i)^2\)
3	\(J_3 = F_2 i\)	\(F_3 = F_2 + J_3 = F_2 + F_2 i = F_2 (1+i) = P(1+i)^2 (1+i) = P(1+i)^3\)

A equação fundamental do RCJC é dada por:

\[ F_C = P \left( 1 + i \right)^n \]

Juro composto:

\[ J_C = P \left( \left( 1 + i \right)^n - 1 \right) \]

A taxa de juro \(i\) e a quantidade de períodos de capitalização \(n\) são expressos no mesmo período.

O fator \(\left( 1 + i \right)^n\) é denominado fator de capitalização ou de acumulação de capital.

HP12C ou calculadora científica: usar o botão [y^x] ou [x^y] ou o operador ^ para aplicar a potenciação.

O capital inicial é dado por:

\[ P = F_C \left( 1 + i \right)^{-n} \]

O fator \(\left( 1 + i \right)^{-n}\) é denominado fator de descapitalização ou de desacumulação de capital.

Taxa nominal e efetiva

Taxa de juro efetiva é aquela cujo período de capitalização coincide com aquele ao qual ela se refere.

Taxa de juro nominal, em geral anual, é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele ao qual ela se refere.

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 11

A taxa de 8% a.a. é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.

Solução:

\[ \begin{align} k &= 2 \text{ semestres} \\ i &= 8\% \text{ a.a.} \\ \\ i_f &= \left( 1 + \dfrac{i}{k} \right)^k - 1 \\ i_f &= \left( 1 + \dfrac{0.08}{2} \right)^2 - 1 \\ i_f &= 8.16\% \text{ a.a.} \end{align} \]

CLx f 4 0.08 ENTER 2 ÷ 1 + 2 y^x 1 - 100 × {8.1600}

Taxas equivalentes

Duas taxas de juros no RCJC referindo-se a períodos diferentes são equivalentes se produzem o mesmo montante a partir do mesmo principal no mesmo prazo. Em RCJC as taxas proporcionais não são equivalentes e vice-versa.

\[ \begin{align} F_C\left(P, i_f, nk^{\prime} \right) &= F_C\left(P, i_k, nk \right) \\ P \left( 1 + i_f \right)^{nk^{\prime}} &= P \left( 1 + i_k \right)^{nk} \\ \left( 1 + i_f \right)^{k^{\prime}} &= \left( 1 + i_k \right)^k \end{align} \]

\[ \begin{align} k^{\prime} = 1 &\Rightarrow 1 + i = \left( 1 + i_k \right)^k \\ \\ 1 + i &= \left( 1 + i_{2} \right)^2 = \left( 1 + i_4 \right)^4 = \left( 1 + i_{12} \right)^{12} = \left( 1 + i_{360} \right)^{360} \end{align} \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 12

Qual é a taxa equivalente mensal à taxa 0.2% a.d.

Solução:

\[ \begin{align} k^{\prime} &= 12 \\ k &= 360 \\ i_k &= i_{360} = 0.2\% \text{ a.d.} \end{align} \]

\[ \begin{align} \left( 1 + i_f \right)^{k^{\prime}} &= \left( 1 + i_k \right)^k \\ \left( 1 + i_{12} \right)^{12} &= \left( 1 + i_{360} \right)^{360} \\ i_{12} &= \left( 1 + 0.002 \right)^{\frac{360}{12}} - 1 \\ i_{12} &= 1.002^{30} - 1 \\ i_{12} &\approx 6.18\% \text{ a.m.} \end{align} \]

Exercício 13

Calcular a taxa equivalente mensal de 18% a.s. com capitalização trimestral.

Solução:

Taxa nominal = 18% a.s.
Taxa efetiva trimestral (proporcional) = 18% / 2 = 9% a.t.

Taxa equivalente mensal:

\[ \begin{align} k^{\prime} &= 4 \\ k &= 12 \\ i_2 &= 18\% \text{ a.s.} \\ i_4 &= \dfrac{i_2}{2} = \dfrac{18\%}{2} = 9\% \text{ a.t.} \end{align} \]

\[ \begin{align} \left( 1 + i_f \right)^{k^{\prime}} &= \left( 1 + i_k \right)^k \\ \left( 1 + i_4 \right)^{4} &= \left( 1 + i_{12} \right)^{12} \\ 1 + \dfrac{i_2}{2} &= \left( 1 + i_{12} \right)^3 \\ 1 + 0.09 &= \left( 1 + i_{12} \right)^3 \\ i_{12} &= \sqrt[3]{1.09} - 1 \\ i_{12} &\approx 2.91\% \text{ a.m.} \end{align} \]

Exercício 14

Qual é o montante de R$ 3.000,00, a juro composto de 47% a.a., em 4 anos e 3 meses?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 3000 \\ i &= 47\% \text{ a.a.} \\ n &= 4.25 \text{ anos} = 51 \text{ meses} \\ i_{12} &= \sqrt[12]{1.47} - 1 = 3.\overline{26}\% \text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} F_C &= P \left( 1 + i_{12} \right)^{51} \\ &= 3000 \times \left( 1 + 0.003\overline{26} \right)^{51} \\ &= 3000 \times 5.14 \\ F_C &= 15424.81 \end{align} \]

\[ \begin{align} F_C^{\text{Exp}} &= P \left( 1 + i \right)^n \\ &= P \times 1,47^{4.25} \\ &= P \times 1.47^4 \times 1.47^{0,25} \\ F_C^{\text{Exp}} &= 15.424,81 \end{align} \]

Para calcular o montante com expoente fracionário, para ativar a convenção exponencial, é necessário fazer que apareça no visor da HP12C a letra C pressionando STO EEX.

Se a letra C não aparecer no visor, então a convenção linear é usada pela HP12C para o cálculo do montante. Para desativar a letra C, pressione STO EEX.

\[ \begin{align} F_C^{\text{Lin}} &= P (1 + i)^{\text{int}(n)}(1+i \times\text{frac}(n)) \\ &= 3000 \times (1 + 0.47)^4 \times (1 + 0.47 \times 0.25) \\ &= 3000 \times 4.67 \times 1.12 \\ &= 3000 \times 5.23 \\ F_C^{\text{Lin}} &= 15654.46 \end{align} \]

Note que \(F_C^{\text{Lin}} > F_C^{\text{Exp}}\).

Abatimentos e aumentos sucessivos

Abatimentos sucessivos

\[ L = P \times \prod_{h=1}^{n} \left(1 - i_h\right) \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 15

1. Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é R$ 48000,00, qual é o valor líquido da mesma?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 48000 \\ n &= 3 \\ i_1 &= 0.10 \\ i_2 &= 0.04 \\ i_3 &= 0.05 \\ \\ L &= P \prod_{h=1}^{n} \left(1 - i_h\right) \\ &= 48000 \times \left(1 - 0.10\right) \times \left(1 - 0.04\right) \times \left(1 - 0.05\right) \\ &= 48000 \times 0.90 \times 0.96 \times 0.95 \\ L &= 39398.40 \end{align} \]

Aumentos sucessivos

\[ M = P \prod_{h=1}^{n} \left(1 + i_h\right) \]

Variação percentual acumulada:

\[ i_{acum} = \prod_{h=1}^{n} \left(1 + i_h\right) - 1 = \dfrac{M}{P} - 1 = \dfrac{M - P}{P} \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 16

Um investidor aplicou R$ 8000,00 num fundo de investimentos por 3 meses. No 1º mês o fundo rendeu 1.2%, 2º mês rendeu 1.7% e no 3º mês rendeu 1.5%.
a) Qual é o montante ao final dos 3 meses?
b) Qual é a taxa de rentabilidade acumulada no trimestre?

Solução:

1. O montante ao final dos três meses foi R$ 8357,14.

\[ \begin{align} P &= 8000 \\ n &= 3 \\ i_1 &= 0.012 \\ i_2 &= 0.017 \\ i_3 &= 0.015 \end{align} \]

\[ \begin{align} L &= P \prod_{h=1}^{n} \left( 1 + i_h \right) \\ &= 8000 \times \left( 1 + 0.012 \right) \times \left( 1 + 0.017 \right) \times \left( 1 + 0.015 \right) \\ &= 8000 \times 1.012 \times 1.017 \times 1.015 \\ L &= 8357.14 \end{align} \]

2. A taxa de rentabilidade ou variação percentual acumulada no trimestre foi de 4.46% a.t.

\[ \begin{align} 8000 \times \left( 1 + i_{\text{acum}} \right) &= 8357.13 \\ \dfrac{8357.13}{8000} &= 1 + i_{\text{acum}} \\ i_{\text{acum}} &= \dfrac{8357.13 - 8000}{8000} \\ &= 0.0446 \\ i_{\text{acum}} &= 4.46\% \end{align} \]

CLx 8000 ENTER 8357.13 ∆% f 2 {4.46}

Desconto racional composto

O desconto composto é usado para operações financeiras de longo prazo, pois no curto prazo o desconto simples comercial é o mais adequado. Há os descontos compostos racional e comercial, sendo que o desconto composto racional é o mais usado na prática.

O valor atual, em regime de capitalização a juro composto, de um capital \(N\) disponível no fim de \(n\) períodos, à taxa de juro \(i\) relativa a esse período, é o capital \(A\) que, aplicado a juros compostos à taxa \(i\), produz no fim de \(n\) períodos o montante \(N\).

\[ \begin{align} F &= P \left(1+i\right)^n \\ N &= A \left(1+i\right)^n \end{align} \]

O desconto composto racional é o juro composto:

\[ \begin{align} J &= F - P \\ d_c &= N - A \\ \\ J &= F \left( 1-\left(1+i\right)^{-n} \right) \\ d_c &= N \left( 1-\left(1+i\right)^{-n} \right)\\ d_c &= N \,i \,a_{n\rceil i} \end{align} \]

Comparação entre desconto comercial, racional simples e racional composto

Seja \(N\) o valor nominal de um título no fim de um prazo \(n\). Os descontos comercial (bancário), racional simples e racional composto são, respectivamente:

\[ \begin{align} d &= Nin\\ d_r &= \dfrac{Nin}{1+in}\\ d_c &= N\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^n}\right)=N \,i \,a_{n\rceil i} \end{align} \]

Podemos concluir que:

1. O desconto racional composto é inferior ao desconto racional simples se \(n<1\);

2. O desconto racional composto é igual ao desconto racional simples se \(n=1\);

3. O desconto racional composto é superior ao desconto racional simples se \(n>1\).

# Parâmetros
N <- 1000
i <- 0.1
n <- seq(0, 1/i, length.out = 200)

# Fórmulas dos descontos
d_comercial <- N * i * n
d_racional_simples <- (N * i * n) / (1 + i * n)
d_racional_composto <- N * (1 - 1 / (1 + i)^n)

# Gráfico comparativo
plot(n, d_comercial, type = "l", lwd = 2, col = "black",
     ylim = range(c(d_comercial, d_racional_simples, d_racional_composto)),
     xlab = "Prazo (n)", ylab = "Desconto (R$)",
     main = "Comparação dos Descontos")
lines(n, d_racional_simples, col = "black", lwd = 2, lty = 2)
lines(n, d_racional_composto, col = "black", lwd = 2, lty = 3)
legend("bottomright",
       legend = c("Comercial", "Racional Simples", "Racional Composto"),
       col = c("black", "black", "black"), lty = c(1, 2, 3), lwd = 2, bty = "n")
grid()

n <- seq(0, 1.5, length.out = 200)

# Fórmulas dos descontos
d_racional_simples <- (N * i * n) / (1 + i * n)
d_racional_composto <- N * (1 - 1 / (1 + i)^n)

# Gráfico comparativo
plot(n,  d_racional_composto-d_racional_simples, type = "l", lwd = 2, col = "black", xlab = "Prazo (n)", ylab = "Desconto (R$)",
     main = "Desconto Racional Composto - Simples")
grid()

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 17

Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto racional de 2% a.m.

Solução:

\[ \begin{align} N &= 800 \\ n &= 4 \text{ meses} \\ i &= 2\% \text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= N \left(1+i\right)^{-n} \\ A &= 800 \times \left(1+0.02\right)^{-4} \\ A &= 800 \times 0.92385 \\ A &= 739.08 \end{align} \]

O valor atual do título é R$ 739,08.

Exercício 18

Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% a.a., capitalizados semestralmente.

Solução:

\[ \begin{align} N &= 1120 \\ n &= 2 \text{ anos } 6 \text{ meses } = 5 \text{ semestres} \\ i &= 36\% \text{ a.a.} \\ i_2 &= 18\% \text{ a.s.} \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= N \left(1+i_2\right)^{-n} \\ A &= 1120 \times \left(1+0.18\right)^{-5} \\ A &= 1120 \times 0.43711 \\ A &= 489.56 \end{align} \]

O valor atual do título é R$ 489,56.

Exercício 19

Qual é o desconto composto que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2.4% a.m.?

Solução:

\[ \begin{align} N &= 5000 \\ n &= 3 \text{ meses} \\ i &= 2.4\% \text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} d &= N \left( 1 - \left(1+i\right)^{-n} \right) \\ d &= 5000 \times \left( 1 - \left(1+0024\right)^{-3} \right) \\ d &= 5000 \times \left(1 - 0.9286 \right) \\ d &= 5000 \times 0.0714 \\ d &= 357 \end{align} \]

O desconto composto racional é R$ 357,00.

Exercício 20

Numa operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 36954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3046, qual foi a taxa de juro mensal adotada?

Solução:

\[ \begin{align} A &= 36954 \\ d &= 3046 \\ N &= A + d = 36954 + 3046 = 40000 \\ n &= 4 \text{ meses} \end{align} \]

\[ \begin{align} N &= A \left(1 + i\right)^n \\ 40000 &= 36954 \times \left(1 + i\right)^4 \\ i &= \sqrt[4]{\dfrac{40000}{36954}} - 1 \\ i &= 0.02 \end{align} \]

A taxa de juro adotada é 2% a.m.

Exercício 21

Por um título de R$ 2300,00 foi pago R$ 2044,00 com um desconto de 3% a.m. De quanto tempo foi antecipado o pagamento?

Solução:

\[ \begin{align} N &= 2300 \\ A &= 2044 \\ i &= 3\%\text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} N &= P \left(1 + i\right)^n \\ 2300 &= 2044 \times \left(1 + 0.03\right)^n \\ n &= \dfrac{\ln \left( \dfrac{2300}{2044} \right)}{\ln \left( 1 + 0.03 \right)} \\ n &= 4 \end{align} \]

O pagamento foi antecipado 4 meses.

Exercício 22

Uma firma toma emprestado de um banco a importância de R$ 20000,00 no prazo de 10 meses, à taxa de 3.5% a.m., em RCJC. Quanto deveria essa firma pagar ao banco, se desejasse antecipar 4 meses o pagamento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 3% a.m.?

Solução:

\[ \begin{align} P &= 20000 \end{align} \]

\[ \begin{align} N &= P \left(1 + i\right)^n \\ N &= 20000 \times \left(1 + 0.035\right)^{10} \\ N &= 28212 \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= N \left(1 + i\right)^{-n} \\ A &= 28212 \times \left(1 + 0.03\right)^{-4} \\ A &= 25066 \end{align} \]

A firma deve pagar ao banco R$ 25.066,00.

Equivalência

Equivalência de dois títulos de crédito diferidos

Consideremos dois títulos \(N\) e \(N^{\prime}\), disponíveis respectivamente no fim de \(n\) e \(n^{\prime}\) dias a partir da época atual, sendo que \(n\ne n^{\prime}\). Diz-se que esses capitais são equivalentes numa certa época se seus valores atuais nessa época são iguais. Daí resulta que o problema de equivalência de títulos diferidos pode ser estudado considerando-se o desconto racional ou bancário.

Admitamos, então, que a equivalência pelo desconto racional ocorra \(x\) dias a partir da época atual e que essa época seja anterior aos vencimentos dos capitais, \(x<\min\{n,n^{\prime}\}\). Portanto, \(x\) é a época ou data focal. Então, seus vencimentos nessa época serão respectivamente, \(n-x\) e \(n^{\prime}-x\) dias e, portanto, a equação de equivalência é:

\[ \begin{align} A_r &= A_r^{\prime} \\ \dfrac{N}{1+i(n-x)}&=\dfrac{N^{\prime}}{1+i\left(n^{\prime}-x\right)} \end{align} \]

Admitamos, então, que a equivalência pelo desconto bancário ocorra \(x\) dias a partir da época atual e que essa época seja anterior aos vencimentos dos capitais, \(x<\min\{n,n^{\prime}\}\). Portanto, \(x\) é a época ou data focal. Então, seus vencimentos nessa época serão respectivamente, \(n-x^{\prime}\) e \(n^{\prime}-x^{\prime}\) dias e, portanto, a equação de equivalência é:

\[ \begin{align} A &= A^{\prime} \\ N(1-i(n-x^{\prime}))&=N^{\prime}(1-i(n^{\prime}-x^{\prime})) \end{align} \]

Portanto:

\[ \begin{align} x&=\dfrac{Nn^{\prime}-N^{\prime}n}{N-N^{\prime}}+\dfrac{1}{i}\\ x^{\prime}&=\dfrac{Nn-N^{\prime}n^{\prime}}{N-N^{\prime}}-\dfrac{1}{i}\\\\ x+x^{\prime}&=n+n^{\prime} \end{align} \]

Então, a soma das épocas de equivalência pelos dois descontos é igual à soma dos diferimentos de títulos.

Desse resultado decorrem imediatamente as seguintes conclusões:

1. A equivalência de títulos diferidos não pode ocorrer na época atual simultaneamente pelos dois descontos, pois, se \(n\) e \(n^{\prime}\) são positivos (visto que são capitais diferidos!), \(x\) e \(x^{\prime}\) não podem ser nulos ao mesmo tempo.

2. Se a época de equivalência por um dos descontos ocorrer \(m\) dias antes (ou depois) do vencimento de um dos títulos, a época de equivalência pelo outro desconto racional terá lugar \(m\) dias depois (ou antes) do vencimento do outro título. Realmente, se \(x=n\pm m\) (ou \(x=n^{\prime}\pm m\)), então \(x^{\prime}=n^{\prime}\pm m\) (ou \(x^{\prime}=n\pm m\)).

# Parâmetros
i <- 0.03
n <- 12
n_linha <- 24
N_linha <- 1000

# Função N(x)
N <- function(x) {
  N_linha * (1 + i * (n - x)) / (1 + i * (n_linha - x))
}

# Intervalo de x
x_vals <- seq(0, n_linha, length.out = 200)

# Gráfico
plot(x_vals, N(x_vals), type = "l", lwd = 2, col = "black",
     xlab = "x (data focal)", ylab = "N",
     main = expression(frac(N, 1 + i*(n - x)) == frac(N*minute, 1 + i*(n*minute - x))))
grid()

# Função N(x')
N <- function(x) {
  N_linha * (1 - i * (n_linha - x)) / (1 - i * (n - x))
}

# Intervalo de x'
x_vals <- seq(0, 12, length.out = 200)

# Gráfico
plot(x_vals, N(x_vals), type = "l", lwd = 2, col = "black",
     xlab = "x' (data focal)", ylab = "N",
     main = expression(N*(1 - i*(n - x*minute)) == N*minute*(1 - i*(n*minute - x*minute))))
abline(h = N_linha, lty = 2, col = "gray")
grid()

Equivalência de conjuntos de títulos de crédito diferidos

O valor atual comercial ou valor liquido de um conjunto de título (borderô: conjunto de duplicatas) é a soma dos valores atuais de cada título.

Generalizando, consideremos os títulos \(N_1, N_2, \ldots, N_p\), vencíveis respectivamente no fim de \(n_1, n_2, \ldots,n_p\) dias a contar da época atual. Suponhamos que \(N\) seja equivalente à soma dos \(p\) títulos no fim de \(x\) dias a partir da época atual considerando-se o desconto racional e no fim de \(x^{\prime}\) dias a partir da época atual considerando-se o desconto bancário. Portanto, \(x\) é a época ou data focal.

Poderemos, então, analogamente ao que fizemos para o caso de dois títulos, estabelecer as equações de equivalência, respectivamente, para esses dois casos:

\[ \begin{align} A_r &= \sum_{j=1}^{p}{{A_r}_j} \\ \dfrac{N}{1+i(n-x)}&=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{N_j}{1+i(n_j-x)}} \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= \sum_{j=1}^{p}{{A}_j} \\ N(1-i(n-x))&=\sum_{j=1}^{p}{N_j(1+i(n_j-x))} \end{align} \]

Fazendo \(x=0\) e \(x^{\prime}=0\) (datas focais na época atual), obtemos respectivamente as equações de vencimento comum a seguir que estabecem a equivalência na época atual, considerados respectivamente o desconto racional e o bancário:

\[ \begin{align} A_r &= \sum_{j=1}^{p}{{A_r}_j} \\ \dfrac{N}{1+in}&=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{N_j}{1+in_j}} \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= \sum_{j=1}^{p}{{A}_j} \\ N(1-in)&=\sum_{j=1}^{p}{N_j(1-in_j)} \end{align} \]

Generalizando ainda mais para equivalência de dois conjuntos de títulos:

\[ \begin{align} \sum_{j=1}^{p}{{A_r}_j} &= \sum_{j=1}^{p^{\prime}}{{A_r^{\prime}}_j} \\ \sum_{j=1}^{p}{\dfrac{N_j}{1+i(n_j-x)}}&=\sum_{j=1}^{p^{\prime}}{\dfrac{N_j^{\prime}}{1+i(n_j^{\prime}-x)}} \end{align} \]

\[ \begin{align} \sum_{j=1}^{p}{{A}_j} &= \sum_{j=1}^{p^{\prime}}{{A}_j^{\prime}} \\ \sum_{j=1}^{p}{N_j(1+i(n_j-x))}&=\sum_{j=1}^{p^{\prime}}{N_j^{\prime}(1+i(n_j^{\prime}-x))} \end{align} \]

Fazendo \(x=0\) e \(x^{\prime}=0\) (datas focais na época atual), obtemos respectivamente as equações de vencimento comum a seguir que estabecem a equivalência na época atual, considerados respectivamente o desconto racional e o bancário:

\[ \begin{align} \sum_{j=1}^{p}{{A_r}_j} &= \sum_{j=1}^{p^{\prime}}{{A_r^{\prime}}_j} \\ \sum_{j=1}^{p}{\dfrac{N_j}{1+in_j}}&=\sum_{j=1}^{p^{\prime}}{\dfrac{N_j^{\prime}}{1+in_j^{\prime}}} \end{align} \]

\[ \begin{align} \sum_{j=1}^{p}{{A}_j} &= \sum_{j=1}^{p^{\prime}}{{A}_j^{\prime}} \\ \sum_{j=1}^{p}{N_j(1+i(n_j-x))}&=\sum_{j=1}^{p^{\prime}}{N_j^{\prime}(1+i(n_j^{\prime}-x))} \end{align} \]

Equivalência de conjuntos de títulos de crédito diferidos com desconto racional composto

Sejam \(N_1\) e \(N_2\) os valores nominais de dois títulos com vencimento, respectivamente, ao final dos prazos \(n_1\) e \(n_2\), sendo \(n_1<n_2\).

Admitamos que numa época focal \(x\) (data focal), anterior ao vencimentos destes títulos, seus valores atuais à mesma taxa \(i\) sejam iguais, i.e., \(x<n_1<n_2\):

\[ \begin{align} A_1&=A_2\\ N_1(1+i)^{-(n_1- x)} &= N_2(1+i)^{-(n_2- x)}\\ N_1(1+i)^{-n_1} &= N_2(1+i)^{-n_2} \end{align} \]

Este resultado vale também para épocas focais entre e após o vencimento dos títulos.

Data focal entre os vencimentos, i.e., \(n_1<x<n_2\)::

\[ \begin{align} A_1&=A_2\\ N_1(1+i)^{(x-n_1)} &= N_2(1+i)^{-(n_2- x)}\\ N_1(1+i)^{-n_1} &= N_2(1+i)^{-n_2} \end{align} \]

Data focal após os vencimentos, i.e., \(n_1<n_2<x\)::

\[ \begin{align} A_1&=A_2\\ N_1(1+i)^{(x-n_1)} &= N_2(1+i)^{(x-n_2)}\\ N_1(1+i)^{-n_1} &= N_2(1+i)^{-n_2} \end{align} \]

Portanto, se dois títulos são equivalentes numa certa época focal, são equivalentes também em qualquer outra época focal.

Em particular, a equivalência dos títulos \(N_1\) e \(N_2\), na época focal atual, i.e., \(x=0\), é expressa pela igualdade:

\[ \begin{align} A_1&=A_2\\ N_1(1+i)^{-(n_1- 0)} &= N_2(1+i)^{-(n_2- 0)}\\ N_1(1+i)^{-n_1} &= N_2(1+i)^{-n_2} \end{align} \]

Do resultado anterior se conclui que no RCJC, a equivalência de capitais independe da época focal em que é considerado.

Generalizando, temos que dois conjuntos de títulos diferidos \(N\) e \(N^{\prime}\) são equivalentes se os seus valores atuais racionais compostos são iguais em qualquer época focal, inclusive da data zero, i.e.:

\[ \begin{align} \sum_{h=1}^{a} A_h &= \sum_{h=1}^{a^{\prime}} A_h^{\prime} \\ \sum_{h=1}^{a} N_h \left(1 + i \right)^{-n_h} &= \sum_{h=1}^{a^{\prime}} N_h^{\prime} \left(1 + i \right)^{-n_h^{\prime}} \end{align} \]

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 23

Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3.5% a.m., qual é o valor nominal comercial do novo título?

Solução:

\[ \begin{align} N^{\prime} &= 5000 \\ i^{\prime} &= i = 3.5\%\text{ a.m.} \\ n^{\prime} &= 3 \text{ meses} \\ n &= 5 \text{ meses} \end{align} \]

Para que exista equivalência, devemos ter:

\[ \begin{align} A &= A^{\prime} \\ N (1 - i n) &= N^{\prime} (1 - i^{\prime} n^{\prime}) \\ N (1 - 0.035 \times 5) &= 5000 \times (1 - 0.035 \times 3) \\ N \times 0.825 &= 4475 \\ N &= 5424.24 \end{align} \]

O valor nominal comercial do título equivalente é R$ 5.424,24.

Exercício 24

Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$ 3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% a.m., qual será o valor nominal do novo título?

Solução:

\[ \begin{align} N_1 &= 3000 \\ n_1 &= 2 \text{ meses} \\ N_2 &= 3.600 \\ n_2 &= 6 \text{ meses} \\ i &= i_1 = i_2 = 3\%\text{ a.m.} \\ n &= 4 \text{ meses} \end{align} \]

Para que exista equivalência, devemos ter:

\[ \begin{align} A &= A_1 + A_2 \\ N (1 - i n) &= N_1 (1 - i_1 n_1) + N_2 (1 - i_2 n_2) \\ N \times (1 - 0.03 \times 4) &= 3000 \times (1 - 0.03 \times 2) + 3.600 \times (1 - 0.03 \times 6) \\ N \times 0.88 &= 2820 + 2952 \\ N \times 0.88 &= 5772 \\ N &= 6559.09 \end{align} \]

O valor nominal comercial do título equivalente é R$ 6.559,09.

Exercício 25

Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 12.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% a.m.

Solução:

\[ \begin{align} N_1^{\prime} &= 5000 \\ n_1^{\prime} &= 90 \text{ dias} = 3 \text{ meses} \\ N_2^{\prime} &= 12000 \\ n_2^{\prime} &= 60 \text{ dias} = 2 \text{ meses} \\ i_1^{\prime} &= i_2^{\prime} = i_1 = i_2 = i_3 = 3\%\text{ a.m.} \\ n_1 &= 30 \text{ dias} = 1 \text{ mês} \\ n_2 &= 60 \text{ dias} = 2 \text{ meses} \\ n_3 &= 90 \text{ dias} = 3 \text{ meses} \end{align} \]

Para que exista equivalência, devemos ter:

\[ \begin{align} A_1 + A_2 + A_3 &= A_1^{\prime} + A_2^{\prime} \\ N (1 - i n_1) + N (1 - i n_2) + N (1 - i n_3) &= N_1^{\prime} (1 - i_1^{\prime} n_1^{\prime}) + N_2^{\prime} (1 - i_2^{\prime} n_2^{\prime}) \\ N (1 - 0.03 \times 1) + N (1 - 0.03 \times 2) + N (1 - 0.03 \times 3) &= 5000 \times (1 - 0.03 \times 3) + 12000 \times (1 - 0.03 \times 2) \\ N \times 0.97 + N \times 0.94 + N \times 0.91 &= 4550 + 11280 \\ N \times 2.82 &= 15830 \\ N &= 5613.47 \end{align} \]

O valor nominal comercial de cada um dos novos títulos equivalentes é R$ 5.613,47.

Exercício 26

Calcular o valor nominal de um título de vencimento a 72 dias, capaz de substituir, na época atual, três títulos de valores nominais R$ 1.800,00, R$ 2.400,00 e R$ 3.600,00 e vencimentos a 40, 90 e 80 dias, respectivamente. Considerar o desconto bancário à taxa de 5% a.a.

Solução:

\[ \begin{align} N(1-in)&=\sum_{j=1}^{3}{N_j(1-in_j)}\\ N&=\dfrac{\sum_{j=1}^{3}{N_j(1-in_j)}}{1-in} \\ N&=\dfrac{1800\left(1-0.05\dfrac{40}{360}\right)+2400\left(1-0.05\dfrac{90}{360}\right)+3600\left(1-0.05\dfrac{80}{360}\right)}{1-0.05\dfrac{72}{360}} \\ N&=7798 \end{align} \]

Resposta:

O valor nominal do título de vencimento a 72 dias, na época atual, equivalente é R$ 7.798,00.

Exercício 27

Um médico deve a um banco as seguintes importâncias: R$ 5.000,00 a pagar no fim de 50 dias, R$ 4.000,00 a pagar no fim de 80 dias e R$ 3.000,00 no fim de 120 dias. Propõe ao banco substituir esses três pagamentos por dois pagamentos de R$ 6.000,00 cada um, devendo o primeiro ser realizado no fim de 60 dias. Calcular a data em que deve ser feito o segundo pagamento.

Solução:

\[ 5000\left(1-\dfrac{50i}{360}\right)+4000\left(1-\dfrac{80i}{360}\right)+3000\left(1-\dfrac{120i}{360}\right)=\\6000\left(1-\dfrac{60i}{360}\right)+6000\left(1-\dfrac{ti}{360}\right) \]

\(t=95\)

Resposta:

O segundo pagamento deve ser realizado 95 dias a contar da época atual.

Exercício 28

Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% a.m., qual o valor nominal do novo título?

Solução:

\[ \begin{align} N^{\prime} &= 7000 \\ i^{\prime} &= i = 3\% \text{ a.m.} \\ n^{\prime} &= 5 \text{ meses} \\ n &= 3 \text{ meses} \end{align} \]

\[ \begin{align} A &= A^{\prime} \\ N \left(1 + i\right)^{-n} &= N^{\prime} \left(1 + i^{\prime} \right)^{-n^{\prime}} \\ N \times \left(1 + 0.03\right)^{-3} &= 7000 \times \left(1 + 0.03\right)^{-5} \\ N &= 6598.19 \end{align} \]

O valor nominal do novo título é R$ 6.598,19.

Exercício 29

Um comerciante, devedor de um título de R$ 40000 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% a.a., calcule o valor desses pagamentos.

Solução:

\[ \begin{align} N^{\prime} &= 40000 \\ n^{\prime} &= 3 \text{ anos} \\ i^{\prime} &= i_1 = i_2 = 40\% \text{ a.a.} \\ n_1 &= 1 \text{ ano} \\ n_2 &= 2 \text{ anos} \\ N &= N_1 = N_2 \end{align} \]

Para que exista equivalência, devemos ter:

\[ \begin{align} A_1 + A_2 &= A^{\prime} \\ N_1 \left(1 + i_1 \right)^{-n_1} + N_2 \left(1 + i_2 \right)^{-n_2} &= N^{\prime} \left(1 + i^{\prime} \right)^{-n^{\prime}} \\ N \times \left(1 + 0.4 \right)^{-1} + N \times \left(1 + 0.4 \right)^{-2} &= 40000 \times \left(1 + 0.4 \right)^{-3} \\ N \times 0.7143 + N \times 0.5102 &= 40000 \times 0.3651 \\ N \times 1.2245 &= 14604 \\ N &= 11904.71 \end{align} \]

O valor de cada um dos dois pagamentos é R$ 11.904,71.

Exercício 30

Um industrial toma um empréstimo de R$ 500.000,00 por 4 anos, com juro de 40% a.a., capitalizados trimestralmente. Passado algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% a.a. com capitalizações semestrais.

Solução:

\[ \begin{align} 500000 \left( 1 + \dfrac{0.4}{4} \right)^{4 \times 4} &= A \left( 1 + \dfrac{0.36}{2} \right)^{2 \times 2} + A \left( 1 + \dfrac{0.36}{2} \right)^{2 \times 1} + A \left( 1 + \dfrac{0.36}{2} \right)^{0} \\ 500000 \times 1.1^{16} &= A \times 1.18^4 + A \times 1.18^2 + A \times 1.18^0 \\ 500000 \times 1.1^{16} &= A \times \left(1.18^4 + 1.18^2 + 1\right) \\ A &= \dfrac{500000 \times 1.1^{16}}{1.18^4 + 1.18^2 + 1} \\ A &= \dfrac{2297486}{4.33} \\ A &= 530453.10 \end{align} \]

Resposta:

O valor de cada um dos três pagamentos é R$ 530.453,10.

Renda Constante

Introdução

Na prática financeira é frequente uma pessoa física ou jurídica efetuar numa entidade de crédito uma sucessão de pagamentos, em datas previamente estipuladas, seja com o objetivo de de constituir capital seja com o fim de amortizar um débito contraído.

Uma sucessão de \(n\) pagamentos ou termos \(T_1, T_2, \ldots, T_n\) é denominada renda certa.

Se \(n\) é um número finito, a renda denomina-se temporária ou provisória. Se \(n\) é infinito, a renda denomina-se perpétua.

Se os pagamentos são iguais, \(T_1=T_2=\cdots=T_n=T\), diz-se que a renda é de termo constante \(T\). Em caso contrário, diz-se que ela é de termo variável.

Se o número de termos, seus vencimentos e seus termos são fixados (determinísticos), a renda denomina-se certa (sem incerteza).

Se as épocas ocorrem em intervalos de tempo iguais, a renda denomina-se periódica. E.g.: Se o intervalo é o mês, a renda é mensal.

Se seus termos são iguais à unidade de capital, \(T=1\) u.m., a renda denomina-se unitária.

A renda certa perídica uniforme pode ser postecipada (imediata), antecipada, postecipada diferida ou antecipada diferida.

Diz-se que uma renda periódica é imediata se o vencimento de seu primeiro termo ocorre no fim de um período a partir da época atual. Se a renda imediata é temporária de \(n\) termos, o vencimento de seu último termo dar-se-á no fim de \(n\) períodos a partir da época atual.

Uma renda periódica é antecipada se o vencimento de seu primeiro termo ocorre na época atual. Se é uma renda de \(n\) termos, o vencimento de seu último termo dá-se no fim de \(n-1\) períodos a contar da época atual.

Uma renda periódica é postecipada diferida de \(m\) períodos se o vencimento de seu primeiro termo ocorre no fim de \(m+1\) períodos a partir da época atual. Se a renda tem \(n\) termos, o vencimento de seu último termo dá-se no fim de \(m+n\) períodos a contar da época atual, sendo que \(m\) denomina-se o diferimento da renda.

Glossário e Sinonímia

Capitalização: constituir capital depositando quantias em épocas distintas; e.g.: realizar depósitos mensais na caderneta de poupança.

Amortização: resgatar dívida pagando quantias em épocas distintas; pagar a dívida em prestações regulares; e.g.: comprar um bem pagando prestações mensais.

Renda ou Anuidade: sucessão de depósitos ou de prestações em épocas diferentes e equiespaçadas destinada a formar um capital ou pagar dívida; Renda \(R = \left(T_1, T_2, \ldots, T_n \right)\), sendo que \(T_i\) é o \(i\)-ésimo termo da renda; e.g.: compra de um automóvel em 24 prestações mensais de R$ 400,00; período da renda = mês, número de termos da renda \(n = 24\) meses, termos da renda \(T_i\) = R$ 400,00, \(i = 1, 2, \ldots, n\), i.e., \(R = \left(400\right)^{24}_1\).

Renda certa: renda na qual o número de termos, seus vencimentos e seus termos são fixados (determinísticos); e.g.: compra de um automóvel.

Renda aleatória ou estocástica: renda na qual pelo menos um dos elementos não pode ser previamente fixado; e.g.: seguro de vida: o número de termos não pode ser fixado previamente.

Renda periódica: renda na qual o período de renda é constante.

Renda constante ou uniforme: renda na qual os termos de renda são iguais.

Renda variável: renda na qual pelo menos dois termos de renda são diferentes.

Renda imediata ou postecipada: renda na qual a data de vencimento do primeiro termo ocorre no fim do primeiro período a contar da data zero, i.e., na data de assinatura do contrato; HP12C: g END (default).

Renda antecipada: renda na qual a data de vencimento do primeiro termo ocorre na data zero, i.e., na data de assinatura do contrato; HP12C: g BEGIN.

Renda diferida: renda cujo primeiro termo de renda ocorre \(m+1\) períodos a partir da data zero, i.e., na data de assinatura do contrato.

Renda perpétua ou Perpetuidade: sequência de prestações periódicas iguais ou variáveis por tempo indefinido.

Prestação: valor pago periodicamente (mensal, anual etc.), podendo ser parte de um financiamento, empréstimo ou contrato.

Sinônimos de anuidade:

• Série uniforme de pagamentos
  
• Renda periódica
  
• Fluxo periódico
  
• Série financeira
  
• Sequência de prestações
  
• Pagamentos regulares
  
• Renda fixa periódica
  
• Fluxo constante (se for anuidade uniforme)
  
• Renda vitalícia (no contexto atuarial)
  
• Renda temporária (se por tempo finito)

Sinônimos de prestação:

• Parcela
  
• Pagamento
  
• Quota
  
• Mensalidade (se o pagamento for mensal)
  
• Duplicata (em alguns contextos comerciais)
  
• Valor parcelado
  
• Entrada (se for a primeira prestação)
  
• Fluxo de caixa periódico
  
• Desembolso periódico

Capitalização composta

A série de pagamentos (anuidade ou renda) é periódica, uniforme e certa.

Chama-se montante ou valor final de uma renda a soma dos montantes de cada um de seus termos durante os prazos decorridos do vencimento de cada um ao vencimento do último termo.

Consideraremos, nesse estudo, separadamente o caso das rendas temporárias e o das rendas perpétuas.

Renda postecipada (imediata)

A série postecipada ou imediata ocorre quando o primeiro pagamento se dá no final do primeiro período, normalmente 30 dias, depois da contratação do empréstimo ou financiamento. É o método mais utilizado nos financiamentos e empréstimos bancários e comerciais.

Montante de Renda Certa Periódica Postecipada

O montante de uma renda postecipada é:

\[ \begin{align} S_{n\rceil i} &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)^{a-1} \\ &= T \dfrac{(1+i)^n - 1}{i} \\ S_{n\rceil i} &= T \,s_{n\rceil i} \end{align} \]

\(S_{n\rceil i}\): lê-se \(S_n\) cantoneira \(i\).

O fator de capitalização postecipada é:

\[ \begin{align} s_{n \rceil i} &= \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}\\ s_{n \rceil i} &\approx n, \; i\le0.005\\\\ S_{n\rceil i} &\approx T n \end{align} \]

Se a renda é unitária, \(T=1\) u.m., então:

\[ \begin{align} S_{n\rceil i} &= \;s_{n\rceil i} \end{align} \]

Portanto, \(s_{n\rceil i}\) é a diferença entre o montante de uma renda unitária perpétua diferida de \(n\) períodos e o valor atual da uma renda unitária perpétua.

\[ \begin{align} s_{n \rceil i} &= \dfrac{(1+i)^n - 1}{i} \\ s_{n\rceil i} &= \dfrac{1\times (1+i)^{n}}{i}-\dfrac{1}{i} \end{align} \]

O número de períodos \(n\) é dado por:

\[ \begin{align} n &= \dfrac{\ln\left(1+\dfrac{iS_{n\rceil i}}{T}\right)}{\ln(1+i)} \end{align} \]

Exemplo 1

Uma pessoa deposita numa financeira, com capitalização postecipada, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro composto de 2% a.m., capitalizados mensalmente.

\[ \begin{align} T &= 100 \\ n &= 5 \text{ meses} \\ i &= 2\%\text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} S_{5\rceil 2\%} &= 100 \times \dfrac{(1+0.02)^5 - 1}{0.02} \\ S_{5\rceil 2\%} &= 520.40\\ S_{5\rceil 2\%} &\approx 100\times 5 = 500 \end{align} \]

f REG f 2 g END 2 i 5 n 100 CHS PMT FV {520.40}

FinCal::fv.annuity(r=0.02, n=5, pmt=-100, type=0)

[1] 520.404

FinCal::fv(r=0.02, pv=0, n=5, pmt=-100, type=0)

[1] 520.404

Exemplo 2

Uma pessoa deposita numa financeira, com capitalização postecipada, a quantia de R$ 100,00. O montante é R$ 520,40. Calcule o número de prestações, sabendo que essa financeira paga juro composto de 2% a.m., capitalizados mensalmente.

\[ \begin{align} T &= 100 \\ S_{n\rceil2\%} &= 520.40 \\ i &= 2\%\text{ a.m.} \end{align} \]

f REG f 2 g END 2 i 100 CHS PMT 520.4 FV n {5.00}

round(FinCal::n.period(r=0.02, pv=0, fv=520.40, pmt=-100, type=0),2)

[1] 5

Exemplo 3

Uma pessoa deposita numa financeira, com capitalização postecipada, a quantia de R$ 100,00. O montante é R$ 520,40. Calcule a taxa de juro a.m. sabendo que o número de prestações mensais é 5.

\[ \begin{align} T &= 100 \\ S_{5\rceil i} &= 520.40 \\ n &= 5 \end{align} \]

f REG f 2 g END 5 n 100 CHS PMT 520.4 FV i {2.00}

print(FinCal::discount.rate(n=5 , pv=0, fv=520.4, pmt=-100, type=0),
      digits=3)

[1] 0.02

Renda antecipada

Montante de Renda Certa Periódica Antecipada

O montante de uma renda antecipada é:

\[ \begin{align} \bar{S}_{n\rceil i} &= \sum_{a=1}^{n} T \left(1 + i\right)^a \\ &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)\left(1 + i\right)^{a-1} \\ &= T (1+i)s_{n\rceil i}\\ \bar{S}_{n\rceil i} &= T \left( s_{n+1\rceil i} - 1 \right) \end{align} \]

O fator de capitalização antecipada é:

\[ \begin{align} s_{n+1\rceil i} &= \dfrac{\left(1 + i\right)^{n+1} - 1}{i}\\ s_{n+1 \rceil i} &\approx n+1, \; i\le0.005\\\\ S_{n+1\rceil i} &\approx T (n+1) \end{align} \]

Se a renda é unitária, \(T=1\) u.m., então:

\[ \begin{align} \bar{S}_{n\rceil i} &= s_{n+1\rceil i} - 1 \end{align} \]

Exemplo 1

Uma pessoa deposita numa financeira, com capitalização antecipada, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro composto de 2% a.m., capitalizados mensalmente.

\[ \begin{align} T &= 100 \\ n &= 5 \text{ meses} \\ i &= 2\% \text{ a.m.} \end{align} \]

\[ \begin{align} \bar{S}_{n\rceil i} &= T \dfrac{(1+i)^{n+1} -1}{i} -1 \\ \bar{S}_{5\rceil 2\%} &= 100 \times \dfrac{(1+0.02)^{5+1} -1}{0.02} -1 \\ \bar{S}_{5\rceil 2\%} &= 530.81 \\ \bar{S}_{5\rceil 2\%} &\approx 100\times 6 = 600 \end{align} \]

Note que o montante aumenta, pois há uma primeira capitalização já no início do período, aumentando o saldo credor, sobre o qual incidem os juros.

f REG g BEG 2 i 5 n 100 CHS PMT FV {530.81}

FinCal::fv.annuity(r=0.02, n=5, pmt=-100, type=1)

[1] 530.8121

FinCal::fv(r=0.02, pv=0, n=5, pmt=-100, type=1)

[1] 530.8121

Amortização composta

Chama-se valor atual de uma renda a soma dos valores atuais de seus termos.

O objetivo é calcular o valor atual de uma dívida (ou de um empréstimo ou valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas, uniformes e certas, sobre as quais incide a mesma taxa de juro.

Consideraremos, nesse estudo, separadamente o caso das rendas temporárias e o das rendas perpétuas.

Renda postecipada (imediata)

A primeira prestação é paga no final do período após a assinatura do contrato (data zero).

Valor Atual de Renda Certa Periódica Postecipada

\[ \begin{align} A_{n\rceil i} &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)^{-a} \\ &= T \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \\ A_{n\rceil i} &= T \, a_{n\rceil i} \end{align} \]

\(a_{n\rceil i}\): fator de amortização renda postecipada

\(A_{n\rceil i}\): valor atual de renda postecipada

O fator de amortização renda postecipada é:

\[ \begin{align} a_{n\rceil i} &= \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} \\ a_{n\rceil i} &\approx n,\quad i\le0.005 \text{ e }n\le60 \end{align} \]

O valor atual da perpetuidade postecipada é:

\[ \begin{align} a_{\infty\rceil i} &= \dfrac{1}{i},\;n\to\infty\\ A_{\infty\rceil i} &= \dfrac{T}{i} \end{align} \]

Se a renda é unitária, \(T=1\) u.m., então:

\[ \begin{align} A_{n\rceil i} &= \;a_{n\rceil i} \end{align} \]

Portanto, \(a_{n\rceil i}\) é a diferença entre o valor atual da uma renda unitária perpétua e o valor atual de uma renda unitária perpétua diferida de \(n\) períodos.

\[ \begin{align} a_{n\rceil i} &= \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} \\ a_{n\rceil i} &= \dfrac{1}{i}-\dfrac{1\times(1+i)^{-n}}{i} \end{align} \]

limit (1-(1+r)^(-n))/r as n->infinity

O número de períodos \(n\) é dado por:

\[ \begin{align} n &= \dfrac{\ln\left(1-\dfrac{iA_{n\rceil i}}{T}\right)}{\ln(1+i)} \end{align} \]

Exemplo 1

Determinar o valor da prestação de um financiamento de R$ 1.000,00, no prazo de 6 meses, a uma taxa de 2.7% a.m.

Solução:

f REG f 2 g END 1000 PV 6 n 2.7 i PMT {-182.77}

FinCal::pmt(r=0.027, pv=1000, n=6, fv=0, type=0)

[1] -182.7662

Exemplo 2

Suponha que você queira assegurar que será possível pagar a faculdade da sua filha daqui a 14 anos. Você estima que o custo anual será aproximadamente R$ 6.000 (R$ 500 por mês) durante 4 anos. Suponha que ela resgatará R$ 500 de uma caderneta de poupança no final de cada mês. Quanto você precisará depositar nessa conta, quando ela começar a faculdade, se a conta pagar 6% a.a. com capitalização mensal?

Solução:

f REG f 2 g END 4 g 12 × 6 g 12 ÷ 500 PMT g END PV {-21,290.16}

FinCal::pv(r=0.06/12, fv=0, n=12*4, pmt=500, type=0)

[1] -21290.16

Renda antecipada

A primeira prestação é paga na assinatura do contrato (data zero).

Valor Atual de Renda Certa Periódica Antecipada

\[ \begin{align} \bar{A}_{n\rceil i} &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)^{-(a-1)} \\ &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)(1+i)^{-a}\\ &= T (1+i)a_{n\rceil i}\\ \bar{A}_{n\rceil i} &= T \left( a_{n-1\rceil i} + 1 \right) \end{align} \]

\(a_{n-1\rceil i} + 1\): fator de amortização de renda antecipada

\(\bar{A}_{n\rceil i}\): valor atual de renda antecipada

O fator de amortização renda antecipada é:

\[ \begin{align} a_{n-1\rceil i} &= \dfrac{1-(1+i)^{-(n-1)}}{i} \\ a_{n-1\rceil i} &\approx n-1,\quad i\le0.005 \text{ e }n\le60 \end{align} \]

O valor atual da perpetuidade antecipada é:

\[ \begin{align} a_{\infty\rceil i} &= \dfrac{1}{i},\;n\to \infty\\ \bar{A}_{\infty\rceil i} &= T \left( \dfrac{1}{i} + 1 \right) \\ \bar{A}_{\infty\rceil i} &= A_{\infty\rceil i} + T \end{align} \]

limit (1-(1+r)^(-(n-1)))/r as n->infinity

Exemplo 1

Determinar o valor da prestação de um financiamento de renda antecipada de R$ 1.000,00, no prazo de 6 meses, a uma taxa de 2.7% a.m.

Solução:

f REG f 2 g BEG 1000 PV 6 n 2.7 i PMT {-177.96}

FinCal::pmt(r=0.027, pv=1000, n=6, fv=0, type=1)

[1] -177.9612

Note que o valor da parcela diminui, pois há uma primeira amortização já no início do período, reduzindo o saldo devedor, sobre o qual incidirão os juros.

Renda diferida

Se a primeira prestação é paga no ínício do primeiro período após o período de carência \(m+1\), \(1\le m<n\), após a assinatura do contrato (data zero), então denomina-se renda postecipada diferida.

Se a primeira prestação é paga no início do período de carência \(m\), \(2\le m<n\), após a assinatura do contrato (data zero), então denomina-se renda antecipada diferida.

Renda Postecipada Diferida

O valor atual da renda postecipada diferida é:

\[ \begin{align} {}_{m}|A_{n\rceil i} &= T \times {}_{m}|a_{n\rceil i} \\ {}_{m}|A_{n\rceil i} &= T \left( a_{m+n\rceil i} - a_{m\rceil i} \right) \\ {}_{m}|A_{n\rceil i} &= T (1+i)^{-m}a_{n \rceil i} \\\\ {}_{m}|A_{n\rceil i} &\approx T \dfrac{n}{1+im},\quad i\le0.005 \text{ e } n\le60\\ \end{align} \]

\(m \geq 1\): número de períodos de diferimento (período de carência)

\({}_{m}|a_{n\rceil i} =a_{m+n\rceil i} - a_{m\rceil i}\): fator de amortização renda postecipada diferida

\({}_{m}|A_{n\rceil i}\): valor atual de renda postecipada diferida

O valor atual da perpetuidade postecipada diferida é:

\[ \begin{align} a_{\infty\rceil i} &= \dfrac{1}{i},\;n\to\infty\\\\ {}_{m}|A_{\infty\rceil i} &= \dfrac{T}{i}(1+i)^{-m}\\ {}_{m}|A_{\infty\rceil i} &= A_{\infty\rceil i}(1+i)^{-m} \end{align} \]

limit (1-(1+r)^(-(n-1)))/r as n->infinity

O valor atual da renda antecipada diferida é:

\[ \begin{align} {}_{m}|\bar{A}_{n\rceil i} &= T \left( a_{m-1+n\rceil i} - a_{m-1\rceil i} \right) \\ {}_{m}|\bar{A}_{n\rceil i} &= T (1+i)^{-(m-1)}a_{n \rceil i} \\\\ {}_{m}|\bar{A}_{n\rceil i} &\approx T \dfrac{n}{1+i(m-1)},\quad i\le0.005 \text{ e } n\le60\\ \end{align} \]

\(m \geq 1\): número de períodos de diferimento (período de carência)

\(a_{m-1+n\rceil i} - a_{m-1\rceil i}\): fator de amortização renda antecipada diferida

\({}_{m}|\bar{A}_{n\rceil i}\): valor atual de renda antecipada diferida

O valor atual da perpetuidade diferida é:

\[ \begin{align} a_{\infty\rceil i} &= \dfrac{1}{i},\;n\to\infty\\ {}_{m}|\bar{A}_{\infty\rceil i} &= \dfrac{\dfrac{T}{i}}{(1+i)^{m-1}}= \dfrac{A_{\infty\rceil i}}{(1+i)^{m-1}} \end{align} \]

Exemplo 1

Determinar o valor da prestação de um financiamento de R$ 1.000,00, no prazo de 6 meses com carência de 3 meses, a uma taxa de 2.7% a.m.

Solução:

f REG f 2 1000 PV 2 n 2.7 i FV CHS PV 6 n 0 FV g END PMT {-192.77}

f REG f 2 1000 PV 3 n 2.7 i FV CHS PV 6 n 0 FV g BEG PMT {-192.77}

FinCal::pmt(r=0.027, 
            pv=-FinCal::fv(r=0.027, pv=1000, n=3-1, pmt=0, type=0), 
            n=6, 
            fv=0, 
            type=0)

[1] -192.7688

FinCal::pmt(r=0.027, 
            pv=-FinCal::fv(r=0.027, pv=1000, n=3, pmt=0, type=0), 
            n=6, 
            fv=0, 
            type=1)

[1] -192.7688

Note que o valor da parcela aumenta, pois há uma primeira amortização já no início do período após o período de 3 meses de carência, aumentando o saldo devedor, sobre o qual incidirão os juros.

Note também que primeiramente é necessário estabelecer o cálculo do valor total do financiamento com os juros acumulados durante o período de carência (no exemplo, 3 meses), no qual não há pagamentos, mas os juros incidem normalmente. Executado este cálculo, o resultado do valor futuro torna-se o principal, para restabelecer a conta, considerando o período normal. O valor futuro (FV) deve ser zerado para que o cálculo anterior não influencie a determinação da parcela. Em seguida, o prazo de pagamento do financiamento é alterado para 6 meses. Finalmente, garantir que o modo de renda antecipada (BEG). Isso porque, se calcularmos as prestações no modo postecipado (END), serão acrescidos 30 dias (1 mês comercial) para o primeiro pagamento, alterando a carência de 3 para 4 meses e produzindo, portanto, um resultado errado.

Identidade entre renda e empréstimo

Consideremos uma renda de \(n\) termos iguais a \(T\) de valor atual \(A\) a uma taxa de juro \(i\).

Do ponto de vista financeiro, há equivalência entre o capital \(A\), disponível na época atual, e o conjunto dos \(n\) capitais \(T\), disponíveis periodicamente, a partir de uma certa data, conforme a natureza da renda.

Sistema de Amortização Francês (SAF)

Então, o possuidor do capital \(A\), na época atual, pode trocá-la pelo conjunto dos \(n\) capitais \(T\).

Isto equivale a dizer que o capital \(A\) poderá ser cedido, por empréstimo, e reembolsado, à taxa \(i\), mediante os \(n\) pagamentos \(T\), que denomina, então, anuidades.

Assim se constitui o Sistema de Amortização Francês (SAF), cujo estudo será feito a seguir.

Elasticidade

# Parâmetros fixos
i_fix <- 0.05
n_fix <- 20

# --- Gráfico 1: A(n) e S(n) no mesmo gráfico (i fixo) ---
A_n <- function(n) (1 - (1 + i_fix)^(-n)) / i_fix
S_n <- function(n) ((1 + i_fix)^n - 1) / i_fix

curve(A_n(x),
      from = 1, to = 36,
      xlab = "n (períodos)",
      ylab = "Valor",
      main = paste("A(n) e S(n) para i =", i_fix * 100, "%"),
      lwd = 2,
      lty=1,
      ylim = c(0, S_n(36)))

curve(S_n(x),
      from = 1, to = 36,
      add = TRUE,
      lwd = 2,
      lty=2)

legend("topleft",
       legend = c("Valor Atual A(n)", "Montante S(n)"),
       lty = 1:2,
       lwd = 2,
       bty = "n")

# --- Gráfico 2: A(i) e S(i) no mesmo gráfico (n fixo) ---
A_i <- function(i) (1 - (1 + i)^(-n_fix)) / i
S_i <- function(i) ((1 + i)^n_fix - 1) / i

curve(A_i(x),
      from = 0.01, to = 0.20,
      xlab = "Taxa de juro i",
      ylab = "Valor",
      main = paste("A(i) e S(i) para n =", n_fix),
      lwd = 2,
      lty=1,
      ylim = c(0, S_i(0.20)))

curve(S_i(x),
      from = 0.01, to = 0.20,
      add = TRUE,
      lwd = 2,
      lty=2)

legend("topleft",
       legend = c("Valor Atual A(i)", "Montante S(i)"),
       lty=1:2,
       lwd = 2,
       bty = "n")

Montante de renda postecipada: Desmos Gráfico

• The Formulas behind Savings, Investing, and Annuities: Dr. Trefor Bazett: YouTube

A elasticidade do montante de renda postecipada em relação ao número de períodos é:

\[ \begin{align} \eta_n\left(S_{n\rceil i}\right) &= T\dfrac{\ln(1+i)}{i}\dfrac{n}{a_{n\rceil i}} \end{align} \]

simplify n D[((1+r)^n-1)/r,{n,1}]/ (((1+r)^n-1)/r)

A elasticidade do montante de uma renda postecipada em relação à taxa de juro é:

\[ \begin{align} \eta_i\left(S_{n\rceil i}\right) &= T\left(\dfrac{n(1+i)^{n-1}}{s_{n\rceil i}}-1\right)\\ \eta_i\left(S_{n\rceil i}\right) &= T\left(\dfrac{n}{a_{n-1\rceil i}+1}-1\right)\\ \end{align} \]

simplify r D[((1+r)^n-1)/r,{r,1}]/ (((1+r)^n-1)/r)

Valor atual de renda postecipada: Desmos Gráfico

• The Formulas behind Savings, Investing, and Annuities: Dr. Trefor Bazett: YouTube

A elasticidade do valor atual de renda postecipada em relação ao número de períodos é:

\[ \begin{align} \eta_n\left(A_{n\rceil i}\right) &= T\dfrac{\ln(1+i)}{i}\dfrac{n}{s_{n\rceil i}} \end{align} \]

simplify n D[((1+r)^n-1)/r,{n,1}]/ (((1+r)^n-1)/r)

A elasticidade do valor atual de uma renda postecipada em relação à taxa de juro é:

\[ \begin{align} \eta_i\left(A_{n\rceil i}\right) &= T\left(\dfrac{n(1+i)^{-1}}{s_{n\rceil i}}-1\right) \\ \eta_i\left(A_{n\rceil i}\right) &= T\left(\dfrac{n}{s_{n+1\rceil i}-1}-1\right) <0 \end{align} \]

simplify r D[(1-(1+r)^(-n))/r,{r,1}]/ ((1-(1+r)^(-n))/r)

# Parâmetros fixos
T <- 1
n_fix <- 20
i_fix <- 0.05

# 1. Gráfico: Elasticidades em relação a i (n fixo)
eta_i_A <- function(i) T * ((n_fix / (1 + i)) / ((1 + i)^n_fix - 1) * i - 1)
eta_i_S <- function(i) T * ((n_fix * (1 + i)^(n_fix - 1)) / ((1 + i)^n_fix - 1) * i - 1)

curve(eta_i_A(x),
      from = 0.01, to = 0.20,
      xlab = "Taxa de juro (i)",
      ylab = expression(eta[i]),
      main = paste0("Elasticidades em relação a i (n = ", n_fix, ")"),
      lty=1,
      lwd = 2,
      ylim = c(min(eta_i_A(0.2), eta_i_S(0.01)) - 0.5, max(eta_i_S(0.2)) + 0.5))

curve(eta_i_S(x),
      from = 0.01, to = 0.20,
      lty=2,
      lwd = 2,
      add = TRUE)
abline(h=0, lty=4)

legend("topleft",
       legend = c(expression(eta[i](A)) , expression(eta[i](S))),
       lty=1:2,
       lwd = 2,
       bty = "n")

# 2. Gráfico: Elasticidades em relação a n (i fixo)
s_n_i <- function(n, i) ((1 + i)^n - 1) / i
a_n_i <- function(n, i) (1 - (1 + i)^(-n)) / i

eta_n_A <- function(n) T * log(1 + i_fix) / i_fix * n / s_n_i(n, i_fix)
eta_n_S <- function(n) T * log(1 + i_fix) / i_fix * n / a_n_i(n, i_fix)

curve(eta_n_A(x),
      from = 1, to = 50,
      xlab = "Número de períodos (n)",
      ylab = expression(eta[n]),
      main = paste("Elasticidades em relação a n (i =", i_fix * 100, "%)"),
      lty=1,
      lwd = 2,
      ylim = c(0, eta_n_S(50) + 1))

curve(eta_n_S(x),
      from = 1, to = 50,
      lty=2,
      lwd = 2,
      add = TRUE)
abline(h=0, lty=4)

legend("topleft",
       legend = c(expression(eta[n](A)), expression(eta[n](S))),
       lty=1:2,
       lwd = 2,
       bty = "n")

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 1: Demonstre que …

1. \(\dfrac{1}{a_{n \rceil i}} = i + \dfrac{1}{s_{n \rceil i}}\)

2. \(\dfrac{1}{a_{\infty \rceil i}} = i + \dfrac{1}{s_{\infty \rceil i}}\)

3. \((1+i)s_{n \rceil i} = s_{n+1 \rceil i}-1\)

4. \((1+i)a_{n \rceil i} = a_{n-1 \rceil i}+1\)

5. \((1+i)^ks_{n \rceil i} = s_{n+k \rceil i}-s_{k \rceil i}\)

6. \((1+i)^{-k}a_{n \rceil i} = a_{n+k \rceil i}-a_{k \rceil i}\)

7. \((1+i)^ka_{n \rceil i} = s_{k \rceil i} - s_{k-n \rceil i}, \; k>n\)

8. \((1+i)^{-k}s_{n \rceil i} = a_{k-n \rceil i} - a_{k \rceil i}, \; k>n\)

9. \(\dfrac{s_{n \rceil i}}{a_{n \rceil i}}=(1+i)^{n}\)

Solução de (a):

\[ \begin{align} \dfrac{1}{a_{n \rceil i}} &= i + \dfrac{1}{s_{n \rceil i}}\\ \dfrac{1}{\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}} &= i + \dfrac{1}{\dfrac{\left(1 + i\right)^{n} - 1}{i}}\\ \dfrac{1}{1 - (1+i)^{-n}} &= 1 + \dfrac{1}{\left(1 + i\right)^{n} - 1}\\ \dfrac{(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1} &= \dfrac{(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}\\ \end{align} \]

Solução de (b):

\[ \begin{align} \dfrac{1}{a_{\infty \rceil i}} &= i + \dfrac{1}{s_{\infty \rceil i}}\\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{i}} &= i + \dfrac{1}{\infty}\\ i&=i \end{align} \]

Exercício 2

Uma loja vende um eletrodoméstico em 8 prestações mensais de R$ 28,00 ou em 12 prestações mensais de R$ 21,00. Em ambos os casos, o cliente não dará entrada. Sabendo que a taxa de juro da loja é de 3% a.m., determinar o aumento verificado na segunda alternativa (diferença dos valores atuais das anuidades).

Solução:

f REG f 2 28 CHS PMT 3 i 8 n PV {196.55} STO 1 CLx

f FIN f 2 21 CHS PMT 3 i 12 n PV {209.03} ENTER RCL 1 – {12.48}

pmt calculator: I

pmt calculator: II

# Definindo os parâmetros
prestacao_8 <- -28
prestacao_12 <- -21
taxa_juro_mensal <- 0.03
n_meses_8 <- 8
n_meses_12 <- 12

# Calculando o valor presente para ambas as opções usando pv.annuity() do FinCal
PV_8 <- FinCal::pv.annuity(pmt=prestacao_8, 
                           r=taxa_juro_mensal, 
                           n=n_meses_8)
PV_12 <- FinCal::pv.annuity(pmt=prestacao_12, 
                            r=taxa_juro_mensal, 
                            n=n_meses_12)

# Calculando a diferença entre os valores presentes
diferenca_PV <- PV_12 - PV_8

# Exibindo os resultados
cat("Valor presente da opção de 8 prestações: R$", round(PV_8, 2), "\n")

Valor presente da opção de 8 prestações: R$ 196.55 

cat("Valor presente da opção de 12 prestações: R$", round(PV_12, 2), "\n")

Valor presente da opção de 12 prestações: R$ 209.03 

cat("Diferença entre os valores presentes: R$", round(diferenca_PV, 2), "\n")

Diferença entre os valores presentes: R$ 12.48 

Resposta:

O aumento verificado na segunda alternativa é R$ 12.48.

Exercício 3

Determinar o número de prestações trimestrais de R$ 5.800,00 cada, capaz de liquidar um financiamento de R$ 37.222,00, à taxa de 36% a.a., capitalizados trimestralmente.

Solução:

f REG f 2 37222 PV 5800 CHS PMT 9 i g END n {10.00}

print(FinCal::n.period(r=0.09, pv=37222, fv=0, pmt=-5800, type=0),
      digits=3)

[1] 10

pmt calculator

Resposta:

O número de prestações é 10.

Exercício 4

Determinar a taxa de juro anual com capitalização trimestral se com 10 prestações de R$ 5.800,00 ocorre a liquidação de um financiamento de R$ 37.222,00.

Solução:

f REG f 2 37222 PV 5800 CHS PMT 10 n g END i 4 x {36,00}

print(4*FinCal::discount.rate(n=10 , pv=37222, fv=0, pmt=-5800, type=0),
      digits=3)

[1] 0.36

pmt calculator

Resposta:

A taxa de juro é 36% a.a.

Exercício 5

Determinar a taxa de juro mensal da compra de uma máquina com entrada de R$ 2.500,00 e 15 prestações mensais de R$ 300,00 diferidas de um semestre. O valor à vista da máquina é R$ 5.703,00.

Solução:

plot 2500 + (300 (1 - (1+r)^(-15))/r) (1+r)^(-6) - 5703, r:0..0.05, axes labels "r" "f"

solve 2500 + (300 (1 - (1+r)^(-15))/r) (1+r)^(-6) - 5703=0 for r

Entrada <- 2500  # Valor do financiamento
PMT <- 300  # Valor da prestação
n <- 15 # Número de prestações
m <- 6 # número de períodos de carência
PV <- 5703

# Função para calcular o valor presente de uma anuidade baseado em n
valor_avista_diferida <- function(r) {
  (Entrada + PMT * ((1 - (1 + r)^(-n)) / r) * (1 + r)^(-m)) - PV
}

# Usar uniroot para encontrar o n que faz a função ser zero
resultado <- uniroot(f=valor_avista_diferida, interval=c(0.01, 0.03))
r <- resultado$root

# Resultado: taxa de juro mensal
cat("r =", round(r,6))

r = 0.024995

Resposta:

A taxa de juro é 2.5% a.m.

Exercício 6

Uma imobiliária vende um terreno com entrada de R$ 6.000,00 mais 4 prestações trimestrais de R$ 4.420,00. O cliente João pode pagar uma entrada de R$ 3.000,00 e prestações mensais de R$ 3.200,00. Determine o número de prestações mensais necessárias para viabilizar a compra do terreno por João. Usar a taxa de 40% a.a.

Solução:

f REG f 2 4420 CHS PMT 10 i 4 n PV ENTER 6000 + {20010.81} STO 1

CLx 3200 CHS PMT 3.33 i RCL 1 ENTER 3000 - PV n {6.00}

print(FinCal::n.period(r=0.4/12, 
          pv= FinCal::pv(n=4, r=0.4/4, fv=0, pmt=-4420) + 6000 - 3000, 
          fv=0, 
          pmt=-3200, 
          type=0),
      digits=3)

[1] 5.95

Resposta:

O número de prestações mensais necessárias para viabilizar a compra do terreno por João é 6.

Exercício 7: Renda em PA

Qual é o valor atual de renda imediata variável em progressão aritmética (PA) à taxa de 3% a.m.?

\[V=(0, 50, 150, 250, 350, 450, 550, 650, 750, 850, 950, 1050)\]

Resposta:

O valor atual de renda imediata variável em PA é 4815.93.

Solução:

\[V=(T, T+U, T+2U, \ldots, T+(n-1)U)\]

Sendo que \(T\) é o primeiro termo e \(U\) é a razão da PA.

\[ \begin{align} V&=\left(T+\dfrac{U}{i}\right)\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}-U\dfrac{n}{i(1+i)^n} \\ V&=\left(T+\dfrac{U}{i}\left(1-\dfrac{n}{s_{n\rceil i}}\right)\right)a_{n\rceil i} \end{align} \]

# Parâmetros
T <- 50
U <- 100
i <- 0.03 # Taxa de 3% a.m.
cf <- c(0, seq(T, 1050, by = U))  # Progressão aritmética de 50 em 50
n <- length(cf) - 1

# Valor presente via somatório
VP1 <- sum(cf / (1 + i)^(0:n))
print(round(VP1, 2))

[1] 4815.93

VP2 <- FinCal::npv(r = i, cf = cf)
print(round(VP2, 2))

[1] 4815.93

# Fatores financeiros
a_ni <- (1 - (1 + i)^(-n)) / i
s_ni <- ((1 + i)^n - 1) / i

# Primeira fórmula
V1 <- (T + U/i) * (1 - (1+i)^(-n)) / i - U * n / (i * (1+i)^n)

# Segunda fórmula
V2 <- (T + (U/i)*(1 - n/s_ni)) * a_ni

# Comparação dos valores
cat("V1 =", round(V1, 2), "\n")

V1 = 4815.93 

cat("V2 =", round(V2, 2), "\n")

V2 = 4815.93 

# Teste lógico
print(all.equal(V1, V2))

[1] TRUE

Exercício 8: Renda em PG

Qual é o valor atual de renda imediata variável em progressão geométrica (PG) à taxa de 3.2% a.m.?

\[V=(30, 60, 120,\ldots, 960)\]

Resposta:

O valor atual de renda imediata variável em PG é 1610.91.

Solução:

\[V=(T, (1+q)T, (1+q)^2T, \ldots, (1+q)^{n-1}T)\]

Sendo que \(T\) é o primeiro termo e \(1+q\), \(q>0\), é a razão da PG.

No exercício, \(q=1\).

\[ \begin{align} V&=\dfrac{T}{i-q}\left(1-\left(\dfrac{1+q}{1+i}\right)^n\right)\\ V_\infty&=\dfrac{T}{i-q},\quad n \to \infty \end{align} \]

q <- 1
T <- 30
n <- 6
i <- 0.032
V <- (T / (i - q)) * (1 - ((1 + q) / (1 + i))^n)
cat("V =", round(V, 2))

V = 1610.91

Exercício 9: Renda perpétua

Quanto deverá um investidor aplicar hoje numa caderneta de poupança com taxa de 0.5% a.m. para ter uma renda perpétua mensal (ad eternum) de R$ 8.000,00, considerando a primeira retirada um mês após a aplicação?

\[V=(8000, 8000, 8000,\ldots)\]

Resposta:

O valor atual de renda imediata perpétua é 1.600.000,00.

Solução:

\[V=(T, (1+q)T, (1+q)^2T, \ldots)\]

Sendo que \(T\) é o primeiro termo e \(1+q\), \(q>0\), é a razão da PG.

No exercício, \(q=0\).

Portanto:

\[V=(T, T, T, \ldots)\]

\[ \begin{align} V_\infty&=\dfrac{T}{i-q},\quad n \to \infty \\ V_\infty&=\dfrac{T}{i} \end{align} \]

T <- 8000
i <- 0.005
V <- T / i
cat("V =", round(V, 2))

V = 1600000

Exercício 10: Juro reaplicado

O capital \(P\) é aplicado num título com prazo de \(n\) períodos, que paga a taxa periódica de juro \(i\). Suponha que os juros que são formados no fim de cada período sejam reaplicados num fundo que paga a taxa períodica de juro \(i_f\).

1. Mostre que o total de capital, \(F\), que o investidor disporá no fim dos \(n\) períodos é:

\[ \begin{align} F&=P\left(1+i\,\dfrac{\left(1+i_f\right)^n-1}{i_f}\right)\\ F&=P\left(1+i\,s_{n\rceil i_f}\right) \end{align} \]

2. Se \(i=i_f\), mostre que tanto faz se os juros compostos forem pagos periodicamente ou de uma só vez, no final do prazo.

3. Se \(i_f\le0.05\), mostre que tanto faz se os juros simples forem pagos periodicamente ou de uma só vez, no final do prazo.

Solução:

\(t=0\):

\[ F_0=P \]

\[ F_0=P\left(1+i\dfrac{\left(1+i_f\right)^0-1}{i_f}\right)=P \]

\(t=1\):

\[ F_1=F_0+J_1=F_0+iF_0=F_0(1+i)=P(1+i) \]

\[ F_1=P\left(1+i\dfrac{\left(1+i_f\right)^1-1}{i_f}\right)=P(1+i) \]

\(t=2\):

\[ \begin{align} F_2&=F_1+J_2^{\prime}+i_fJ_1\\ &=F_1+iF_0+i_fJ_1\\ &=F_1+iF_0+i_fiF_0\\ &=F_0(1+i)+iF_0+i_fiF_0\\ &=F_0\left((1+i)+i+i_fi\right)\\ F_2&=P\left(1+\left(2+i_f\right)i\right)\\ \end{align} \]

\[ \begin{align} F_2&=P\left(1+i\dfrac{\left(1+i_f\right)^2-1}{i_f}\right)\\ F_2&=P\left(1+\left(2+i_f\right)i\right)\\ \end{align} \]

\[ \begin{align} i&=i_f\\ \\ F&=P\left(1+i\dfrac{\left(1+i\right)^n-1}{i}\right)\\ F&=P\left(1+i\right)^n\\ \end{align} \]

\[ \begin{align} i_f&\le 0.05\\ \\ F&\approx P\left(1+i\dfrac{1+ni_f-1}{i_f}\right)\\ F&\approx P\left(1+in\right)\\ \end{align} \]

Sistema de Amortização de Dívida

“…perdoai-nos as nossas dívidas, assim como nós perdoamos aos nossos devedores…” (Versão antiga do Pai-Nosso)

Introdução

Uma dívida que vence juros diz-se que é amortizada quando todos os compromissos (quer em relação ao principal, quer em relação aos juros) são satisfeitos por meio de uma sequência de pagamentos (habitualmente) iguais, efetuados em intervalos iguais de tempo, sendo que o débito a qualquer época denomina-se saldo devedor ou estado da dívida. O saldo devedor no início do prazo é a dívida original. O saldo devedor no fim do prazo é teoricamente nulo, mas em virtude da prática de arredondar para centavo mais próximo, pode diferir ligeiramente de zero. O saldo devedor, logo após a realização de um pagamento, é o valor atual de todos os pagamentos ainda por efetuar.

Um empréstimo (ou mútuo) é um contrato pelo qual uma das partes (o mutuante) cede a outra (o mutuário) determinado valor, ficando este último com a obrigação de restituir este valor, acrescido dos juros acordados, nas condições previamente estipuladas.

Amortizar um empréstimo significa extinguir uma dívida contraída, gradualmente ou de uma vez só.

Neste tópico, será abordada a amortização de empréstimos em que há apenas um mutuante, i.e., o empréstimo é concedido, na sua totalidade, por apenas uma entidade.

Na esmagadora maioria das situações, um empréstimo é reembolsado através de prestações. Uma prestação é um pagamento destinado à liquidação do empréstimo.

Em empréstimo, usa-se o regime de capitalização de juro composto.

Nos sistemas de amortização de empréstimos a longo prazo, regra geral, os juros são sempre cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto.

Deste modo, o não-pagamento de uma prestação, i.e., o não-pagamento do juro em um dado período redunda num saldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro.

A diferença entre empréstimo e financiamento está principalmente na destinação dos recursos e no controle do credor sobre o uso do dinheiro:

Empréstimo:

• O valor é liberado diretamente ao tomador, que pode usar livremente o dinheiro.
• Não há vinculação do crédito a uma finalidade específica.
• Exemplos: empréstimo pessoal, crédito consignado.

Características:

• Maior liberdade de uso.
• Geralmente, taxas de juros mais altas, pois o risco para o credor é maior.
• Processo de contratação mais simples.

Financiamento:

• O valor é destinado a uma finalidade específica, como a compra de um bem ou serviço.
• O pagamento é feito diretamente ao vendedor ou prestador, não ao tomador.
• Exemplos: financiamento de imóvel, veículo, equipamentos.

Características:

• Finalidade definida e controlada.
• Taxas de juros geralmente mais baixas, devido à existência de garantias.
• Processo de contratação mais criterioso.

Aspecto	Empréstimo	Financiamento
Destinação	Livre	Específica (ex: veículo, imóvel)
Liberação	Para o tomador	Para o fornecedor
Garantia	Opcional	Comum (alienação, hipoteca)
Juros	Geralmente mais altos	Geralmente mais baixos
Controle	Sem controle	Controle sobre a destinação

Amortização: etimologia

A palavra “amortização” vem do termo latino mors, mortis, que significa “morte”, e do prefixo “a-”, que pode indicar um processo ou mudança de estado. Literalmente, então, amortização envolve o processo de “matar” ou extinguir uma dívida ao longo do tempo, seja através de pagamentos regulares ou de um pagamento único.

No contexto financeiro, a amortização de dívida é o processo de diminuição gradual de uma dívida ou empréstimo através de pagamentos periódicos, que podem ser calculados de várias maneiras, dependendo do plano de amortização utilizado. Esses pagamentos normalmente cobrem tanto o principal (o montante original emprestado) quanto os juros acumulados sobre esse principal.

A ideia por trás do termo reflete a “morte” do saldo devedor ao longo do tempo, até que a dívida seja totalmente paga e, consequentemente, “extinta”. Isso se aplica tanto a empréstimos pessoais e hipotecas quanto a outros tipos de financiamentos que exigem reembolso ao longo do tempo.

Introdução aos sistemas de amortização

O sistema de amortização define como o valor principal da dívida será pago ao longo do tempo. As principais diferenças entre os sistemas estão na forma como a quota de amortização e o juro são calculados em cada parcela.

Sistema de Amortização Francês ou Price (SAF)

• Prestação (\(T\)) constante.
  
• Amortização (\(A\)) crescente.
  
• Juro decrescente.

Fórmula da prestação:

\[ T = \dfrac{P i}{1 - (1 + i)^{-n}} \]

Sendo que:

\(T\) = prestação,
\(P\) = dívida inicial,
\(i\) = taxa de juro por período,
\(n\) = número total de períodos.

Sistema de Amortização Constante ou Alemão (SAC)

• Amortização (\(A\)) constante.
  
• Prestação (\(T\)) decrescente.
  
• Juro decrescente.

Amortização por período:

\[ A = \dfrac{P}{n} \]

Sistema de Amortização Americano (SAA)

• Prestação constante \(T\) igual ao juro constante.
  
• Amortização total no final.

Prestação nos períodos:

\[ T=J = P i \]

No último período:

\[ A = P \]

Sistema de Amortização Misto (SAC & SAF)

Parte da dívida amortizada com prestação constante (modelo francês) e outra parte com amortização constante (modelo alemão).

Usado para flexibilizar o a série de fluxos de caixa ou atender a regras específicas de financiamento.

Resumo Comparativo

SAF favorece quem prefere previsibilidade no valor da parcela.

SAC reduz os encargos financeiros totais, mas apresenta parcelas iniciais mais altas.

SAA tem maior risco para o credor, sendo ideal para operações de curto prazo ou com garantias robustas.

O sistema misto busca equilibrar as vantagens do SAF e SAC.

Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Price (SAP)

Calculadoras Online Grátis de Amortização: Price, SAC, SACRE (Sistema de Amortização Crescente) e MEJS/MAJS (Método de Amortização de Juros Simples)

Pelo Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Price (SAP), o mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas, imediatas e juro proporcional no RCJC.

SAF ou SAP ou simplesmente Price é o sistema de amortização de dívida mais utilizado nos financiamentos e empréstimos bancários e comerciais.

Como essas prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívida diminui e os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortização tornam-se automaticamente maiores. Isto facilita controle das prestações.

Sistema de Amortização Francês (SAF)

História

O Sistema Price de amortização, também conhecido como Tabela Price, recebeu esse nome em homenagem a Richard Price, um matemático e filósofo britânico do século XVIII. Embora Richard Price não tenha inventado esse método de amortização, ele fez contribuições significativas para a teoria dos juros compostos e para a matemática financeira em geral. Price é mais conhecido por seu trabalho sobre o cálculo da expectativa de vida e o desenvolvimento de tabelas atuariais, que tiveram um impacto profundo nos primeiros dias dos seguros de vida e pensões.

O SAP caracteriza-se por prestações constantes ou anuidades fixas, onde, em cada pagamento, uma parte é destinada ao pagamento dos juros e outra à amortização do principal. Esse método é amplamente utilizado em financiamentos de longo prazo, como empréstimos habitacionais e financiamentos de veículos, devido à previsibilidade das prestações.

A associação do sistema de amortização a Richard Price, portanto, é mais uma homenagem ao seu legado na área de matemática financeira do que ao desenvolvimento direto desse método específico de amortização. Com o tempo, o termo “Sistema Price” ou “Tabela Price” tornou-se amplamente adotado, especialmente em países de língua portuguesa, para descrever esse método de cálculo de amortização de empréstimos e financiamentos.

SAF no BRasil

Conforme De Faro (2013), os dois esquemas de amortização de dívidas prevalentes no chamado Sistema Financeiro de Habitação (SFH) brasileiro são SAF e SAC. Estes sistemas se conformam com os fundamentos RCJC e se não houver prestação em atraso, não há a presença de anatocismo, pois o RCJC não necessariamente, acarreta anatocismo.

Conforme De Faro (2014), com base no entendimento da presença de anatocismo no emprego do SAF, tem sido proposto, inclusive judicialmente, que se faça uso do regime de juros simples na amortização de dívidas. Focando no caso de prestações constantes, como no caso do SAF, é evidenciado que o emprego de juros simples, inclusive no chamado “método de Gauss”, resulta em inconsistências financeiras.

Sem dúvida, o sistema de amortização mais amplamente utilizado no mundo é aquele baseado no pagamento de prestações constantes. No Brasil, esse modelo é especialmente comum em financiamentos habitacionais, que geralmente têm longo prazo, e também na aquisição de bens duráveis, em operações de curto e médio prazo. Nesse contexto, é conhecido como Tabela Price, especialmente no âmbito do Sistema Financeiro da Habitação.

Por ser fundamentada no regime de juros compostos, a Tabela Price tem sido alvo frequente de questionamentos no judiciário (ver De Faro e Guerra, 2009). Isso decorre, muitas vezes de forma equivocada, da associação entre juros compostos e o chamado anatocismo — termo jurídico que designa a cobrança de juros sobre juros. No entanto, como discutido formalmente por De Faro (2013), embora o anatocismo só possa ocorrer sob o regime de juros compostos, a adoção desse regime não implica, por si só, em anatocismo.

Como se trata de um tema controverso, não são raras as decisões judiciais que determinam a aplicação do regime de juros simples na amortização de financiamentos. Em alguns casos, de forma tecnicamente inadequada, essas decisões fazem referência ao chamado “método de Gauss” (Durigan, 2013 – Advocacia), termo incorretamente utilizado para designar esquemas de amortização baseados em juros simples.

Decisões judiciais contrárias ao uso do regime de juros compostos na amortização de dívidas têm sido frequentes em nossos tribunais. Muitas vezes, essas sentenças partem do equívoco de que qualquer sistema baseado em juros compostos necessariamente configura anatocismo. Como resultado, a Tabela Price costuma ser rejeitada, sendo substituída por cálculos baseados no regime de juros simples — muitas vezes sob a designação imprecisa de “método de Gauss”.

No entanto, ao se considerar o caso de prestações constantes, demonstra-se que as variantes fundamentadas no regime de juros simples não satisfazem condições básicas de consistência financeira, ao contrário da Tabela Price, que atende plenamente a tais critérios.

Além disso, exceto no caso do desconto comercial, os métodos baseados em juros simples resultam em prestações constantes inferiores às da Tabela Price para as mesmas taxas de juros e prazos. Como consequência, essas alternativas geram distorções nos cálculos de juros contábeis e saldos devedores, favorecendo indevidamente os devedores em prejuízo dos credores, quando sua adoção é imposta judicialmente sem ajustes nos parâmetros contratuais.

Esse tipo de intervenção tende ainda a produzir efeitos indesejados no mercado: visando proteger-se contra perdas futuras, as instituições financeiras podem reagir elevando preventivamente as taxas de juros especificadas nos contratos.

Matemática do SAF

Saldo Devedor de Renda Certa Periódica Postecipada

Notação:

• Regime de capitalização: RCJC discreto
• \(k=0,1,2,\ldots,n\): número de períodos;
• \(P\): valor principal ou capital inicial emprestado em \(k=0\);
• \(i\): taxa de juro proporcional;
• \(D_k\): saldo devedor após a \(k\)-ésima prestação
  • \(D_0=P\)
• \(J_k\): juro pago na \(k\)-ésima prestação;
• \(T\): prestação uniforme paga no período \(k\);
• \(A_k\): quota de amortização no período \(k\).

O valor do saldo devedor após a \(k\)-ésima prestação é expresso pela seguinte equação fundamental, conforme Hazzan & Pompeo (2004, p. 137):

Equação Fundamental I do SAF

\[ \begin{align} D_k &= D_{k-1} + J_k - T \\ D_k &= D_{k-1} - \left(T - J_k\right) \\ D_k &= D_{k-1} - A_k\\ A_k&=T - J_k\quad:\text{quota de amortização} \end{align} \]

A soma das quotas de amortizações é igual ao valor do empréstimo:

\[ \begin{align} D_k &= D_{k-1} - A_k \\ \sum_{k=1}^{n}{D_k}&=\sum_{k=1}^{n}{D_{k-1}} - \sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ D_n &= D_0-\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ D_n &= P-\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ \end{align} \]

O saldo devedor no período \(k\), \(D_k\), é igual ao valor atual nesse período, à taxa \(i\), da anuidade formada pelas \(n-k\) prestações a serem pagas, conforme De Faro (2014):

\[ \begin{align} D_k &= A_{n-k\rceil i} \\ D_k &= Ta_{n-k\rceil i} \end{align} \]

Portanto, o valor da prestação uniforme é:

\[ \begin{align} D_0 &= A_{n\rceil i} \\ P &= Ta_{n\rceil i} \\ T &= \dfrac{P}{a_{n\rceil i}} \end{align} \]

Sendo que \(a_{n\rceil i} = \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\).

Valor da quota de amortização do período:

\[ \begin{align} A_k &= D_{k-1} - D_{k}\\ A_k &= T\left(a_{n-k+1\rceil i} -a_{n-k\rceil i} \right)\\ \sum_{k=1}^{n}{A_k}&=T\sum_{k=1}^{n}{\left(a_{n-k+1\rceil i} -a_{n-k\rceil i} \right)}\\ \sum_{k=1}^{n}{A_k}&=Ta_{n\rceil i}\\ \sum_{k=1}^{n}{A_k}&=P\\ \end{align} \]

Portanto, demonstra-se que o saldo devedor na época \(n\) é nulo:

\[ \begin{align} D_n &= P-\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ D_n &= P-P\\ D_n &= 0\\ \end{align} \]

Outra equação fundamental do SAF é, conforme Carvalho (1985, p. 311):

\[ \begin{align} D_k &= P(1+i)^k - Ts_{k\rceil i} \\ Ta_{n-k\rceil i} &= P(1+i)^k - Ts_{k\rceil i} \\ Ts_{k\rceil i} &= P(1+i)^k - Ta_{n-k\rceil i} \\ P(1+i)^k &= Ts_{k\rceil i} + Ta_{n-k\rceil i}\\ P(1+i)^k &= T\left(s_{k\rceil i} + a_{n-k\rceil i}\right) \end{align} \]

Se \(k=0\), então \(P=Ta_{n\rceil i}\).

Se \(k=n\), então \(P(1+i)^n=Ts_{n\rceil i}\).

Equação Fundamental II do SAF: u = 1 + i

Portanto, decorridos \(k\) períodos da data da realização do empréstimo, o montante das \(k\) primeiras prestações, mais o valor atual das \(n-k\) prestações restantes, é igual ao montante da dívida durante os \(k\) períodos, i.e., se o devedor colocasse as \(k\) primeiras prestações a juro composto à mesma taxa \(i\), em vez de dá-las ao credor, no fim de \(k\) períodos teria constituído o capital \(Ts_{k\rceil i}\), enquanto a dívida não amortizada se elevaria a \(P(1+i)^k\). Se, nessa data, entregasse ao credor a soma \(Ts_{k\rceil i}\), a dívida restante \(P(1+i)^k-Ts_{k\rceil i}\) seria amortizada com as \(n-k\) anuidades restantes \(Ta_{n-k\rceil i}\).

# Parâmetros
P <- 100000
i <- 0.02  # taxa de juro por período
n <- 10    # número total de períodos
k <- 1:n   # períodos 1 até n

# Fatores financeiros
s_ki <- ((1 + i)^k - 1) / i
a_nki <- (1 - (1 + i)^(-(n - k))) / i

# Cálculo de T (constante em cada k)
T <- P / ((1 - (1 + i)^(-n)) / i)

# Verificação da igualdade para cada k
lado_esquerdo <- P * (1 + i)^k
lado_direito <- T * (s_ki + a_nki)

# Resultado
tabela <- data.frame(
  k = k,
  "Lado Esquerdo" = round(lado_esquerdo, 2),
  "Lado Direito" = round(lado_direito, 2),
  "Diferença" = round(lado_esquerdo - lado_direito, 6),
  check.names = FALSE
)

print(tabela, row.names = FALSE)

  k Lado Esquerdo Lado Direito Diferença
  1      102000.0     102000.0         0
  2      104040.0     104040.0         0
  3      106120.8     106120.8         0
  4      108243.2     108243.2         0
  5      110408.1     110408.1         0
  6      112616.2     112616.2         0
  7      114868.6     114868.6         0
  8      117165.9     117165.9         0
  9      119509.3     119509.3         0
 10      121899.4     121899.4         0

O saldo devedor também pode ser expresso das seguintes maneiras:

O total amortizado após o pagamento da \(k\)-ésima prestação é \(P\dfrac{s_{k\rceil i}}{s_{n\rceil i}}\).

\[ \begin{align} D_k &= P - P\dfrac{s_{k\rceil i}}{s_{n\rceil i}} \\ D_k &= P\left(1-\dfrac{s_{k\rceil i}}{s_{n\rceil i}}\right) \\ D_k &= P\dfrac{a_{n-k\rceil i}}{a_{n\rceil i}} \end{align} \]

Se \(k=n\), então o valor total amortizado é \(P\) e \(D_n=0\).

O valor do juro é:

\[ \begin{align} J_k &= iD_{k-1} \\ J_k &= iP\left(1-\dfrac{s_{k-1\rceil i}}{s_{n\rceil i}}\right) \\ J_k &= iP\dfrac{a_{n-k+1\rceil i}}{a_{n\rceil i}} \end{align} \]

Valor do juro do período:

\[ \begin{align} J_k &= iD_{k-1} \\\\ J_1 &= iT a_{n\rceil i} \\ J_1 &= iP \\\\ J_2 &= iD_1 \\ &= i(P-A_1)\\ J_2 &= J_1-iA_1\\\\ J_1-J_2 &= iA_1\\ \end{align} \]

Progressão geométrica da amortização: primeiro termo \(A_1=\dfrac{P}{s_{n\rceil i}}\) e razão \(1+i\), conforme De Faro & Lachtermacher (2012, p. 243):

\[ \begin{align} A_k&=T - J_k \\\\ A_1 &= T - J_1 \\ A_1 &= T - i P=\dfrac{P}{s_{n\rceil i}} \\\\ A_2 &= T - J_2 \\ A_1-A_2&=J_2-J_1\\ A_1-A_2&=iA_1\\ A_2&=(1+i)A_1\\\\ A_{k} &= (1+i)A_{k-1}\\ A_k&=\dfrac{P(1+i)^{k-1}}{s_{n\rceil i}} \end{align} \]

O total pago, \(nT\), é igual ao valor inicial do empréstimo, \(D_0=P\), acrescido do juro total, \(\sum_{k=1}^{n}{J_k}\):

\[ nT=P+ \sum_{k=1}^{n}{J_k} \]

Prazo médio

Denomina-se prazo médio geométrico para amortizar o principal das \(n\) prestações \(T\) a capacidade de pagar uma dívida \(P\), à taxa \(i\), à época em que o pagamento da soma \(nT\) das prestações possa quitar a dívida. Supondo que essa época ocorra no fim do prazo \(x\), a contar da época atual, e observando que o valor atual do capital, pago naquela época, deve ser igual à dívida \(P\), podemos escrever:

\[ \begin{align} nT &= P(1+i)^x \\ nT &= Ta_{n\rceil i}(1+i)^x \\ x &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{ni}{1-(1+i)^{-n}}\right)}{\ln(1+i)} \\ \end{align} \]

Este resultado mostra que o vencimento médio das prestações é independente da dívida \(P\) e, por consequência, da prestação \(T\).

Quanto maior a taxa de juro, menor o prazo para amortizar o principal, pois os juros ocupam uma maior proporção das prestações no início. Assim, embora o valor das prestações possa ser constante, a amortização é mais lenta nos primeiros períodos, e o pagamento dos juros é concentrado no início do cronograma.

# Configuração
i_vals <- seq(0.001, 0.2, length.out = 500)  # evita zero para não dar log(0)
n <- 72

# Definindo a função x(i, n)
x_func <- function(i, n) {
  log((n * i) / (1 - (1 + i)^(-n))) / log(1 + i)
}

# Calculando para os dois n
x_n <- x_func(i_vals, n)

# Gráfico
plot(i_vals, x_n, type = "l", col = "black", lwd = 2,
     xlab = expression(i), ylab = expression(x),
     main = expression(x == frac(ln(frac(n * i, 1 - (1 + i)^(-n))), ln(1 + i))))

legend("topright", legend = c(expression(n == 72)),
       col = c("black"), lty = c(1), lwd = 2, bty = "n")
grid()

Exemplo:

Em que época pode ser paga a soma de 6 prestações imediatas no SAF capazes de pagar uma dívida, sendo que a taxa de juro é 1.5% a.m.?

Solução:

\[x=\dfrac{\ln\left(\dfrac{6\times 0.015}{1-(1+0.015)^{-6}}\right)}{\ln(1+0.015)}\approx3.5\]

Resposta:

O prazo para amortizar o principal com o pagamento de todas as prestações é 3.5 meses.

\[\Diamond\]

O prazo médio ponderado por amortização (WAL: Weighted Average Life) é dado por:

\[ \text{WAL} = \dfrac{\sum_{k=1}^{n} kA_k}{\sum_{k=1}^{n} A_k} \]

O prazo médio ponderado por pagamento dos juros (WJ) é:

\[ \text{WJ} = \dfrac{\sum_{k=1}^{n} kJ_k}{\sum_{k=1}^{n} J_k} \]

O prazo médio ponderado das prestações (WT) é:

\[ \text{WT} = \dfrac{\sum_{k=1}^{n} kT}{\sum_{k=1}^{n} T}=\dfrac{n+1}{2} \]

O prazo médio geométrico (PMG) é:

\[ \text{PMG} = \dfrac{\ln \left( \dfrac{n i}{1 - (1 + i)^{-n}} \right)}{\ln(1 + i)} \]

# SAF - Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
n <- 24                      # número de períodos
i <- 0.05                   # taxa de juro (5% a.a.)
P <- 100000                 # principal
k <- 1:n                    # períodos
# Gera tabela SAF
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
   Payment Interest Paid Principal Paid  Balance
1  7247.09       5000.00        2247.09 97752.91
2  7247.09       4887.65        2359.44 95393.47
3  7247.09       4769.67        2477.42 92916.05
4  7247.09       4645.80        2601.29 90314.76
5  7247.09       4515.74        2731.35 87583.41
6  7247.09       4379.17        2867.92 84715.49
7  7247.09       4235.77        3011.32 81704.17
8  7247.09       4085.21        3161.88 78542.29
9  7247.09       3927.11        3319.98 75222.32
10 7247.09       3761.12        3485.97 71736.34
11 7247.09       3586.82        3660.27 68076.07
12 7247.09       3403.80        3843.29 64232.78
13 7247.09       3211.64        4035.45 60197.33
14 7247.09       3009.87        4237.22 55960.11
15 7247.09       2798.01        4449.08 51511.02
16 7247.09       2575.55        4671.54 46839.49
17 7247.09       2341.97        4905.12 41934.37
18 7247.09       2096.72        5150.37 36784.00
19 7247.09       1839.20        5407.89 31376.11
20 7247.09       1568.81        5678.28 25697.82
21 7247.09       1284.89        5962.20 19735.62
22 7247.09        986.78        6260.31 13475.31
23 7247.09        673.77        6573.32  6901.99
24 7247.09        345.10        6901.99     0.00

$Other
                 Details
Loan           100000.00
Total Paid     173930.16
Total Interest  73930.16
Eff Rate            0.05

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])

# Calcula WAL e prazo médio de juros
WAL <- weighted.mean(x=k, w=A)
WJ  <- weighted.mean(x=k, w=J)
WT <- weighted.mean(x=k, w=T)

# Prazo de amortização do principal x 
PMG <- log((n * i) / (1 - (1 + i)^(-n))) / log(1 + i)

cat("Prazo médio ponderado por amortização (WAL):", round(WAL, 4), "períodos\n")

Prazo médio ponderado por amortização (WAL): 14.786 períodos

cat("Prazo médio ponderado por pagamento dos juros (WJ):", round(WJ, 4), "períodos\n")

Prazo médio ponderado por pagamento dos juros (WJ): 9.4079 períodos

cat("Prazo médio ponderado considerando prestação constante (WT):", round(WT, 4), "períodos\n")

Prazo médio ponderado considerando prestação constante (WT): 12.5 períodos

cat("Prazo médio geométrico (PMG):", round(PMG, 4), "períodos\n")

Prazo médio geométrico (PMG): 11.3442 períodos

# Gráfico comparativo
barplot(c(WAL, WJ, WT, PMG),
        names.arg = c("WAL", "WJ", "WT", "PMG"),
        col = c("gray", "gray", "gray", "gray"),
        ylab = "Período",
        main = "Comparação dos Prazos Médios no SAF\n n = 24  i = 5%")
abline(h=n/2, lty=2)

Planilha do SAF postecipado

A planilha do SAF pode ser produzida por dois métodos: método das fórmulas fechadas de Carvalho (1985, p. 314) e método das fórmulas recorrentes de De Faro e Lachtermacher (2012, p. 245).

Método das fórmulas recorrentes

• Prestação postecipada: \(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}=\dfrac{P}{a_{n\rceil \text{TIR}}}\)
• Amortização: \(A_1=\dfrac{P}{s_{n\rceil i}}\), \(A_{k} = (1+i)A_{k-1}\)
• Juro: \(J_k=T-A_k\)
• Saldo devedor: \(D_0=P\), \(D_k=D_{k-1}-A_k\), \(D_n = D_{n-1} - A_n=0\)

Época \(k\)	Prestação \(T_k\)	Amortização \(A_k\)	Juro \(J_k\)	Saldo Devedor \(D_k\)
\(0\)				\(D_0=P\)
\(1\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}\)	\(A_1=\dfrac{P}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_1 = T - A_1\)	\(D_1 = P - A_1\)
\(2\)	\(T\)	\(A_2 = (1+i) A_{1}\)	\(J_2 = T - A_2\)	\(D_2 = D_{1} - A_2\)
\(k\)	\(T\)	\(A_k = (1+i) A_{k-1}\)	\(J_k = T - A_k\)	\(D_k = D_{k-1} - A_k\)
\(n\)	\(T\)	\(A_n = (1+i) A_{n-1}\)	\(J_n = T - A_n\)	\(D_n =0\)

# Parâmetros
n <- 4                      # número de períodos
i <- 0.15                   # taxa de juro (TIR)
P <- 100000                 # dívida

# Fatores financeiros
a_ni <- (1 - (1 + i)^(-n)) / i              # a_{n⎡i}
s_ni <- ((1 + i)^n - 1) / i                 # s_{n⎡i}

# Prestação constante
T <- P / a_ni

# Inicialização
A <- numeric(n)
J <- numeric(n)
D <- numeric(n + 1)
D[1] <- P                                  # Saldo inicial D0 = P

# Amortização
A[1] <- P / s_ni                           # A1 = P / s_{n⎡i}

# Loop para amortização e juros
for (k in 1:n) {
  if (k > 1) A[k] <- (1 + i) * A[k - 1]    # A_k = (1 + i) * A_{k-1}
  J[k] <- T - A[k]                         # J_k = T - A_k
  D[k + 1] <- D[k] - A[k]                  # D_k = D_{k-1} - A_k
}

# Tabela de amortização
tabela <- data.frame(
  "Período" = 0:n,
  "Prestação" = c(NA, round(rep(T, n), 2)),
  "Amortização" = c(NA, round(A, 2)),
  Juro = c(NA, round(J, 2)),
  "Saldo Devedor" = round(D, 2),
  check.names = FALSE
)

print(tabela, row.names = FALSE)

 Período Prestação Amortização     Juro Saldo Devedor
       0        NA          NA       NA     100000.00
       1  35026.54    20026.54 15000.00      79973.46
       2  35026.54    23030.52 11996.02      56942.95
       3  35026.54    26485.09  8541.44      30457.86
       4  35026.54    30457.86  4568.68          0.00

Método das fórmulas fechadas

• Prestação: \(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}=\dfrac{P}{a_{n\rceil \text{TIR}}}\)

Época \(k\)	Prestação \(T_k\)	Amortização \(A_k\)	Juro \(J_k\)	Saldo Devedor \(D_k\)
\(0\)				\(D_0=P\)
\(1\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}\)	\(A_1=\dfrac{P}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_1 = Pi\)	\(D_1 = P\left(1-\dfrac{1}{s_{n \rceil i}}\right)\)
\(2\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}\)	\(A_2=\dfrac{P(1+i)}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_2 = Pi\left(1-\dfrac{1}{s_{n \rceil i}}\right)\)	\(D_2 = P\left(1-\dfrac{s_{2 \rceil i}}{s_{n \rceil i}}\right)\)
\(k\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}\)	\(A_k=\dfrac{P(1+i)^{k-1}}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_k = Pi\left(1-\dfrac{s_{k-1 \rceil i}}{s_{n \rceil i}}\right)\)	\(D_k = P\left(1-\dfrac{s_{k \rceil i}}{s_{n \rceil i}}\right)\)
\(n\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n\rceil i}}\)	\(A_n=\dfrac{P(1+i)^{n-1}}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_n = Pi\left(1-\dfrac{s_{n-1 \rceil i}}{s_{n \rceil i}}\right)\)	\(D_n =0\)

# Parâmetros
n <- 4                     # número de períodos
i <- 0.15                  # taxa de juro (TIR)
P <- 100000                # capital inicial

# Fatores financeiros
a_ni <- (1 - (1 + i)^(-n)) / i                          # a_{n⎡i}
s_ni <- ((1 + i)^n - 1) / i                            # s_{n⎡i}

# Prestação constante
T <- P / a_ni

# Inicialização
A <- numeric(n)
J <- numeric(n)
D <- numeric(n + 1)
D[1] <- P                                               # D0 = P

# Cálculo usando as fórmulas fechadas
for (k in 1:n) {
  A[k] <- P * (1 + i)^(k - 1) / s_ni                    # A_k = P (1 + i)^{k - 1} / s_{n⎡i}
  s_k1 <- ((1 + i)^(k - 1) - 1) / i                     # s_{k - 1⎡i}
  J[k] <- P * i * (1 - s_k1 / s_ni)                     # J_k = P i (1 - s_{k - 1⎡i} / s_{n⎡i})
  s_k <- ((1 + i)^k - 1) / i                            # s_{k⎡i}
  D[k + 1] <- P * (1 - s_k / s_ni)                      # D_k = P (1 - s_{k⎡i} / s_{n⎡i})
}

# Montar a tabela
tabela <- data.frame(
  "Período" = 0:n,
  "Prestação" = c(NA, round(rep(T, n), 2)),
  "Amortização" = c(NA, round(A, 2)),
  Juro = c(NA, round(J, 2)),
  "Saldo Devedor" = round(D, 2),
  check.names = FALSE
)

print(tabela, row.names = FALSE)

 Período Prestação Amortização     Juro Saldo Devedor
       0        NA          NA       NA     100000.00
       1  35026.54    20026.54 15000.00      79973.46
       2  35026.54    23030.52 11996.02      56942.95
       3  35026.54    26485.09  8541.44      30457.86
       4  35026.54    30457.86  4568.68          0.00

Planilha do SAF antecipado

• Prestação antecipada: \(T=\dfrac{P}{a_{n-1\rceil i}+1}=\dfrac{P}{a_{n-1\rceil \text{TIR}}+1}\)
• Amortização: \(A_0=\dfrac{P}{s_{n+1\rceil i}-1}\), \(A_{k} = (1+i)A_{k-1}\)
• Juro: \(J_k=T-A_k\)
• Saldo devedor: \(D_0=P-T\), \(D_k=D_{k-1}-A_k\), \(D_{n-1} =0\)

Época \(k\)	Prestação \(T_k\)	Amortização \(A_k\)	Juro \(J_k\)	Saldo Devedor \(D_k\)
\(0\)	\(T=\dfrac{P}{a_{n-1\rceil i}+1}\)			\(D_0=P-T\)
\(1\)	\(T\)	\(A_1=\dfrac{P}{s_{n \rceil i}}\)	\(J_1 = T - A_1\)	\(D_1 = P - T - A_1\)
\(2\)	\(T\)	\(A_2 = (1+i) A_{1}\)	\(J_2 = T - A_2\)	\(D_2 = D_{1} - A_2\)
\(k\)	\(T\)	\(A_k = (1+i) A_{k-1}\)	\(J_k = T - A_k\)	\(D_k = D_{k-1} - A_k\)
\(n-1\)	\(T\)	\(A_{n-1} = (1+i) A_{n-2}\)	\(J_{n-1} = T - A_{n-1}\)	\(D_{n-1} =0\)

# Função para o valor presente da anuidade antecipada
valor_presente_anuidade <- function(n, i) {
  (1 - (1 + i)^(-n)) / i
}

# Função para o valor futuro da anuidade antecipada
valor_futuro_anuidade <- function(n, i) {
  ((1 + i)^n - 1) / i
}

# Dados do problema
n <- 4                     # número de períodos
i <- 0.15                  # taxa de juro (TIR)
P <- 100000                # capital inicial

# Cálculo da prestação antecipada (T)
T <- P / (valor_presente_anuidade(n - 1, i) + 1)

# Cálculo da primeira amortização (A0)
A0 <- P / (valor_futuro_anuidade(n + 1, i) - 1)

# Inicialização da tabela
planilha <- data.frame(
  Epoca = 0:(n - 1),
  "Prestação" = NA,
  "Amortização" = NA,
  Juro = NA,
  "Saldo Devedor" = NA,
  check.names = FALSE
)

# Primeira parcela (época 0)
planilha$"Prestação"[1] <- T
planilha$"Amortização"[1] <- A0
planilha$Juro[1] <- T - A0
planilha$"Saldo Devedor"[1] <- P - T

# Cálculo das parcelas seguintes
for (k in 2:n) {
  # Atualização da amortização pela fórmula: A_k = (1+i) * A_{k-1}
  Ak <- (1 + i) * planilha$"Amortização"[k - 1]
  # Cálculo do juro: J_k = T - A_k
  Jk <- T - Ak
  # Atualização do saldo devedor: D_k = D_{k-1} - A_k
  Dk <- planilha$"Saldo Devedor"[k - 1] - Ak
  
  # Armazenar na tabela
  planilha$"Prestação"[k] <- T
  planilha$"Amortização"[k] <- Ak
  planilha$Juro[k] <- Jk
  planilha$"Saldo Devedor"[k] <- max(Dk, 0)  # Evitar valores negativos
}

# Ajuste final para saldo zero na última parcela
planilha$Saldo_Devedor[n] <- 0

# Exibindo a planilha
print(planilha, row.names = FALSE, digits = 2)

 Epoca Prestação Amortização  Juro Saldo Devedor Saldo_Devedor
     0     30458       17414 13043         69542            NA
     1     30458       20027 10431         49516            NA
     2     30458       23031  7427         26485            NA
     3     30458       26485  3973             0             0

Crítica ao SAF

A crítica habitualmente feita ao SAF é que nele o credor observa o juro de seu capital diminuir progressivamente à medida que lhe são restituídas as parcelas sucessivas desse capital com o pagamento das prestações. Isto obriga-o a reaplicá-las periodicamente, ficando, assim, sujeito não só aos prejuízos porventura decorrentes da oscilação da taxa de juro no mercado, como também às dificuldades de reaplicação de pequenos capitais. Se há estabilidade da taxa de juro, desparece o primeiro inconveniente.

Quando ao segundo, só existe realmente para o credor de um único empréstimo. Para as instituições de crédito não devantagem no retorno parcelado dos capitais emprestados, visto que as quotas de amortização por elas periodicamente recebidas de diversos devedores, em seu conjunto, uma soma apreciável de capital, fácil de ser reaplicada com concessão contínua de empréstimos da mesma natureza.

Para o devedor do SAF é de máxima conveniência, pois gradualmente se libera dos comprimissos de capital e juros mediante um desembolso periódico, contante e moderado.

Exemplo 1

Foi realizado um financiamento de R$ 100000,00 no SAF, sem prazo de carência. Sabendo que a taxa de juro cobrada é de 18% a.a. e que a amortização deve ser feita em 6 meses, calcule o valor da prestação.

Solução:

\[ \begin{align} P &= 100000 \\ n &= 6 \text{ meses} \\ i &= 18\% \text{ a.a.} = \dfrac{18}{12}\% \text{ a.m.} = 1.5\% \text{ a.m.} \end{align} \]

Calculamos, agora, o valor da prestação:

\[ \begin{align} T &= \dfrac{P}{a_{n \rceil i}} \\ T &= \dfrac{100000}{5.69719} = 17552.52 \end{align} \]

Prestação:

f REG f 2 100.000,00 PV 18 g 12 ÷ 6 n PMT {-17.552,52}

P <- 100000
n <- 6 # anos
i <- 0.18 # a.a.
FinCal::pmt(r=i/12, n=n, pv=P, fv=0)

[1] -17552.52

tvm::loan(rate=i/12, maturity=n, amt=P, type="french")$cf

[1] 17552.52 17552.52 17552.52 17552.52 17552.52 17552.52

Exemplo 2

Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SAF em 4 prestações anuais, à taxa de 15% a.a. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de amortização.

Solução:

\[ \begin{align} P &= 100000 \\ n &= 4 \text{ anos} \\ i &= 15\% \text{ a.a.} \end{align} \]

O valor de cada prestação, \(T\), é R$ 35.026,54.

n <- 4 # anos
k <- 1:n
i <- 0.15
P <- 100000
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
   Payment Interest Paid Principal Paid  Balance
1 35026.54      15000.00       20026.54 79973.46
2 35026.54      11996.02       23030.52 56942.95
3 35026.54       8541.44       26485.09 30457.86
4 35026.54       4568.68       30457.86     0.00

$Other
                 Details
Loan           100000.00
Total Paid     140106.14
Total Interest  40106.14
Eff Rate            0.15

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.15

loan calculator

Período 1:

Prestação: f REG f 2 100000 PV 15 i 4 n PMT {-35.026,54}

Juro: 1 f AMORT {-15.000,00}

Amortização: x<->y {-20.026,54}

Saldo devedor: RCL PV {79.973,46}

Período 2:

f REG f 2 100000 PV 15 i 4 n PMT {-35.026,54}

2 f AMORT {-26.996,02}: 26.996,02 - 15.000,00 = 11.996,02

x<->y {-43.057,06}: 43.057,06 - 20.026,54 = 23.030,52

RCL PV {56.942,94}

Período 3:

f REG f 2 100000 PV 15 i 4 n PMT {-35.026,54}

3 f AMORT {-35.537,46}: 35.537,46 - 26.996,02 = 8.541,44

x<->y {-69.542,16}: 69.542,16 - 43.057,06 = 26.485,10

RCL PV {30.457,84}

Período 4:

f REG f 2 100000 PV 15 i 4 n PMT {-35.026,54}

4 f AMORT {-40.106,14}: 40.106,14 - 35.537,46 = 4.568,68

x<->y {-100.000,02}: 100.000,02 - 69.542,16 = 30.457,86

RCL PV {-0.02}

Exemplo 3

Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SAF em 4 prestações anuais, à taxa de 15% a.a. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira prestação.

Solução:

\[ \begin{align} D_0 &= 100000 \\ n &= 4 \text{ anos} \\ i &= 15\%\text{ a.a.} \\ k &= 3 \end{align} \]

Valor do saldo devedor após \(k\) prestações pagas: \(D_k = T a_{n-k\rceil i}\)

\[ \begin{align} a_{n-k\rceil i} &= \dfrac{(1 + i)^{n-k} - 1}{i(1 + i)^{n-k}} \\ a_{1\rceil 15\%} &= \dfrac{(1 + 0.15)^{4-3} - 1}{0.15\times (1 + 0.15)^{4-3}} = 0.8695 \end{align} \]

\[ D_3 = 35026.54 \times 0.8695 = 30457.84 \]

f REG f 2 100000 PV 15 i 4 n PMT {-35.026,54}

3 f AMORT {-35.537,46}: 35.537,46 - 26.996,02 = 8.541,44

x<->y {-69.542,16}: 69.542,16 - 43.057,06 = 26.485,10

RCL PV {30.457,84}

Exemplo 4

n <- 72 # meses
k <- 1:n
i <- 0.02 # a.m.
P <- 100000
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
   Payment Interest Paid Principal Paid  Balance
1  2632.68       2000.00         632.68 99367.32
2  2632.68       1987.35         645.34 98721.98
3  2632.68       1974.44         658.24 98063.74
4  2632.68       1961.27         671.41 97392.33
5  2632.68       1947.85         684.84 96707.49
6  2632.68       1934.15         698.53 96008.96
7  2632.68       1920.18         712.50 95296.45
8  2632.68       1905.93         726.75 94569.70
9  2632.68       1891.39         741.29 93828.41
10 2632.68       1876.57         756.11 93072.30
11 2632.68       1861.45         771.24 92301.06
12 2632.68       1846.02         786.66 91514.40
13 2632.68       1830.29         802.40 90712.00
14 2632.68       1814.24         818.44 89893.56
15 2632.68       1797.87         834.81 89058.75
16 2632.68       1781.17         851.51 88207.24
17 2632.68       1764.14         868.54 87338.70
18 2632.68       1746.77         885.91 86452.79
19 2632.68       1729.06         903.63 85549.17
20 2632.68       1710.98         921.70 84627.47
21 2632.68       1692.55         940.13 83687.33
22 2632.68       1673.75         958.94 82728.40
23 2632.68       1654.57         978.12 81750.28
24 2632.68       1635.01         997.68 80752.60
25 2632.68       1615.05        1017.63 79734.97
26 2632.68       1594.70        1037.98 78696.99
27 2632.68       1573.94        1058.74 77638.24
28 2632.68       1552.76        1079.92 76558.33
29 2632.68       1531.17        1101.52 75456.81
30 2632.68       1509.14        1123.55 74333.26
31 2632.68       1486.67        1146.02 73187.25
32 2632.68       1463.74        1168.94 72018.31
33 2632.68       1440.37        1192.32 70825.99
34 2632.68       1416.52        1216.16 69609.83
35 2632.68       1392.20        1240.49 68369.34
36 2632.68       1367.39        1265.30 67104.04
37 2632.68       1342.08        1290.60 65813.44
38 2632.68       1316.27        1316.41 64497.03
39 2632.68       1289.94        1342.74 63154.29
40 2632.68       1263.09        1369.60 61784.69
41 2632.68       1235.69        1396.99 60387.70
42 2632.68       1207.75        1424.93 58962.77
43 2632.68       1179.26        1453.43 57509.34
44 2632.68       1150.19        1482.50 56026.85
45 2632.68       1120.54        1512.15 54514.70
46 2632.68       1090.29        1542.39 52972.31
47 2632.68       1059.45        1573.24 51399.07
48 2632.68       1027.98        1604.70 49794.37
49 2632.68        995.89        1636.80 48157.58
50 2632.68        963.15        1669.53 46488.04
51 2632.68        929.76        1702.92 44785.12
52 2632.68        895.70        1736.98 43048.14
53 2632.68        860.96        1771.72 41276.42
54 2632.68        825.53        1807.15 39469.27
55 2632.68        789.39        1843.30 37625.97
56 2632.68        752.52        1880.16 35745.81
57 2632.68        714.92        1917.77 33828.04
58 2632.68        676.56        1956.12 31871.92
59 2632.68        637.44        1995.24 29876.67
60 2632.68        597.53        2035.15 27841.52
61 2632.68        556.83        2075.85 25765.67
62 2632.68        515.31        2117.37 23648.30
63 2632.68        472.97        2159.72 21488.58
64 2632.68        429.77        2202.91 19285.67
65 2632.68        385.71        2246.97 17038.70
66 2632.68        340.77        2291.91 14746.79
67 2632.68        294.94        2337.75 12409.05
68 2632.68        248.18        2384.50 10024.54
69 2632.68        200.49        2432.19  7592.35
70 2632.68        151.85        2480.84  5111.51
71 2632.68        102.23        2530.45  2581.06
72 2632.68         51.62        2581.06     0.00

$Other
                 Details
Loan           100000.00
Total Paid     189553.18
Total Interest  89553.18
Eff Rate            0.02

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.02

Exemplo 5: SAF: PMCMV/CVA, Couto (2015, p. 36)

# Valor financiado 
P <- 66668.07
# Prestação mensal constante
T <- 358.32
# Número de períodos
n <- 360
k <- 1:n
i <- 0.05/12 # a.m.
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(head(out$Schedule))

  Payment Interest Paid Principal Paid  Balance
1  357.89        277.78          80.10 66587.97
2  357.89        277.45          80.44 66507.53
3  357.89        277.11          80.77 66426.75
4  357.89        276.78          81.11 66345.64
5  357.89        276.44          81.45 66264.19
6  357.89        276.10          81.79 66182.41

print(tail(out$Schedule))

    Payment Interest Paid Principal Paid Balance
355  357.89          8.82         349.07 1767.29
356  357.89          7.36         350.52 1416.77
357  357.89          5.90         351.99 1064.78
358  357.89          4.44         353.45  711.33
359  357.89          2.96         354.92  356.40
360  357.89          1.49         356.40    0.00

print(out$Other, digits=3)

                Details
Loan           6.67e+04
Total Paid     1.29e+05
Total Interest 6.22e+04
Eff Rate       4.17e-03

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Calcular TIR com duas funções
tir_mensal <- FinCal::irr(cf=c(-P, T))             
tir_anual <- round((1 + tir_mensal)^12 - 1, 6)

cat("TIR:", round(tir_mensal*100,2), "% a.m.\n")

TIR: 0.42 % a.m.

cat("TIR:", round(tir_anual*100,2), "% a.a.\n")

TIR: 5.12 % a.a.

SAF com prazo de carência

Um empréstimo pode ser oferecido ao mutuário com prazo de carência.

Dois casos surgem durante o prazo de carência:

• Caso 1: O mutuário paga apenas os juros da dívida, não havendo, portanto, amortização desta;
• Caso 2: O mutuário não paga o juro da dívida; este é capitalizado e incorporado à dívida, para serem amortizados nas prestações futuras.

Caso 2: Renda postecipada diferida

\[ \begin{align} {}_{m-1}|A_{n\rceil i} &= T \times {}_{m-1}|a_{n\rceil i} \\ {}_{m-1}|A_{n\rceil i} &= T \left( a_{n+m-1\rceil i} - a_{m-1\rceil i} \right) \\ P &= T (1+i)^{-(m-1)}a_{n \rceil i} \\ T &= \dfrac{P \left( 1 + i \right)^{m-1}}{a_{n\rceil i}}\\ \end{align} \]

Exemplo 1

Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SAF em 4 prestações anuais, com 3 anos de carência, à taxa de 15% a.a. Confeccione a planilha de amortização da dívida.

Solução: Caso 2

\[ \begin{align} P &= 100000 \\ n &= 4 \text{ anos} \\ m &= 3 \text{ anos} \\ i &= 15\% \text{ a.a.} \end{align} \]

Neste caso, como a amortização só deve começar no fim do terceiro ano de carência, \(m=3\), devemos inicialmente capitalizar o saldo devedor, à taxa de 15% a.a., durante os dois primeiros anos de carência.

Portanto:

\[ D_k = P \left( 1 + i \right)^k, \quad k = 1, 2 = m - 1 \]

\[ \begin{align} D_1 &= 100000 \times \left( 1 + 0.15 \right)^1 = 115000.00 \\ D_2 &= 100000 \times \left( 1 + 0.15 \right)^2 = 132250.00 \end{align} \]

A fórmula do fator de amortização postecipada é:

\[ a_{n\rceil i} = \dfrac{1-(1 + i)^{-n}}{i} \]

Substituindo os valores:

\[ a_{4\rceil 15\%} = \dfrac{1-(1 + 0.15)^{-4}}{0.15}=2.85498 \]

Valor da prestação sobre o saldo devedor:

\[ \begin{align} T &= \dfrac{D_{m-1}}{a_{n\rceil i}}\\ &= \dfrac{P \left( 1 + i \right)^{m-1}}{a_{n\rceil i}}\\ &= \dfrac{100000 \left( 1 + 0.15 \right)^{3-1}}{a_{4\rceil 15\%}}\\ T &= \dfrac{132250.00}{2.85498} = 46322.59 \end{align} \]

Uma outra maneira de calcular a prestação, usando a fórmula de renda postecipada diferida, é:

\[ \begin{align} T &= \dfrac{P}{a_{n+m-1\rceil i}-a_{m-1\rceil i}}\\ T &= \dfrac{P}{a_{n+m-1\rceil i}-a_{m-1\rceil i}}\\ &= \dfrac{100000}{a_{6\rceil 15\%}-a_{2\rceil 15\%}}\\ T &= 46322.59 \end{align} \]

Planilha SAF com carência:

Período	Prestação (T)	Juros (J)	Amortização (A)	Saldo Devedor (D)
0				100.000,00
1				115.000,00
2				132.250,00
3	46.322,59	19.837,50	26.485,09	105.764,91
4	46.322,59	35.702,24	56.942,94	75.307,06
6	46.322,59	46.998,30	91.969,47	40.280,53
6	46.322,59	53.040,38	132.249,98	0,02

P <- 100000
n <- 6 # anos
i <- 0.15 # a.a.
m <- 3 # anos
tvm::loan(rate=i, maturity=n, amt=P, grace_int=m-1, type="french")$cf

[1]     0.00     0.00 46322.59 46322.59 46322.59 46322.59

Saldo devedor no fim da carência:

f REG f 2 100000 PV 15 i 2 n FV {-132.250,00}

Período 1:

Prestação: f REG f 2 132.250,00 PV 15 i 4 n PMT {-46.322,59}

Juro: 1 f AMORT {-19.837,50}

Amortização: x<->y {-26.485,09}

Saldo devedor: RCL PV {105.764,91}

Período 2:

Prestação: f REG f 2 132.250,00 PV 15 i 4 n PMT {-46.322,59}

Juro: 2 f AMORT {-35.702,24}

Amortização: x<->y {-56.942,94}

Saldo devedor: RCL PV {75.307,06}

Período 3:

Prestação: f REG f 2 132.250,00 PV 15 i 4 n PMT {- 46.322,59}

Juro: 3 f AMORT {-46.998,30}

Amortização: x<->y {-91.969,47}

Saldo devedor: RCL PV {40.280,53}

Período 4:

Prestação: f REG f 2 132.250,00 PV 15 i 4 n PMT {- 46.322,59}

Juro: 4 f AMORT {-53.040,38}

Amortização: x<->y {-132.249,98}

Saldo devedor: RCL PV {0,02}

Antecipação e postergação de prestação

Suponha que uma dívida \(P\) possa ser amortizada com \(n\) prestações, à taxa \(i\). O valor presente da dívida é:

\[ P = Ta_{n\rceil i} \]

Se o devedor deseja antecipar \(m\) períodos (com \(m < k\)), o valor equivalente no período \(k\) passa a ser:

\[ T^{\prime}_k (1+i)^{-(k-m)}= T(1+i)^{-k} \]

Portanto, o valor atual do capital a ser pago em \(k\) períodos é:

\[ T^{\prime}_k= T(1+i)^{-m} \]

Prestação antecipada ou postergada: a = T

De forma análoga, o valor de uma prestação postergada \(m\) períodos é:

\[ T^{\prime\prime}_k = T(1+i)^{m} \]

Essa equivalência é usada para reprogramação de dívidas com antecipação ou postergação das parcelas.

Esses resultados, todavia, estão sujeitos a uma condição. Quando um credor cede um capital \(P\), a uma taxa \(i\), por um prazo, em geral não aceita a devolução desse capital antes do prazo estipulado, se nessa ocasião, em virtude das oscilações do mercado financeiro, só tem a possibilidade de reempregá-lo a uma taxa inferior. Do mesmo modo, não aceitaria um adiantamento da devolução do capital se, na data estipulada, a taxa de juro do mercado fosse superior a \(i\). Em ambos os casos far-se-ia mister uma compensação.

Entretanto, esse inconveniente não existe quando há estabilidade na taxa de juro, como acontece, por exemplo, no Brasil, com a Caixa Econômica e demais institutos de crédito em seus empréstimos sob consignação e sob garantia pignoratícia ou hipotecária. Tal é a estabilidade nesse setor que, em geral, nos contratos de empréstimo há uma cláusula que faculta ao devedor restituir, antes do prazo, o capital ou parte dele sem qualquer ônus além do pagamento dos juros do período devido.

Exemplo 1

Um médico obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para pagar com 10 prestações postecipadas anuais, sendo 9% a.a. a taxa de juro composto. Depois de pagar a quarta prestação, a fim de abreviar o prazo de empréstimo, propôs à instituição credora pagar a décima prestação juntamente com a quinta, a nona juntamente com a sexta e a oitava juntamente com a sétima.

Calcular quanto deverá pagar por cada uma das prestações antecipadas e formar a planilha SAF levando em conta as antecipações indicadas.

Solução:

Planilha SAF inicial:

\[ \begin{align} T&=\dfrac{100000}{a_{10\rceil 9\%}}=15582.00 \end{align} \]

n <- 10 # anos
k <- 1:n
i <- 0.09 # a.a.
P <- 100000
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
    Payment Interest Paid Principal Paid  Balance
1  15582.01       9000.00        6582.01 93417.99
2  15582.01       8407.62        7174.39 86243.60
3  15582.01       7761.92        7820.08 78423.52
4  15582.01       7058.12        8523.89 69899.62
5  15582.01       6290.97        9291.04 60608.58
6  15582.01       5454.77       10127.24 50481.34
7  15582.01       4543.32       11038.69 39442.66
8  15582.01       3549.84       12032.17 27410.49
9  15582.01       2466.94       13115.07 14295.42
10 15582.01       1286.59       14295.42     0.00

$Other
                 Details
Loan           100000.00
Total Paid     155820.09
Total Interest  55820.09
Eff Rate            0.09

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.09

Planilha SAF final:

\[ \begin{align} T&=\dfrac{100000}{a_{10\rceil 9\%}}=15582.00\\\\ T^{\prime}_{10} &= 15582.00\times (1+0.09)^{-5}= 10127.00\\ T^{\prime}_{9} &= 15582.00\times(1+0.09)^{-3}=12032.20 \\ T^{\prime}_{8} &= 15582.00\times(1+0.09)^{-1}=14295.40 \\ \end{align} \]

Ano	Prestação	Juro	Quota de amortização	Total amortizado	Saldo devedor
0					100.000,00
1	15.582,00	9.000,00	6.582,00	6.582,00	93.418,00
2	15.582,00	8.407,60	7.174,40	13.756,40	86.243,60
3	15.582,00	7.761,90	7.820,10	21.576,50	78.423,50
4	15.582,00	7.058,10	8.523,90	30.100,40	69.899,60
5	15.582,00	6.291,00	9.291,00	39.391,40	60.608,60
	10.127,20		10.127,20	49.518,60	50.481,40
6	15.582,00	4.543,30	11.038,70	60.557,30	39.442,70
	12.032,20		12.032,20	72.589,50	27.410,50
7	15.582,00	2.466,90	13.115,10	85.704,60	11.295,40
	14.295,40		14.295,40	100.000,00	0,00

P <- 100000
T_final <- c(rep(15582.00, 4), 15582.00+10127.20, 15582.00+12032.20, 15582.00+14295.40)
# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T_final)), 4))

TIR = 0.09

Exemplo 2

Um médico obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar com 9 prestações imediatas anuais, sendo 10% a.a. a taxa de juro composto. Desejando ausentar-se temporariamente do país, dispôs-se a pagar a quinta, a sexta e a sétima anuidades juntamente com a quarta.

Pede-se calcular quanto deverá pagar pelas prestações antecipadas e formar o plano de amortização, levando em consideração essas antecipações.

Solução:

Planilha SAF inicial:

\[ \begin{align} T&=\dfrac{10000}{a_{9\rceil 10\%}}=1736.40 \end{align} \]

n <- 9 # anos
k <- 1:n
i <- 0.1 # a.a.
P <- 10000
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
  Payment Interest Paid Principal Paid Balance
1 1736.41       1000.00         736.41 9263.59
2 1736.41        926.36         810.05 8453.55
3 1736.41        845.35         891.05 7562.50
4 1736.41        756.25         980.16 6582.34
5 1736.41        658.23        1078.17 5504.17
6 1736.41        550.42        1185.99 4318.18
7 1736.41        431.82        1304.59 3013.60
8 1736.41        301.36        1435.05 1578.55
9 1736.41        157.86        1578.55    0.00

$Other
                Details
Loan           10000.00
Total Paid     15627.65
Total Interest  5627.65
Eff Rate           0.10

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.1

Planilha SAF final:

A soma dos valores atuais, no fim do quarto período, da quinta, da sexta e da sétima prestações, é o valor atual de uma renda imediata de 3 termos iguais a \(T=1736.40\):

\[ \begin{align} A_{10\rceil 9\%}&=1736.40\times {a_{3\rceil 10\%}}=4318.10 \end{align} \]

Ano	Anuidade	Juro	Quota de amortização	Total amortizado	Saldo devedor
0					10.000,00
1	1.736,40	1.000,00	736,40	736,40	9.263,60
2	1.736,40	926,40	810,00	1.546,40	8.453,60
3	1.736,40	845,40	891,00	2.437,40	7.562,60
4	1.736,40	756,30	980,10	3.417,50	6.582,50
	4.318,10		4.318,10	7.735,60	2.264,40
5		226,40		7.509,20	2.490,80
6		249,10		7.260,10	2.739,90
7		274,00		6.986,10	3.013,90
8	1.736,40	301,40	1.435,00	8.421,10	1.578,90
9	1.736,40	157,90	1.578,50	9.999,60	0,40

P <- 10000
T_final <- c(rep(1736.40, 3), 1736.40+4318.10, rep(0,3), rep(1736.40, 2))
# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T_final)), 4))

TIR = 0.1

Exemplo 3

Um funcionário público obteve numa instituição de crédito um empréstimo sob consignações de R$ 3.797,40, para ser pago em 48 prestações imediatas mensais de R$ 100,00, sendo 1% a.m. a taxa de juro composto. Imediatamente após o pagamento da décima segunda anuidade, prontificou-se a pagar uma amortização extraordinária tal que o prazo do empréstimo fosse abreviado de 16 meses.

Calcular essa amortização.

Solução:

\[ \begin{align} T&=100.00 \end{align} \]

n <- 48 # meses
k <- 1:n
i <- 0.01 # a.m.
P <- 3797.40
out <- FinancialMath::amort.table(Loan=P, 
                                  n=n, 
                                  i=i, 
                                  plot=FALSE)
print(out)

$Schedule
   Payment Interest Paid Principal Paid Balance
1      100         37.97          62.03 3735.37
2      100         37.35          62.65 3672.73
3      100         36.73          63.27 3609.45
4      100         36.09          63.91 3545.55
5      100         35.46          64.54 3481.00
6      100         34.81          65.19 3415.81
7      100         34.16          65.84 3349.97
8      100         33.50          66.50 3283.47
9      100         32.83          67.17 3216.31
10     100         32.16          67.84 3148.47
11     100         31.48          68.52 3079.95
12     100         30.80          69.20 3010.75
13     100         30.11          69.89 2940.86
14     100         29.41          70.59 2870.27
15     100         28.70          71.30 2798.97
16     100         27.99          72.01 2726.96
17     100         27.27          72.73 2654.23
18     100         26.54          73.46 2580.77
19     100         25.81          74.19 2506.58
20     100         25.07          74.93 2431.65
21     100         24.32          75.68 2355.96
22     100         23.56          76.44 2279.52
23     100         22.80          77.20 2202.32
24     100         22.02          77.98 2124.34
25     100         21.24          78.76 2045.58
26     100         20.46          79.54 1966.04
27     100         19.66          80.34 1885.70
28     100         18.86          81.14 1804.56
29     100         18.05          81.95 1722.60
30     100         17.23          82.77 1639.83
31     100         16.40          83.60 1556.23
32     100         15.56          84.44 1471.79
33     100         14.72          85.28 1386.51
34     100         13.87          86.14 1300.37
35     100         13.00          87.00 1213.38
36     100         12.13          87.87 1125.51
37     100         11.26          88.75 1036.76
38     100         10.37          89.63  947.13
39     100          9.47          90.53  856.60
40     100          8.57          91.43  765.17
41     100          7.65          92.35  672.82
42     100          6.73          93.27  579.55
43     100          5.80          94.20  485.34
44     100          4.85          95.15  390.20
45     100          3.90          96.10  294.10
46     100          2.94          97.06  197.04
47     100          1.97          98.03   99.01
48     100          0.99          99.01    0.00

$Other
               Details
Loan           3797.40
Total Paid     4800.01
Total Interest 1002.61
Eff Rate          0.01

T <- as.numeric(out$Schedule[k,"Payment"])
J <- as.numeric(out$Schedule[k,"Interest Paid"])
A <- as.numeric(out$Schedule[k,"Principal Paid"])
D <- as.numeric(out$Schedule[k,"Balance"])
matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAF",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAF")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAF: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de REtorno (TIR) do SAF:
cat("TIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.01

Planilha SAF final:

Calcula-se diretamente a amortização no fim do décimo período, o valor atual de uma renda imediata de 16 termos iguais à prestação \(T=100.00\), diferida de 20 períodos:

\[ \begin{align} {}_{m}|A_{n\rceil i} &= T \times {}_{m}|a_{n\rceil i} \\ &= T \left( a_{m+n\rceil i} - a_{m\rceil i} \right) \\ {}_{m}|A_{n\rceil i} &= T (1+i)^{-m}a_{n \rceil i} \\ {}_{20}|A_{16\rceil 1\%} &= 100\times (1+0.01)^{-20}a_{16 \rceil 1\%} \\ {}_{20}|A_{16\rceil 1\%} &= 1206.20 \end{align} \]

# Parâmetros
T = 100       # valor da prestação
i = 0.01      # taxa de juro mensal
m = 20        # diferimento
n = 16        # número de períodos após o diferimento

# Fator a_{n|i}
a_ni = (1 - (1 + i) ** (-n)) / i

# Valor presente da anuidade diferida: _{m}|A_{n|i}
VA_diferida = T * (1 + i) ** (-m) * a_ni
print(VA_diferida)

[1] 1206.195

Resposta:

O valor da amortização extraordinária é R$ 1.206,20.

Tabela Price

Tabela Price: Wikipédia

Este sistema constitui um caso particular do SAF ou SAP, quando a pretação é mensal.

Um dos motivos para o emprego da Tabela Price é a facilidade gerada pela determinação do chamado fator multiplicador.

Trata-se de um fator de cálculo que pode ser aplicado uniformemente a qualquer capital se a taxa de juro se mantiver inalterada.

Assim, é comum nas lojas, financeiras e bancos existirem tabelas que variam de 2 até o limite de meses concedido pelo financiamento. Conforme o valor a ser financiado, basta multiplicá-lo pelo fator de cálculo e o resultado será a prestação a pagar.

Exemplo 1

Os fatores multiplicadores e prestações do SAP nos prazos de 2 a 12 meses, para taxa de 1.5% a.m., são:

P <- 1
i <- 0.015 # a.m.
print(tp <- sapply(2:12, function(maturity) tvm::loan(rate=i, maturity=maturity, amt=P, type="french")$cf[1]), digits=3)

 [1] 0.5113 0.3434 0.2594 0.2091 0.1755 0.1516 0.1336 0.1196 0.1084 0.0993
[11] 0.0917

centro <- tp
esquerda <- 2:12
direita <- centro * 10000

tabela <- data.frame(Esquerda = esquerda,
                     Centro = centro,
                     Direita = direita,
  check.names = FALSE)

knitr::kable(tabela, digits = 4, align = "c", col.names = c("Num.Prestações", "Fator", "Prestação"), caption = "D = R$ 10.000 i = 1.5% a.m.")

D = R$ 10.000 i = 1.5% a.m.

Num.Prestações	Fator	Prestação
2	0.5113	5112.7792
3	0.3434	3433.8296
4	0.2594	2594.4479
5	0.2091	2090.8932
6	0.1755	1755.2521
7	0.1516	1515.5616
8	0.1336	1335.8402
9	0.1196	1196.0982
10	0.1084	1084.3418
11	0.0993	992.9384
12	0.0917	916.7999

Fator multiplicador 1: f REG f 5 1 CHS PV 1.5 i 1 n PMT {1.01500}

Fator multiplicador 2: 2 n PMT {0.51128}

Fator multiplicador 3: 3 n PMT {0.34338}

Fator multiplicador 4: 4 n PMT {0.25944}

Fator multiplicador 5: 5 n PMT {0.20909}

\(\vdots\)

Fator multiplicador 12: 12 n PMT {0.09170}

Sistema de amortização constante (SAC)

Calculadoras Online Grátis de Amortização: Price, SAC, SACRE (Sistema de Amortização Crescente) e MEJS/MAJS (Método de Amortização de Juros Simples)

O Sistema de Amortização Constante (SAC), também chamado de Sistema Hamburguês ou Alemão, foi introduzido entre nós a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro da Habitação.

Neste sistema, assim como no SAF, o mutuário paga a dívida em prestações periódicas postecipadas (imediatas), que englobam juros e amortizações. A diferença é que, neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos. Isto facilita o controle do saldo devedor.

Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestações são decrescentes.

Matemática do SAC

Notação:

• Regime de capitalização: RCJC discreto
• \(k=0,1,2,\ldots,n\): número de períodos;
• \(P\): valor principal ou capital inicial emprestado em \(k=0\);
• \(i\): taxa de juro proporcional;
• \(D_k\): saldo devedor após a \(k\)-ésima prestação
  • \(D_0=P\)
• \(J_k\): juro pago na \(k\)-ésima prestação;
• \(T_k\): prestação uniforme paga no período \(k\);
• \(A_k\): quota de amortização no período \(k\).

Valor da amortização uniforme do período:

\[ \begin{align} A_k &= \dfrac{D_0}{n}\\ A &= \dfrac{P}{n} \end{align} \]

Valor do saldo devedor do período \(k\):

\[ \begin{align} D_k &= D_{k-1} + J_k - T_k \\ D_k &= D_{k-1} - \left(T_k - J_k\right) \\ D_k &= D_{k-1} - A_k\\ D_k &= D_{k-1} - A\\\\ D_1 &= D_{0} - A\\ D_1 &= P - A\\\\ D_2 &= D_{1} - A\\ D_2 &= P - A - A=P-2A\\\\ D_k &= P-kA\\ D_k &= P-k\dfrac{P}{n}\\ D_k &= \left(1-\dfrac{k}{n}\right)P\\\\ D_n &= 0\\\\ D_0 &=P \end{align} \]

A soma das amortizações é igual ao valor do empréstimo:

\[ \begin{align} D_k &= D_{k-1} - A_k \\ \sum_{k=1}^{n}{D_k}&=\sum_{k=1}^{n}{D_{k-1}} - \sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ D_n &= D_0-\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ 0 &= P-\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ P &= \sum_{k=1}^{n}{A_{k}}\\ P &= nA\\ \end{align} \]

Valor do juro do período:

\[ \begin{align} J_k &= i D_{k-1} \\ J_k &= i \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)P \\ \end{align} \]

O valor da prestação é:

\[ \begin{align} A_k &= T_k - J_k \\ T_k &= A_k + J_k \\ T_k &= A + J_k \\ T_k &= \dfrac{P}{n} + J_k \\ T_k &= \dfrac{P}{n} + i \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)P \\ T_k &= \dfrac{P}{n}\left(1+i(n-k+1)\right) \\ \end{align} \]

O total pago, \(\sum_{k=1}^{n}{T_k}\), é igual ao valor inicial do empréstimo, \(D_0=P\), acrescido do juro total, \(\sum_{k=1}^{n}{J_k}\):

\[ \sum_{k=1}^{n}{T_k}=P+ \sum_{k=1}^{n}{J_k} \]

Planilha do SAC

A planilha do SAC pode ser produzida pelo método das fórmulas recorrentes de De Faro e Lachtermacher (2012, p. 266).

• Prestação: \(T_1=P\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\), \(T_k=T_{k-1}-\dfrac{iP}{n}\), \(T_n=\dfrac{P\left(1+i\right)}{n}\)
• Amortização: \(A=\dfrac{P}{n}\)
• Juro: \(J_k=iP\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\)
• Saldo devedor: \(D_0=P\), \(D_k=P\left(1-\dfrac{k}{n}\right)\), \(D_n =0\)

Época \(k\)	Prestação \(T_k\)	Amortização \(A_k\)	Juro \(J_k\)	Saldo Devedor \(D_k\)
\(0\)				\(D_0=P\)
\(1\)	\(T_1=P\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\)	\(A_1=\dfrac{P}{n}\)	\(J_1 = iP\)	\(D_1 = P\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\)
\(2\)	\(T_2=T_{1}-\dfrac{iP}{n}\)	\(A_2 = \dfrac{P}{n}\)	\(J_2 = iP\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\)	\(D_2 = P\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\)
\(k\)	\(T_k=T_{k-1}-\dfrac{iP}{n}\)	\(A_k = \dfrac{P}{n}\)	\(J_k = iP\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\)	\(D_k = P\left(1-\dfrac{k}{n}\right)\)
\(n\)	\(T_n=\dfrac{P\left(1+i\right)}{n}\)	\(A_n = \dfrac{P}{n}\)	\(J_n = \dfrac{iP}{n}\)	\(D_n =0\)

Exemplo 1

Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de 15% a.a.

Calcule o valor da prestação e monte a planilha de amortização.

Solução:

\[ \begin{align} P=100000 \\ n &= 4 \text{ anos} \\ i &= 15\% \text{ a.a.} \end{align} \]

O valor de cada amortização, \(A=100000/4\), é R$ 25.000,00.

P <- 100000
n <- 4 # anos
i <- 0.15 # a.a.
tvm::loan(rate=i, maturity=n, amt=P, type="german")$cf

[1] 40000 36250 32500 28750

n <- 4 # anos
k <- 1:n
i <- 0.15
P <- 100000

T <- tvm::loan(rate=i, maturity=n, amt=P, type="german")$cf
A <- rep(P/n, n)
J <- i * (1 - (1:n - 1)/n) * P
D <- c(P - cumsum(A))

matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAC",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, T, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Prestação (R$)",
     main = "Evolução da Prestação - SAC")

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAC")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAC: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

tabela <- data.frame(
  Período = 1:n,
  "Prestação" = round(T, 2),
  Juro = round(J, 2),
  "Amortização" = round(A, 2),
  `Saldo Devedor` = round(D, 2),
  check.names = FALSE)
print(tabela, row.names = FALSE)

 Período Prestação  Juro Amortização Saldo Devedor
       1     40000 15000       25000         75000
       2     36250 11250       25000         50000
       3     32500  7500       25000         25000
       4     28750  3750       25000             0

# TIR
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.15

Exemplo 2

Uma dívida de R$ 600.000,00 será amortizada, por meio do SAC, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% a.a. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava parcela.

Solução:

\[ \begin{align} D_0 &= P = 600000 \\ n &= 12 \text{ anos} \\ k &= 8 \text{ anos} \\ i &= 20\% \text{ a.a.} \end{align} \]

Calculamos, agora, o saldo devedor após ter sido paga a oitava parcela:

\[ \begin{align} D_k &= \left(1-\dfrac{k}{n}\right)P \\ D_8 &= \dfrac{4}{12}\times 600000 = 200000 \end{align} \]

O saldo devedor após ter sido paga a oitava parcela é R$ 200.000,00.

Exemplo 3

n <- 72 # meses
k <- 1:n
i <- 0.02
P <- 100000

T <- tvm::loan(rate=i, maturity=n, amt=P, type="german")$cf
A <- rep(P/n, n)
J <- i*(1 - (1:n - 1)/n)*P
D <- c(P - cumsum(A))

matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAC",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, T, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Prestação (R$)",
     main = "Evolução da Prestação - SAC")

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAC")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAC: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

tabela <- data.frame(
  "Período" = 1:n,
  "Prestação" = round(T, 2),
  Juro = round(J, 2),
  "Amortização" = round(A, 2),
  `Saldo Devedor` = round(D, 2),
  check.names = FALSE)
print(tabela, row.names = FALSE)

 Período Prestação    Juro Amortização Saldo Devedor
       1   3388.89 2000.00     1388.89      98611.11
       2   3361.11 1972.22     1388.89      97222.22
       3   3333.33 1944.44     1388.89      95833.33
       4   3305.56 1916.67     1388.89      94444.44
       5   3277.78 1888.89     1388.89      93055.56
       6   3250.00 1861.11     1388.89      91666.67
       7   3222.22 1833.33     1388.89      90277.78
       8   3194.44 1805.56     1388.89      88888.89
       9   3166.67 1777.78     1388.89      87500.00
      10   3138.89 1750.00     1388.89      86111.11
      11   3111.11 1722.22     1388.89      84722.22
      12   3083.33 1694.44     1388.89      83333.33
      13   3055.56 1666.67     1388.89      81944.44
      14   3027.78 1638.89     1388.89      80555.56
      15   3000.00 1611.11     1388.89      79166.67
      16   2972.22 1583.33     1388.89      77777.78
      17   2944.44 1555.56     1388.89      76388.89
      18   2916.67 1527.78     1388.89      75000.00
      19   2888.89 1500.00     1388.89      73611.11
      20   2861.11 1472.22     1388.89      72222.22
      21   2833.33 1444.44     1388.89      70833.33
      22   2805.56 1416.67     1388.89      69444.44
      23   2777.78 1388.89     1388.89      68055.56
      24   2750.00 1361.11     1388.89      66666.67
      25   2722.22 1333.33     1388.89      65277.78
      26   2694.44 1305.56     1388.89      63888.89
      27   2666.67 1277.78     1388.89      62500.00
      28   2638.89 1250.00     1388.89      61111.11
      29   2611.11 1222.22     1388.89      59722.22
      30   2583.33 1194.44     1388.89      58333.33
      31   2555.56 1166.67     1388.89      56944.44
      32   2527.78 1138.89     1388.89      55555.56
      33   2500.00 1111.11     1388.89      54166.67
      34   2472.22 1083.33     1388.89      52777.78
      35   2444.44 1055.56     1388.89      51388.89
      36   2416.67 1027.78     1388.89      50000.00
      37   2388.89 1000.00     1388.89      48611.11
      38   2361.11  972.22     1388.89      47222.22
      39   2333.33  944.44     1388.89      45833.33
      40   2305.56  916.67     1388.89      44444.44
      41   2277.78  888.89     1388.89      43055.56
      42   2250.00  861.11     1388.89      41666.67
      43   2222.22  833.33     1388.89      40277.78
      44   2194.44  805.56     1388.89      38888.89
      45   2166.67  777.78     1388.89      37500.00
      46   2138.89  750.00     1388.89      36111.11
      47   2111.11  722.22     1388.89      34722.22
      48   2083.33  694.44     1388.89      33333.33
      49   2055.56  666.67     1388.89      31944.44
      50   2027.78  638.89     1388.89      30555.56
      51   2000.00  611.11     1388.89      29166.67
      52   1972.22  583.33     1388.89      27777.78
      53   1944.44  555.56     1388.89      26388.89
      54   1916.67  527.78     1388.89      25000.00
      55   1888.89  500.00     1388.89      23611.11
      56   1861.11  472.22     1388.89      22222.22
      57   1833.33  444.44     1388.89      20833.33
      58   1805.56  416.67     1388.89      19444.44
      59   1777.78  388.89     1388.89      18055.56
      60   1750.00  361.11     1388.89      16666.67
      61   1722.22  333.33     1388.89      15277.78
      62   1694.44  305.56     1388.89      13888.89
      63   1666.67  277.78     1388.89      12500.00
      64   1638.89  250.00     1388.89      11111.11
      65   1611.11  222.22     1388.89       9722.22
      66   1583.33  194.44     1388.89       8333.33
      67   1555.56  166.67     1388.89       6944.44
      68   1527.78  138.89     1388.89       5555.56
      69   1500.00  111.11     1388.89       4166.67
      70   1472.22   83.33     1388.89       2777.78
      71   1444.44   55.56     1388.89       1388.89
      72   1416.67   27.78     1388.89          0.00

# Taxa Interna de Retorno (TIR) do SAC:
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.02

Exemplo 4: SAC: PMCMV/CVA, Couto (2015, p. 35)

# SAC: PMCMV/CVA 2015
# Parâmetros
P <- 66562.86       # Valor financiado pela CEF
n <- 360            # Número de parcelas (30 anos)
i <- 0.05/12         # Taxa de juro mensal (aproximadamente 0,42%)

# Vetores
k <- 1:n
A <- rep(P / n, n)                 # Amortização constante
D <- P - cumsum(c(0, A))[-(n+1)]   # Saldo devedor
J <- i * D                         # Juros sobre saldo
T <- A + J                         # Prestação

# Tabela de amortização
tabela <- data.frame(
  Parcela = k,
  "Prestação" = round(T, 2),
  "Amortização" = round(A, 2),
  Juros = round(J, 2),
  "Saldo Devedor" = round(D, 2),
  check.names = FALSE
)

# Visualizar primeiras linhas
print(head(tabela, 12))

   Parcela Prestação Amortização  Juros Saldo Devedor
1        1    462.24       184.9 277.35      66562.86
2        2    461.47       184.9 276.57      66377.96
3        3    460.70       184.9 275.80      66193.07
4        4    459.93       184.9 275.03      66008.17
5        5    459.16       184.9 274.26      65823.27
6        6    458.39       184.9 273.49      65638.38
7        7    457.62       184.9 272.72      65453.48
8        8    456.85       184.9 271.95      65268.58
9        9    456.08       184.9 271.18      65083.69
10      10    455.31       184.9 270.41      64898.79
11      11    454.54       184.9 269.64      64713.89
12      12    453.77       184.9 268.87      64528.99

print(tail(tabela, 12))

    Parcela Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
349     349    194.14       184.9  9.24       2218.76
350     350    193.37       184.9  8.47       2033.87
351     351    192.60       184.9  7.70       1848.97
352     352    191.83       184.9  6.93       1664.07
353     353    191.06       184.9  6.16       1479.17
354     354    190.29       184.9  5.39       1294.28
355     355    189.52       184.9  4.62       1109.38
356     356    188.75       184.9  3.85        924.48
357     357    187.98       184.9  3.08        739.59
358     358    187.21       184.9  2.31        554.69
359     359    186.44       184.9  1.54        369.79
360     360    185.67       184.9  0.77        184.90

matriz <- rbind(Juro = J, "Amortização" = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAC",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, T, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Prestação (R$)",
     main = "Evolução da Prestação - SAC")

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAC")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAC: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# Taxa Interna de Retorno (TIR) do SAC:
tir_mensal <- FinCal::irr(cf=c(-P, T))
tir_anual <- round((1 + tir_mensal)^12 - 1, 6)

cat("TIR:", round(tir_mensal*100,2), "% a.m.\n")

TIR: 0.41 % a.m.

cat("TIR:", round(tir_anual*100,2), "% a.a.\n")

TIR: 5.09 % a.a.

SAC com prazo de carência

Como o procedimento é genericamente o mesmo do SAF com prazo de carência, vamos nos abster de considerações pormenorizadas.

Comparação entre SAF e SAC

Planilha SAF: \(i=15\% \,a.a.\)

Período	Prestação (T)	Juros (J)	Amortização (A)	Saldo Devedor (D)
0				100.000,00
1	35.026,54	15.000,00	20.026,54	79.973,46
2	35.026,54	11.996,02	23.030,52	56.942,94
3	35.026,54	8.541,44	26.485,10	30.457,84
4	35.026,54	4.568,68	30.457,86	-0,02

Total Pago: 140.106 Total Juro: 40.106 TIR: 15% a.a.

Planilha SAC: \(i=15\% \,a.a.\)

Período	Prestação (T)	Juros (J)	Amortização (A)	Saldo Devedor (D)
0				100.000,00
1	40.000,00	15.000,00	25.000,00	75.000,00
2	36.250,00	11.250,00	25.000,00	50.000,00
3	32.500,00	7.500,00	25.000,00	25.000,00
4	28.750,00	3.750,00	25.000,00	0,00

Total Pago: 137.500 Total Juro: 37.500 TIR: 15% a.a.

No SAC, paga-se aparentemente menos juro porque o saldo devedor é amortizado mais rapidamente com prestações de maior valor nas primeiras épocas do que no SAF.

# Parâmetros
n <- 36
i <- 0.05
P <- 100000
k <- 1:n

# SAF (Sistema Francês)
a_ni <- (1 - (1 + i)^(-n)) / i
s_ni <- ((1 + i)^n - 1) / i
T_SAF <- P / a_ni

A_SAF <- P * (1 + i)^(k - 1) / s_ni
s_k1 <- ((1 + i)^(k - 1) - 1) / i
J_SAF <- P * i * (1 - s_k1 / s_ni)
s_k <- ((1 + i)^k - 1) / i
D_SAF <- P * (1 - s_k / s_ni)

# SAC (Sistema de Amortização Constante)
A_SAC <- rep(P / n, n)
J_SAC <- i * (P - cumsum(c(0, A_SAC[-n])))
T_SAC <- A_SAC + J_SAC
D_SAC <- P - cumsum(A_SAC)

# Gráficos Comparativos
par(mfrow=c(3,2))  # 3 linhas, 2 colunas de gráficos
par(bg=NA)         # Fundo transparente

# Juros J
barplot(rbind(J_SAF, J_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Juro")
legend("topright", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

# Juro / Prestação (J/T)
barplot(rbind(J_SAF/T_SAF, J_SAC/T_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Juro/Prestação")
legend("topright", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

# Amortização A
barplot(rbind(A_SAF, A_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Amortização")
legend("topleft", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

# Amortização / Prestação (A/T)
barplot(rbind(A_SAF/T_SAF, A_SAC/T_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Amortização/Prestação")
legend("topleft", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

# Saldo Devedor D
barplot(rbind(D_SAF, D_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Saldo Devedor")
legend("topright", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

# Saldo Devedor / Principal (D/P)
barplot(rbind(D_SAF/P, D_SAC/P), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Saldo Devedor/Principal")
legend("topright", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

par(mfrow=c(1,1))  # Reset layout

# Prestação T
barplot(rbind(T_SAF, T_SAC), beside=TRUE, col=c("black", "gray"),
        names.arg=k, main="Prestação")
legend("topright", legend=c("SAF", "SAC"), fill=c("black", "gray"),
       bty="n", cex=1)

Sistema de amortização misto (SAM)

Nos contratos firmados segundo as normas do Sistema Financeiro da Habitação procurou-se conciliar as vantagens dos sistemas SAF e SAC, introduzindo-se um terceiro sistema chamado Sistema de Amortização Misto (SAM), que é a média aritmética dos dois primeiros.

Ver a matemática do SAM em De Faro e Lachtermacher (2012, p. 268-272).

Sitema de amortização americano (SAA)

O sistema de amortização americano (SAA) tem por fim resguardar o credor dos riscos de reaplicação periódica das parcelas de capital reembolsadas, ao mesmo tempo que lhe assegura emprego do capital integral, à taxa estipulada, durante todo o prazo de empréstimo. Nele o devedor obriga-se a pagar periodicamente o juro de capital emprestado e a restituí-lo, de uma só vez, findo o prazo estalecido.

Para evitar, então, esse desembolso, o devedor procura constituir, por sua conta e mediante reaplicação periódica de quotas constantes, um fundo de amortização (sinking fund) que, no fim do prazo estipulado, seja suficiente para quitar a dívida.

Desse moro, a situação para o devedor, em relação ao desmbolso, é idêntica à do SAF: libera-se gradativamente do compromisso assumido mediando pagamento periódico de uma quota constante, igual à soma do juro (constante) do capital emprestado e a quota (constante) de reconstrução do capital. Pra o credor, a situaçao é diferente: recebe periodicamente o juro do capital emprestado e este integralmente no fim do prazo estipulado, o que lhe assegura seu emprego durante aquele prazo.

Planilha do SAA

A planilha do SAA pode ser produzida pelo método das fórmulas recorrentes de De Faro e Lachtermacher (2012, p. 260).

• Prestação: \(T_k=iP\), \(T_n=(1+i)P\)
• Amortização: \(A_k=0\), \(A_n=P\)
• Juro: \(J_k=iP\)
• Saldo devedor: \(D_0=P\), \(D_k=P\), \(D_n=0\)

Época \(k\)	Prestação \(T_k\)	Amortização \(A_k\)	Juro \(J_k\)	Saldo Devedor \(D_k\)
\(0\)				\(D_0=P\)
\(1\)	\(T_1=iP\)	\(A_1=0\)	\(J_1 = iP\)	\(D_1 = P\)
\(2\)	\(T_2=iP\)	\(A_2 = 0\)	\(J_2 = iP\)	\(D_2 = P\)
\(k\)	\(T_k=iP\)	\(A_k = 0\)	\(J_k = iP\)	\(D_k = P\)
\(n\)	\(T_n=(1+i)P\)	\(A_n = P\)	\(J_n = iP\)	\(D_n =0\)

Exemplo 1

Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SAA em 4 prestações anuais, à taxa de 15% a.a.

Calcule o valor da prestação e monte a planilha de amortização.

Solução:

\[ \begin{align} P=100000 \\ n &= 4 \text{ anos} \\ i &= 15\% \text{ a.a.} \end{align} \]

O valor de cada amortização, \(A=100000/4\), é R$ 25.000,00.

tvm::loan(rate=0.15, maturity=4, amt=100000, type="bullet")$cf

[1]  15000  15000  15000 115000

P <- 100000
i <- 0.15
n <- 4
k <- 1:n

# Cálculos
T <- c(rep(i * P, n - 1), (1 + i) * P)
A <- c(rep(0, n - 1), P)
J <- rep(i * P, n)
D <- c(rep(P, n - 1), 0)

format_real <- function(x) formatC(x, format = "f", big.mark = ".", decimal.mark = ",", digits = 2)

tabela <- data.frame(
  `Época` = k,
  `Prestação` = format_real(T),
  `Amortização` = format_real(A),
  `Juro` = format_real(J),
  `Saldo Devedor` = format_real(D),
  check.names = FALSE
)

# Mostra a tabela
knitr::kable(tabela, caption = "Planilha de amortização - SAA", align = "r")

Planilha de amortização - SAA

Época	Prestação	Amortização	Juro	Saldo Devedor
1	15.000,00	0,00	15.000,00	100.000,00
2	15.000,00	0,00	15.000,00	100.000,00
3	15.000,00	0,00	15.000,00	100.000,00
4	115.000,00	100.000,00	15.000,00	0,00

matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAA",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAA")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAA: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# TIR
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.15

Exemplo 2

P <- 100000
n <- 72 # meses
k <- 1:n
i <- 0.02

# Cálculos
T <- c(rep(i * P, n - 1), (1 + i) * P)
A <- c(rep(0, n - 1), P)
J <- rep(i * P, n)
D <- c(rep(P, n - 1), 0)

format_real <- function(x) formatC(x, format = "f", big.mark = ".", decimal.mark = ",", digits = 2)

tabela <- data.frame(
  `Época` = k,
  `Prestação` = format_real(T),
  `Amortização` = format_real(A),
  `Juro` = format_real(J),
  `Saldo Devedor` = format_real(D),
  check.names = FALSE
)

# Mostra a tabela
knitr::kable(tabela, caption = "Planilha de amortização - SAA", align = "r")

Planilha de amortização - SAA

Época	Prestação	Amortização	Juro	Saldo Devedor
1	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
2	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
3	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
4	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
5	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
6	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
7	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
8	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
9	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
10	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
11	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
12	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
13	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
14	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
15	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
16	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
17	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
18	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
19	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
20	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
21	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
22	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
23	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
24	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
25	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
26	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
27	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
28	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
29	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
30	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
31	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
32	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
33	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
34	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
35	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
36	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
37	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
38	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
39	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
40	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
41	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
42	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
43	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
44	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
45	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
46	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
47	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
48	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
49	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
50	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
51	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
52	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
53	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
54	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
55	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
56	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
57	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
58	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
59	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
60	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
61	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
62	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
63	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
64	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
65	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
66	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
67	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
68	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
69	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
70	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
71	2.000,00	0,00	2.000,00	100.000,00
72	102.000,00	100.000,00	2.000,00	0,00

matriz <- rbind(Juro = J, Amortização = A)
barplot(matriz,
        beside = FALSE,
        col = c("gray", "white"),
        names.arg = k,
        main = "Composição da Prestação - SAA",
        ylab = "Valor (R$)",
        legend.text = TRUE,
        args.legend = list(x = "topright", bty = "n"))

plot(k, D, type = "s", col = "black",
     xlab = "Ano", ylab = "Saldo Devedor (R$)",
     main = "Evolução do Saldo Devedor - SAA")

# Evolução percentual do juro e do saldo
juro_perc <- J / T
saldo_perc <- D / P

# Gráfico com as duas séries percentuais
plot(k, juro_perc * 100, type = "s", pch = 16, col = "black",
     ylim = c(0, 100),
     xlab = "Ano", ylab = "Percentual (%)",
     main = "SAA: Juro em relação à prestação e \nSaldo devedor em relação à dívida")
lines(k, saldo_perc * 100, type = "s", pch = 17, col = "black", lty=2)
legend("topright", legend = c("Juro / Prestação", "Saldo / Dívida"),
       col = c("black", "black"), lty = c(1,2), bty = "n")
grid()

# TIR
cat("\nTIR =", round(FinCal::irr(cf=c(-P, T)), 4))

TIR = 0.02

Análise de Projeto de Investimento

“Mais vale um pássaro na mão do que dois voando.”

Introdução

Este capítulo baseia-se nos livros Luenberger (2013, 1998) e Park & Sharp-Bete (1990).

A análise de projeto de investimento é um processo essencial para qualquer organização ou indivíduo que deseja avaliar a viabilidade econômica de investir em novos projetos, expansões ou empreendimentos. Ela envolve a utilização de técnicas financeiras para prever os resultados futuros de um projeto, permitindo aos investidores tomarem decisões informadas. Esta análise é fundamental em diversas áreas, inclusive na saúde, onde pode ser utilizada para avaliar a viabilidade de novos tratamentos, tecnologias médicas ou infraestruturas hospitalares.

Projeto financeiro

Um projeto é uma sequência cronológica de fluxos de caixa. Uma sequência cronológica de fluxos de caixa é formada por valores monetários equiespaçados no tempo, sendo que estes podem ser positivos, negativos ou nulos.

Os sinônimos para sequência cronológica são série temporal, série e crônica.

Consideraremos, inicialmente, apenas valores determinísticos da série de fluxos de caixa.

Dívida

Examinamos como um único investimento (por exemplo, um depósito bancário) cresce ao longo do tempo em função da capitalização de juros. Deve ficar claro que exatamente o mesmo ocorre com a dívida. Se eu tomo dinheiro emprestado de um banco a uma taxa de juro \(i\) e não realizo pagamentos ao banco, então minha dívida cresce de acordo com as mesmas fórmulas. Especificamente, se minha dívida é capitalizada mensalmente, então após \(k\) meses minha dívida terá crescido por um fator igual a \(\left(1 + \dfrac{r}{12}\right)^k\).

Mercados Financeiros

Embora tenhamos tratado a taxa de juro como um valor dado e conhecido, na realidade existem muitas taxas diferentes observadas diariamente. Taxas distintas se aplicam a circunstâncias diferentes, a diferentes categorias de usuários e a diferentes prazos. Por exemplo, títulos do Tesouro dos Estados Unidos (U.S. Treasury bills) são emitidos com vencimentos de 3 ou 13 semanas, ou de 26 ou 52 semanas. Notas do Tesouro (U.S. Treasury notes) são emitidas com vencimentos de 2, 3, 5, 7 e 10 anos. Títulos do Tesouro (U.S. Treasury bonds) possuem vencimento de 30 anos.

Além disso, existem títulos emitidos por corporações ou municípios, os quais incorporam diferentes taxas implícitas de juro. Há também uma ampla variedade de taxas aplicáveis a empréstimos interbancários, financiamentos imobiliários e empréstimos empresariais. A maioria dessas taxas é determinada pelas forças de oferta e demanda nos mercados amplos aos quais se aplicam.

Nem todas as taxas de juro são taxas amplamente observáveis no mercado. Podem existir taxas privadas negociadas entre duas partes. Ou, no contexto de uma empresa, podem ser estabelecidas taxas especiais para transações internas ou para fins de avaliação de projetos.

Exemplo 1: Obrigação ou título de dívida (bond)

Imagine que exista um ativo do mercado monetário denominado \(b\) que custa hoje R$ 1.000,00 e que paga ao proprietário R$ 80,00 ao final de cada ano durante 10 anos. No décimo ano há também o pagamento do valor nominal desse ativo no valor de R$ 1.000,00. Dessa forma, o projeto tem a seguinte representação:

\[ \begin{align} b = (-1000, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 1080) \end{align} \]

Portanto, um ativo qualquer \(x\) tem a seguinte série de fluxos de caixa:

\[ x = \left(x_1, x_2, x_3, \ldots\right), \quad x_t \in \mathbb{R} \]

Valor Presente (VP)

O valor presente (VP) de uma série equiespaçada de fluxos de caixa é:

\[ \begin{align} P &= x_0 + \dfrac{x_1}{1+i} + \dfrac{x_2}{(1+i)^2} + \cdots + \dfrac{x_n}{(1+i)^n}\\ P &= \sum_{j=0}^{n} \dfrac{x_j}{(1+i)^j} \\ \end{align} \]

É importante notar que o VP é uma forma de reduzir uma \(n\)-upla (série com \(n\) coordenadas) a um único número. O valor futuro (VF) também tem a mesma propriedade.

O processo de avaliar obrigações futuras como um valor presente equivalente é também denominado desconto (discounting). O valor presente de um montante monetário futuro é menor do que o valor nominal desse montante, de modo que o valor futuro deve ser descontado para se obter o valor presente. O fator pelo qual o valor futuro deve ser descontado é chamado de fator de desconto.

O fator de desconto para um ano é dado por

\[ d_1 = \frac{1}{1+i} \]

em que \(i\) é a taxa de juro anual. Assim, se um montante \(A\) deve ser recebido em 1 ano, o seu valor presente é o montante descontado \(d_1 A\).

Exemplo 1

Suponha que a taxa de desconto é 8% a.a. Qual é o valor presente do projeto?

x <- c(-1000, rep(80,9), 1080)
i <- 0.08
round(tvm::npv(i=i, cf=x, ts=0:(length(x)-1)),4)

[1] 0

round(FinCal::npv(r=i, cf=x),4)

[1] 0

round(FinancialMath::NPV(cf0=-1000, cf=x[2:length(x)], times=c(1:(length(x)-1)), i=i, plot=TRUE),4)

[1] 0

round(FinCal::irr(cf=x),4)

[1] 0.08

Exemplo 2

Dado o fluxo de caixa \(x=(-2, 1, 1, 1)\), qual é o valor futuro usando a taxa de juro de 10% a.a.? Qual é a relação do valor futuro com o valor presente?

Usando a fórmula anterior, temos que o VP da série de fluxos de caixa é:

\[ \begin{align} P &= x_0 + \dfrac{x_1}{1+i} + \dfrac{x_2}{(1+i)^2} + \dfrac{x_3}{(1+i)^3}\\ &= -2 + \dfrac{1}{1.1} + \dfrac{1}{1.1^2} + \dfrac{1}{1.1^3}\\ P &= 0.487 \end{align} \]

f REG f 3 2 CHS g CFo 1 g CFj 3 g Nj 10 i f NPV {0.487}

f REG f 3 2 CHS g CFo 1 g CFj 1 g CFj 1 g CFj 10 i f NPV {0.487}

tvm::npv(i=0.1, cf=c(-2, rep(1,3)), ts=0:3)

[1] 0.486852

FinCal::npv(r=0.1, cf=c(-2, rep(1,3)))

[1] 0.486852

FinancialMath::NPV(cf0=-2, cf=c(rep(1,3)), times=c(1:3), i=0.1, plot=TRUE)

[1] 0.486852

net presente value

Capital Budgeting Assistant > Net Present Value: WolframAlpha Pro

Capitalização Frequente e Contínua

Suponha que \(i\) seja a taxa nominal anual de juros e que os juros sejam capitalizados em \(m\) períodos igualmente espaçados por ano. Suponha que os fluxos de caixa ocorram inicialmente e ao final de cada período, por um total de \(n\) períodos, formando uma sequência \((x_0, x_1, \ldots, x_n)\). De acordo com o que foi apresentado anteriormente, o valor presente é dado por

\[ P = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x_k}{\left(1 + \dfrac{i}{m}\right)^k} \]

Suponha agora que a taxa nominal de juros \(i\) seja capitalizada continuamente e que os fluxos de caixa ocorram em instantes \(t_0, t_1, \ldots, t_n\). (No parágrafo anterior, tínhamos \(t_k = k/m\) para aquela sequência específica, mas aqui a situação geral é permitida.) Denotamos o fluxo de caixa no instante \(t_k\) por \(x(t_k)\). Nesse caso, o valor presente é dado por

\[ P = \sum_{k=0}^{n} x(t_k)\, e^{-i t_k} \]

Essa é a fórmula de capitalização contínua para o valor presente.

Banco Ideal Constante

Ao discutir fluxos de caixa, é útil definir a noção de um banco ideal. Um banco ideal aplica a mesma taxa de juro tanto a depósitos quanto a empréstimos e não cobra tarifas de serviço nem taxas de transação. Sua taxa de juro aplica-se igualmente a qualquer montante de principal, desde 1 centavo (ou fração thereof) até 1 milhão de dólares (ou mais). Além disso, transações separadas em uma conta são completamente aditivas em seu efeito sobre os saldos futuros.

Observe que a definição de banco ideal não implica que as taxas de juro para todas as transações sejam idênticas. Por exemplo, um certificado de depósito (CD) de 2 anos pode oferecer uma taxa maior do que um CD de 1 ano. No entanto, o CD de 2 anos deve oferecer a mesma taxa que um empréstimo com vencimento em 2 anos.

Se um banco ideal possui uma taxa de juro que é independente do intervalo de tempo ao qual se aplica, e se essa taxa é capitalizada de acordo com as regras usuais, diz-se que se trata de um banco ideal com taxa constante. No restante deste texto, assumiremos sempre que as taxas de juro são de fato constantes.

O banco ideal com taxa constante é o ponto de referência utilizado para descrever o mercado financeiro externo — o mercado público de dinheiro.

Valor Presente e um Banco Ideal

Sabemos que um banco ideal pode ser usado para alterar o padrão de um fluxo de caixa. Por exemplo, um banco que opera à taxa de 10% pode transformar a sequência \((1, 0, 0)\) na sequência \((0, 0, 1.21)\) ao receber um depósito de $1 hoje e pagar o principal acrescido de juros de $1.21 em 2 anos. O banco também pode operar de forma inversa e transformar a segunda sequência na primeira, concedendo um empréstimo de $1 hoje.

Em termos gerais, se um banco ideal pode transformar a sequência \((x_0, x_1, \ldots, x_n)\) na sequência \((y_0, y_1, \ldots, y_n)\), então ele também pode realizar a transformação no sentido inverso. Duas sequências que podem ser transformadas uma na outra são chamadas de sequências equivalentes.

Como podemos determinar se duas sequências dadas são equivalentes? A resposta para essa questão é o teorema principal do valor presente. Note que as duas sequências são de mesmo tamanho \(n\).

Teorema Principal do Valor Presente:

As sequências de fluxos de caixa \(\mathbf{x} = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\) e \(\mathbf{y} = (y_0, y_1, \ldots, y_n)\) são equivalentes para um banco ideal com taxa de juro constante \(i\) se, e somente se, os valores presentes das duas sequências, avaliados à taxa de juro do banco, forem iguais.

Demonstração:

Sejam \(v_x\) e \(v_y\) os valores presentes das sequências \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\), respectivamente. Então, a sequência \(\mathbf{x}\) é equivalente à sequência \((v_x, 0, 0, \ldots, 0)\) e a sequência \(\mathbf{y}\) é equivalente à sequência \((v_y, 0, 0, \ldots, 0)\).

É claro que essas duas sequências são equivalentes se, e somente se, \(v_x = v_y\). Logo, as sequências originais são equivalentes se, e somente se, \(v_x = v_y\). \(\Diamond\)

Esse resultado é importante porque implica que o valor presente é o único número necessário para caracterizar um fluxo de caixa quando um banco ideal está disponível. O fluxo pode ser transformado de várias maneiras pelo banco, mas o valor presente permanece o mesmo. Assim, se alguém lhe oferece um fluxo de caixa, basta avaliar o seu valor presente correspondente, pois então você pode usar o banco para ajustar o fluxo a qualquer formato desejado que tenha esse mesmo valor presente.

Taxa Interna de Retorno (TIR)

A taxa interna de retorno ou internal rate of return (IRR) é outro conceito importante na análise de fluxos de caixa. Ela se refere especificamente a todo o fluxo de caixa associado a um investimento, e não a um fluxo parcial, como um pagamento em um único período. Os fluxos aos quais esse conceito se aplica tipicamente contêm elementos negativos e positivos: os fluxos negativos correspondem aos pagamentos que devem ser realizados; os fluxos positivos correspondem aos pagamentos recebidos. Um exemplo simples é o investimento em um certificado de depósito com prazo fixo de 1 ano. Nesse caso, há dois elementos de fluxo de caixa: o depósito ou pagamento inicial (um fluxo negativo) e o pagamento final (um fluxo positivo).

Dado um fluxo de caixa \((x_0, x_1, \ldots, x_n)\) associado a um investimento, escrevemos a fórmula do valor presente como

\[ P = \sum_{k=0}^{n} \frac{x_k}{(1+i)^k} \]

Se o investimento correspondente a esse fluxo é construído a partir de uma série de depósitos e retiradas em um banco ideal com taxa de juro constante \(i\), então, pelo teorema principal do valor presente da seção anterior, o valor presente \(P\) deve ser igual a zero. A ideia por trás da taxa interna de retorno é inverter o procedimento: dado um fluxo de caixa, escreve-se a expressão do valor presente e determina-se o valor de \(i\) que torna esse valor presente igual a zero. Esse valor é chamado de taxa interna de retorno porque corresponde à taxa de juro implícita na estrutura interna do fluxo de caixa. A ideia pode ser aplicada a qualquer série de fluxos de caixa.

Definição preliminar da taxa interna de retorno

A definição formal preliminar da taxa interna de retorno (TIR) é a seguinte.

Seja \((x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)\) um fluxo de caixa. A taxa interna de retorno desse fluxo é um número \(i\) que satisfaz a equação

\[ 0 = x_0 + \frac{x_1}{1+r} + \frac{x_2}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{x_n}{(1+r)^n} \] Equivalentemente, trata-se de um número \(i\) tal que \(1/(1+i) = c\) (isto é, \(r = 1/i - 1\)), em que \(c\) satisfaz a equação polinomial

\[ 0 = x_0 + x_1 c + x_2 c^2 + \cdots + x_n c^n \] Chamamos essa definição de preliminar porque pode haver ambiguidade na solução da equação polinomial de grau \(n\). Esse ponto será discutido em seguida. Antes disso, entretanto, ilustraremos o cálculo da taxa interna de retorno.

TIR é a taxa máxima de aceitabilidade de projeto simples.

Exemplo 1

Considere a série de fluxos de caixa \(x=(-2; 1; 1; 1)\). Calcular a TIR.

Solução:

A TIR é obtida resolvendo a seguinte equação:

\[ 0 = -2 + c + c^2 + c^3 \]

O valor de \(c\) que satisfaz a equação é aproximadamente \(0.81\) (por tentativa-e-erro). Logo, a TIR é aproximadamente:

\[ i^{\ast} \approx 0.233767 \]

f REG f 4 2 CHS g CFo 1 g CFj 3 g Nj f IRR {23.3752}

f REG f 4 2 CHS PV 1 PMT 3 n i {23.3752}

x <- c(-2, 1, 1, 1)
tvm::irr(cf=x)

[1] 0.2337533

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.233767

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.2337519

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] -0.91+1.3i -0.91-1.3i  0.81+0.0i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

     Raiz_Real          TIR
1 0.8105357+0i 0.2337519+0i

internal rate of return

\[\Diamond\] Observe que a taxa interna de retorno é definida sem referência a uma taxa de juro vigente no mercado. Ela é determinada inteiramente pelos fluxos de caixa da sequência. Essa é a razão pela qual recebe o nome de taxa interna de retorno: é definida internamente, sem referência ao mercado financeiro externo. Trata-se da taxa que um banco ideal teria de aplicar para gerar o fluxo de caixa dado a partir de um balanço inicial nulo.

Como indicado, a equação que define a TIR associada à taxa interna de retorno é uma equação polinomial em \(c\) de grau \(n\), que, em geral, não possui solução analítica fechada. Entretanto, é quase sempre simples resolver essa equação com auxílio de um computador. Pela teoria algébrica, sabe-se que tal equação possui ao menos uma raiz e pode ter até \(n\) raízes, embora algumas ou todas possam ser números complexos.

Felizmente, a forma mais comum de investimento — na qual há um desembolso inicial negativo seguido por vários fluxos positivos — conduz a uma única solução positiva. Nesse caso, a taxa interna de retorno é bem definida e relativamente fácil de calcular. O enunciado formal da existência dessa raiz positiva incorpora o principal resultado teórico referente à taxa interna de retorno.

Teorema principal da taxa interna de retorno

Suponha que o fluxo de caixa \((x_0, x_1, \ldots, x_n)\) satisfaça \(x_0 < 0\) e \(x_k \ge 0\) para todo \(k = 1, 2, \ldots, n\), com pelo menos um termo estritamente positivo. Então existe uma única raiz positiva da equação

\[ 0 = x_0 + x_1 c + x_2 c^2 + \cdots + x_n c^n \]

Além disso, se

\[ \sum_{k=0}^{n} x_k > 0 \]

(isto é, se o montante total recebido excede o investimento inicial), então a taxa interna de retorno correspondente, definida por

\[ i = \frac{1}{c} - 1 \]

é positiva.

Se algumas (ou todas) as soluções da equação associada à taxa interna de retorno forem complexas, a interpretação desses valores não é simples. Em geral, é razoável selecionar a solução que possui a maior parte real e utilizar essa parte real para determinar a taxa interna de retorno. Na prática, contudo, isso raramente constitui um problema sério, pois raízes reais adequadas normalmente existem.

Demonstração:

Todo número real é um número complexo. Um número puramente real tem a parte imaginária nula.

Um polinômio de ordem \(n\) com coeficientes puramente reais tem \(n\) raízes complexas. As raízes complexas sempre aparecem aos pares conjugados. E.g.: Um polinômio de grau 4 com coeficientes reais pode ter: (i) 4 raízes reais; (ii) 2 raízes reais e 2 raízes complexas conjugadas; (iii) 0 raízes reais e 4 raízes complexas conjugadas (dois pares conjugados).

a <- c(-2, 1, -1, 3, 10)
print(s <- pracma::poly2str(a))

[1] "-2*x^4 + 1*x^3 - 1*x^2 + 3*x + 10"

pracma::polyroots(a)

# A tibble: 4 × 2
  root                   mult
  <cpl>                 <dbl>
1  1.71331911+0.000000i     1
2 -0.02683758+1.586139i     1
3 -0.02683758-1.586139i     1
4 -1.15964396+0.000000i     1

r <- pracma::roots(a)
r

[1]  1.71331911+0.000000i -0.02683758+1.586139i -0.02683758-1.586139i
[4] -1.15964396+0.000000i

round(pracma::polyval(a, r), 4)

[1] 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

f <- function(x) -2*x^4 + 1*x^3 - 1*x^2 + 3*x + 10
pracma::findzeros(f, -10, 10)

[1] -1.159644  1.713320

Uma série de fluxos de caixa, muitas vezes na prática, tem as seguintes características:

\[ \begin{align} x_0 &< 0 \\ x_j &\geq 0, \quad j = 1,2, \ldots, n \\ \sum_{j=0}^{n} x_j &> 0 \end{align} \]

Por exemplo, a série de fluxos de caixa \((-2;1;1;1)\) tem essas propriedades, pois \(x_0 = -2\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 1\) e:

\[ \begin{align} \sum_{j=0}^{3} x_j &= -2 + 1 + 1 + 1 = 1 >0 \end{align} \]

Essa estrutura especial da série de fluxos de caixa faz com que o polinômio do valor presente tenha apenas uma raiz real.

Note que podemos escrever o valor presente em função de \(c\):

\[ \begin{align} P(c) &= -2 + c + c^2 + c^3 \end{align} \]

Portanto, o valor presente é um polinômio de ordem 3.

Quando \(c = 0\), temos que o valor presente da série de fluxos de caixa é negativo, i.e.:

\[ \begin{align} P(0) &= -2 \end{align} \]

Quando \(c = 1\), temos que o valor presente da série de fluxos de caixa é positivo, i.e.:

\[ \begin{align} P(1) &= 1 \end{align} \]

Portanto, o gráfico do valor presente cruzou a abscissa pelo menos uma vez. Logo, existe pelo menos um valor de \(c\) para o qual o valor presente é nulo, isto é:

\[ \begin{align} P(c^\ast) &= 0 \end{align} \]

Note ainda que quanto maior o valor de \(c\), maior o valor presente. Logo, o valor presente é crescente.

Portanto, existe apenas um valor de \(c\) que faz o valor presente ser nulo.

Note ainda que o valor de \(c\) está entre 0 e 1, i.e.:

\[ \begin{align} 0 &< c < 1 \end{align} \]

Portanto, como \(c = \dfrac{1}{1+i^\ast}\), então \(i^\ast\), i.e., a TIR é estritamente positiva:

\[ \begin{align} 0 &< c < 1 \\ 0 &< \dfrac{1}{1+i^\ast} < 1 \end{align} \]

A única forma de satisfazer as desigualdades é tendo \(i^\ast > 0\).

\[\Diamond\]

Engenharia Econômica

Este tópico baseia-se em Pilão & Hummel (2003).

Engenharia Econômica é a área que estuda e aplica métodos quantitativos, baseados no valor do dinheiro no tempo, para analisar, comparar e selecionar alternativas de investimento e de uso de recursos escassos, considerando fluxos de caixa, risco, horizonte temporal e critérios de decisão econômica.

Utiliza-se um conjunto de ferramentas e técnicas financeiras para avaliar a viabilidade econômica de projetos e para compará-los entre si. As principais incluem:

• Valor Presente Líquido (VPL, NPV): calcula o valor atual de uma série de fluxos de caixa futuros, descontados a uma taxa que reflete o custo de capital ou a taxa mínima de atratividade. Um VPL positivo indica que o projeto é economicamente aceitável.

• Taxa Interna de Retorno (TIR, IRR): é a taxa de desconto que zera o VPL do projeto. Para projetos simples, a TIR pode ser interpretada como a taxa máxima de juro que torna o investimento aceitável, devendo ser comparada com a taxa mínima de atratividade.

A escolha entre alternativas deve basear-se na comparação dos efeitos econômicos decorrentes de cada opção, analisadas isoladamente. Para que essa comparação seja consistente, é necessário que os efeitos da decisão — em particular, os fluxos de caixa de cada alternativa — sejam avaliados ao longo de um mesmo intervalo temporal, denominado período de análise. Esse período se estende da data da decisão (data zero) até o horizonte de planejamento. O horizonte de planejamento, por sua vez, é determinado pela vida útil dos serviços proporcionados pelas alternativas ou pelo ponto no tempo a partir do qual as projeções passam a apresentar incertezas excessivas, comprometendo a confiabilidade da análise.

Outro aspecto relevante é a questão das vidas econômicas distintas entre alternativas de ação. Nessas situações, podem surgir três abordagens possíveis. Em primeiro lugar, pode-se recorrer ao ajuste das alternativas para que todas apresentem o mesmo fluxo de caixa, indefinidamente. Isso equivale a definir um horizonte de planejamento infinito.

Em segundo lugar, quando as alternativas possuem vidas finitas diferentes, pode-se adotar um horizonte de planejamento comum, geralmente definido pelo mínimo múltiplo comum das durações das alternativas, permitindo uma comparação consistente ao longo do mesmo intervalo temporal.

Por fim, há situações em que as alternativas diferem não apenas em termos de duração, mas também quanto ao perfil temporal dos fluxos ou mesmo ao rendimento da última vida. Nesses casos, é necessário definir um horizonte de planejamento independente das durações individuais, levando em conta as condições práticas de análise, o nível de incerteza das projeções e o objetivo da decisão econômica.

Taxa Minima de Atratividade (TMA)

Se, como afirmamos, as importâncias monetárias que se encontram em datas diferentes não podem ser somadas, subtraídas ou comparadas, para podermos analisar investimentos é necessário recorrer à Matemática Financeira, a qual, para deslocar o dinheiro no tempo, utiliza como ferramenta a taxa de juros.

Portanto, um fator extremamente importante a ser considerado é que todas as três técnicas, ou métodos clássicos, de análise para a tomada de decisão utilizam uma taxa de juros denominada Taxa Mínima de Atratividade (TMA), ou Taxa de Expectativa. A taxa identificada como TMA representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar ao realizar um investimento, ou o máximo que um tomador de recursos se propõe a pagar ao contratar um financiamento.

A TMA é formada, basicamente, por três componentes que integram o denominado “cenário administrativo”, ou cenário para a tomada de decisão: o custo de oportunidade, o risco do negócio e a liquidez do investimento.

É evidente que, além desses três componentes, está também embutido o perfil do próprio tomador de decisão, do investidor, que pode ser mais arrojado ou mais conservador, refletindo-se diretamente na construção do cenário administrativo e, consequentemente, na definição da TMA.

Ainda no que se refere à composição da TMA, pode-se afirmar que o custo de oportunidade constitui o seu ponto de partida, uma vez que representa a remuneração que o capital obteria caso não fosse aplicado em nenhuma das alternativas de ação analisadas.

Ele pode ser, por exemplo, a remuneração paga pela Caderneta de Poupança, por um Fundo de Investimentos ou pelo ganho que poderíamos obter com determinado processo produtivo já existente em nossa empresa, entre outros. Portanto, em função de onde aplicaríamos nosso dinheiro, caso não o colocássemos no novo negócio analisado, passamos a formar nossa expectativa de ganho mínimo ou de pagamento máximo — na hipótese de financiamentos a serem avaliados.

O risco do negócio passa a ser, assim, o segundo componente da TMA, uma vez que o ganho deve remunerar o risco inerente à adoção de uma nova ação. Por exemplo, se investirmos nosso dinheiro em uma Caderneta de Poupança, o risco associado será extremamente pequeno, praticamente inexistente, já que no Brasil ela é garantida tanto pelo banco quanto pelo Governo Federal. Entretanto, é importante observar que sua remuneração é condizente com esse baixo risco, ou seja, também reduzida. Logo, se decidirmos retirar nosso dinheiro da poupança para aplicá-lo em um negócio produtivo, o ganho esperado deverá ser compatível com os riscos que passaremos a assumir no mercado em que iremos operar.

A partir disso, torna-se possível definir critérios que permitam mensurar o risco. Em um segmento de mercado menos concorrido, por exemplo, o risco tende a ser menor. Em um segmento no qual dominamos a tecnologia, conhecemos melhor as regras do jogo e possuímos informações sobre os concorrentes, o risco provavelmente também será reduzido. De forma análoga, é razoável supor que a relação inversa também seja válida. Em geral, embora não obrigatoriamente, pode-se recorrer à máxima de mercado segundo a qual “quanto maior o risco, maior a remuneração”, ou ainda, que “o ganho é proporcional ao risco”.

O terceiro componente da TMA é a liquidez, que pode ser definida como a facilidade e a velocidade com que conseguimos sair de uma posição no mercado para assumir outra. Por exemplo, se for necessário investir em uma planta específica para ampliar a capacidade produtiva da organização e, por algum motivo, a demanda esperada não se concretizar, sendo necessário rever a posição inicial, é evidente que surgirão dificuldades. Desativar uma planta instalada nessas condições pode implicar perdas significativas, já que, por se tratar de uma instalação específica, sua utilização alternativa tende a ser limitada, exigindo, muitas vezes, sua desmobilização com elevado prejuízo. Assim, o retorno associado a essa decisão deve levar esse aspecto em consideração.

Todos esses componentes, portanto, fazem parte da TMA, que, à luz do exposto, pode ser considerada pessoal e intransferível. Esse caráter “pessoal e intransferível” deve ser entendido tanto de investimento para investimento quanto de pessoa para pessoa. O que pode ser considerado um bom investimento para alguém, ou em determinado momento, pode não o ser para outros, ou em outro contexto. A explicação é simples: desde o ponto de partida para a formação da TMA — o custo de oportunidade — até a propensão ao risco e a possibilidade de reversão do investimento, ou a facilidade de mudança de posição, todos esses fatores variam conforme a pessoa, o investimento e o momento da decisão.

Em função disso, não existe um algoritmo ou uma fórmula matemática única para a determinação da TMA. Por exemplo, se a melhor alternativa de aplicação de recursos para um investidor for a Caderneta de Poupança, esse será o ponto de partida para a formação de sua TMA. Já outro investidor, que disponha de uma alternativa com maior rendimento, adotará esse retorno como custo de oportunidade, o que provavelmente, embora não necessariamente, resultará em uma TMA mais elevada. O fato de a TMA não ser obrigatoriamente maior decorre da influência dos demais componentes da taxa — risco e liquidez — que podem, inclusive, mais do que compensar um ponto de partida distinto.

Portanto, o “cenário administrativo” vigente no momento da tomada de decisão — no qual se incluem o cenário econômico presente e futuro, os pontos fortes e fracos da organização, a posição dos produtos no mercado, a atuação dos concorrentes diretos, a possibilidade de entrada de novos competidores, o estágio do ciclo de vida dos produtos, entre outras variáveis específicas de cada caso — fornece o respaldo necessário e funciona como o pano de fundo para o processo decisório e para a consequente determinação da TMA.

Uma vez definida a TMA, cabe organizar o raciocínio associado a cada uma das alternativas de ação disponíveis. Esse procedimento conduz naturalmente à utilização dos Métodos Clássicos de Análise de Investimentos, que se destinam exatamente a esse propósito.

Entretanto, antes de avançar para a correta aplicação desses métodos, é conveniente discutir novamente, ainda que de forma sucinta, três outros conceitos que podem suscitar dúvidas ao longo da análise.

O conceito de Taxa de Retorno e de Remuneração de Capital — Embora já tenha sido citado anteriormente e seja, inclusive, a denominação de um dos Métodos Clássicos que serão discutidos mais adiante, deve-se considerar sempre que o retorno ocorre sobre o investimento. Assim, a taxa de retorno reflete o ganho de capital associado a cada alternativa de ação analisada. Portanto, as taxas de retorno, que expressam a remuneração do capital, e a taxa mínima de atratividade (ou de expectativa) podem ou não coincidir, uma vez que o que o investimento efetivamente paga pode não ser o que se deseja obter como ganho mínimo no negócio em análise.

O conceito de Recuperação de Capital — Se todo retorno se dá sobre o investimento, é evidente que, para que esse retorno exista, é necessário que o capital investido seja recuperado. Dessa forma, a recuperação de capital expressa o modo como as entradas de caixa ocorrem ao longo do tempo, permitindo a restituição integral do capital investido e, a partir desse ponto, a obtenção de retornos sob a forma de juros pagos ou devidos, conforme o caso — investimentos ou empréstimos.

Os métodos de análise devem ser dinâmicos — Eventualmente, pela forma como são apresentados os “Princípios e as Limitações” da Engenharia Econômica, pode ter ficado para o leitor a falsa ideia de que a tomada de decisão é um processo estático, que se encerra após a definição da alternativa de ação a ser adotada. Caso essa impressão tenha ocorrido, é necessário enfatizar que toda decisão é um processo contínuo e que os métodos de análise de investimentos devem operar de maneira dinâmica.

Por exemplo, ao se implementar uma decisão com base em uma taxa de retorno esperada para determinado investimento em um horizonte de tempo específico, como cinco anos, o projeto deve ser avaliado periodicamente — no caso, ano a ano, ou mesmo mês a mês — a fim de garantir maior segurança quanto ao atingimento do retorno esperado. Como destacado, a função controle constitui um dos pilares da Administração, sendo responsável pela retroalimentação do sistema, isto é, por assegurar que o desempenho esteja alinhado com os objetivos estabelecidos.

Exercício 6

Um investidor tem a oportunidade de comprar um terreno por R$ 79.000,00 e gostaria de ter um retorno de 13.50% a.a. Ele acha que será possível vendê-lo após 10 anos por R$ 100.000,00 e prevê os fluxos de caixa anuais mostrados na tabela abaixo:

Ano	Fluxo de caixa (R$)	Ano	Fluxo de caixa (R$)
1	14000	6	9100
2	11000	7	9000
3	10000	8	9000
4	10000	9	4500
5	10000	10	100000

Determinar VPL e TIR deste investimento.

Solução:

Como o VPL é positivo, o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor em R$ 907.77. TIR = 13.72%.

f REG f 2

79000 CHS g CFo

14000 g CFj

11000 g CFj

10000 g CFj 3 g Nj

9100 g CFj

9000 g CFj 2 g Nj

4500 g CFj

100000 g CFj

RCL n

13.5 i

f NPV {907.77}

f IRR {13.72}

x <- c(-79000,
        14000,
        11000,
        rep(10000,3),
        9100,
        rep(9000,2),
        4500,
        100000)
cat("VPL =", round(FinCal::npv(r=0.135, x), 2), "\n")

VPL = 907.77 

try(tvm::irr(cf=x))

[1] 0.1371737

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.1371971

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.2380619 0.2380619 0.1371972

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

 [1]  0.81+0.57i  0.81-0.57i -0.30+0.94i -0.30-0.94i  0.32+0.94i  0.32-0.94i
 [7] -0.99+0.00i -0.80+0.58i -0.80-0.58i  0.88+0.00i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

      Raiz_Real           TIR
1 -0.9864912+0i -2.0136938+0i
2  0.8793550+0i  0.1371972+0i

Método do Custo Anual Uniforme

Outro fator extremamente importante a ser registrado é que, no caso do método do Custo Anual Uniforme (CAU) ou Renda Postecipada (Imediata), a questão das vidas úteis pode ser considerada implicitamente resolvida, desde que se adote, para tratar o problema das vidas úteis diferentes, uma das duas soluções discutidas anteriormente — a das vidas perpétuas ou a do MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre as vidas.

Isso ocorre porque, em todos os casos, supõe-se que os fluxos futuros se repitam de forma idêntica ao fluxo inicial. Assim, ao distribuir os valores uniformemente ao longo de cada uma das vidas úteis, o CAU obtido em cada fluxo subsequente assume o mesmo valor do fluxo inicial.

Em função do exposto, a questão das vidas úteis será retomada quando da aplicação do método do Valor Atual (VA), que, diferentemente do CAU, exige que a forma de tratamento das vidas úteis distintas seja explicitamente definida. No caso do CAU, considerando-se os argumentos apresentados, para demonstrar a sistemática de cálculo, recorreremos ao procedimento ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo: Substituição de frota de veículos

Determinada empresa deseja substituir a frota de veículos a serem utilizados no trabalho de seus vendedores. Em uma reunião com o pessoal de Marketing, ficou definido que o veículo mais apropriado seria um carro popular e que, para o serviço a que se destinaria, poderia ser utilizado tanto um veículo zero quilômetro quanto um veículo com até cinco anos de vida útil.

Estudos preliminares realizados pelo setor operacional determinaram que os custos das manutenções anuais, de acordo com o tempo de vida do veículo, a serem realizadas ao longo do ano e alocadas ao seu final, seriam os expressos na tabela a seguir, bem como a cotação dos veículos, desde que em perfeito estado de conservação.

Tempo de vida	Cotação	Custo de manutenção
zero km	15000	0
1 ano	12500	2500 / ano
2 anos	10200	2800 / ano
3 anos	8500	3500 / ano
4 anos	7000	3000 / ano
5 anos	6200	3700 / ano

Considerando-se que a empresa em questão utiliza, para esse tipo de investimento, uma TMA de 10% ao ano, deve-se definir qual é a melhor estratégia entre as seguintes alternativas: adquirir um carro “zero” e substituí-lo a cada 2 anos, ou adquirir um carro com 1 ano de vida útil e substituí-lo a cada 3 anos.

Para o exemplo proposto, existem duas opções de solução, que podem ser descritas da seguinte forma:

Percebe-se claramente, pela montagem das representações gráficas dos fluxos de caixa, que a comparação pura e simples dos dois fluxos, que representam graficamente as duas alternativas de ação propostas, não pode ser feita de maneira direta, uma vez que estamos tratando de alternativas heterogêneas de ação.

Essa heterogeneidade não decorre do fato de um carro ser “zero” e o outro usado, pois, conforme os pré-requisitos estabelecidos para a análise, ambas as alternativas são tecnicamente capazes. Tanto é assim que a adequação das opções ao trabalho foi discutida não apenas com o pessoal de Marketing, mas também com o da área Operacional. Tampouco a heterogeneidade está associada ao fato de os investimentos iniciais serem diferentes, pois, se estamos analisando a possibilidade de adquirir um carro “zero”, é porque dispomos, ao menos, dos $15.000,00 necessários para sua aquisição na data zero, bem como dos recursos destinados aos custos de manutenção como capital disponível.

Na realidade, o que torna as duas alternativas de ação heterogêneas é o fato de que, com a Opção 1, os vendedores poderão utilizar o veículo por um período de 2 anos, enquanto a Opção 2 atende às mesmas necessidades por um período de 3 anos. Essa diferença entre as vidas úteis, no método do Custo Anual Uniforme (CAU), como já afirmado, é tratada de forma implícita, pois o que se busca é o custo anual necessário para manter cada uma das opções em operação.

Uma vez determinados esses custos anuais, assume-se que eles se repetirão de forma idêntica por todo o tempo em que se desejar manter a estrutura em funcionamento. Dessa forma, as alternativas tornam-se comparáveis. A estrutura dos cálculos para a obtenção do CAU de cada alternativa será apresentada a seguir.

Ora, se em ambas as alternativas de ação é possível atender às necessidades de transporte do corpo de vendas, e se, na Opção 1 (carro “zero”), o custo anual uniforme é de \(-\$6428.57\) por ano, enquanto na Opção 2 (aquisição de um carro com 1 ano de uso) o custo anual uniforme é de \(-\$6004.68\) por ano, sempre sob a suposição de que cada uma das estruturas possa ser mantida com esses valores por quanto tempo se desejar, torna-se clara a escolha entre as alternativas.

Dessa forma, a solução deve recair sobre a Opção 2 — comprar um carro com 1 ano de uso e substituí-lo a cada 3 anos —, uma vez que essa estratégia apresenta um custo anual uniforme menor, sendo, portanto, economicamente mais vantajosa.

Solução matemática (método do Custo Anual Uniforme, CAU)

Considere \(i = 0.1\) a.a. e que os custos de manutenção ocorrem ao final de cada ano, juntamente com a revenda no final do último ano do ciclo.

Opção 1 (comprar “zero” e trocar a cada 2 anos). O fluxo de caixa do ciclo é: em \(t = 0\), \(-15000\); em \(t = 1\), \(-2500\); em \(t = 2\), manutenção \(-2800\) e revenda \(+10200\), resultando em \(+7400\).

O valor presente do ciclo é

\[ PV_1 = -15000 - \frac{2500}{1.1} + \frac{7400}{1.1^2} = -11157.03 \]

O custo anual uniforme correspondente é

\[ \begin{align} CAU_1 &= PV_1 \cdot \frac{i(1+i)^2}{(1+i)^2 - 1} = -11157.03 \cdot \frac{0.10(1.10)^2}{(1.10)^2 - 1} = -6428.57\\ T_1 &= \dfrac{A_{2\rceil i}}{a_{2\rceil i}} \end{align} \]

Opção 2 (comprar com 1 ano de uso e trocar a cada 3 anos). O fluxo de caixa do ciclo é: em \(t = 0\), \(-12500\); em \(t = 1\), \(-2800\); em \(t = 2\), \(-3500\); em \(t = 3\), manutenção \(-3000\) e revenda \(+7000\), resultando em \(+4000\).

O valor presente do ciclo é

\[ PV_2 = -12500 - \frac{2800}{1.1} - \frac{3500}{1.1^2} + \frac{4000}{1.1^3} = -14932.76 \]

O custo anual uniforme correspondente é

\[ \begin{align} CAU_2 &= PV_2 \cdot \frac{i(1+i)^3}{(1+i)^3 - 1} = -14932.76 \cdot \frac{0.10(1.10)^3}{(1.10)^3 - 1} = -6004.68\\ T_2 &= \dfrac{A_{3\rceil i}}{a_{3\rceil i}} \end{align} \]

Como \(CAU_2 = -\$6004.68\) por ano é maior (menos negativo) do que \(CAU_1 = -\$6428.57\) por ano, a estratégia de menor custo anual é a Opção 2: comprar um carro com 1 ano de uso e substituí-lo a cada 3 anos.

Solução pelo método do horizonte comum (MMC)

As alternativas têm vidas úteis de 2 e 3 anos. Logo, o horizonte comum mínimo é o MMC:

\[ h=\operatorname{mmc}(2,3)=6 \text{ anos} \]

Assuma \(i=0.1\) a.a. e que manutenção e revenda ocorrem no final de cada ano; quando houver troca, a compra do próximo veículo ocorre no mesmo instante do final do ano (mesma data de caixa).

Opção 1: comprar “zero” e trocar a cada 2 anos (3 ciclos em 6 anos)

Fluxos (em \(t=0,1,\dots,6\)):

em \(t=0\): compra do zero km: \(-15000\).

em \(t=1\): manutenção do 1º ano: \(-2500\).

em \(t=2\): manutenção do 2º ano \(-2800\), revenda \(+10200\) e nova compra \(-15000\), logo

\[ CF_2=-2800+10200-15000=-7600 \]

em \(t=3\): \(CF_3=-2500\).

em \(t=4\):

\[ CF_4=-2800+10200-15000=-7600 \]

em \(t=5\): \(CF_5=-2500\).

em \(t=6\): manutenção do 2º ano \(-2800\) e revenda \(+10200\) (sem recomprar), logo

\[ CF_6=-2800+10200=7400 \]

Valor presente em 6 anos:

\[ \begin{align} PV_1 &= -15000 -\frac{2500}{1.1} -\frac{7600}{1.1^2} -\frac{2500}{1.1^3} -\frac{7600}{1.1^4} -\frac{2500}{1.1^5} +\frac{7400}{1.1^6}\\ PV_1 &= -27998.10 \end{align} \] Opção 2: comprar com 1 ano e trocar a cada 3 anos (2 ciclos em 6 anos)

Aqui, ao comprar com 1 ano, os custos anuais usados são os do final do ano em que o veículo completa 2, 3 e 4 anos: \(2800\), \(3500\) e \(3000\).

Fluxos:

em \(t=0\): compra do veículo com 1 ano: \(-12500\).

em \(t=1\): \(CF_1=-2800\).

em \(t=2\): \(CF_2=-3500\).

em \(t=3\): manutenção do 4º ano \(-3000\), revenda \(+7000\) e nova compra \(-12500\), logo

\[ CF_3=-3000+7000-12500=-8500. \]

em \(t=4\): \(CF_4=-2800\).

em \(t=5\): \(CF_5=-3500\).

em \(t=6\): manutenção do 4º ano \(-3000\) e revenda \(+7000\) (sem recomprar), logo

\[ CF_6=-3000+7000=4000 \]

Valor presente em 6 anos:

\[ \begin{align} PV_2 &= -12500 -\frac{2800}{1.1} -\frac{3500}{1.1^2} -\frac{8500}{1.1^3} -\frac{2800}{1.1^4} -\frac{3500}{1.1^5} +\frac{4000}{1.1^6}\\ PV_2 &= -26151.96 \end{align} \]

Decisão:

Como \(PV_2=-26151.96\) é maior (menos negativo) do que \(PV_1=-27998.10\), a alternativa de menor custo presente no horizonte comum de 6 anos é a Opção 2 (comprar com 1 ano e trocar a cada 3 anos).

Projeto Simples

Um projeto simples (ou convencional) é aquele cujo fluxo de caixa apresenta uma única mudança de sinal, com o primeiro fluxo negativo e os fluxos subsequentes não negativos.

Dada uma taxa mínima de atratividade (TMA), um projeto simples é aceitável se o seu valor presente líquido satisfaz

\[ VPL(\text{TMA}) \ge 0 \]

Exemplo 1

\(A = (-1000, 600, 500, 300)\) é um projeto simples. Determinar sua TIR.

-1000 + 600 x + 500 x^2 + 300 x^3 = 0, x = 1/(1+r)

x <- c(-1000, 600, 500, 300)
tvm::irr(cf=x)

[1] 0.2148486

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.2148413

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.2148468

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] -1.24+1.6i -1.24-1.6i  0.82+0.0i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

    Raiz_Real          TIR
1 0.823149+0i 0.2148468+0i

Exemplo 2

\(B = (-1000, 300, 200, 1000)\) é um projeto simples. Determinar sua TIR.

-1000 + 300 x + 200 x^2 + 1000 x^3 = 0, x = 1/(1+r)

x <- c(-1000, 300, 200, 1000)
tvm::irr(cf=x)

[1] 0.1832592

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.1832761

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.1832588

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] -0.52+0.95i -0.52-0.95i  0.85+0.00i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

     Raiz_Real          TIR
1 0.8451237+0i 0.1832588+0i

Exemplo 3

\(C = (-10, 47, -72, 36)\) não é um projeto simples. É um projeto misto, pois tem duas mudanças de sinal. Determinar sua TIR.

-10 + 47 x - 72 x^2 + 36 x^3 = 0, x = 1/(1+r)

x <- c(-10, 47, -72, 36)
try(tvm::irr(cf=x))

Error in uniroot(npv, interval = interval, cf = cf, ts = ts, extendInt = "yes",  : 
  f.lower = f(lower) é NA

FinCal::irr(cf=x)

[1] 1

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 1.0 0.5 0.2

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] 0.83 0.67 0.50

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real,
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

  Raiz_Real TIR
1 0.8333333 0.2
2 0.6666667 0.5
3 0.5000000 1.0

Exemplo 4

• \(A = (-1000, 600, 500, 300)\)
  • TIR = 21.45%, VP (i=5%) = 1486
• \(B = (-1000, 300, 200, 1.000)\)
  • TIR = 18.33%, VP (i=5%) = 1541

Os projetos A e B são aceitáveis até suas respectivas TIR, 21.48% e 18.33%.

O projeto B é melhor do que o A até a taxa de juro de 10.73%.

O projeto A é melhor do que o B até a 21.48% (TIR de A).

Valor Presente Líquido (VPL)

O valor presente avalia alternativas classificando-as de acordo com seus valores presentes: quanto maior o valor presente, mais desejável a alternativa. Ao utilizar esse critério, devem ser considerados todos os fluxos de caixa associados ao investimento, tanto positivos quanto negativos. Para enfatizar esse fato, utiliza-se a expressão valor presente líquido (VPL), ou net present value (NPV).

O valor presente líquido é definido como o valor presente dos benefícios menos o valor presente dos custos. Equivalentemente, é a soma dos fluxos de caixa descontados a uma taxa de juro \(i\), denominada taxa mínima de atratividade (TMA):

\[ VPL(i) = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1+i)^t} \]

em que \(CF_0\) é, em geral, negativo.

O conjunto de fluxos de caixa representa financeiramente um projeto de investimento. Um projeto é considerado aceitável se o seu VPL, calculado à TMA, for positivo. Entre projetos mutuamente excludentes avaliados à mesma TMA, o critério de decisão consiste em escolher aquele com maior VPL.

Um projeto simples (ou convencional) é aquele em que o primeiro fluxo de caixa é negativo e todos os fluxos subsequentes são positivos, assumindo-se uma taxa de juro conhecida.

A taxa interna de retorno (TIR), ou internal rate of return (IRR), é definida como a taxa de juro para a qual o VPL do projeto é nulo, isto é, a solução de

\[ VPL(i) = 0 \]

Para projetos simples, o critério da TIR é consistente com o critério do VPL: o projeto é aceitável se \(TIR > TMA\). Esse critério não é geral, pois projetos com fluxos de caixa não convencionais podem apresentar múltiplas ou nenhuma TIR.

Exemplo 1: Quando cortar as árvores por VPL

Imagine que você tenha a oportunidade de plantar árvores para depois vendê-las como lenha. Esse projeto necessita de um investimento inicial de 1 u.m. para comprar e plantar as sementes, sendo que até a colheita nenhum gasto adicional é necessário. No entanto, você tem a alternativa de escolher quando as árvores serão colhidas: (a) depois de um ano ou (b) depois de dois anos. Se você colher após 1 ano, você consegue seu retorno rapidamente. Porém, se esperar mais um ano, as árvores estarão mais crescidas e a receita gerada pelas vendas será maior. Imagine que as séries de fluxos de caixa de a e b sejam:

\[ \begin{align} a &= (-1,2) \\ b &= (-1,0,3) \end{align} \]

Imagine que a taxa de juro composto do mercado seja 10% a.a.

Portanto, os VPL são:

\[ \begin{align} VPL_a &= -1 + \dfrac{2}{1.1} \\ VPL_a &= 0.82 \end{align} \]

\[ \begin{align} VPL_b &= -1 + \dfrac{3}{1.1^2} \\ VPL_b &= 1.48 \end{align} \]

Como \(VPL_b > VPL_a\), então o projeto b é preferível ao a, i.e., \(b > a\).

Logo, projeto b é preferível ao a pelo critério de VPL.

Assim, de acordo com o critério do valor presente líquido, é melhor cortar mais tarde.

Na HP12C, a notação matemática utilizada ao longo do texto tem a seguinte expressão:

\[ \begin{align} x_0 &= CF_0 \\ x_j &= CF_j \\ VPL &= NPV \\ TIR &= IRR \end{align} \]

Série a:

f REG f 2 1 CHS g CFo 2 g CFj 10 i f NPV {0.82}

Série b:

f REG f 2 1 CHS g CFo 0 g CFj 3 g CFj 10 i f NPV {1.48}

# Série a 
FinCal::npv(r=0.1, cf=c(-1,2))

[1] 0.8181818

# Série b 
FinCal::npv(r=0.1, cf=c(-1,0,3))

[1] 1.479339

\[\Diamond\] O critério do valor presente líquido é bastante convincente e, de fato, é geralmente considerado a melhor medida única do mérito de um investimento. Ele possui a vantagem especial de permitir que os valores presentes de diferentes investimentos sejam somados para obter um agregado economicamente significativo. Isso ocorre porque o valor presente de uma soma de fluxos de caixa é igual à soma dos valores presentes dos fluxos de caixa correspondentes.

Observe, por exemplo, que foi possível comparar duas alternativas de investimento associadas ao mesmo horizonte temporal, mesmo que os fluxos de caixa ocorressem em momentos distintos. Em termos gerais, um investidor pode calcular o valor presente de investimentos individuais e também o valor presente de um portfólio inteiro.

A taxa interna de retorno também pode ser usada para classificar fluxos de caixa alternativos. A regra é simples:

Quanto maior a taxa interna de retorno, mais desejável é o investimento.

Um projeto simples é aceitável se sua taxa interna de retorno excede a taxa mínima de atratividade (TMA). Nesse caso, o investimento oferece um retorno superior ao disponível externamente no mercado financeiro.

Esse critério, entretanto, não é geral: a TIR pode levar a decisões incorretas quando aplicada a projetos não convencionais, a projetos com horizontes temporais distintos ou a projetos mutuamente excludentes.

Exemplo 3: Quando cortar as árvores por TIR

Vamos utilizar o método da taxa interna de retorno para avaliar as duas propostas de corte de árvores consideradas no Exemplo 2.4. As equações da taxa interna de retorno nos dois casos são

1. \(-1 + 2c = 0\)

2. \(-1 + 3c^2 = 0\)

Como de costume, \(c = 1/(1+i)\). As soluções são as seguintes:

1. \[ c = \frac{1}{2} = \frac{1}{1+i}, \qquad i = 1.0 \]

2. \[ c = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{1+i}, \qquad i = \sqrt{3} - 1 \approx 0.73 \]

Em outras palavras, no caso (a), o corte antecipado gera uma taxa interna de retorno de 100%, enquanto no caso (b), a taxa interna de retorno é de aproximadamente 70%. Assim, de acordo com o critério da taxa interna de retorno, a melhor alternativa é (a).

Observe que essa conclusão é oposta à obtida pelo critério do valor presente líquido!

\[\Diamond\] ## VPL vs. TIR

Há considerável debate sobre qual dos dois critérios — valor presente líquido (VPL) ou taxa interna de retorno (TIR) — é mais apropriado para a avaliação de investimentos. Ambos possuem características atraentes e ambos têm limitações. Como visto, podem inclusive conduzir a recomendações conflitantes. O VPL é o mais simples de calcular e não apresenta a ambiguidade associada às múltiplas raízes possíveis da equação da TIR. Além disso, o VPL pode ser decomposto em componentes, ao contrário da TIR. Por outro lado, a TIR tem a vantagem de depender apenas das propriedades do fluxo de caixa, e não da taxa de juro vigente no mercado (que, na prática, pode não ser facilmente definida). Na realidade, ambos os métodos têm papéis apropriados, mas em situações distintas.

A diferença fundamental entre os dois critérios pode ser explicada em termos do exemplo “quando cortar as árvores”. É necessário olhar além de um único ciclo de cultivo e considerar uma sequência de ciclos. Suponha que os recursos obtidos com a primeira colheita sejam usados para plantar novas árvores, iniciando uma longa série de expansões do negócio florestal. No plano (a), com corte antecipado, o negócio pode dobrar a cada ano, pois a receita recebida ao final do ano é o dobro do investimento inicial. No plano (b), com corte tardio, o negócio pode triplicar a cada 2 anos pelo mesmo raciocínio. Triplicar a cada 2 anos equivale, no longo prazo, a crescer por um fator de \(\sqrt{3} \approx 1.73\) ao ano (média geométrica). As taxas anuais de crescimento desses dois planos, fatores \(2\) e \(\sqrt{3}\), respectivamente, são iguais a \(1\) mais as taxas internas de retorno correspondentes — e essa igualdade é geral. Assim, em situações desse tipo, nas quais os recursos do investimento podem ser repetidamente reinvestidos no mesmo tipo de projeto, porém em escala crescente, faz sentido escolher o projeto com a maior taxa interna de retorno, de modo a obter o maior crescimento do capital.

Por outro lado, suponha que o investimento seja uma oportunidade única e não possa ser repetido. Nesse caso, o critério adequado é o do valor presente líquido, pois ele compara o investimento com aquilo que poderia ser obtido por meio dos canais normais do mercado financeiro, que oferecem a taxa de juro vigente.

É amplamente aceito pelos teóricos, embora nem sempre pelos profissionais, que, de modo geral, o melhor critério é o baseado no valor presente líquido. Quando usado de forma criteriosa, ele fornece consistência e racionalidade, além de uma perspectiva mais ampla do que a análise de um projeto isolado. No caso do corte de árvores, por exemplo, uma análise esclarecida pelo valor presente concordará com o resultado obtido pelo critério da taxa interna de retorno. Se os dois cenários possíveis forem plenamente desenvolvidos, correspondendo às duas políticas de corte, o critério do valor presente, aplicado à longa série de fluxos de caixa em expansão, também indicará a adoção do plano (a).

Há muitos outros fatores que influenciam uma boa análise de valor presente — e que podem torná-la mais complexa do que sugere a simples formulação do critério. Uma questão importante é a escolha da taxa de juro a ser utilizada no cálculo. Na prática, existem diversas taxas de juro consideradas “livres de risco” no mercado financeiro: a taxa paga por certificados de depósito bancários, a taxa dos títulos do Tesouro norte-americano de 3 meses e a taxa paga pelos títulos corporativos de mais alta classificação são exemplos. Além disso, as taxas para empréstimos costumam ser ligeiramente maiores do que as taxas para aplicações. A diferença entre essas taxas pode ser de vários pontos percentuais. Em decisões empresariais, é comum utilizar uma taxa denominada custo de capital como taxa de referência. Essa taxa representa o retorno que a empresa deve oferecer a investidores potenciais; isto é, o custo que a empresa incorre para obter recursos adicionais. Em alguns casos, ela é tomada como a taxa de retorno esperada em projetos alternativos desejáveis. Contudo, algumas dessas estimativas de custo de capital são derivadas de fluxos de caixa incertos e não constituem medidas adequadas de uma taxa de juro livre de risco. Para cálculos de valor presente, é preferível utilizar taxas que representem taxas de juro efetivas, uma vez que se assume que os fluxos de caixa são certos (e.g.: taxa mínima de atratividade (TMA)).

Outro fator a considerar é que o valor presente, por si só, não revela muito sobre a taxa de retorno. Dois investimentos alternativos podem ter, cada um, um valor presente líquido de $100, mas um pode exigir um investimento de $100 enquanto o outro requer $1 milhão. Evidentemente, essas alternativas devem ser avaliadas de maneira distinta. O valor presente líquido, em sua forma mais simples, não é toda a história (e nunca se afirmou que fosse). Ele constitui um ponto de partida sólido, mas deve ser complementado com estrutura analítica adicional.

Outros critérios de seleção de projeto

Em algumas situações, a escolha do melhor projeto é determinada pelo decisor, independentemente da taxa de juro. Nesse contexto, dois critérios comuns de comparação são a dominância por magnitude e a dominância temporal.

Dominância por Magnitude

A dominância por magnitude ocorre quando um projeto apresenta fluxos de caixa superiores aos de outro projeto em todos os instantes de tempo. Dizemos que a série de fluxos de caixa \(x\) domina a série \(y\) (\(x \succ y\)) se, para cada instante \(j\), o valor correspondente de \(x\) for maior ou igual ao de \(y\):

\[ \begin{align} x &\succ y \\ (x_0, x_1, x_2, \dots, x_n) &\succ (y_0, y_1, y_2, \ldots, y_n) \\ x_j &\geq y_j\\ j &= 0,1,2,\ldots,n \end{align} \]

Exemplo:

\[ (-2, -1, 1, 5) \succ (-3, -1, 0, 5) \]

Neste exemplo, cada fluxo de caixa da série \(x\) é maior ou igual ao fluxo correspondente da série \(y\), portanto, \(x\) domina \(y\) por magnitude.

Dominância Temporal

A dominância temporal ocorre quando dois projetos têm os mesmos valores de fluxo de caixa, mas em momentos diferentes. Neste caso, a série que apresenta os fluxos positivos mais cedo é considerada superior, pois antecipar receitas é geralmente preferível.

Exemplo:

\[ (-1, 2, 0) \succ (-1, 0, 2) \]

Neste caso, a série \(x=(-1, 2, 0)\) é preferível a \(y=(-1, 0, 2)\), pois antecipa o fluxo positivo (2) em relação a \(y\), que o recebe posteriormente.

Exercícios propostos e resolvidos

Exercício 1

Imagine que você tenha que selecionar o melhor projeto de dois disponíveis. Os projetos são:

\[ \begin{align} a &= (-120000, 30000, 40000, 50000, 60000) \\ b &= (-120000, 45000, 45000, 45000, 45000) \end{align} \]

1. Há algum tipo de dominância entre os projetos?

• Resposta: Não há dominâncias por magnitude e temporal.

2. Existe alguma taxa de juro entre 5% e 25% para a qual os VPL dos dois projetos sejam iguais?

• Resposta: Não.

3. Calcule a TIR de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} TIR(a) &= 16.28\% \\ TIR(b) &= 18.45\% \end{align} \]

4. Use a taxa de juro de 10% ao período para calcular o VPL de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} VPL(a) &= 18877.13 \\ VPL(b) &= 22643.95 \end{align} \]

5. Para quais taxas de juros os VPL são negativos?

6. Plotar os gráficos do VPL de cada projeto para o intervalo de taxas de juros entre 5% e 25%.

a <- c(-120000, 30000, 40000, 50000, 60000)
b <- c(-120000, 45000, 45000, 45000, 45000)

cat("TIR a =", round(irra<-FinCal::irr(a),4), "\n")

TIR a = 0.1628 

cat("TIR b =", round(irrb<-FinCal::irr(b),4), "\n\n")

TIR b = 0.1845 

cat("VPL a =", FinCal::npv(0.1, a), "\n")

VPL a = 18877.13 

cat("VPL b =", FinCal::npv(0.1, b), "\n")

VPL b = 22643.95 

r <- seq(0.05,0.25,0.01)

plot(r, FinCal::npv(r, a), type = "l", col = "blue", 
     xlab = "Taxa de Juro", ylab = "VPL", 
     main = "VPL dos Projetos em Função da Taxa de Juro")
lines(r, FinCal::npv(r, b), col = "red")
abline(v = 0.1, lty = 2)
abline(h = 0, lty = 2)
legend("topright", 
       legend = c("Projeto a", "Projeto b"), col = c("blue", "red"), 
       lty = 1, bty="n")

7. Finalmente, qual projeto é preferível? Justificar.

• Resposta: Projeto b, pois tem maior VPL para qualquer taxa de juro entre 5% e 25%.

Exercício 2

Imagine que você tenha que selecionar o melhor projeto de dois disponíveis. Os projetos são:

\[ \begin{align} a &= (-120000, 60000, 50000, 40000, 30000) \\ b &= (-120000, 45000, 45000, 45000, 45000) \end{align} \]

1. Há algum tipo de dominância entre os projetos?

• Resposta: Não.

2. Existe alguma taxa de juro entre 5% e 25% para a qual os VPL dos dois projetos sejam iguais?

• Resposta: Não há dominância por magnitude e temporal.

3. Calcule a TIR de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} TIR(a) &= 21.16\% \\ TIR(b) &= 18.45\% \end{align} \]

4. Use a taxa de juro de 10% ao período para calcular o VPL de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} VPL(a) &= 26410.76 \\ VPL(b) &= 22643.95 \end{align} \]

5. Plotar os gráficos do VPL de cada projeto para o intervalo de taxas de juros entre 5% e 25%.

TIR a = 0.2116 

TIR b = 0.1845 

VPL a = 26410.76 

VPL b = 22643.95 

7. Finalmente, qual projeto é preferível? Justificar.

• Resposta: Projeto a, pois tem maior VPL para qualquer taxa de juro entre 5% e 25%.

Exercício 3

Imagine que você tenha que selecionar o melhor projeto de dois disponíveis. Os projetos são:

\[ \begin{align} a &= (-600000, 140000, 150000, 160000, 170000, 180000, 190000, 200000) \\ b &= (-600000, 0, 0, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000) \end{align} \]

1. Há algum tipo de dominância entre os projetos?

• Resposta: Não há dominâncias por magnitude e temporal.

2. Existe alguma taxa de juro para a qual os VPL dos dois projetos sejam iguais?

• Resposta:

\[ \begin{align} \sum_{j=0}^{n} \dfrac{a_j}{(1+i)^j} &= \sum_{j=0}^{n} \dfrac{b_j}{(1+i)^j} \\ \sum_{j=0}^{n} \dfrac{a_j}{(1+i)^j} - \sum_{j=0}^{n} \dfrac{b_j}{(1+i)^j} &= 0 \\ \sum_{j=0}^{n} \dfrac{a_j - b_j}{(1+i)^j} &= 0 \end{align} \]

\[ i = 9.652\% \]

a <- c(-600000, 140000, 150000, 160000, 170000, 180000, 190000, 200000,0,0)
b <- c(-600000, 0, 0, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000)
x <- a - b
try(tvm::irr(cf=x))

Error in uniroot(npv, interval = interval, cf = cf, ts = ts, extendInt = "yes",  : 
  f.lower = f(lower) é NA

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.09651717

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.60085069 0.60085069 0.09651967

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1]  0.00+0.00i -0.92+0.36i -0.92-0.36i -0.22+0.95i -0.22-0.95i  0.62+0.75i
[7]  0.62-0.75i  0.91+0.00i -0.88+0.00i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

      Raiz_Real              TIR
1  0.0000000+0i         Inf+NaNi
2  0.9119763+0i  0.09651967+  0i
3 -0.8831079+0i -2.13236447+  0i

3. Calcule a TIR de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} \text{TIR}(a) &= 19.27\% \text{ a.p.}\\ \text{TIR}(b) &= 16.00\% \text{ a.p.} \end{align} \]

a <- c(-600000, 140000, 150000, 160000, 170000, 180000, 190000, 200000,0,0)
b <- c(-600000, 0, 0, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000, 200000)
x <- a 
try(tvm::irr(cf=x))

Error in uniroot(npv, interval = interval, cf = cf, ts = ts, extendInt = "yes",  : 
  f.lower = f(lower) é NA

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.192659

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.5745673 0.1926847 0.5745673

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] -1.17+0.53i -1.17-0.53i -0.36+1.20i -0.36-1.20i  0.64+0.99i  0.64-0.99i
[7]  0.84+0.00i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

     Raiz_Real          TIR
1 0.8384446+0i 0.1926847+0i

x <- b 
try(tvm::irr(cf=x))

Error in uniroot(npv, interval = interval, cf = cf, ts = ts, extendInt = "yes",  : 
  f.lower = f(lower) é NA

FinCal::irr(cf=x)

[1] 0.1600677

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] 0.3004330 0.1600936 0.3004330

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] -1.155+0.42i -1.155-0.42i -0.610+0.99i -0.610-0.99i  0.769+0.85i
[6]  0.769-0.85i  0.065+1.14i  0.065-1.14i  0.862+0.00i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

     Raiz_Real          TIR
1 0.8619994+0i 0.1600936+0i

4. Use a taxa de juro de 8% ao período para calcular o VPL de cada projeto.

• Resposta:

\[ \begin{align} \text{VPL}(a) &= 269134.00 \\ \text{VPL}(b) &= 292724.60 \end{align} \]

5. Plotar os gráficos do VPL de cada projeto para o intervalo de taxas de juros entre 5% e 25%.

• Resposta:

TIR a = 0.1927 

TIR b = 0.1601 

VPL a = 269134 

VPL b = 292724.6 

6. Finalmente, qual projeto é preferível? Justificar.

• Resposta:

O projeto b é preferível para taxa de juro menor do que 9.65% a.p.

O projeto a é preferível para taxa de juro maior que 9.65% a.p. até sua TIR = 19.27% a.p.

Exercício 4

Calcule a TIR do projeto \(a = (50, −100, 100)\).

Solução:

internal rate of return: the internal rate of return, IRR, is not a real number

x <- c(50,-100,100)
try(tvm::irr(cf=x))

Error in uniroot(npv, interval = interval, cf = cf, ts = ts, extendInt = "yes",  : 
  f.lower = f(lower) é NA

try(FinCal::irr(cf=x))

Error in uniroot(function(r) -1 * pv.uneven(r, subcf) + cf[1], interval = c(1e-10,  : 
  nenhuma alteração de sinal encontrada em 1000 iterações

FinancialMath::IRR(cf0=x[1], cf=x[2:length(x)], times=1:(length(x)-1), plot=TRUE)

[1] -3.7320508 -0.2679492

print(r <- pracma::roots(rev(x)), digits=2)

[1] 0.5+0.5i 0.5-0.5i

# Seleciona raiz real
raiz_real <- r[Im(r) == 0]
# Converter para i = 1/r - 1
i <- 1/raiz_real - 1
# Imprimir as raízes reais e os valores de i = TIR
print(data.frame(Raiz_Real = raiz_real, 
                 TIR = i,
                 check.names = FALSE))

[1] Raiz_Real TIR      
<0 linhas> (ou row.names de comprimento 0)

Exercício 5

Selecione e justifique a escolha do melhor projeto:

\[ \begin{align} a &= (−177.88; 276.79; 100.00) \\ b &= (−100.00; 100.00; 200.00) \end{align} \]

Solução:

Para taxa de juro maior que 7% e menor que 20%, a é o melhor projeto.

Para taxa menor que 7%, b é o melhor projeto. Para taxa de juro maior que 20% até \(TIR_b = 100\%\), b é o melhor projeto.

TIR a = 0.8585 

TIR b = 1 

VPL(i=0.07) a = 168.1461 

VPL(i=0.07) b = 168.1457 

VPL(i=0.2) a = 122.2228 

VPL(i=0.2) b = 122.2222 

Fluxos Líquidos

Na condução de uma análise de fluxo de caixa, seja pelo critério do valor presente líquido ou da taxa interna de retorno, é essencial que se utilize o fluxo líquido de caixa em cada período, isto é, receitas menos despesas (ou seja, lucro líquido). Em situações simples, o lucro líquido pode ser obtido de forma direta, mas o processo pode tornar-se sutil em situações mais complexas. Em particular, os impostos frequentemente introduzem complexidade, pois certos custos e lucros contábeis não são sempre iguais às saídas ou entradas efetivas de caixa.

Aqui utilizamos um exemplo relativamente simples envolvendo uma mina de ouro para ilustrar a análise de valor presente. Diversos exemplos de minas de ouro são usados ao longo do livro para mostrar como, à medida que estendemos nossa compreensão conceitual, podemos desenvolver análises mais profundas do mesmo tipo de investimento. O exemplo da mina de ouro de Simplicio apresentado aqui é o mais simples da série.

Exemplo: Mina de ouro Simplico

A mina de ouro Simplico possui grandes reservas remanescentes, e você faz parte de uma equipe que está considerando arrendar a mina de seus proprietários por um período de 10 anos. O ouro pode ser extraído dessa mina a uma taxa de até dez mil onças por ano, a um custo de $200 por onça. Esse custo corresponde ao custo operacional total de mineração e refino, excluindo o custo do arrendamento. Atualmente, o preço de mercado do ouro é $400 por onça. A taxa de juro anual é de 10%. Supondo que o preço do ouro, o custo operacional e a taxa de juro permaneçam constantes ao longo do período de 10 anos, qual é o valor presente do arrendamento?

Solução:

O problema é relativamente direto. Ignoramos a despesa com o arrendamento e calculamos apenas o valor presente dos lucros operacionais. É claro que a mina deve operar à capacidade máxima a cada ano, gerando um lucro de
\(10000 \times (400 - 200) = 2\) milhões por ano. Assumimos que esses fluxos de caixa ocorram ao final de cada ano.

O fluxo de caixa consiste, portanto, em 10 pagamentos anuais de $2 milhões ao final de cada ano. O valor presente é dado por

\[ P = \sum_{k=1}^{10} \frac{2}{1.1^k} \]

Esse valor pode ser calculado tanto por soma direta quanto pela fórmula da soma de uma série geométrica (ver Seção 3.2). O resultado é

\[ P = 2 \left[ 1 - \left(\frac{1}{1.1}\right)^{10} \right] \times 10 = 12.29 \]

Esse é o valor do arrendamento.

Método do horizonte temporal comum

Ao utilizar a teoria da taxa de juro para avaliar atividades contínuas (repetíveis), é essencial que as alternativas sejam comparadas ao longo do mesmo horizonte temporal. As dificuldades que surgem quando isso não é feito são ilustradas no exemplo do corte de árvores. As duas alternativas nesse exemplo possuem durações de ciclo distintas, mas a natureza da possível repetição dos ciclos não foi claramente explicitada originalmente.

Apresentamos aqui duas formas de tratar adequadamente diferentes durações de ciclo. A primeira consiste em repetir cada alternativa até que ambas terminem no mesmo instante. Por exemplo, se uma primeira alternativa dura 2 anos e a segunda dura 4 anos, então dois ciclos da primeira são comparáveis a um ciclo da segunda. O outro método para comparar alternativas com durações de ciclo diferentes é supor que cada alternativa será repetida indefinidamente. Nesse caso, pode-se escrever uma equação simples para o valor de toda a sequência de fluxos de caixa de duração infinita.

Exemplo: Compra de automóvel

Você está considerando a compra de um automóvel e reduziu as opções a duas alternativas.
O carro A custa $20.000, tem um custo anual de manutenção esperado de $1.000 por ano (pago no início de cada ano após o primeiro) e possui vida útil estimada de 4 anos.
O carro B custa $30.000 e tem um custo anual de manutenção esperado de $2.000 por ano (após o primeiro ano), com vida útil de 6 anos.
Nenhum dos carros possui valor residual. A taxa de juro é de 10%. Qual carro deve ser comprado?

Solução:

Analisamos essa escolha supondo que alternativas semelhantes estarão disponíveis no futuro — estamos ignorando a inflação — de modo que essa compra faz parte de uma sequência de aquisições de automóveis. Para igualar o horizonte temporal, assumimos um período de planejamento de 12 anos, correspondendo a três ciclos do carro A e dois ciclos do carro B.

Analisamos ciclos simples e ciclos combinados como segue.

Carro A:

Um ciclo: \[ P_A = 20000 + 1000 \sum_{k=1}^{3} \frac{1}{1.1^k} = 22487 \]

Três ciclos: \[ P_{A3} = P_A \left( 1 + \frac{1}{1.1^4} + \frac{1}{1.1^8} \right) = 48336 \]

Carro B:

Um ciclo: \[ P_B = 30000 + 2000 \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{1.1^k} = 37582 \]

Dois ciclos: \[ P_{B2} = P_B \left( 1 + \frac{1}{1.1^6} \right) = 58795 \]

Assim, o carro A deve ser escolhido, pois apresenta o menor valor presente do custo ao longo do horizonte temporal comum.

Exemplo: Corte de árvores pelo método do horizonte temporal comum

Considere as duas políticas do exemplo:

Plano (a): fluxo em 1 ano \[ (-1,\;2) \]

Plano (b): fluxo em 2 anos \[ (-1,\;0,\;3) \]

Como os ciclos têm durações diferentes (1 e 2 anos), igualamos o horizonte usando o mínimo múltiplo comum: \[ \text{mmc}(1,2)=2 \]

Assim, com horizonte de 2 anos, comparamos:

Plano (a) repetido duas vezes: no instante \(t=0\) paga-se \(1\); em \(t=1\) recebe-se \(2\) e reinveste-se \(1\) para iniciar o segundo ciclo, resultando em fluxo líquido \(+1\) em \(t=1\); em \(t=2\) recebe-se \(2\). Logo o fluxo equivalente em 2 anos é \[ (-1,\;1,\;2) \]

Plano (b) em um ciclo de 2 anos é \[ (-1,\;0,\;3) \]

Com taxa de desconto de mercado (TMA) \(i>0\), os valores presentes são:

\[ PV_{a,2} = -1 + \frac{1}{1+i} + \frac{2}{(1+i)^2}, \qquad PV_{b,2} = -1 + \frac{3}{(1+i)^2} \]

Comparação: \[ PV_{a,2} - PV_{b,2} = \frac{1}{1+i} - \frac{1}{(1+i)^2} = \frac{i}{(1+i)^2} \]

Como \(i>0\), então \[ PV_{a,2} - PV_{b,2} > 0 \;\;\Rightarrow\;\; PV_{a,2} > PV_{b,2} \]

Conclusão: ao comparar no mesmo horizonte temporal (2 anos), o plano (a), isto é, cortar mais cedo e repetir o ciclo, domina o plano (b) para qualquer TMA positiva.

Método do horizonte temporal infinito

O método do horizonte temporal infinito é utilizado na avaliação econômica de atividades ou projetos que podem ser repetidos indefinidamente ao longo do tempo. Em vez de forçar a comparação em um horizonte finito comum, assume-se que o ciclo básico de cada alternativa é reiterado continuamente, gerando uma sequência infinita de fluxos de caixa.

A ideia central é que, sob uma taxa de juro constante e positiva, o valor presente de uma sequência infinita de ciclos bem definidos é finito, pois os fluxos futuros são progressivamente descontados. Assim, o problema reduz-se à comparação do valor presente total associado a cada política de repetição.

Formalmente, se um ciclo básico de duração \(k\) anos possui valor presente \(P_{\text{ciclo}}\), então o valor presente total da repetição infinita satisfaz a equação funcional

\[ \begin{align} P_{\text{total}} &= P_{\text{ciclo}} + \frac{P_{\text{total} }}{(1+i)^k} \\ P_{\text{total}} &= \dfrac{P_{\text{ciclo}}}{1-(1+i)^{-k}} \\ P_{\text{total}} &= \dfrac{P_{\text{ciclo}}}{i\,a_{k\rceil i}} \end{align} \] sendo que \(i\) é a taxa de juro. Essa equação explora a auto-semelhança do fluxo de caixa ao longo do tempo.

O método é particularmente apropriado para problemas de substituição de ativos, manutenção de equipamentos e atividades produtivas contínuas, nos quais a decisão ótima não depende de um horizonte final arbitrário, mas do comportamento de longo prazo dos custos ou benefícios.

Exemplo: Substituição de máquina

Uma máquina especializada, essencial para as operações de uma empresa, custa $10.000 e possui custos operacionais de $2.000 no primeiro ano. O custo operacional aumenta em $1.000 a cada ano subsequente. Assumimos que esses custos operacionais ocorrem ao final de cada ano. A taxa de juro é de 10%. Por quanto tempo a máquina deve ser mantida antes de ser substituída por uma nova máquina idêntica? Suponha que, devido à sua natureza especializada, a máquina não possua valor residual.

Solucão:

Este é um exemplo em que o fluxo de caixa não é fixado antecipadamente, pois o instante de substituição é desconhecido. Também é necessário considerar os fluxos de caixa das máquinas de reposição. Isso pode ser feito escrevendo-se uma equação em que o valor presente aparece em ambos os lados. Por exemplo, suponha que a máquina seja substituída a cada ano. Nesse caso, o fluxo de caixa (em milhares de dólares) é \((-10,-2)\) seguido por \((0,-10,-2)\), depois \((0,0,-10,-2)\), e assim por diante. No entanto, o valor presente total dos custos pode ser escrito de forma compacta como

\[ \begin{align} P &= 10 + \frac{2}{1.1} + \frac{10}{1.1} + \frac{2}{1.1^2} + \cdots\\ P &= 10 + \frac{2}{1.1} + \frac{1}{1.1}\left(10 + \frac{2}{1.1} + \cdots\right)\\ P &= 10 + \frac{2}{1.1} + \frac{P}{1.1}\\ P &= \dfrac{10 + \dfrac{2}{1.1}}{1-1.1^{-1}}\\ P &= 130 \end{align} \]

pois, após a primeira substituição da máquina, o fluxo de caixa a partir desse ponto é idêntico ao fluxo original, exceto pelo fato de que essa sequência contínua começa um ano mais tarde e, portanto, deve ser descontada pelo efeito de um ano de juros. A solução dessa equação é \(P = 130\), ou, nas unidades originais, $130.000.

A partir dessa tabela, observa-se que o menor valor presente do custo ocorre quando a máquina é substituída após 5 anos. Portanto, essa é a política ótima de substituição.

Tabela 2.2: Substituição de máquina

Ano de substituição	Valor presente
1	130000
2	82381
3	69577
4	65358
5	64481
6	65196

O valor presente total é calculado para diferentes frequências de substituição. A política ótima corresponde à frequência que produz o menor valor presente total.

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))
# Exemplo 2.8 — Substituição de máquina
# Horizonte temporal infinito

pv_total <- function(k, i = 0.10, C0 = 10000, op1 = 2000, delta = 1000) {
  v <- 1 / (1 + i)
  op <- op1 + (0:(k - 1)) * delta
  PV_ciclo <- C0 + sum(op * v^(1:k))
  PV_total <- PV_ciclo / (1 - v^k)
  PV_total
}

# definir k PRIMEIRO
k <- 1:6

PV <- sapply(k, pv_total)

tab <- data.frame(
  replacement_year = k,
  present_value = round(PV, 0)
)

print(tab, row.names = FALSE)

 replacement_year present_value
                1        130000
                2         82381
                3         69577
                4         65359
                5         64481
                6         65196

# Gráfico
plot(
  k, PV,
  type = "b",
  xlab = "Ano de substituição",
  ylab = "Valor presente total",
  main = "Substituição de máquina\nHorizonte infinito"
)

# mínimo
k_min <- k[which.min(PV)]
PV_min <- min(PV)

points(k_min, PV_min, pch = 19)

Exemplo: Corte de árvores pelo método do horizonte temporal infinito

Considere as duas políticas do exemplo:

Plano (a): cortar cedo (ciclo de 1 ano), com fluxo \[ (-1,\;2) \]

Plano (b): cortar tarde (ciclo de 2 anos), com fluxo \[ (-1,\;0,\;3) \]

Assuma taxa de desconto (TMA) constante \(i>0\) e defina \(v = 1/(1+i)\).

No método do horizonte infinito, supomos que cada política pode ser repetida indefinidamente, reinvestindo integralmente o capital no mesmo tipo de ciclo.

Plano (a): em cada ano, investe-se \(1\) e recebe-se \(2\) no fim do ano. O valor presente de um ciclo é \(-1 + 2v\). A repetição infinita (com ciclos iniciando em \(t=0,1,2,\ldots\)) gera

\[ P_a = \sum_{j=0}^{\infty}\left(-v^j + 2v^{j+1}\right) = (-1+2v)\sum_{j=0}^{\infty} v^j = \frac{-1+2v}{1-v} \]

Plano (b): em cada ciclo de 2 anos, investe-se \(1\) em \(t=0\) e recebe-se \(3\) em \(t=2\). O valor presente de um ciclo é \(-1 + 3v^2\). A repetição infinita (ciclos iniciando em \(t=0,2,4,\ldots\)) gera

\[ P_b = \sum_{j=0}^{\infty}\left(-v^{2j} + 3v^{2j+2}\right) = (-1+3v^2)\sum_{j=0}^{\infty} v^{2j} = \frac{-1+3v^2}{1-v^2} \]

Comparação:

\[ P_a - P_b = \frac{-1+2v}{1-v} - \frac{-1+3v^2}{1-v^2} = \frac{v}{1+v} \]

Como \(i>0 \Rightarrow 0<v<1\), então

\[ \frac{v}{1+v} > 0 \;\;\Rightarrow\;\; P_a > P_b \]

No horizonte temporal infinito, o plano (a) (cortar cedo e repetir o ciclo anual) domina o plano (b) para qualquer TMA positiva.

O horizonte comum força uma comparação “em 2 anos” (um bloco finito). O horizonte infinito avalia o desempenho de longo prazo da política repetível.

Neste problema, ambos concordam porque a vantagem do plano (a) é estrutural: ele gera “mais valor presente por unidade de tempo” quando repetido, e isso aparece tanto no bloco de 2 anos quanto na série infinita.

Quando os projetos são repetíveis e a comparação usa um horizonte que é múltiplo comum dos ciclos, o resultado coincide com o do horizonte infinito.

O ponto central é que, quando o projeto é repetível, a TIR tem interpretação clara como taxa de crescimento de longo prazo do capital.

Plano (a): corte antecipado

Fluxo básico: \((-1, 2)\) em 1 ano.

A TIR \(i_a\) satisfaz

\[ -1 + \frac{2}{1+i_a} = 0 \;\Rightarrow\; 1+i_a = 2 \]

Logo, o capital dobra a cada ano.

Fator anual de crescimento: \(2\).

Plano (b): corte tardio

Fluxo básico: \((-1, 0, 3)\) em 2 anos.

A TIR \(i_b\) satisfaz

\[ -1 + \frac{3}{(1+i_b)^2} = 0 \;\Rightarrow\; (1+i_b)^2 = 3 \;\Rightarrow\; 1+i_b = \sqrt{3} \]

Logo, o capital triplica a cada 2 anos, o que equivale a crescer por um fator anual \(\sqrt{3} \approx 1.73\).

Conexão com o método do horizonte infinito:

No horizonte infinito, cada plano é avaliado como uma política de reinvestimento contínuo. O que importa não é o ganho em um ciclo isolado, mas o fator de crescimento por unidade de tempo.

• Plano (a): crescimento anual \(= 2\)

• Plano (b): crescimento anual \(= \sqrt{3}\)

Como \[ 2 > \sqrt{3} \] o plano (a) domina no longo prazo.

Conexão com o horizonte temporal comum:

Quando usamos um horizonte comum (por exemplo, 2 anos), estamos olhando um bloco finito dessa mesma lógica. O resultado coincide porque a vantagem do plano (a) já aparece no menor múltiplo comum dos ciclos.

Interpretação geral para projetos simples e repetíveis, vale a identidade geral:

O fator de crescimento por período \(= 1 + \text{TIR}\).

Por isso, no problema do corte de árvores:

• O critério da TIR seleciona o plano com maior taxa de crescimento do capital. • O método do horizonte infinito formaliza exatamente essa ideia. • O método do horizonte comum é uma aproximação finita consistente com o resultado de longo prazo.

Aqui, todos apontam para a mesma política: cortar cedo (plano a).

Impostos

Os impostos podem complicar a análise de valor de fluxos de caixa. Nenhuma nova questão conceitual surge; o problema é que os impostos podem obscurecer a verdadeira definição de fluxo de caixa. Se uma alíquota uniforme de imposto fosse aplicada a todas as receitas e despesas, como impostos e créditos, respectivamente, então as recomendações obtidas a partir de análises antes e depois dos impostos seriam idênticas. Os valores presentes obtidos na análise após impostos seriam simplesmente escalonados pelo mesmo fator, isto é, todos seriam multiplicados por \(1\) menos a alíquota do imposto. As taxas internas de retorno também seriam idênticas. Portanto, os rankings obtidos tanto pelo critério do valor presente líquido quanto pelo da taxa interna de retorno permaneceriam os mesmos daqueles sem impostos. Por essa razão, os impostos são ignorados em muitos de nossos exemplos.

Entretanto, em algumas situações, os fluxos de caixa que devem ser reportados ao governo em formulários fiscais não correspondem a fluxos reais de caixa. É por isso que as empresas frequentemente precisam manter dois conjuntos de contas — um para fins fiscais e outro para fins de tomada de decisão. Não há nada de ilegal nessa prática; trata-se de uma realidade introduzida pela legislação tributária.

Uma distorção induzida por impostos nos fluxos de caixa frequentemente acompanha o tratamento da depreciação de ativos. A depreciação é tratada como um fluxo de caixa negativo pelo governo, mas o momento desses fluxos, conforme reportado para fins fiscais, raramente coincide com os desembolsos efetivos de caixa.

Os impostos podem ser tratados de forma eficaz por meio do conceito de taxa após impostos. Para compreender isso, suponha que você invista $100 e que a taxa externa de comparação seja de 10%.

Isso significa que esperamos que os $100 cresçam para $110 em um período. Suponha agora que o ganho seja tributado a uma alíquota de, digamos, 43%. Isso deixará você com $100 + $10 − $4.30 = $105.70. O valor presente de $100 pode ser obtido se descontarmos o valor futuro líquido de impostos por um fator de desconto de 5.70%. Essa é a taxa que deve ser utilizada para valores após impostos.

De modo geral, se a taxa externa de comparação é \(i\) e a alíquota de imposto é \(t\), a taxa após impostos é \((1 - t)i\). No exemplo, temos

\[ (1 - 0.43)\times 0.1 = 0.057 \] ### Exemplo: Depreciação

Suponha que uma empresa adquira uma máquina por $10.000. Essa máquina tem vida útil de 4 anos e seu uso gera um fluxo de caixa de $3.000 por ano. A máquina possui valor residual de $2.000 ao final de 4 anos.

O governo não permite que o custo total da máquina seja lançado como despesa no primeiro ano; em vez disso, exige que o custo da máquina seja depreciado ao longo de sua vida útil. Existem diversos métodos de depreciação, aplicáveis em diferentes circunstâncias, mas, por simplicidade, assumiremos o método linear. Nesse método, uma fração fixa do custo é registrada como depreciação a cada ano. Assim, para uma vida útil de 4 anos, um quarto do custo (menos o valor residual estimado) é registrado como despesa dedutível da receita a cada ano.

Se assumirmos uma alíquota combinada de imposto federal e estadual de 43%, obtemos os fluxos de caixa antes e depois dos impostos, apresentados na Tabela 2.3. O valor presente, a 10%, do fluxo de caixa original é $876. Os valores após impostos, assumindo aplicação imediata da tributação, são mostrados na segunda coluna. O valor presente desses fluxos, calculado usando a taxa após impostos, é $1.180. O efeito do cronograma de depreciação é apresentado na última coluna. Esse valor deve ser descontado à taxa após impostos de 5.7%, resultando em um valor presente de $569.

Esse montante representa a perda de valor decorrente da exigência de utilização da depreciação.

Tabela 2.3: Fluxos de caixa antes e depois dos impostos

Ano	Fluxo de caixa antes do imposto	Fluxo de caixa após imposto	Depreciação	Renda tributável	Imposto	Fluxo de caixa após imposto
0	-10000	-5700	–	–	–	-10000
1	3000	1710	2000*	1000	430	2570
2	3000	1710	2000	1000	430	2570
3	3000	1710	2000	1000	430	2570
4	5000	2850	2000	1000	430	4570

• \(2000 = (10^4 - 2\times 10^3)/4\)

Taxa de desconto	Valor presente
10% (antes do imposto)	876
5.7% (após imposto)	1180
5.7% (efeito da depreciação)	569

Do ponto de vista do valor presente, as regras tributárias para o tratamento da depreciação podem reduzir a lucratividade de um projeto após impostos.

Inflação

A inflação é outro fator que frequentemente causa confusão, decorrente da escolha entre utilizar valores monetários correntes para descrever fluxos de caixa ou utilizar valores expressos em termos de poder de compra, obtidos ao trazer valores futuros inflacionados de volta a um nível nominal.

A inflação é caracterizada por um aumento generalizado dos preços ao longo do tempo. Ela pode ser descrita quantitativamente por meio de uma taxa de inflação \(f\). Em média, os preços daqui a 1 ano serão iguais aos preços atuais multiplicados por \((1+f)\). A inflação se acumula de forma semelhante aos juros: após \(k\) anos de inflação à taxa \(f\), os preços serão \((1+f)^k\) vezes maiores do que seus valores originais. Naturalmente, as taxas de inflação não permanecem constantes ao longo do tempo, mas, em estudos de planejamento, as taxas futuras costumam ser aproximadas como constantes.

Outra forma de enxergar a inflação é considerar que ela reduz o poder de compra do dinheiro. Um dólar hoje não compra a mesma quantidade de bens (como pão ou leite) que comprava há 10 anos. Em outras palavras, podemos pensar que os preços aumentam ou, alternativamente, que o valor do dinheiro diminui. Se a taxa de inflação é \(f\), então o valor de um dólar no próximo ano, medido em termos do poder de compra do dólar de hoje, é \(1/(1+f)\).

Às vezes é útil pensar explicitamente em termos de dólares do mesmo tipo, eliminando a influência da inflação. Assim, consideramos dólares constantes, ou alternativamente, dólares reais, definidos em relação a um determinado ano de referência. Esses são dólares (hipotéticos) que continuam a ter o mesmo poder de compra que os dólares no ano de referência. Esses dólares reais são definidos em contraste com os dólares correntes ou nominais, que são aqueles efetivamente utilizados nas transações.

Isso nos leva à definição de uma nova taxa de juro, denominada taxa real de juro, que é a taxa à qual os dólares reais aumentam quando deixados em um banco que paga a taxa nominal de juro. Para compreender o significado da taxa real de juro, imagine depositar dinheiro no banco no instante zero e retirá-lo após 1 ano. O poder de compra do saldo bancário provavelmente terá aumentado apesar da inflação, e esse aumento mede a taxa real de juro.

Seguindo esse raciocínio, se \(i\) é a taxa nominal de juro e \(f\) é a taxa de inflação, é fácil ver que

\[ 1 + i_0 = \frac{1+i}{1+f} \]

em que \(i_0\) denota a taxa real de juro. Essa equação expressa o fato de que o dinheiro no banco cresce nominalmente pelo fator \(1+i\), mas seu poder de compra é reduzido pelo fator \(1/(1+f)\). Resolvendo para \(i_0\), obtemos

\[ i_0 = \frac{i - f}{1 + f} \]

Observe que, para níveis pequenos de inflação, a taxa real de juro é aproximadamente igual à taxa nominal de juro menos a taxa de inflação.

Uma análise de fluxo de caixa pode ser realizada utilizando dólares correntes (nominais) ou dólares reais. O perigo reside no uso inadvertido de uma mistura dos dois. Tal mistura ocorre, por vezes, em estudos de planejamento de grandes corporações. As divisões operacionais, que lidam principalmente com insumos e produtos físicos, podem extrapolar fluxos de caixa reais para o futuro. Já a administração central, mais voltada para o mercado financeiro e para as regras tributárias, pode considerar mais conveniente trabalhar com fluxos de caixa nominais (isto é, correntes) e, consequentemente, descontá-los à taxa nominal. O resultado pode ser uma subavaliação, pela administração central, de propostas de projetos submetidas pelas divisões, em comparação com as avaliações que seriam obtidas se a inflação fosse tratada de maneira consistente.

Ilustramos agora como uma análise pode ser conduzida de forma consistente, utilizando-se fluxos de caixa reais ou nominais.

Exemplo: Inflação

Suponha que a inflação seja de 4%, a taxa nominal de juro seja de 10% e que tenhamos um fluxo de caixa expresso em dólares reais (ou constantes), conforme mostrado na segunda coluna da Tabela 2.4. É comum estimar fluxos de caixa em dólares constantes, em termos reais, uma vez que aumentos “ordinários” de preços podem ser negligenciados em uma estimativa simples de fluxos de caixa.

Para determinar o valor presente em termos reais, devemos utilizar a taxa real de juro, que pela equação (2.5) é

\[ i_0 = \frac{0.10 - 0.04}{1.04} = 5.77\% \]

Alternativamente, podemos converter o fluxo de caixa para termos nominais (correntes), inflacionando os valores por meio dos fatores de inflação apropriados. Em seguida, determinamos o valor presente utilizando a taxa nominal de juro de 10%. Ambos os métodos produzem o mesmo resultado para o valor presente.

Tabela 2.4: Inflação

Ano	Fluxo de caixa real	P @ 5.77%	Fluxo de caixa nominal	P @ 10%
0	-10000	-10000	-10000	-10000
1	5000	4727	5200	4727
2	5000	4469	5408	4469
3	5000	4226	5624	4226
4	3000	2397	3510	2397
Total		5819		5819

Os fluxos de caixa reais projetados da segunda coluna têm seus valores presentes, à taxa real de juro, apresentados na terceira coluna. A quarta coluna lista os fluxos de caixa que ocorreriam sob uma inflação de 4%, e seus valores presentes à taxa nominal de 10% são apresentados na quinta coluna.

Resumo da teoria básica de juro

O valor do dinheiro no tempo é expresso de forma concreta por meio de uma taxa de juro. A taxa de juro de 1 ano é o preço pago (expresso como porcentagem do principal) para tomar dinheiro emprestado por 1 ano. No regime de juros simples, o pagamento de juros nos anos subsequentes ao primeiro é idêntico, em magnitude, ao do primeiro ano. Assim, por exemplo, o saldo bancário resultante de um único depósito cresce linearmente ao longo do tempo. Já no regime de juros compostos, o pagamento de juros nos anos subsequentes é baseado no saldo existente no início de cada ano. Nesse caso, o saldo bancário resultante de um único depósito cresce geometricamente ao longo do tempo.

Uma aproximação útil é a regra segundo a qual o número de anos necessários para que um depósito dobre de valor, quando capitalizado anualmente, é dado por \(72/i\), em que \(i\) é a taxa de juro expressa em porcentagem. Por exemplo, a 10% ao ano, o dinheiro dobra em aproximadamente 7 anos.

Os juros podem ser capitalizados com qualquer frequência, não apenas anualmente. É inclusive possível capitalizar continuamente, o que leva a saldos bancários que crescem exponencialmente ao longo do tempo. Quando os juros são capitalizados com frequência maior do que anual, é útil definir tanto uma taxa nominal quanto uma taxa efetiva anual de juros. A taxa nominal é a taxa utilizada para um único período dividida pela duração (em anos) desse período. A taxa efetiva é a taxa que, se aplicada sem capitalização, produziria o mesmo saldo total para um depósito mantido por um ano inteiro. A taxa efetiva é maior do que a taxa nominal. Por exemplo, uma taxa nominal anual de 8% corresponde a uma taxa efetiva anual de aproximadamente 8.24% sob capitalização trimestral.

O dinheiro recebido no futuro vale menos do que a mesma quantia recebida no presente, pois o dinheiro disponível hoje pode ser emprestado para render juros. Assim, valores a serem recebidos em datas futuras devem ser descontados, dividindo-se seus montantes pelo fator que representa o crescimento do dinheiro presente até aquela data futura. Existe, portanto, um fator de desconto para cada data futura.

O valor presente de um fluxo de caixa é a soma dos valores descontados dos fluxos individuais que o compõem. Um banco ideal pode transformar um fluxo de caixa em qualquer outro que possua o mesmo valor presente.

A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é uma taxa de juro que, quando utilizada para calcular o valor presente desse fluxo, torna esse valor presente igual a zero. Em geral, essa taxa não é bem definida. Contudo, quando o fluxo de caixa apresenta um desembolso inicial negativo seguido de fluxos positivos, a taxa interna de retorno é bem definida.

Valor presente e taxa interna de retorno são os dois principais métodos utilizados para avaliar projetos de investimento propostos que geram fluxos de caixa determinísticos. No contexto do valor presente, quando existem várias alternativas concorrentes, deve-se selecionar aquela com maior valor presente. No critério da taxa interna de retorno, deve-se selecionar a alternativa com maior taxa interna de retorno.

As análises que utilizam esses métodos nem sempre são diretas. Em particular, a consideração de diferentes durações de ciclo, impostos e inflação requer atenção cuidadosa.

Exercícios

Exercício 1: Uma bela herança

Suponha que $1 tenha sido investido em 1776 a uma taxa de juro de 3.3% ao ano, com capitalização anual.

1. Aproximadamente, quanto valeria esse investimento hoje: $1.000, $10.000, $100.000 ou $1.000.000?

2. E se a taxa de juro fosse de 6.6%?

Solução:

1. (Uma bela herança) Use a “regra do 72”. Anos: \(1994 - 1776 = 218\) anos.

1. \(i = 3.3\%\).

Número de anos necessários para dobrar:

\[ \frac{72}{i} = \frac{72}{3.3} \approx 21.8 \] Número de duplicações:

\[ \frac{218}{21.8} \approx 10 \] Logo, $1 investido em 1776 vale aproximadamente

\[ 2^{10} \approx 1000 \] hoje.

2. \(i = 6.6\%\).

Número de anos necessários para dobrar: \[ \frac{72}{6.6} \approx 10.9 \] Número de duplicações:

\[ \frac{218}{10.9} \approx 20 \] Logo, $1 investido em 1776 vale aproximadamente \(2^{20} \approx 1000000\) hoje.

Exercício 2: A regra do 72

Seja \(i_0=0\). Então a expansão de Mclaurin de segunda ordem de \(\ln(1+i)\) é:

\[ \begin{align} \ln(1+i)&=\ln(1+i_0)+\ln^{\prime}(1+i_0)(i-i_0)+\dfrac{1}{2}\ln^{\prime\prime}(1+i_0)(i-i_0)^2+\cdots\\ \ln(1+i)&=i+\dfrac{i^2}{2}+\cdots\\ \end{align} \]

O número de anos \(n\) necessários para um investimento, à taxa de juro \(i\), dobrar de valor deve satisfazer \[ (1+i)^n = 2 \] Usando \(\ln (2) = 0.69\) e a aproximação \(\ln(1+i) \approx i\) válida para \(r\) pequeno, mostre que \[ n \approx \frac{69}{100i} \] justificando assim a melhor aproximação “regra do 69”.

Em seguida, usando a melhor aproximação \[ \ln(1+i) \approx i - \frac{1}{2}i^2 \] mostre que, para \(r \approx 0.08\), vale aproximadamente \[ n \approx \frac{72}{i} \] Solução:

2. (A regra do 72)

Usando \((1+i)^n = 2\), obtemos \[ n \ln(1+i) = \ln (2) \]

Utilizando a aproximação \(\ln(1+i) \approx r\) e \(\ln (2) = 0.69\), temos \[ nr \approx 0.69 \quad\Rightarrow\quad n \approx \frac{0.69}{i} = \frac{69}{100i} \] Usando agora a aproximação mais precisa \[ \ln(1+i) \approx i - \frac{1}{2}i^2 = i\left(1 - \frac{i}{2}\right) \] obtemos \[ ni\left(1 - \frac{i}{2}\right) \approx 0.69 \]

Para \(i \approx 0.08\), temos \[ \left(1 - \frac{i}{2}\right)^{-1} \approx 1.042 \]

Logo, \[ n \approx \frac{0.69}{i}\times 1.042 \approx \frac{0.72}{i} = \frac{72}{100i} \]

Isso justifica a chamada regra do 72.

Exercício 3: Taxa efetiva

Encontre as taxas efetivas correspondentes para:

1. 3% com capitalização mensal.
   
2. 18% com capitalização mensal.
   
3. 18% com capitalização trimestral.

Solução:

3. (Taxa efetiva)

A taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal \(i\) capitalizada \(m\) vezes ao ano é

\[ i_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{i}{m}\right)^m - 1 \]

1. 3% ao ano com capitalização mensal (\(i=0.03\), \(m=12\)):

\[ i_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{0.03}{12}\right)^{12} - 1 \approx 0.0304 \]

ou seja, aproximadamente 3.04% a.a.

2. 18% ao ano com capitalização mensal (\(i=0.18\), \(m=12\)):

\[ i_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{0.18}{12}\right)^{12} - 1 \approx 0.1956 \]

ou seja, aproximadamente 19.56% a.a.

3. 18% ao ano com capitalização trimestral (\(i=0.18\), \(m=4\)):

\[ i_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{0.18}{4}\right)^4 - 1 \approx 0.1925 \]

ou seja, aproximadamente 19.53% a.a.

Exercício 4: Método de Newton–Raphson

A taxa interna de retorno (TIR) é, em geral, calculada por meio de um procedimento iterativo. Suponha que definimos

\[ f(\lambda) = -a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda^2 + \cdots + a_n \lambda^n \]

em que todos os coeficientes \(a_i\) são positivos e \(n > 1\). Existe uma técnica iterativa que gera uma sequência \(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \ldots\) de estimativas que convergem para a raiz \(\lambda > 0\), resolvendo \(f(\lambda) = 0\). Comece com um valor inicial \(\lambda_0\) próximo da solução. Supondo que \(\lambda_k\) já tenha sido calculado, avalie

\[ f^{\prime}(\lambda_k) = a_1 + 2a_2 \lambda_k + 3a_3 \lambda_k^2 + \cdots + n a_n \lambda_k^{\,n-1} \]

e defina

\[ \begin{align} \tan(\theta)&=\dfrac{f(\lambda_k)}{\lambda_k-\lambda_{k-1}}\\ \lambda_{k+1} &= \lambda_k - \frac{f(\lambda_k)}{f^{\prime}(\lambda_k)}\\ \end{align} \]

Esse é o método de Newton–Raphson. Ele se baseia em aproximar a função \(f\) por uma reta tangente ao seu gráfico no ponto \(\lambda_k\), como ilustrado na Figura 2.4. Experimente o procedimento para a função \(f(\lambda) = -1 + \lambda + \lambda^2\). Comece com \(\lambda_0\) próximo da solução.

Solução:

4. (Método de Newton–Raphson) Temos

\[ f(\lambda) = -1 + \lambda + \lambda^2, \qquad f'(\lambda) = 1 + 2\lambda, \qquad \lambda_{k+1} = \lambda_k - \frac{f(\lambda_k)}{f^{\prime}(\lambda_k)} \]

A tabela a seguir mostra as iterações do método de Newton–Raphson:

\(i\)	\(\lambda_k\)	\(f(\lambda_k)\)	\(f^{\prime}(\lambda_k)\)	\(\lambda_{k+1}\)
0	1	1	3	\(2/3\)
1	\(2/3\)	\(1/9\)	\(7/3\)	\(13/21\)
2	\(13/21\)	0.00227	2.23810	0.618033
3	0.618033	\(-2.2 \times 10^{-6}\)	2.23607	0.618034
4	0.618034	0	2.23608	0.618034

O método converge rapidamente para a raiz positiva

\[ \lambda \approx 0.618034 \]

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
# Método de Newton — ilustração gráfica

f  <- function(lambda) -1 + lambda + lambda^2
df <- function(lambda)  1 + 2*lambda

# raiz exata
lambda_star <- (sqrt(5) - 1) / 2

# iterações de Newton
lambda <- numeric(5)
lambda[1] <- 1
for (k in 1:4) {
  lambda[k + 1] <- lambda[k] - f(lambda[k]) / df(lambda[k])
}

print(lambda)

[1] 1.0000000 0.6666667 0.6190476 0.6180344 0.6180340

print(rootSolve::multiroot(f, start = 1)$root)

[1] 0.618034

# gráfico da função
x <- seq(0.55, 1.1, length.out = 400)
plot(
  x, f(x),
  type = "l",
  xlab = expression(lambda),
  ylab = expression(f(lambda)),
  main = "Método de Newton\nf(lambda) = -1 + lambda + lambda^2"
)

abline(h = 0)

# tangente na primeira iteração
x0 <- lambda[1]
y0 <- f(x0)
tangent <- function(x) y0 + df(x0) * (x - x0)
lines(x, tangent(x), lty = 2)

# pontos das iterações
points(lambda, f(lambda), pch = 19)
points(lambda_star, 0, pch = 19)

# projeções verticais
segments(lambda, f(lambda), lambda, 0, lty = 3)

# rótulos
text(lambda, f(lambda), labels = round(lambda, 6), pos = 3)

Exercício 5: Corte de árvores

Suponha que você tenha a oportunidade de plantar árvores que mais tarde podem ser vendidas como madeira. Esse projeto requer um desembolso inicial de dinheiro para comprar e plantar as mudas. Nenhum outro fluxo de caixa ocorre até que as árvores sejam colhidas. Entretanto, você pode escolher quando colher. Se você colher após 1 ano, obtém o retorno rapidamente; se esperar, as árvores terão crescido mais e a receita gerada pela venda será maior. Suponha que os fluxos de caixa associados a essas alternativas sejam:

Esperar 1 ano: \((-1, 2)\)
Esperar 2 anos: \((-1, 0, 3)\)
Esperar 3 anos: \((-1, 0, 0, 4)\)
\(\vdots\)
Esperar \(n\) anos: \((-1, 0, 0, \ldots, 0, n+1)\)

A taxa de juro vigente é 10%. Qual é o melhor momento para cortar as árvores?

Solução:

Esperar \(n\) anos gera o fluxo \((-1,0,\ldots,0,n+1)\). Logo, com taxa de juro \(i=0.10\), o valor presente é

\[ P(n)= -1 + \frac{n+1}{1.1^n} \]

Como \(-1\) é constante, maximizar \(P(n)\) equivale a maximizar

\[ g(n)=\frac{n+1}{1.1^n} \]

Considere a razão

\[ \frac{g(n+1)}{g(n)} = \frac{n+2}{1.1(n+1)} \]

Temos \(g(n+1) > g(n)\) se, e somente se,

\[ \begin{align} \frac{n+2}{1.1(n+1)} &> 1\\ n+2 &> 1.1(n+1)\\ 0.9 &> 0.1n\\ n &< 9 \end{align} \]

Portanto, \(g(n)\) cresce até \(n=9\) e decresce para \(n\ge 9\). Logo o máximo ocorre em \(n=9\).

Conclusão: a melhor política é cortar após 9 anos.

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
# Corte de árvores — solução gráfica (VPL vs n)

i <- 0.10
n <- 1:30
PV <- -1 + (n + 1) / (1 + i)^n

n_star <- n[which.max(PV)]
PV_star <- max(PV)

plot(
  n, PV,
  type = "b",
  xlab = "n (anos de espera)",
  ylab = "VPL(n)",
  main = "Corte de árvores\nVPL(n) = -1 + (n+1)/(1.1^n)"
)
abline(h = 0, lty = 2)

points(n_star, PV_star, pch = 19)
text(n_star, PV_star, labels = paste0("máximo em n = ", n_star), pos = 3)

c(n_otimo = n_star, VPL_otimo = PV_star)

  n_otimo VPL_otimo 
 9.000000  3.240976 

Exercício 6: Taxa equivalente

Qual taxa de juro (com cinco dígitos significativos) é equivalente a 10% ao ano sob:

1. capitalização mensal?
   
2. capitalização contínua?

Solução:

6. (taxa equivalente)

Queremos encontrar taxas equivalentes à taxa efetiva anual de 10%, isto é, taxas que produzam o mesmo fator de acumulação anual.

1. Capitalização mensal

Se \(i_m\) é a taxa nominal anual com capitalização mensal, então a equivalência exige

\[ \left(1 + \frac{i_m}{12}\right)^{12} = 1.1 \]

Logo,

\[ i_m = 12\left(1.1^{1/12} - 1\right) \]

Calculando,

\[ i_m \approx 0.09569 \]

isto é, aproximadamente 9.531% a.a. (capitalização mensal).

2. Capitalização contínua

Se \(i_c\) é a taxa com capitalização contínua, a equivalência exige

\[ e^{i_c} = 1.1 \]

Portanto,

\[ i_c = \ln(1.1) \approx 0.09531 \]

ou seja, aproximadamente 9.531% a.a. (capitalização contínua).

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
# Taxas equivalentes a 10% a.a.

r_ef <- 0.1
k <- 12

# (a) capitalização mensal
r_m <- 12 * ((1 + r_ef)^(1/12) - 1)

# (b) capitalização contínua
r_c <- log(1 + r_ef)

print(round(c(
  mensal = r_m,
  continua = r_c
), 5))

  mensal continua 
 0.09569  0.09531 

FinCal::ear(r = r_m, m = 12)  

[1] 0.1

FinCal::ear.continuous(r = r_c)     

[1] 0.1

# (a) equivalente com capitalização mensal:
# EIR(r=0.10, n=1, p=12) devolve a taxa POR MÊS equivalente (capitalização mensal)
r_mes <- FinCal::EIR(r = r_ef, n = 1, p = k, type = "e")          # taxa mensal efetiva equivalente
r_nom_mensal <- k * r_mes                      # taxa nominal anual com capitalização mensal
print(round(r_nom_mensal, 5))

[1] 0.09569

# (b) equivalente com capitalização contínua:
# converte a nominal mensal-equivalente para contínua
r_cont <- FinCal::r.continuous(r = r_nom_mensal, m = k)
print(round(r_cont, 5))

[1] 0.09531

Exercício 7: Um prêmio

A maior loteria anuncia que paga ao vencedor $10 milhões. No entanto, esse prêmio é pago à razão de $500.000 por ano (com o primeiro pagamento sendo imediato), totalizando 20 pagamentos. Qual é o valor presente desse prêmio a uma taxa de juro de 10%?

Solução:

7. (Um prêmio)

O prêmio consiste em 20 pagamentos anuais de $500.000, com o primeiro pagamento no instante \(t=0\). Trata-se de uma anuidade antecipada.

Com taxa de juro anual \(i=0.1\), o valor presente é

\[ P = 500000 \sum_{k=0}^{19} \frac{1}{(1+0.1)^k} \]

Essa soma é uma série geométrica finita. Usando a fórmula fechada,

\[ \sum_{k=0}^{19} \frac{1}{(1+0.1)^k} = \frac{1 - (1+0.1)^{-20}}{1 - \frac{1}{1+0.1}} = \frac{1+0.1}{0.1}\left[1 - 1.1^{-20}\right] \]

Logo,

\[ P = 500000 \cdot \frac{1.10}{0.10}\left[1 - 1.1^{-20}\right] \approx 4682460 \]

Portanto, o valor presente do prêmio é aproximadamente $4.682.460.

pmt <- 500000
i <- 0.10
n <- 20

PV <- pmt * sum((1 / (1 + i))^(0:(n - 1)))
print(PV)

[1] 4682460

print(FinCal::pv.annuity(r = i, 
                         n = n, 
                         pmt = -pmt, 
                         type = 1))

[1] 4682460

Exercício 8: Custo irrecuperável (sunk cost)

Um casal jovem fez um depósito não reembolsável do primeiro mês de aluguel (igual a $1.000) em um contrato de aluguel de 6 meses. No dia seguinte, eles encontram outro apartamento de que gostam igualmente, mas cujo aluguel mensal é de apenas $900. Eles pretendem permanecer no apartamento por apenas 6 meses. Devem mudar para o novo apartamento? E se pretenderem permanecer por 1 ano? Assuma uma taxa de juro anual de 12%.

Solução:

8. (Custo irrecuperável) A sequência de pagamentos para o apartamento A é

\[ 1000,\;1000,\;1000,\;1000,\;1000,\;1000 \]

enquanto, para o apartamento B, é

\[ 1900,\;900,\;900,\;900,\;900,\;900. \]

Para qualquer taxa de juro, temos \(P_A < P_B\), pois a diferença inicial é menor do que a soma das diferenças dos pagamentos subsequentes. Portanto, eles não devem mudar.

Para 1 ano, o sinal da diferença depende da taxa de juro. A 1% ao mês, os valores são \(P_A = \$11367.62\) e \(P_B = \$11230.87\), de modo que eles devem mudar.

Exercício 9: Atalho

Gavin Jones é curioso e está determinado a aprender tanto a teoria quanto a aplicação da teoria de investimentos. Ele pressionou o fazendeiro por informações adicionais e soube que seria possível adiar o corte das árvores por mais um ano. O fazendeiro afirmou que, do ponto de vista do valor presente, não valeria a pena fazer isso. Gavin imediatamente deduziu que a receita obtida deveria ser menor do que \(x\). Qual é o valor de \(x\)?

Solução:

9. (Atalho)

Se adiar 1 ano gera fluxo \((-1,0,0,x)\), então, com taxa de 10% a.a.,

\[ P_{\text{adiar}}=-1+\frac{x}{1.1^3} \]

No exemplo do texto, “cortar mais tarde” tinha fluxo \((-1,0,3)\), logo

\[ P_{\text{tarde}}=-1+\frac{3}{1.1^2} \]

Se “não vale a pena adiar”, então

\[ \begin{align} P_{\text{adiar}}&<P_{\text{tarde}} \\ -1+\frac{x}{1.1^3}&<-1+\frac{3}{1.1^2} \\ \frac{x}{1.1^3}&<\frac{3}{1.1^2} \\ \frac{x}{1.1}&<3 \\ x&<3.3 \end{align} \]

Resposta: \(x=3.3\) como limite; logo a receita ao adiar deve ser menor que \(3.3\).

Exercício 10: Máquina copiadora

Duas máquinas copiadoras estão disponíveis. Ambas têm vida útil de 5 anos. Uma máquina pode ser arrendada ou comprada à vista; a outra deve ser comprada. Assim, há um total de três opções: A, B e C. Os detalhes são apresentados na Tabela 2.5. (A manutenção do primeiro ano está incluída no custo inicial. Em seguida, há quatro pagamentos adicionais de manutenção, ocorrendo no início de cada ano, seguidos pelas receitas de revenda.) Os valores presentes das despesas dessas três opções, usando uma taxa de juro de 10%, também estão indicados na tabela. De acordo com a análise por valor presente, deve-se selecionar a máquina de menor custo, medido pelo valor presente; isto é, a opção B.

Tabela 2.5: Opções de máquinas copiadoras

Opção	A	B	C
Desembolso inicial	6000	30000	35000
Despesa anual	8000	2000	1600
Valor residual	0	10000	12000
Valor presente (@ 10%)	31359	30131	32621

A opção A é um arrendamento; as opções B e C correspondem à compra de duas máquinas alternativas. Todas têm vida útil de 5 anos.

Não é possível calcular a taxa interna de retorno (TIR) para nenhuma dessas alternativas, porque todos os fluxos de caixa são negativos (exceto pelos valores de revenda). Entretanto, é possível calcular a TIR de forma incremental. Encontre a TIR correspondente a uma mudança da opção A para a opção B. Essa mudança de A para B é justificada com base na TIR?

Solução:

10. (Máquina copiadora)

Suponha que os pagamentos de manutenção ocorram no início de cada ano.

TIR incremental de A para B (fluxos de caixa em milhares de dólares):

\[ f(c)=0=-24+6c+6c^2+6c^3+6c^4+10c^5 \]

sendo que \[ c=\frac{1}{1+i} \]

Usando o método de Newton, obtemos \[ c=0.894112,\qquad i=0.118 \]

Assim, \[ \text{TIR}_{A\to B}=11.8\%>10\% \]

TIR incremental de B para C (fluxos de caixa em milhares de dólares):

\[ f(c)=0=-5+0.4c+0.4c^2+0.4c^3+0.4c^4+2c^5 \]

com \[ c=\frac{1}{1+i} \]

Usando o método de Newton (\(c_0=1.1\)), obtemos \[ c=1.0862106,\qquad i=-0.079 \]

Logo, \[ \text{TIR}_{B\to C}=-7.9\% \]

Conclui-se que a mudança de A para B é justificada com base no critério da TIR

Exercício 11: Valor do telhado

Você está considerando a compra de uma casa agradável. Ela é perfeita para você em todos os aspectos e está em excelente condição, exceto pelo telhado. O telhado tem apenas 5 anos de vida útil restante. Um telhado novo duraria 20 anos, mas custa $20.000. Espera-se que a casa dure para sempre. Supondo que os custos permaneçam constantes e que a taxa de juro seja de 5%, que valor você atribuiria ao telhado existente?

Solução:

11. (Valor do telhado)

Seja \(C = 20000\) o custo de um telhado novo, vida útil \(L=20\) anos, taxa \(i=0.05\) a.a. O telhado atual tem \(5\) anos de vida restante e a casa dura para sempre.

Interpretação: o “valor do telhado existente” é o valor presente do adiamento do primeiro gasto com reposição em 5 anos (comparado a trocar agora), mantendo o mesmo padrão de reposições a cada 20 anos.

Defina \(q = (1+i)^{-L} = (1.05)^{-20}\).

Sem telhado existente (troca agora e depois a cada 20 anos): \[ PV_0 = C\sum_{j=0}^{\infty}(1+i)^{-20j} = \frac{C}{1-q} \]

Com telhado existente (primeira troca em 5 anos e depois a cada \(20\) anos): \[ PV_5 = C(1+i)^{-5}\sum_{j=0}^{\infty}(1+i)^{-20j} = \frac{C(1+i)^{-5}}{1-q} \]

Logo, o valor do telhado existente é \[ V = PV_0 - PV_5 = \frac{C}{1-q}\left(1-(1+r)^{-5}\right) \]

Substituindo \(C=20000\), \(i=0.05\) e \(q=1.05^{-20}\): \[ V \approx 6948.17 \]

Exercício 12: Dedução por exaustão de poço de petróleo

Um investidor rico gasta $1 milhão para perfurar e desenvolver um poço de petróleo com reservas estimadas de 200.000 barris. O poço deverá operar por 5 anos, com as quantidades estimadas mostradas na segunda coluna da Tabela 2.6. Estima-se que o petróleo seja vendido a $20 por barril. A renda líquida também é apresentada.

Para fins fiscais, uma dedução por exaustão pode ser calculada de duas maneiras a cada ano: 22% da receita bruta até 50% da renda líquida antes dessa dedução (opção 1), ou o custo de investimento do produto, que neste caso é igual ao custo unitário das reservas, $5 por barril (opção 2). A dedução é subtraída da renda líquida para determinar a renda tributável. O investidor está na faixa de imposto de 45%.

Tabela: Detalhes do investimento em petróleo

Ano	Barris produzidos	Receita bruta	Renda líquida	Opção 1	Opção 2	Dedução por exaustão	Renda tributável	Imposto	Renda após impostos
1	80000	1600000	1200000	352000	400000	400000	800000	360000	840000
2	70000	1400000	1000000
3	50000	1000000	500000
4	30000	600000	200000
5	10000	200000	50000

1. Complete a Tabela 2.6 e mostre que a dedução total por exaustão excede o investimento original.
   
2. Calcule o valor presente (VP) e a taxa interna de retorno (TIR) desse investimento. Assuma uma taxa de juro de 20%.

Solução:

12. (Dedução por exaustão de poço de petróleo)

Tabela: Detalhes do investimento em petróleo (valores em milhares de dólares, exceto “Ano”)

Ano	Barris produzidos	Receita bruta	Renda líquida	Opção 1	Opção 2	Dedução por exaustão	Renda tributável	Imposto	Renda após impostos
1	80	1600	1200	352	400	400	800	360	840
2	70	1400	1000	308	350	350	650	292	708
3	50	1000	500	220	250	250	250	112	388
4	30	600	200	110	150	150	50	22	178
5	10	200	50	25	50	50	0	0	50

Total (Dedução por exaustão): 1200

PV (Renda após impostos a 20%): 521.26

1. A dedução total por exaustão é $1.200.000, que excede o investimento original de $1.000.000.

O investimento inicial é de $1.000.000 para desenvolver um poço com reservas totais de 200.000 barris. Logo, o custo unitário do investimento é

\[ \frac{1000000}{200000} = 5 \;\text{dólares por barril} \]

A legislação permite, a cada ano, escolher a maior entre:

1. 22% da receita bruta, limitada a 50% da renda líquida antes da dedução;
   
2. Dedução por custo: $5 por barril produzido.

Ano a ano, a opção 2 é a dominante (ou igual à opção 1), resultando nas deduções anuais mostradas na Tabela. A soma das deduções ao longo dos 5 anos é

\[ 400 + 350 + 250 + 150 + 50 = 1200 \]

Portanto, a dedução total por exaustão é $1.200.000, superior ao investimento original de $1.000.000. Isso ocorre porque a dedução fiscal é baseada na produção física acumulada e não é limitada ao capital inicialmente investido.

2. O valor presente do investimento é $521.260 e a taxa interna de retorno (TIR) é 52.8% a.a.

Os fluxos de caixa relevantes para o investidor são os fluxos após impostos, incluindo o investimento inicial:

\[ (-1000,\;840,\;708,\;388,\;178,\;50) \]

em milhares de dólares.

Com taxa de desconto de 20%, o valor presente é

\[ P = -1000 + \frac{840}{1.2} + \frac{708}{1.2^2} + \frac{388}{1.2^3} + \frac{178}{1.2^4} + \frac{50}{1.2^5} \approx 521.26 \]

Como o valor presente é positivo, o projeto é atrativo a 20% a.a.

A taxa interna de retorno é definida pela equação

\[ 0 = -1000 + \sum_{t=1}^{5} \frac{CF_t}{(1+\text{TIR})^t} \]

Resolvendo numericamente, obtém-se

\[ \text{TIR} \approx 52.8\% \]

Interpretação: a elevada TIR decorre do forte efeito fiscal da dedução por exaustão, que antecipa e amplia os fluxos líquidos após impostos.

Exercício 13: Recomendações conflitantes

Considere os dois projetos cujos fluxos de caixa são apresentados na Tabela. Encontre as taxas internas de retorno (TIR) dos dois projetos e os valores presentes líquidos (VPL) a 5%. Mostre que os critérios da TIR e do VPL conduzem a recomendações diferentes. Você consegue explicar o motivo?

Tabela: Fluxos de caixa dos projetos

Anos	0	1	2	3	4	5
Projeto 1	-100	30	30	30	30	30
Projeto 2	-150	42	42	42	42	42

Solução:

Os resultados são:

\[ \text{VPL}_1 = 29.88 \]

\[ \text{VPL}_2 = 31.84 > \text{VPL}_1 \]

Logo, pelo critério do valor presente líquido, recomenda-se o Projeto 2.

Por outro lado,

\[ \text{TIR}_1 = 15.2\% \]

\[ \text{TIR}_2 = 12.4\% < \text{TIR}_1 \]

Assim, pelo critério da taxa interna de retorno, recomenda-se o Projeto 1.

Tabela:

Projeto 1: \((-100,\;30,\;30,\;30,\;30,\;30)\)
Projeto 2: \((-150,\;42,\;42,\;42,\;42,\;42)\)

Com taxa \(i=0.05\), o fator de anuidade é \[ a_{\overline{5}|\,0.05}=\frac{1-(1.05)^{-5}}{0.05}\approx 4.32948 \]

VPL a 5%:

\[ VPL_1=-100+30\,a_{\overline{5}|\,0.05} \approx -100+30(4.32948)=29.884 \]

\[ VPL_2=-150+42\,a_{\overline{5}|\,0.05} \approx -150+42(4.32948)=31.838 \]

Logo, a 5% o critério do VPL recomenda o Projeto 2.

TIR:

A TIR resolve \(0=-C_0+\sum_{t=1}^{5}\dfrac{C}{(1+i)^t}\).

Projeto 1: \[ \begin{align} 0&=-100+30\,\frac{1-(1+i)^{-5}}{i} \\ \frac{1-(1+i)^{-5}}{i}&=\frac{100}{30}=3.3333 \\ i_1&\approx 0.1525\;(15.25\%) \end{align} \]

Projeto 2: \[ \begin{align} 0&=-150+42\,\frac{1-(1+i)^{-5}}{i} \\ \frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{150}{42}&=3.5714 \\ i_2&\approx 0.1237\;(12.37\%) \end{align} \]

Logo, o critério da TIR recomenda o Projeto 1 (maior TIR), enquanto o VPL a 5% recomenda o Projeto 2 (maior VPL). Há conflito.

A taxa de cruzamento vem do fluxo incremental (2 − 1): \[ \Delta CF = (-50,\;12,\;12,\;12,\;12,\;12) \] A taxa \(i^\ast\) que iguala os VPLs satisfaz \[ \begin{align} 0&=-50+12\,\frac{1-(1+i^\ast)^{-5}}{i^\ast} \\ i^\ast&\approx 0.065 \end{align} \] Como \(0.05<i^\ast\), em 5%, o Projeto 2 tem VPL maior; se a taxa fosse acima de aproximadamente 6.5%, o Projeto 1 passaria a ter VPL maior.

Exercício 14: Dominância

Suponha que dois projetos concorrentes tenham fluxos de caixa da forma \[ (-A_1,\;B_1,B_1,\ldots,B_1) \quad\text{e}\quad (-A_2,\;B_2,B_2,\ldots,B_2), \] ambos com o mesmo horizonte temporal, e com \(A_1, A_2, B_1, B_2 > 0\). Suponha que \[ \frac{B_1}{A_1} > \frac{B_2}{A_2} \] Mostre que o Projeto 1 tem uma taxa interna de retorno (TIR) maior do que o Projeto 2.

Solução:

14. (Dominação)

As equações para a TIR são

\[ A_k = B_k \sum_{j=1}^{n} c_k^{\,j}, \qquad k = 1,2 \]

em que \[ c_k = \frac{1}{1+i_k} \]

Isso implica que

\[ \frac{1}{\sum_{j=1}^{n} c_k^{\,j}} = \frac{B_k}{A_k} \]

Portanto,

\[ \frac{B_1}{A_1} > \frac{B_2}{A_2} \;\Longrightarrow\; \sum_{j=1}^{n} c_1^{\,j} < \sum_{j=1}^{n} c_2^{\,j} \]

o que, por sua vez, implica

\[ c_1 < c_2 \]

ou, de forma equivalente,

\[ i_1 > i_2 \] ### Exercício 15: Cruzamento

Em geral, dizemos que dois projetos com fluxos de caixa \(x_i\) e \(y_i\), \(i = 0,1,2,\ldots,n\), se cruzam se \(x_0 < y_0\) e \[ \sum_{i=0}^{n} x_i > \sum_{i=0}^{n} y_i \] Sejam \(P_x(d)\) e \(P_y(d)\) os valores presentes dos projetos \(x\) e \(y\), respectivamente, em função do fator de desconto \(d\).

1. Mostre que existe um valor de cruzamento \(c>0\) tal que \(P_x(c)=P_y(c)\).

2. Para o Exercício 13, calcule o valor de cruzamento \(c\).

Solução:

15. (Cruzamento)

1. Seja \(P(c)=P_x(c)-P_y(c)\), uma função contínua de \(c\). Então

\[ P(1)=P_x(1)-P_y(1)=\sum_{i=0}^{n}x_i-\sum_{i=0}^{n}y_i>0 \]

Da mesma forma,

\[ P(0)=P_x(0)-P_y(0)=x_0-y_0<0 \]

Pelo teorema do valor intermediário, existe um \(c\) tal que \(P(c)=0\), i.e., \(P_x(c)=P_y(c)\).

2. Resolvemos

\[ -100 + 30(c+c^2+\cdots+c^5) = -150 + 42(c+c^2+\cdots+c^5). \]

Isso fornece \(c=0.946\) e \(i=5.7\%\).

Exercício 16: Escolha do método de depreciação

Nos Estados Unidos, o sistema de recuperação acelerada de custos (ACRS) deve ser utilizado para a depreciação de ativos colocados em serviço após dezembro de 1980. Nesse sistema, os ativos são classificados em categorias que especificam a vida útil efetiva. A classificação de “propriedade de 3 anos”, por exemplo, inclui automóveis, tratores para reboques rodoviários, caminhões leves e certas ferramentas de manufatura. As porcentagens do custo da propriedade de 3 anos que podem ser deduzidas em cada um dos três primeiros anos após a compra (incluindo o ano da compra) são, respectivamente, 25%, 38% e 37%. A legislação tributária também permite o método alternativo ACRS, que, para propriedade de 3 anos, significa que a depreciação linear de \(33\frac{1}{3}\%\) pode ser utilizada por 3 anos.

Qual desses métodos é preferido por um indivíduo que deseja maximizar o valor presente da depreciação? Como a escolha depende da taxa de juro assumida?

Solução:

14. (Escolha do método de depreciação)

O indivíduo maximiza o valor presente (em termos percentuais) da depreciação comparando:

1. Método acelerado: 25%, 38% e 37%.

O valor presente é \[ P_1 = 25 + \frac{38}{1+i} + \frac{37}{(1+i)^2} \]

2. Método linear: \(33\frac{1}{3}\%\) ao ano por 3 anos.

O valor presente é \[ P_2 = \frac{100}{3}\left(1 + \frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2}\right) \]

Igualando, \[ PV_1 = PV_2 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1+i} = 1 \] o que implica \(i=0\).

Como para \(i>0\) vale \(P_2 > Pi_1\), conclui-se que o método linear (depreciação em linha reta) é sempre preferível para maximizar o valor presente da depreciação.

# Escolha do método de depreciação — solução gráfica

# taxa de juro
r <- seq(0, 0.30, by = 0.001)

# PV do método acelerado (25%, 38%, 37%)
PV1 <- 25 + 38 / (1 + r) + 37 / (1 + r)^2

# PV do método linear (33 1/3% por 3 anos)
PV2 <- (100 / 3) * (1 + 1 / (1 + r) + 1 / (1 + r)^2)

# gráfico
plot(
  r, PV1,
  type = "l",
  xlab = "Taxa de juro i",
  ylab = "Valor presente da depreciação (%)",
  main = "Método de depreciação",
  ylim = range(PV1, PV2)
)

lines(r, PV2, lty = 2)
legend(
  "topright",
  legend = c("ACRS (25%, 38%, 37%)", "Linear (33 1/3% por ano)"),
  lty = c(1, 2)
)

# ponto r = 0
abline(v = 0, lty = 3)

Exercício 17: Uma análise equivocada

Uma divisão da corporação ABBOX desenvolveu o conceito de um novo produto. A produção do produto exigiria um dispêndio inicial de capital de $10 milhões. Prevê-se que 1 milhão de unidades seriam vendidas a cada ano por 5 anos, após os quais o produto se tornaria obsoleto e a produção cessaria. A produção de cada ano exigiria 10.000 horas de trabalho e 100 toneladas de matéria-prima bruta. Atualmente, o salário médio é de $30 por hora e o custo da matéria-prima é de $100 por tonelada. O produto seria vendido a $3,30 por unidade, e espera-se que esse preço seja mantido (em termos reais). A administração da ABBOX costuma utilizar uma taxa de desconto de 12% para projetos desse tipo e enfrenta uma alíquota de imposto de 34% sobre o lucro. O investimento inicial em capital pode ser depreciado de forma linear ao longo de 5 anos. Na primeira análise do projeto, a administração não aplicou fatores de inflação às receitas e aos custos operacionais extrapolados. Que valor presente eles obtiveram? Como a resposta mudaria se uma taxa de inflação de 4% fosse aplicada?

Solução:

17. (Uma análise equivocada)

Com a aplicação de uma taxa de inflação de 4%, o valor presente do projeto muda de negativo para positivo.

Sem inflação, o valor presente é \(PV = -435\) indicando que o projeto não seria economicamente atrativo.

Com inflação de 4%, o valor presente passa a ser \(PV = 89\) tornando o projeto aceitável sob o critério do valor presente.

A variação no valor presente é \[ \Delta PV = 89 - (-435) = 524 \]

A razão econômica é que, com inflação, receitas e custos operacionais crescem nominalmente ao longo do tempo, enquanto a depreciação permanece fixa em termos nominais. Isso eleva a renda tributável e, consequentemente, os fluxos de caixa após imposto, que, quando descontados à taxa nominal de 12%, resultam em um valor presente maior.

(Valores em milhares de dólares)

Sem inflação

Ano	Custo	Receita	Renda antes do imposto	Depreciação	Renda tributável	Imposto	Renda após imposto	PV (@12%)
0	10000	0	0	0	0	0	-10000	-10000
1	310	3300	2990	2000	990	337	2653	2369
2	310	3300	2990	2000	990	337	2653	2115
3	310	3300	2990	2000	990	337	2653	1889
4	310	3300	2990	2000	990	337	2653	1686
5	310	3300	2990	2000	990	337	2653	1506

Total PV: \(-435\)

Com 4% de inflação

Ano	Custo	Receita	Renda antes do imposto	Depreciação	Renda tributável	Imposto	Renda após imposto	PV (@12%)
0	10000	0	0	0	0	0	-10000	-10000
1	310	3300	2990	2000	990	337	2653	2369
2	322	3432	3110	2000	1110	377	2732	2178
3	335	3569	3234	2000	1234	420	2814	2003
4	349	3712	3363	2000	1364	464	2900	1843
5	363	3861	3498	2000	1498	509	2989	1696

Total PV: \(89\)

Matemática Financeira Estocástica

“A longo prazo, todos estaremos mortos.”

KEYNES, John Maynard (1923) A Tract on Monetary Reform. Londres: Macmillan, p. 80.

Teses e dissertações orientadas por Prof. José Siqueira na FEA-USP e IP-USP: Teses USP

Os dois exemplos a seguir usam a distribuição normal multivariada para modelar a estrutura de relacionamento entre as variáveis financeiras, conforme Capítulo 4: Distribuição normal multivariada.

Exemplo: Ponto de Equilíbrio em uma Clínica Médica

Ponto de equilíbrio (Break-Even Point (BEP)): Wikipédia

Este exemplo está baseado em Exemplo 10.3: Equação de ponto de equilíbrio de Park & Sharp-Bete (1990, cap. 10).

Considere a equação de ponto de equilíbrio de um produto:

\[ Z = (V - C)X - K \]

sendo que \(V\) é o preço de venda unitário, \(C\) é o custo variável unitário, \(X\) é o volume de vendas, \(K\) é um custo fixo, e \(Z\) é o lucro realizado.

O código em R abaixo calcula média, mediana, desvio-padrão e intervalo de alta densidade de 95% do lucro a ser realizado, assumindo que \(K\) é conhecido com certeza, mas \(V\), \(C\) e \(X\) são variáveis aleatórias dependentes normalmente distribuídas.

O ponto de equilíbrio é a quantidade mínima de consultas que uma clínica médica precisa realizar para cobrir seus custos, sem gerar lucro nem prejuízo. Ele é dado pela fórmula:

\[ X^\ast = \dfrac{K}{V - C} \]

Sendo que:

• \(X^\ast\) = número de consultas no ponto de equilíbrio
  
• \(K\) = custo fixo mensal (aluguel, salários, contas de energia elética, água, internet)
  
• \(V\) = preço médio cobrado por consulta
  
• \(C\) = custo variável por consulta (materiais, exames)

Exemplo Aplicado à Medicina

Suponha que uma clínica médica tenha os seguintes custos e receitas:

• \(K = 50000\)
  
• \(V = 200\)
  
• \(C = 50\)

O ponto de equilíbrio é calculado como:

\[ X^\ast = \dfrac{50000}{200 - 50} = \dfrac{50000}{150} = 333.33 \]

Ou seja, a clínica precisa realizar 334 consultas por mês para não operar no prejuízo.

invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
set.seed(123)

n <- 1e5

# Função para gerar vetor Z
gerar_Z <- function(mu, sd, r, K) {
  Sigma <- matrix(c(
    sd[1]^2, r[1]*sd[1]*sd[2], r[2]*sd[1]*sd[3],
    r[1]*sd[1]*sd[2], sd[2]^2, r[3]*sd[2]*sd[3],
    r[2]*sd[1]*sd[3], r[3]*sd[2]*sd[3], sd[3]^2
  ), 3, 3, byrow = TRUE)
  stopifnot(all(eigen(Sigma)$values > 0)) # PSD
  amostra <- mvtnorm::rmvnorm(n, mu, Sigma)
  colnames(amostra) <- c("V", "C", "X")
  Z <- (amostra[, "V"] - amostra[, "C"]) * amostra[, "X"] - K
  return(Z)
}

# Cenários
mu1 <- c(300, 50, 200); sd1 <- c(60, 10, 40); r1 <- c(0.5, -0.5, 0)
mu2 <- c(400, 50, 200); sd2 <- c(80, 10, 40); r2 <- c(0.7, -0.2, 0.1)
K <- 5e4

Z1 <- gerar_Z(mu1, sd1, r1, K)
Z2 <- gerar_Z(mu2, sd2, r2, K)

# Estatísticas comparativas
estatisticas <- data.frame(
  "Estatística" = c("Média", "Mediana", "Desvio-padrão", "Proporção Z < 0"),
  Z1 = c(mean(Z1), median(Z1), sd(Z1), mean(Z1 < 0)),
  Z2 = c(mean(Z2), median(Z2), sd(Z2), mean(Z2 < 0)),
  check.names = FALSE
)

# Arredondar apenas as colunas numéricas
estatisticas$Z1 <- round(estatisticas$Z1, 4)
estatisticas$Z2 <- round(estatisticas$Z2, 4)

print(estatisticas, row.names=FALSE)

     Estatística         Z1         Z2
           Média -1227.8486 19359.9726
         Mediana -1637.7844 18231.4587
   Desvio-padrão 10504.6525 18083.5310
 Proporção Z < 0     0.5616     0.1381

cat("\nHDI 95% Z1\n")

HDI 95% Z1

print(HDInterval::hdi(Z1))

    lower     upper 
-20910.89  20060.12 
attr(,"credMass")
[1] 0.95

cat("\nHDI 95% Z2\n")

HDI 95% Z2

print(HDInterval::hdi(Z2))

    lower     upper 
-14850.87  55252.78 
attr(,"credMass")
[1] 0.95

cat("\nShapiro-Wilk Z1\n")

Shapiro-Wilk Z1

print(shapiro.test(Z1[1:5000]))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  Z1[1:5000]
W = 0.99762, p-value = 4.977e-07

cat("\nShapiro-Wilk Z2\n")

Shapiro-Wilk Z2

print(shapiro.test(Z2[1:5000]))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  Z2[1:5000]
W = 0.99319, p-value = 1.023e-14

# Gráfico de densidades com normal teórica
plot(density(Z1), col = "red", lwd = 2,
     xlab = "Z", main = expression(Z == (V - C) * X - 50000))
lines(density(Z2), col = "blue", lwd = 2)
curve(dnorm(x, mean(Z1), sd(Z1)), add = TRUE, col = "red", lty = 2)
curve(dnorm(x, mean(Z2), sd(Z2)), add = TRUE, col = "blue", lty = 2)
legend("topright", legend = c("Z1", "Z2", "Normal(Z1)", "Normal(Z2)"),
       col = c("red", "blue", "red", "blue"), lty = c(1,1,2,2), lwd = 2, bty = "n")
abline(v=0, lty=3)

# Gráfico conjunto das ECDFs
plot(ecdf(Z1), col = "red", lwd = 2,
     main = expression(paste("ECDF de ", Z == (V - C) * X - 50000)), xlab = "Z")
lines(ecdf(Z2), col = "blue", lwd = 2)
abline(h = 0.5, v = 0, lty = 2)
legend("bottomright", legend = c("Z1", "Z2"), col = c("red", "blue"),
       lwd = 2, bty = "n")

Exemplo de RCJC Contínuo

invisible(Sys.setlocale("LC_CTYPE", "pt_BR.UTF-8"))
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
set.seed(123)

n <- 1e5
mu <- c(100, 0.08, 5)
sd <- c(20, 0.02, 1)
r <- c(0.5, -0.5, 0.1)

Sigma <- matrix(c(
  sd[1]^2, r[1]*sd[1]*sd[2], r[2]*sd[1]*sd[3],
  r[1]*sd[1]*sd[2],          sd[2]^2, r[3]*sd[2]*sd[3],
  r[2]*sd[1]*sd[3], r[3]*sd[2]*sd[3],          sd[3]^2
), 3, 3, TRUE)

stopifnot(all(eigen(Sigma)$values > 0))  # PSD garantido

amostra <- as.data.frame(mvtnorm::rmvnorm(n, mu, Sigma))
colnames(amostra) <- c("P", "i", "n")

F <- amostra$P * exp(amostra$i * amostra$n)

cat("\nMédia de F:", round(mean(F), 2), "\n")

Média de F: 151.24 

cat("Mediana de F:", round(median(F), 2), "\n")

Mediana de F: 148.76 

cat("Desvio-padrão de F:", round(sd(F), 2), "\n")

Desvio-padrão de F: 38.06 

# Gráfico de densidade com curva normal teórica
plot(density(F), col = "blue", lwd = 2,
     main = expression(F == P*exp(i*n)), xlab = "F")
curve(dnorm(x, mean(F), sd(F)), add = TRUE, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
legend("topright", legend = c("Densidade empírica", "Normal teórica"),
       col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = 2, bty = "n")

# Intervalo HDI
cat("HDI 95%\n")

HDI 95%

print(HDInterval::hdi(F))

    lower     upper 
 80.10158 228.18666 
attr(,"credMass")
[1] 0.95

# Teste de normalidade (Shapiro-Wilk)
print(shapiro.test(F[1:5000]))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  F[1:5000]
W = 0.99161, p-value < 2.2e-16

# ECDF com curva da normal teórica
plot(ecdf(F), col = "blue", lwd = 2,
     xlab = "F", main = expression(F == P*exp(i*n)))
curve(pnorm(x, mean(F), sd(F)), add = TRUE, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
abline(h = 0.5, lty = 2)
legend("bottomright", legend = c("ECDF empírica", "CDF normal"),
       col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = 2, bty = "n")

Transformada de Laplace: fator de decaimento exponencial

Suponha que a variável aleatória \(T\) tem função de densidade de probabilidade \(f(t)\).

A transformada de Laplace, sendo \(r>0\), é dada por:

\[ \mathcal{L}(r)=\int_{0}^{\infty}{f(t)\exp(-rt)dt}=\mathbb{E}\left(\exp(-rT)\right) \]

A transformada de Laplace é a esperança da variável aleatória fator de decaimento exponencial \(\exp(-rT)\).

\[ \mathbb{E}\left(\exp(-rT)\right)=\mathcal{L}(r) \]

a variância da variável aleatória fator de decaimento exponencial \(\exp(-rT)\) é:

\[ \mathbb{V}\left(\exp(-rT)\right)=\mathcal{L}(2r)-\left(\mathcal{L}(r)\right)^2 \]

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Função de Densidade de } T& \text{Transformada de Laplace} \, \mathbb{E}(e^{-rT}) \\ \hline \text{Normal Generalizada} & \exp\left( \dfrac{1}{2}(r^2 \sigma^2-2r \mu ) \right) \\ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left( -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x - \mu}{ \sigma} \right)^2\right) & -\infty < x < \infty \\ \hline \text{Normal Padrão} & \exp\left( \dfrac{1}{2}r^2 \right) \\ \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left( -\dfrac{1}{2}x^2 \right) & -\infty < x < \infty \\ \hline \text{Uniforme} & \dfrac{\exp(-ra) - \exp(-rb)}{r(b - a)} \\ \dfrac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ \hline \text{Gamma} & \left( 1 + \dfrac{r}{a} \right)^{-b} \\ \dfrac{a^b}{\Gamma(b)} x^{b-1} \exp\left( -ax \right) & 0 < x < \infty \\ \hline \text{Exponencial} & \left( 1 + \dfrac{r}{a} \right)^{-1} \\ a\exp(-ax) & 0 < x < \infty \\ \hline \end{array} \]

LaplaceTransform[PDF[UniformDistribution[a, b], x], x, r]

LaplaceTransform[2 PDF[NormalDistribution[\mu,\sigma], x], x, r]

LaplaceTransform[2 PDF[NormalDistribution[0,1], x], x, r]

LaplaceTransform[PDF[GammaDistribution[b,a], x], x, r]

LaplaceTransform[PDF[ExponentialDistribution[1,a], x], x, r]

LaplaceTransform[PDF[ChiSquareDistribution[\nu], x], x, r]

Exemplo 10.11: Park & Sharp-Bete, 1990, p. 408-9

Interrupções de energia em certa planta industrial acarretam um custo esperado de US$ 30.000 sempre que ocorrem. Essas interrupções são modeladas como ocorrendo segundo uma distribuição exponencial negativa, com tempo médio entre ocorrências sucessivas de 1.2 anos. Assumindo capitalização contínua a uma taxa \(r = 10\%\) ao ano, qual o valor esperado e o desvio padrão do valor presente do custo da próxima interrupção? Explique por que US$ 178 é o custo adicional associado à incerteza no momento da ocorrência.

Solução:

Seja \(T \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) com \(\lambda = \dfrac{1}{1.2} = \dfrac{5}{6}\), e \(r = 0.10\).

A variável de interesse é o valor presente do custo:

\[ VP = C \cdot e^{-rT}, \quad \text{com } C = 30000 \]

A esperança de \(e^{-rT}\) é dada pela transformada de Laplace:

\[ \mathbb{E}(e^{-rT}) = \left(1 + \dfrac{r}{\lambda} \right)^{-1} = \left(1 + \dfrac{0.10}{5/6} \right)^{-1} = \dfrac{1}{1.12} \approx 0.892857 \]

Portanto:

\[ \mathbb{E}(VP) = 30000 \cdot 0.892857 \approx 26785.71 \]

A variância de \(VP\) é:

\[ \begin{align} \mathbb{V}(VP) &= C^2 \cdot \left[ \left(1 + \dfrac{2r}{\lambda} \right)^{-1} - \left(1 + \dfrac{r}{\lambda} \right)^{-2} \right] \\ &= 30000^2 \cdot \left[ \dfrac{1}{1.24} - \left( \dfrac{1}{1.12} \right)^2 \right] \\ &\approx 900000000 \cdot (0.806452 - 0.797101) \\ \mathbb{V}(VP) &\approx 8416350 \end{align} \]

Desvio padrão:

\[ \sigma_{VP} = \sqrt{8416350} \approx 2900.23 \]

Custo da incerteza:

Se o tempo até a interrupção fosse conhecido com certeza (1.2 anos), o valor presente seria:

\[ \begin{align} VP_{\text{certo}} &= 30000 \cdot e^{-0.10 \cdot 1.2} \\ &= 30000 \cdot e^{-0.12} \\ &\approx 30000 \cdot 0.88692 \\ VP_{\text{certo}} &\approx 26607.60 \end{align} \]

A diferença entre o valor esperado sob incerteza e o valor presente sob certeza é:

\[ 26785.71 - 26607.60 = 178.11 \]

Portanto, US$ 178 representa o custo adicional da incerteza no tempo de ocorrência da próxima interrupção.

# Parâmetros do problema
C <- 30000      # custo por interrupção
r <- 0.10       # taxa de desconto contínua
lambda <- 5/6   # taxa da exponencial (inverso de 1.2 anos)

# Esperança teórica do VP
E_VP <- C * (1 + r / lambda)^(-1)

# Variância teórica do VP
L1 <- (1 + r / lambda)^(-1)
L2 <- (1 + 2 * r / lambda)^(-1)
V_VP <- C^2 * (L2 - L1^2)
SD_VP <- sqrt(V_VP)

# Valor presente certo (tempo certo = 1.2)
VP_certo <- C * exp(-r * 1.2)
custo_incerteza <- E_VP - VP_certo

# Impressão dos resultados teóricos
cat("Esperança teórica:", round(E_VP, 2), "\n")

Esperança teórica: 26785.71 

cat("Desvio-padrão teórico:", round(SD_VP, 2), "\n")

Desvio-padrão teórico: 2886.51 

cat("Valor presente com tempo certo:", round(VP_certo, 2), "\n")

Valor presente com tempo certo: 26607.61 

cat("Custo da incerteza:", round(custo_incerteza, 2), "\n")

Custo da incerteza: 178.1 

# Simulação Monte Carlo
set.seed(2025)
n_sim <- 1e5
T_sim <- rexp(n_sim, rate = lambda)
VP_sim <- C * exp(-r * T_sim)

# Estatísticas simuladas
E_VP_sim <- mean(VP_sim)
SD_VP_sim <- sd(VP_sim)

cat("\nEsperança simulada:", round(E_VP_sim, 2), "\n")

Esperança simulada: 26790.18 

cat("Desvio-padrão simulado:", round(SD_VP_sim, 2), "\n")

Desvio-padrão simulado: 2896.6 

# Gráfico de densidade
dens <- density(VP_sim)
plot(dens, main = "Densidade do Valor Presente Simulado",
     xlab = "Valor Presente", lwd = 2, col = "blue")
abline(v = E_VP, col = "red", lwd = 2, lty = 2)         # média teórica
abline(v = E_VP_sim, col = "blue", lwd = 2, lty = 1)    # média simulada
abline(v = E_VP + SD_VP, col = "red", lty = 3)
abline(v = E_VP - SD_VP, col = "red", lty = 3)
abline(v = E_VP_sim + SD_VP_sim, col = "blue", lty = 3)
abline(v = E_VP_sim - SD_VP_sim, col = "blue", lty = 3)

legend("topleft",
       legend = c("Esperança teórica", "Esperança simulada", "±1 DP teórico", "±1 DP simulado"),
       col = c("red", "blue", "red", "blue"),
       lty = c(2, 1, 3, 3), lwd = 2, bty="n")

Valor Presente de Renda Contínua Uniforme com Início e Duração Aleatórios: Park & Sharp-Bete, 1990, p. 409-10

Suponha que uma renda contínua uniforme de intensidade \(\bar{A}\) inicie em um instante aleatório \(K\) e tenha duração aleatória \(T\). Suponha ainda que \(K\) e \(T\) sejam variáveis aleatórias independentes com distribuições conhecidas. Deseja-se calcular o valor esperado e o desvio-padrão do valor presente dessa renda contínua, considerando capitalização contínua a uma taxa \(r > 0\).

Solução:

Vamos tratar essa situação em duas etapas. Primeiro, se \(K\) e \(T\) forem conhecidos com certeza, a expressão do valor presente a uma taxa nominal de juros \(r\), assumindo capitalização contínua, seria:

\[ PV(r) = A \left[ \frac{e^{-rK} - e^{-r(K+T)}}{r} \right] = \frac{A}{r} e^{-rK}(1 - e^{-rT}) \tag{10.59} \]

Quando \(K\) e \(T\) forem variáveis aleatórias, podemos tomar a esperança dos dois lados da equação (10.59), obtendo:

\[ \mathbb{E}[PV(r)] = \frac{A}{r} \cdot \mathbb{E}[e^{-rK} - e^{-r(K+T)}] \tag{10.60} \]

Suponha que \(f(K)\) e \(g(T)\) representem as funções de densidade de probabilidade dos tempos de início e de término, respectivamente. Da Tabela 10.4, definimos:

\[ \mathbb{E}[e^{-rK}] = \mathcal{L}_K(r), \quad \mathbb{E}[e^{-rT}] = \mathcal{L}_T(r) \]

Como \(K\) e \(T\) são independentes, segue-se que:

\[ \mathbb{E}[e^{-r(K+T)}] = \mathbb{E}[e^{-rK} e^{-rT}] = \mathbb{E}[e^{-rK}] \cdot \mathbb{E}[e^{-rT}] = \mathcal{L}_K(r) \cdot \mathcal{L}_T(r) \]

Substituindo essas expressões em (10.60):

\[ \mathbb{E}[PV(r)] = \frac{A}{r} \cdot \mathcal{L}_K(r) \cdot [1 - \mathcal{L}_T(r)] \tag{10.61} \]

Para encontrar a expressão da variância de \(PV(r)\), assumindo independência, usamos:

\[ \text{Var}[PV(r)] = \left( \frac{A}{r} \right)^2 \mathbb{V}(e^{-rK} (1 - e^{-rT})) \tag{10.62} \]

Da Eq. 10.56 decorre que:

\[ \mathbb{V}(e^{-rK}) = \mathcal{L}_K(2r) - \mathcal{L}_K^2(r), \quad \mathbb{V}(e^{-rT}) = \mathcal{L}_T(2r) - \mathcal{L}_T^2(r) \]

Da Eq. 10.25, a variância do produto de duas variáveis aleatórias independentes é:

\[ \mathbb{V}(e^{-rK}(1 - e^{-rT})) = \mathcal{L}_K(2r)(1 - 2\mathcal{L}_T(r) + \mathcal{L}_T(2r)) - [\mathcal{L}_K(r)(1 - \mathcal{L}_T(r))]^2 \tag{10.63} \]

Substituindo a Eq. 10.63 de volta na Eq. 10.62, obtemos a variância de \(PV(r)\).

Exemplo 10.12: Park & Sharp-Bete, 1990, p. 411

Um fluxo de caixa contínuo uniforme totalizando $1.000 por ano começará num futuro próximo e continuará por um período de tempo incerto. Mais precisamente, o instante inicial, \(K\), sofre um atraso incerto, uniformemente distribuído entre 6 meses e 1 ano (ou seja, entre 0.5 e 1.0 anos). A duração do projeto, \(T\), segue uma distribuição gama com média de 3 anos e variância 1, cujos parâmetros são \(a = 3\) e \(b = 9\). A taxa nominal de juros é de 10% ao ano, com capitalização contínua. Deseja-se calcular o valor esperado e o desvio-padrão do valor presente desse fluxo contínuo uniforme.

Início e duração do projeto incertos.

Solução:

As transformadas de Laplace das distribuições uniforme e gama são as seguintes:

1. Com \(f(k) = \dfrac{1}{b - a}\), para \(a \leq k \leq b\) (a = 0.5, b = 1):

\[ L(r_1) = \dfrac{e^{-ra} - e^{-rb}}{r(b - a)} = \dfrac{e^{-0.1 \cdot 0.5} - e^{-0.1 \cdot 1}}{0.1(1 - 0.5)} = L(0.1) = 0.9278 \]

2. Com \(f(t) = \dfrac{a^b}{\Gamma(b)} t^{b-1} e^{-at}\), \(0 < t < \infty\) (a = 3, b = 9):

\[ L(r_2) = \left( 1 + \dfrac{r}{a} \right)^{-b} = \left( 1 + \dfrac{0.1}{3} \right)^{-9} = L(0.1) = 0.7444 \]

Assim, também calculamos:

\[ \begin{align} L(2r_1) &= \dfrac{e^{-0.2 \cdot 0.5} - e^{-0.2 \cdot 1}}{0.2(1 - 0.5)} = 0.8610\\ L(2r_2) &= \left( 1 + \dfrac{0.2}{3} \right)^{-9} = 0.5594 \end{align} \]

Finalmente:

\[ \begin{align} \mathbb{E}[PV(10\%)] &= \dfrac{1000}{0.1} \cdot 0.9278 \cdot (1 - 0.7444)\\ \mathbb{E}[PV(10\%)] &= 2,371.46\\\\ \mathbb{V}(e^{-rK}) &= 0.8610 - (0.9278)^2 = 0.00018746\\ \mathbb{V}(e^{-rT}) &= 0.5594 - (0.7444)^2 = 0.00526061\\\\ \mathbb{V}[PV(10\%)] &= \left( \dfrac{1000}{0.1} \right)^2 \left[ 0.00018746(1 - 0.7444)^2 + (0.9278)^2 \cdot 0.00526061 \right]\\ \mathbb{V}[PV(10\%)] &= \left( \dfrac{1000}{0.1} \right)^2 \cdot 0.0068277 = 450,482.6 \end{align} \]

Desvio-padrão de \(PV(10\%)\):

\[ \sigma_{PV}=\sqrt{450,482.6} = 671.18 \]

# Parâmetros
A <- 1000
r <- 0.1

# Transformadas de Laplace
L_K_r  <- (exp(-r * 0.5) - exp(-r * 1)) / (r * 0.5)
L_K_2r <- (exp(-2 * r * 0.5) - exp(-2 * r * 1)) / (2 * r * 0.5)

# T ~ Gama(a = 3, b = 9) → rate = a, shape = b
a <- 3  # rate
b <- 9  # shape
L_T_r  <- (1 + r / a)^(-b)
L_T_2r <- (1 + 2 * r / a)^(-b)

# Esperança teórica
E_PV <- (A / r) * L_K_r * (1 - L_T_r)

# Variância teórica
Var_PV <- (A / r)^2 * (L_K_2r * (1 - 2 * L_T_r + L_T_2r) - (L_K_r * (1 - L_T_r))^2)
SD_PV <- sqrt(Var_PV)

# Simulação
set.seed(2025)
n <- 1e6
K <- runif(n, 0.5, 1)
T <- rgamma(n, shape = b, rate = a)
PV <- A * exp(-r * K) * (1 - exp(-r * T)) / r

# Estatísticas simuladas
E_PV_sim <- mean(PV)
SD_PV_sim <- sd(PV)

# Saídas numeradas
cat("=== Resultados Teóricos ===\n")

=== Resultados Teóricos ===

cat(sprintf("Esperança teórica:       %.2f\n", E_PV))

Esperança teórica:       2371.09

cat(sprintf("Desvio padrão teórico:   %.2f\n\n", SD_PV))

Desvio padrão teórico:   671.14

cat("=== Resultados Simulados ===\n")

=== Resultados Simulados ===

cat(sprintf("Esperança simulada:      %.2f\n", E_PV_sim))

Esperança simulada:      2370.87

cat(sprintf("Desvio padrão simulado:  %.2f\n", SD_PV_sim))

Desvio padrão simulado:  671.18

# Gráfico
plot(density(PV), main = "Densidade do Valor Presente", xlab = "Valor Presente", lwd = 2)
abline(v = E_PV, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
abline(v = E_PV_sim, col = "blue", lty = 3, lwd = 2)
abline(v = E_PV_sim + SD_PV_sim, col = "blue", lty = 3)
abline(v = E_PV_sim - SD_PV_sim, col = "blue", lty = 3)
abline(v = E_PV + SD_PV, col = "red", lty = 2)
abline(v = E_PV - SD_PV, col = "red", lty = 2)
legend("topright", legend = c("Teórica", "Simulada"), col = c("red", "blue"),
       lty = c(2, 3), lwd = 2, bty="n")

Exemplo 10.13: Fluxos de Caixa com Tempos Aleatórios entre Entradas

Quando há aleatoriedade tanto na magnitude quanto nos momentos dos fluxos de entrada, podemos desenvolver uma solução analítica com as seguintes suposições:

1. Existe independência entre os momentos dos fluxos de entrada e seus valores, bem como entre os próprios momentos.
2. Os desembolsos iniciais ocorrem no tempo \(t_0 = 0\). As entradas de caixa ocorrem posteriormente, com momentos aleatórios.
3. A taxa de desconto nominal \(r\) é conhecida e a capitalização é contínua.

Sejam \(t_1, t_2, \dots, t_n\) os tempos dos fluxos \(F_1, F_2, \dots, F_n\), com \(t_j = \sum_{k=1}^{j} d_k\), onde \(d_j\) é uma variável aleatória contínua. O valor presente líquido é:

\[ PV(r) = \sum_{j=1}^{n} F_j \exp\left( -r \sum_{k=1}^{j} d_k \right) - F_0 \tag{10.64} \]

Períodos e fluxos de caixa incertos.

Considere um projeto com as seguintes características:

Período	Fluxo de Caixa	Média	Variância	Distribuição
\(t_0\)	-500	certo	0	Determinístico
\(t_1\)	400	1	1	Exponencial
\(t_2\)	400	1	1	Exponencial

Os tempos entre fluxos são: \(d_1 = t_1 - t_0\), \(d_2 = t_2 - t_1\), com \(d_1\) e \(d_2\) independentes e exponenciais com média 1.
Com \(r = 0.10\) e \(n = 2\):

\[ PV(r) = F_0 + F_1 e^{-r d_1} + F_2 e^{-r(d_1 + d_2)} \]

Como \(F\) e \(d\) são independentes:

\[ \mathbb{E}[PV(r)] = \mathbb{E}[F_0] + \mathbb{E}[F_1] \cdot \mathcal{L}(r) + \mathbb{E}[F_2] \cdot \mathcal{L}^2(r) \]

Sabendo que a transformada de Laplace da distribuição exponencial é:

\[ \mathcal{L}(r) = \frac{1}{1 + r} \]

Obtemos:

\[ \mathbb{E}[PV(0.10)] = -500 + \frac{400}{1.1} + \frac{400}{1.1^2} = 194.21 \]

A variância do valor presente é:

\[ \mathbb{V}[PV(r)] = \mathbb{V}(F_1 e^{-r d_1}) + \mathbb{V}(F_2 e^{-r(d_1 + d_2)}) + 2 \cdot \text{Cov}(F_1 e^{-r d_1}, F_2 e^{-r(d_1 + d_2)}) \]

Com:

\[ \mathbb{V}(F_j) = 2500, \quad \mathbb{V}(e^{-r d}) = \mathcal{L}(2r) - \mathcal{L}^2(r) \]

Usando:

\[ \mathcal{L}(r) = \frac{1}{1.1}, \quad \mathcal{L}(2r) = \frac{1}{1.2} \]

Calculamos:

\[ \mathbb{V}(e^{-r(d_1 + d_2)}) = \left( \frac{1}{1.2} \right)^2 - \left( \frac{1}{1.1} \right)^4 \]

Assim:

\[ \mathbb{V}(F_1 e^{-r d_1}) = 3185.262, \quad \mathbb{V}(F_2 e^{-r(d_1 + d_2)}) = 3457.58 \]

Assumindo correlação perfeita (\(\rho = 1\)):

\[ \text{Cov}(F_1 e^{-r d_1}, F_2 e^{-r(d_1 + d_2)}) = \sqrt{3185.262 \cdot 3457.58} = 3369.819 \]

Logo:

\[ \mathbb{V}[PV(0.10)] = 3185.262 + 3565.069 + 2 \cdot 3369.819 = 13490.82 \]

E o desvio-padrão:

\[ \sigma_{PV} = \sqrt{\mathbb{V}[PV(0.10)]} = \sqrt{13490.82} = 116.15 \]

set.seed(123)

# Parâmetros
F0 <- -500
F1 <- 400
F2 <- 400
r <- 0.10
n <- 1e6

# Simulação
d1 <- rexp(n, rate = 1)
d2 <- rexp(n, rate = 1)

PV <- F0 + F1 * exp(-r * d1) + F2 * exp(-r * (d1 + d2))

# Estatísticas simuladas
mean_sim <- mean(PV)
sd_sim <- sd(PV)

# Esperança teórica
Lr  <- 1 / (1 + r)
L2r <- 1 / (1 + 2 * r)
mean_theo <- F0 + F1 * Lr + F2 * Lr^2

# Variância teórica corrigida
E_F <- 400
V_F <- 50^2

V_exp_r  <- L2r - Lr^2
V_exp_2r  <- L2r^2 - Lr^4

print(V1 <- (F1^2+V_F)*(Lr^2+V_exp_r) - (F1*Lr)^2) # (10.25)

[1] 3185.262

print(V2 <- (F2^2+V_F)*(Lr^4+V_exp_2r) - (F2*Lr^2)^2) # (10.25)

[1] 3565.069

# Covariância assumindo correlação 1
print(Cov12 <- sqrt(V1 * V2))

[1] 3369.819

# Variância total e desvio-padrão
var_theo <- V1 + V2 + 2 * Cov12
sd_theo <- sqrt(var_theo)

# Resultado
print(data.frame(
  "Estatística" = c("Esperança", "Desvio-padrão"),
  "Teórico" = c(round(mean_theo, 2), round(sd_theo, 2)),
  Simulado = c(round(mean_sim, 2), round(sd_sim, 2)),
  check.names = FALSE
))

    Estatística Teórico Simulado
1     Esperança  194.21   194.25
2 Desvio-padrão  116.15    70.14

# Gráfico
plot(density(PV), main = "Densidade do Valor Presente",
     xlab = "Valor Presente", lwd = 2, col = "blue")

abline(v = mean_sim, col = "blue", lwd = 2)
abline(v = mean_sim + sd_sim, col = "blue", lty = 2)
abline(v = mean_sim - sd_sim, col = "blue", lty = 2)

abline(v = mean_theo, col = "red", lwd = 2)
abline(v = mean_theo + sd_theo, col = "red", lty = 2)
abline(v = mean_theo - sd_theo, col = "red", lty = 2)

legend("topleft",
       legend = c("Média Simulada", "Média Teórica",
                  "±1 DP Simulado", "±1 DP Teórico"),
       col = c("blue", "red", "blue", "red"),
       lty = c(1, 1, 2, 2), lwd = 2, bty = "n")

Aplicações

Análise de Longevidade de Recurso Não-Renovável

Fonte: Consortium for Mathematics and its Applications – COMAP (2003) For all practical purposes: Mathematical literacy in today’s world. 6ª ed. USA: WH Freeman. P. 826-9.

Energia consumida no mundo: fontes fósseis

Atualmente, a distribuição da energia consumida no mundo é composta principalmente por fontes fósseis, sendo que o petróleo, o carvão e o gás natural ainda representam a maior parte do consumo energético global.

Apesar dos esforços globais para aumentar o uso de fontes de energia de baixo carbono, o progresso tem sido mais lento do que o necessário para atingir metas climáticas mais agressivas.

Especificamente, os dados mais recentes indicam que os combustíveis fósseis ainda representam cerca de 80% do consumo de energia primária mundial. O petróleo é a maior fonte de energia, seguido pelo carvão e pelo gás natural. A energia nuclear, que também é considerada uma fonte de baixo carbono, contribui com uma parte significativa, mas menor, do mix energético global.

A participação das energias renováveis está crescendo, com fontes como hidrelétrica, solar e eólica contribuindo cada vez mais para o mix energético. No entanto, essa transição para fontes de energia renováveis precisa acelerar para que possamos atender às demandas energéticas crescentes de forma sustentável e atenuar os impactos das mudanças climáticas.

Recursos não-renováveis

Recursos não renováveis são materiais ou energias que, uma vez consumidos, não podem ser repostos, ou são repostos tão lentamente pela natureza que, para fins práticos, são considerados inesgotáveis. Estes incluem combustíveis fósseis como petróleo, carvão e gás natural, além de recursos como urânio, prata, cobre e ouro. A característica comum desses recursos é que eles foram formados ao longo de milhões de anos sob condições geológicas específicas e, portanto, sua taxa de reposição é extremamente lenta em comparação com a escala de tempo humana.

Características dos Recursos Não-Renováveis

1. Formação Prolongada: Levam milhões de anos para serem formados e acumulados na natureza.
   
2. Quantidade Limitada: Existem em quantidades fixas ou são consumidos mais rapidamente do que podem ser substituídos pela natureza.
   
3. Uso Intensivo: São a base para muitas economias modernas e são amplamente usados para produção de energia, fabricação de bens e outras aplicações industriais.
   
4. Impacto Ambiental: Sua extração e uso resultam em impactos ambientais significativos, incluindo poluição e contribuição para a mudança climática devido à liberação de gases de efeito estufa.
   
5. Problemas de Gestão: Gerenciar sua utilização de forma sustentável é desafiador devido ao seu valor econômico e à dependência que as sociedades modernas têm desses materiais.

Implicações Socioeconômicas

O esgotamento de recursos não renováveis pode levar a crises econômicas, conflitos geopolíticos e desordens sociais, à medida que as nações competem por recursos limitados.

Além disso, a dependência desses recursos incentiva a busca por alternativas mais sustentáveis, como energias renováveis e materiais recicláveis, fomentando inovações tecnológicas em direção a uma economia mais verde e menos dependente de combustíveis fósseis.

Em resumo, os recursos não renováveis são componentes vitais da infraestrutura econômica global, mas seu contínuo apresenta desafios significativos para a sustentabilidade ambiental e para a estabilidade econômica e política mundial.
### Taxa de crescimento da população mundial

A taxa de crescimento da população mundial atualmente está em torno de 1% ao ano. Este valor representa uma desaceleração em comparação com décadas anteriores, refletindo tendências de redução nas taxas de natalidade em muitos países ao redor do mundo.

Longevidade exponencial da reserva

Longevidade exponencial da reserva é o número de anos de duração da reserva de um recurso não renovável com determinada taxa de crescimento populacional anual.

\(n\): Longevidade exponencial da reserva (ano): número de anos de duração da reserva com taxa \(i%\) a.a.
\(n_e\): Longevidade estática da reserva (ano): número de anos de duração da reserva com taxa nula
\(i\): Taxa de crescimento populacional anual

Montante de uma renda postecipada:

\[ \begin{align} S_{n\rceil i} &= \sum_{a=1}^{n} T (1+i)^{a-1} \\ S_{n\rceil i} &= T \dfrac{(1+i)^n - 1}{i} \\ S_{n\rceil i} &= T s_{n\rceil i} \end{align} \]

A Longevidade estática da reserva é dada por:

\[ n_e = \dfrac{S_{n\rceil i}}{T} \]

\[ \begin{align} s_{n\rceil i} &= n_e \\ \dfrac{(1 + i)^n - 1}{i} &= n_e \end{align} \]

Portanto, a fórmula da Longevidade exponencial da reserva é dada por:

\[ n = \dfrac{\ln(1 + n_e i)}{\ln(1 + i)} \]

Petróleo

Os cálculos da longevidade das reservas de petróleo são essenciais para entender a sustentabilidade das fontes de energia no futuro. Considere os seguintes dados para alguns paíseis incluindo Brasil, EUA e o mundo:

• Brasil:

• Reservas de petróleo: 13.24 bilhões de barris
  

• Consumo anual de petróleo: 0.919 bilhões de barris

\[ \begin{align} n_e &= \dfrac{13.24}{0.919} = 14.41 \text{ anos} \\ n &= \dfrac{\ln(1 + n_e i)}{\ln(1 + i)} = \dfrac{\ln(1 + 14.41 \times 0.01)}{\ln(1 + 0.01)} = 13.53 \text{ anos} \end{align} \]

f REG f 2 13.24 ENTER 0.919 ÷ 0.01 × 1 + LN ENTER 1.01 LN ÷ {13.53}

f REG f 2 g 13.24 FV 0.919 CHS PMT i n {14.00}

País	Reserva bilhão barril	Consumo Anual bilhão barril
Brasil	13.24	0.92
EUA	55.25	6.98
Rússia	80.00	3.36
Reino Unido	2.50	0.45
Alemanha	0.50	0.50
China	27.00	5.21
Mundo	1730.00	37.23

       Região Longevidade Estática Longevidade Exponencial
1      Brasil            14.406964               13.526361
2         EUA             7.915473                7.655833
3      Rússia            23.809524               21.464020
4 Reino Unido             5.605381                5.481139
5    Alemanha             1.000000                1.000000
6       China             5.182342                5.077745
7       Mundo            46.467902               38.354114

Carvão

Região	Reserva Carvão bilhão ton	Consumo Anual Carvão bilhão ton
Brasil	10	0.01
EUA	250	0.70
Rússia	160	0.20
Reino Unido	3	0.05
Alemanha	4	0.06
China	190	1.80
Mundo	1000	7.50

       Região Longevidade Estática Longevidade Exponencial
1      Brasil                100.0                    69.7
2         EUA                357.1                   152.7
3      Rússia                800.0                   220.8
4 Reino Unido                 60.0                    47.2
5    Alemanha                 66.7                    51.3
6       China                105.6                    72.4
7       Mundo                133.3                    85.2

Conforme AGUILERA et al. (2009, p. 157), a Tabela 6. Expectativa de Vida dos Recursos apresenta estimativas da expectativa de vida dos recursos convencionais e não convencionais de petróleo e gás, com base em diferentes taxas de crescimento na produção. Os dados incluem volumes futuros estimados de barris de óleo equivalente (BOE), produção média anual entre 2004-2006 e expectativa de vida em anos considerando crescimento de 0%, 2% e 5% na produção anual.

• Coluna 2: Volume futuro estimado de recursos em BOE.
• Coluna 3: Produção média anual entre 2004-2006.
• Coluna 4: Expectativa de vida do recurso (anos) considerando diferentes taxas de crescimento da produção.
• Coluna 5: Taxa média anual de crescimento da produção de 1976 a 2006.

A expectativa de vida dos recursos cai significativamente à medida que a taxa de crescimento da produção aumenta. E.g., os recursos de petróleo e gás convencionais poderiam durar de 151 anos (se a produção permanecer constante) até 43 anos (com crescimento de 5% ao ano).

Fluxos de caixa da Nota Promissória

Valor da Vida Humana: Medicina do Trabalho

Estimar o valor da vida humana é uma tarefa complexa, que envolve dimensões econômicas, jurídicas e éticas. Em políticas públicas e análises de custo-benefício, utiliza-se o conceito de valor estatístico da vida (VEV), ou Value of a Statistical Life (VSL), que representa o valor monetário que a sociedade está disposta a pagar para reduzir pequenos riscos de morte em uma população. Esse valor não se refere a uma vida individual específica, mas à valoração de mudanças marginais no risco de morte.

Outras abordagens complementares consideram diferentes perspectivas econômicas e em saúde pública:

• Custo de oportunidade: estima o valor presente dos rendimentos futuros que uma pessoa deixaria de gerar caso venha a falecer precocemente, ajustando pela taxa de desconto e pela probabilidade de sobrevivência.

• Custo de produção: calcula o investimento acumulado na formação de um indivíduo, incluindo gastos com educação, saúde e infraestrutura social ao longo da vida.

• QALY (Quality-Adjusted Life Years): métrica que combina quantidade e qualidade de vida, sendo usada para avaliar o benefício de intervenções médicas. Um QALY equivale a um ano de vida com plena saúde.

• DALY (Disability-Adjusted Life Years): mede a carga da doença, somando os anos de vida perdidos por morte prematura (YLL) e os anos vividos com incapacidade (YLD), ajustados pela gravidade da condição.

Essas abordagens são úteis e complementares na formulação de políticas públicas, alocação de recursos em saúde, decisões judiciais envolvendo indenizações por morte ou invalidez, e avaliação econômica de programas de prevenção e segurança.

Lei nº 14.128/2021

No contexto jurídico brasileiro, a Lei nº 14.128/2021 estabeleceu valores fixos de indenização para profissionais de saúde incapacitados pela Covid-19 ou para seus dependentes, nos seguintes termos:

\[ I = 50\,000 + 10\,000 \times \left( 21 - \text{idade do dependente} \right) \]

com teto de R$ 200.000,00, estendido até os 24 anos para dependentes universitários, ou fixado em R$ 50.000,00 para dependentes com deficiência, independentemente da idade.

A Lei nº 14.128, de 26 de março de 2021, que estabelece compensação financeira a profissionais de saúde incapacitados pela Covid-19 ou a seus dependentes em caso de óbito, não foi regulamentada pelo Poder Executivo. Contudo, o Poder Judiciário tem reconhecido sua aplicabilidade direta. A Turma Nacional de Uniformização (TNU) decidiu que a lei é autoaplicável, dispensando regulamentação para assegurar o pagamento da compensação financeira no âmbito judicial.

Valor Estatístico da Vida (VSL)

O Valor Estatístico da Vida (VSL) é uma medida de quanto a sociedade está disposta a pagar para reduzir o risco de morte. Essa abordagem pode ser calculada observando as decisões em situações em que as pessoas aceitam riscos adicionais em troca de compensação financeira, como em certos tipos de empregos.

O VSL não representa o valor intrínseco da vida humana, mas sim uma estimativa baseada na disposição de pagar para evitar riscos de morte ou danos à saúde no contexto ocupacional. Refere-se, portanto, ao valor associado à morbidade ou mortalidade do trabalhador decorrentes de sua atividade laboral.

A fórmula do VSL é:

\[ \text{VSL} = \dfrac{\Delta W}{\Delta R} \]

Sendo que:

• \(\Delta W\): variação na remuneração associada à variação no risco de morte
  
• \(\Delta R\): redução no risco de morte (probabilidade reduzida de morte)

O termo \(\Delta W\) pode ser interpretado de duas formas:

• WTP (Willingness to Pay) – disposição a pagar: é o valor monetário máximo que um indivíduo estaria disposto a pagar para reduzir um pequeno risco de morte. Nesse caso, \(\Delta W\) representa um custo monetário voluntário assumido pelo trabalhador em troca de menor risco.

• WTA (Willingness to Accept) – disposição a aceitar: é o valor monetário mínimo que um indivíduo exige para aceitar um aumento marginal no risco de morte. Aqui, \(\Delta W\) é a compensação monetária adicional que o trabalhador recebe para aceitar um risco maior, como em empregos perigosos.

Em estudos empíricos de VSL, \(\Delta W\) é geralmente estimado com base na WTA, por meio da observação de diferenças salariais entre ocupações com diferentes níveis de risco.

Quando a redução do risco (\(\Delta R\)) é pequena, a compensação adicional (\(\Delta W\)) resulta em um VSL maior. Isso significa que a sociedade está disposta a pagar mais para reduzir pequenos aumentos no risco de morte.

Por outro lado, quando a redução do risco (\(\Delta R\)) é maior, a mesma compensação adicional (\(\Delta W\)) resulta em um VSL menor. Isso ocorre porque o risco de morte é mais alto, e a compensação necessária para aceitá-lo não precisa ser tão grande para ter o mesmo efeito.

Passos para o cálculo:

1. Identificação da compensação financeira (\(\Delta W\)):
   A compensação adicional que os trabalhadores recebem por aceitar um risco maior de morte.

2. Estimativa da redução do risco de morte (\(\Delta R\)):
   Risco de morte reduzido associado ao trabalho perigoso.

3. Cálculo do VSL:
   O VSL é calculado dividindo a compensação adicional pela redução do risco.

Exemplo de cálculo:

\[ \text{VSL} = \dfrac{\Delta W}{\Delta R} \]

Substituindo os valores:

• Compensação adicional (\(\Delta W\)): R$ 5.000
  
• Redução do risco de morte (\(\Delta R\)): 0.001 (1 morte em 1.000 trabalhadores)

\[ \text{VSL} = \dfrac{5.000}{0.001} = 5.000.000 \]

Portanto, o Valor Estatístico da Vida (VSL) nesse exemplo é de R$ 5.000.000. Isso significa que a sociedade está disposta a pagar R$ 5.000.000 para reduzir o risco de morte para 1 trabalhador em mil.

Tabela de VSL com diferentes valores de \(\Delta R\)

ΔR	ΔW	VSL
0.001	5000	5000000
0.002	5000	2500000
0.005	5000	1000000
0.010	5000	500000
0.020	5000	250000

Quando \(\Delta R = 0.001\): o VSL é R$ 5.000.000. A sociedade está disposta a pagar esse valor para reduzir o risco de morte em 0.1% (ou 1 em 1.000).

Quando \(\Delta R = 0.002\): o VSL é R$ 2.500.000, correspondente a uma redução de risco de 0.2% (ou 2 em 1.000).

Quando \(\Delta R = 0.01\): o VSL é R$ 500.000, correspondente a uma redução de risco de 1% (ou 10 em 1.000).

Assim, o VSL diminui quando \(\Delta R\) aumenta, refletindo que a compensação por unidade de risco adicional é menor quando o risco é mais elevado.

Custo de Oportunidade

Outra abordagem considera o valor presente dos rendimentos futuros que um trabalhador poderia ter gerado se não tivesse morrido prematuramente por acidente laboral, ajustando pela probabilidade de viver até uma certa idade.

Exemplo:

Passos para o cálculo:

1. Estimativa dos rendimentos futuros anuais (\(R\))
   Suponha que a pessoa teria um rendimento anual de R$ 50.000.

2. Taxa de desconto (\(d\))
   Utilize uma taxa de desconto para trazer os rendimentos futuros ao valor presente. Suponha uma taxa anual de 5% (\(d = 0.05\)).

3. Horizonte de tempo (\(n\))
   Considere o número de anos que a pessoa viveria. Suponha expectativa de vida de mais 30 anos.

4. Probabilidade de sobrevivência (\(P\))
   Ajuste os rendimentos pela probabilidade de viver até cada idade futura. Suponha uma probabilidade média de 90% (\(P = 0.9\)).

A fórmula do valor presente (VP) é:

\[ VP = \sum_{t=1}^{n} \dfrac{R \times P}{(1 + d)^t} \]

Substituindo os valores:

• \(R = 50.000\)
  
• \(d = 0.05\)
  
• \(n = 30\)
  
• \(P = 0.9\)

\[ VP = \sum_{t=1}^{30} \dfrac{50.000 \times 0.9}{(1 + 0.05)^t} \]

O valor presente (VP) dos rendimentos futuros é de aproximadamente R$ 691.760,30.

Custos de Produção

Algumas análises tentam calcular quanto custou “produzir” uma trabalhador em termos de educação, saúde e outros investimentos feitos pela sociedade.

Exemplo: uma vida até a conclusão do ensino superior:

Educação:

• Educação Infantil (0–5 anos):
  Custo anual médio: R$ 5.000
  Total para 5 anos: $5.000 × 5 = R$ 25.000

• Ensino Fundamental (6–14 anos):
  Custo anual médio: R$ 6.000
  Total para 9 anos: R$ 6.000 × 9 = R$ 54.000

• Ensino Médio (15–17 anos):
  Custo anual médio: R$ 7.000
  Total para 3 anos: R$ 7.000 × 3 = R$ 21.000

• Ensino Superior (18–22 anos):
  Custo anual médio: R$ 10.000
  Total para 4 anos: R$ 10.000 × 4 = R$ 40.000

Total de Educação: R$ 140.000

Saúde:

• Custo médio anual de saúde para uma criança (0–17 anos): R$ 3.000
  Total: R$ 3.000 × 17 = R$ 51.000

• Custo médio anual de saúde para um adulto jovem (18–22 anos): R$ 4.000
  Total: R$ 4.000 × 5 = R$ 20.000

Total de Saúde: R$ 71.000

Outros Investimentos:

• Programas sociais e infraestrutura: R$ 2.000 anuais durante 22 anos
  Total: R$ 2.000 × 22 = R$ 44.000

Total de Outros Investimentos: R$ 44.000

Cálculo Total dos Custos de Produção:

\[ \text{Custo Total} = \text{Educação} + \text{Saúde} + \text{Outros Investimentos} \]

\[ \text{Custo Total} = 140.000 + 71.000 + 44.000 = 255.000 \]

Portanto, o custo total estimado para a formação de uma pessoa até a conclusão do ensino superior é de R$ 255.000.

Segue o conteúdo convertido para RMarkdown (.Rmd), com formatação matemática em LaTeX, sem negrito, e com separador decimal em ponto:

QALY e DALY

Qualidade Ajustada de Anos de Vida (QALY: Quality-Adjusted Life Years) e Anos de Vida Ajustados por Incapacidade (DALY: Disability-Adjusted Life Years) são métricas utilizadas em saúde pública para avaliar a eficácia de intervenções médicas. Ambas consideram não apenas a extensão da vida, mas também sua qualidade.

Qualidade Ajustada de Anos de Vida (QALY)

O QALY é uma métrica que combina quantidade e qualidade de vida proporcionadas por uma intervenção em saúde. Um QALY equivale a um ano de vida com plena saúde. Mesmo quando a intervenção não aumenta a expectativa de vida, ela pode gerar QALY ao melhorar a qualidade de vida.

Cálculo do QALY:

\[ \text{QALY} = \text{Anos de Vida Adicionais} \times \text{Fator de Qualidade de Vida} \]

• Anos de vida adicionais: número de anos adicionais de vida devido à intervenção
  
• Fator de qualidade de vida: valor entre 0 (morte) e 1 (plena saúde)

Exemplo de QALY:

Suponha que uma intervenção médica aumente a expectativa de vida de um paciente em 3 anos e melhore a qualidade de vida com fator 0.8.

\[ \text{QALY} = 3 \cdot 0.8 = 2.4 \]

Anos de Vida Ajustados por Incapacidade (DALY)

O DALY mede a carga total de doenças, somando os anos de vida perdidos por morte prematura (YLL) e os anos vividos com incapacidade (YLD).

Cálculo do DALY:

\[ \text{DALY} = \text{YLL} + \text{YLD} \]

Sendo que:

• YLL (Years of Life Lost):

\[ \text{YLL} = N \cdot (LE - A) \]

Sendo que:
- \(N\): número de mortes
- \(LE\): expectativa de vida padrão
- \(A\): idade na morte

• YLD (Years Lived with Disability):

\[ \text{YLD} = I \cdot DW \cdot L \]

Sendo que:
- \(I\): número de casos incidentes
- \(DW\): peso da incapacidade (de 0 a 1)
- \(L\): duração da incapacidade

Exemplo de DALY:

Considere uma doença que causa a morte de uma pessoa 10 anos antes da expectativa de vida padrão (70 anos), e causa uma incapacidade com peso 0.4 por 5 anos.

\[ \begin{align} \text{YLL} &= 1 \times (70 - 60) = 10 \\ \text{YLD} &= 1 \times 0.4 \times 5 = 2 \\ \text{DALY} &= 10 + 2 = 12 \end{align} \]

QALY, DALY e VSL

As métricas QALY, DALY e VSL são utilizadas para quantificar e comparar impactos econômicos e de saúde associados à vida humana. São aplicadas na avaliação de políticas públicas, alocação de recursos em saúde e análise de custo-benefício.

Comparação Conceitual:

Indicador	Significado	Perspectiva	Unidade	Intervalo
QALY	Qualidade ajustada de anos de vida	Ganho de saúde	Anos ajustados por qualidade	0 a 1 por ano de vida
DALY	Anos de vida ajustados por incapacidade	Perda de saúde (carga da doença)	Anos ajustados por incapacidade	0 a n anos perdidos
VSL	Valor monetário estatístico de uma vida	Valor econômico da redução de risco	Moeda (ex: R$ ou US$)	Qualquer valor monetário

Fórmulas Resumidas:

Métrica	Fórmula
QALY	QALY = Anos de vida × Fator de qualidade
DALY	DALY = YLL + YLD
YLL	YLL = N × (LE − A)
YLD	YLD = I × DW × L
VSL	VSL = ΔW / ΔR

Tabela Comparativa de Exemplos Numéricos:

Métrica	Exemplo
QALY	3 anos × 0.8 = 2.4 QALY
DALY	10 + 2 = 12 DALY
YLL	1 morte aos 60 anos com LE = 70: 1 × (70 − 60) = 10
YLD	1 caso × 0.4 × 5 anos = 2
VSL	ΔW = R$ 5.000, ΔR = 0.001 → VSL = 5.000 / 0.001 = R$ 5.000.000

Interpretação:

• QALY mede os ganhos em saúde ajustados pela qualidade de vida. Maior QALY indica mais anos vividos com boa saúde.
• DALY mede perdas de saúde. Quanto maior o DALY, maior a carga da doença.
• VSL converte a redução de risco de morte em valor monetário. É útil para decisões de custo-benefício em políticas públicas.

Considerações:

• QALY e DALY são indicadores não monetários, usados principalmente em saúde pública e economia da saúde.
• VSL é um indicador monetário, usado em análises econômicas de políticas de risco e segurança.
• As três abordagens podem ser complementares em análises de impacto social e econômico da mortalidade e da morbidade.

Artigos científicos

Rice & Cooper (1967): The Economic Value of Human Life

“Para estabelecer o valor econômico de uma vida humana, os rendimentos ao longo da vida, descontados a uma taxa de 4%, são apresentados por idade, sexo, cor e nível educacional. Essas estimativas são destinadas ao uso por economistas, planejadores de programas e outros. Diversos achados específicos são relatados.”

“O valor da vida humana, expresso em termos de ganhos ao longo da vida, é uma ferramenta básica para economistas, planejadores de programas, administradores governamentais e outros interessados em medir os benefícios sociais associados a investimentos em programas específicos. Para programas públicos, como controle e erradicação de doenças, construção de rodovias, controle de acidentes, educação, reabilitação vocacional, assistência social, habitação e controle de inundações, a avaliação da vida humana é um requisito básico para o cálculo adequado dos benefícios a serem obtidos. A ênfase recente na análise custo-benefício em todas essas áreas exige que ferramentas adequadas sejam fornecidas para análise. Assim como o carpinteiro, cujo trabalho geralmente é facilitado e o produto melhorado pela disponibilidade de bons materiais e equipamentos, o economista deve estar equipado com as ferramentas de sua profissão, neste caso, dados básicos para a avaliação da vida humana.”

“Enquanto os ganhos futuros devem ser descontados a uma certa taxa de juro, os ganhos anuais médios devem ser aumentados para refletir ganhos de produtividade. É uma subestimação dos ganhos ao longo da vida assumir que uma pessoa, daqui a dez anos, ganhará o mesmo montante que uma pessoa da mesma idade, sexo, cor e nível educacional ganha hoje. Para ajustar para o ganho em produtividade, um ganho anual médio pode ser projetado e aplicado aos ganhos anuais. Essa taxa de aumento pode ser incorporada nos cálculos de desconto para obter uma taxa de desconto efetiva líquida. Por exemplo, assumindo um aumento de produtividade de 3% ao ano e uma taxa de desconto de aproximadamente 7%, esta será reduzida para uma taxa de aproximadamente 4% (1.07 / 1.03 = 1.039), a taxa utilizada neste artigo.”

Landefeld & Seskin (1982): The Economic Value of Life: Linking Theory to Practice

“Resumo: Estimativas do capital humano sobre o valor econômico da vida têm sido rotineiramente utilizadas no passado para realizar análises de custo-benefício de programas de saúde. Recentemente, no entanto, surgiram sérias questões sobre a base conceitual para valorar a vida humana usando essas estimativas. A maioria dos economistas que escrevem sobre esses temas tende a concordar que um método conceitualmente mais adequado para valorar riscos à vida humana em análises de custo-benefício seria baseado na “disposição a pagar” dos indivíduos por pequenas mudanças em sua probabilidade de sobrevivência. Tentativas de aplicar a abordagem da disposição a pagar usando pesquisas ou estimativas baseadas em preferência revelada produziram uma variedade confusa de valores, repletos de problemas estatísticos e dificuldades de mensuração. Como resultado, economistas têm buscado uma conexão entre a disposição a pagar e as estimativas padrão de capital humano, e descobriram que, para a maioria dos indivíduos, um limite inferior para valorar riscos à vida pode ser baseado em sua disposição a pagar para evitar as perdas econômicas esperadas associadas à morte. No entanto, embora esses estudos deem suporte ao uso da valoração individual da renda perdida, também fica claro que estimativas padrão de capital humano não podem ser usadas para esse propósito sem reformulação. Após revisar as principais abordagens para valorar riscos à vida, este artigo conclui que estimativas baseadas na abordagem de capital humano — reformuladas usando o critério da disposição a pagar — produzem os únicos valores claros, consistentes e objetivos para uso em análises de custo-benefício de políticas que afetam riscos à vida. O artigo apresenta as primeiras estimativas empíricas de tais valores ajustados de capital humano com base na disposição a pagar.”

“Introdução: Entre as áreas de política pública mais intensamente debatidas estão aquelas que envolvem riscos à saúde e segurança humana. Central para esse debate é a valoração da vida humana. Embora alguns afirmem que o valor da vida humana não pode ser expresso em termos monetários, as demandas concorrentes sobre fundos públicos escassos exigem que algum valor seja atribuído a programas que salvam vidas. A recusa em atribuir um valor explícito à vida simplesmente força valorações implícitas que são feitas como parte das decisões de financiar ou não financiar projetos públicos, bem como decisões de tomar outras ações regulatórias. A maioria dos economistas que escrevem sobre essas questões concorda que o método conceitualmente correto para valorar riscos à vida humana em análises de custo-benefício deve ser baseado na disposição (prontidão) dos indivíduos para pagar (ou na disposição para aceitar compensação) por pequenas mudanças em sua probabilidade de sobrevivência. Apesar desse consenso, contudo, continua a controvérsia sobre a técnica apropriada para realmente produzir estimativas para valorar riscos à vida. Este artigo revisa as principais questões nesta área e conclui que estimativas baseadas na abordagem de capital humano — reformulada, usando um critério de disposição para pagar — produzem os únicos valores claros, consistentes e objetivos para uso em análises de custo-benefício de políticas que afetam riscos à vida.”

Os valores foram ajustados para 2024 usando a taxa média de inflação anual de 3.5%.

Adjusted Willingness-to-Pay / Human Capital (valores ajustados para 2024)

Faixa Etária (anos)	Masculino	Feminino
0 a 1	3367227.93	2302738.99
1 a 4	3547774.26	2424394.44
5 a 9	3880915.04	2650351.89
10 a 14	4284522.39	2924093.01
15 a 19	4679007.21	3140726.45
20 a 24	4917920.56	3157329.34
25 a 29	4868202.56	2955424.92
30 a 34	4437021.12	2654205.41
35 a 39	3981731.24	2342916.37
40 a 44	3325579.66	2088266.55
45 a 49	2629784.65	1673491.54
50 a 54	1916127.44	1342345.53
55 a 59	1210872.41	1016151.16
60 a 64	601089.03	720764.82
65 a 69	252503.94	498973.21
70 a 74	127413.06	349114.01
75 a 79	64557.83	242807.17
80 a 84	34188.05	170945.27
85+	10271.02	50201.57

Standard Human Capital (valores ajustados para 2024)

Faixa Etária (anos)	Masculino	Feminino
0 a 1	160780.03	144192.26
1 a 4	199763.57	179020.04
5 a 9	294011.16	263313.95
10 a 14	451360.80	403970.03
15 a 19	659249.51	566140.35
20 a 24	859899.65	671157.65
25 a 29	990390.49	688415.39
30 a 34	1032955.54	655068.57
35 a 39	996782.80	612266.76
40 a 44	908484.25	562397.65
45 a 49	787312.38	502700.80
50 a 54	629605.09	434647.09
55 a 59	434445.60	354710.43
60 a 64	227529.08	269121.94
65 a 69	94826.87	197527.02
70 a 74	49269.68	147033.28
75 a 79	25730.45	109450.11
80 a 84	14205.14	84560.89
85+	4750.16	28737.71

# Dados
age_groups <- c("0-1", "1-4", "5-9", "10-14", "15-19", "20-24", "25-29", "30-34", "35-39",
                "40-44", "45-49", "50-54", "55-59", "60-64", "65-69", "70-74", "75-79", "80-84", "85+")

adjusted_male <- c(3367227.93, 3547774.26, 3880915.04, 4284522.39, 4679007.21, 4917920.56,
                   4868202.56, 4437021.12, 3981731.24, 3325579.66, 2629784.65, 1916127.44,
                   1210872.41, 601089.03, 252503.94, 127413.06, 64557.83, 34188.05, 10271.02)

adjusted_female <- c(2302738.99, 2424394.44, 2650351.89, 2924093.01, 3140726.45, 3157329.34,
                     2955424.92, 2654205.41, 2342916.37, 2088266.55, 1673491.54, 1342345.53,
                     1016151.16, 720764.82, 498973.21, 349114.01, 242807.17, 170945.27, 50201.57)

standard_male <- c(160780.03, 199763.57, 294011.16, 451360.80, 659249.51, 859899.65, 990390.49,
                   1032955.54, 996782.80, 908484.25, 787312.38, 629605.09, 434445.60, 227529.08,
                   94826.87, 49269.68, 25730.45, 14205.14, 4750.16)

standard_female <- c(144192.26, 179020.04, 263313.95, 403970.03, 566140.35, 671157.65, 688415.39,
                     655068.57, 612266.76, 562397.65, 502700.80, 434647.09, 354710.43, 269121.94,
                     197527.02, 147033.28, 109450.11, 84560.89, 28737.71)

# Plotagem
par(mfrow = c(2, 1), mar = c(4, 5, 3, 2))

# Gráfico 1: Adjusted WTP / Human Capital
plot(adjusted_male, type = "o", col = "orange", pch = 16, axes = FALSE,
     xlab = "", ylab = "Valor (R$)", main = "Adjusted Willingness-to-Pay / Human Capital (2024)",
     ylim = range(c(adjusted_male, adjusted_female)))
lines(adjusted_female, type = "o", col = "darkorange3", pch = 17)
axis(1, at = 1:length(age_groups), labels = age_groups, las = 2)
axis(2)
legend("topright", legend = c("Masculino", "Feminino"), col = c("orange", "darkorange3"),
       pch = c(16, 17), bty = "n")
box()

# Gráfico 2: Standard Human Capital
plot(standard_male, type = "o", col = "steelblue", pch = 16, axes = FALSE,
     xlab = "Faixa Etária (anos)", ylab = "Valor (R$)", main = "Standard Human Capital (2024)",
     ylim = range(c(standard_male, standard_female)))
lines(standard_female, type = "o", col = "navy", pch = 17)
axis(1, at = 1:length(age_groups), labels = age_groups, las = 2)
axis(2)
legend("topright", legend = c("Masculino", "Feminino"), col = c("steelblue", "navy"),
       pch = c(16, 17), bty = "n")
box()

Pereira et al. (2020): O valor estatístico de uma vida: estimativas para o Brasil

As profissões “blue collar” ou de “colarinho azul” são aquelas geralmente associadas a trabalhos manuais ou de natureza industrial, tradicionalmente realizados por trabalhadores que usavam uniformes azuis duráveis que poderiam sujar sem preocupações. Este termo é contrastante com as profissões “white collar” ou de “colarinho branco”, que se referem a trabalhos mais ligados a funções administrativas ou de escritório.

Aqui estão algumas categorias comuns de profissões “blue collar”:

1. Operários da Construção Civil: Inclui pedreiros, carpinteiros, eletricistas, encanadores, pintores, e outros profissionais envolvidos na construção e manutenção de edificações.
2. Trabalhadores da Manufatura e Produção: Operadores de máquinas, montadores, soldadores, e trabalhadores de linhas de montagem que fabricam produtos e peças em fábricas.
3. Mecânicos e Técnicos de Manutenção: Profissionais que realizam manutenção e reparos em veículos, máquinas industriais, equipamentos eletrônicos, entre outros.
4. Motoristas e Operadores de Equipamentos Pesados: Inclui motoristas de caminhão, operadores de empilhadeira, e operadores de grandes máquinas como escavadeiras, guindastes, e outros veículos de construção.
5. Trabalhadores de Mineração e Extração: Profissionais que trabalham na extração de minerais, petróleo, gás e outros recursos naturais.
6. Trabalhadores Agrícolas e Florestais: Agricultores, trabalhadores de fazendas, e profissionais envolvidos na silvicultura e na pesca.
7. Profissionais de Limpeza e Manutenção: Trabalhadores que realizam serviços de limpeza industrial, manutenção de parques e jardins, coleta de lixo, entre outros.

Estas profissões são essenciais para a infraestrutura e economia de qualquer país, e frequentemente requerem habilidades técnicas específicas, treinamento profissional e, em muitos casos, significativa força física.

Miller (2000): Variations between Countries in Values of Statistical Life

Valores ajustados com base na taxa de inflação de 3,5% ao ano e 27 anos de diferença entre 1997 e 2024.

Tabela: 1997 GDP/Capita, VSL Range, and VSL Range as a Multiple of GDP/Capita for Selected Countries (Adjusted to 2024)

País	Best_Estimate_1997	Best_Estimate_2024
WORLD	650	1692.6
NORTH AMERICA	2190	5703.3
EUROPEAN UNION	2730	7106.8
Argentina	1200	3124.8
Australia	2680	6977.1
Austria	3200	8328.0
Belgium	3000	7805.3
Brazil	900	2341.8
Canada	2540	6605.0
Chile	650	1692.6
Czech Republic	900	2341.8
Denmark	3990	10383.4
Finland	2340	6091.0
France	3200	8328.0
Germany	3100	8065.1
Greece	1490	3878.0
Hong Kong	3160	8219.4
Hungary	900	2341.8
Ireland	2540	6605.0
Israel	2150	5594.6
Italy	2520	6558.5
Japan	4680	12182.2
Kuwait	2250	5857.5
Malaysia	610	1588.4
Mexico	500	1301.8
Netherlands	2930	7631.0
New Zealand	2020	5262.8
Norway	4320	11242.1
Peru	360	936.4
Poland	480	1248.6
Portugal	1330	3459.3
Russia	370	961.3
Saudi Arabia	960	2495.7
South Africa	410	1064.5
South Korea, 1997	1370	3563.7
South Korea, 1985	380	988.9
Spain	1750	4556.9
Sweden	3200	8328.0
Switzerland	4430	11527.1
Taiwan, 1997	1680	4375.0
Taiwan, 1985	390	1014.8
Thailand	580	1508.1
Trinidad	630	1638.5
Turkey	410	1064.5
United Kingdom	2750	7159.2
United States	3670	9554.5
Uruguay	820	2133.0
Venezuela	540	1405.9
Bangladesh	40	104.1
China	110	286.4
India	60	156.1
Indonesia	160	416.6
Jamaica	340	885.2
Nigeria	40	104.1

# Criar um dataframe com os dados
dados <- data.frame(
  "País" = c("WORLD", "NORTH AMERICA", "EUROPEAN UNION", "Argentina", "Australia", "Austria", "Belgium", "Brazil", "Canada",
           "Chile", "Czech Republic", "Denmark", "Finland", "France", "Germany", "Greece", "Hong Kong", "Hungary", "Ireland",
           "Israel", "Italy", "Japan", "Kuwait", "Malaysia", "Mexico", "Netherlands", "New Zealand", "Norway", "Peru", "Poland",
           "Portugal", "Russia", "Saudi Arabia", "South Africa", "South Korea, 1997", "South Korea, 1985", "Spain", "Sweden",
           "Switzerland", "Taiwan, 1997", "Taiwan, 1985", "Thailand", "Trinidad", "Turkey", "United Kingdom", "United States",
           "Uruguay", "Venezuela", "Bangladesh", "China", "India", "Indonesia", "Jamaica", "Nigeria"),
  ln_GDP_Capita = c(8.434, 9.705, 9.936, 9.073, 9.916, 10.107, 10.037, 8.483, 9.865, 8.432, 8.487, 10.338, 10.014, 10.034, 10.105,
                    9.301, 10.097, 8.362, 9.864, 9.688, 9.860, 10.502, 9.736, 8.369, 8.468, 10.013, 9.620, 10.409, 7.818, 8.120,
                    9.184, 7.846, 8.840, 7.957, 9.215, 7.875, 9.470, 10.125, 10.447, 9.428, 8.683, 7.868, 8.391, 7.954, 9.941,
                    10.251, 8.677, 8.209, 5.529, 6.556, 5.937, 6.962, 7.766, 5.517),
  ln_Best_Estimate = c(6.476, 7.691, 7.912, 7.090, 7.893, 8.070, 8.006, 6.802, 7.841, 6.476, 6.802, 8.293, 7.759, 8.070, 8.043,
                       7.306, 8.057, 6.802, 7.841, 7.672, 7.832, 8.453, 7.718, 6.413, 6.215, 7.984, 7.611, 8.371, 5.886, 6.173,
                       7.192, 5.916, 6.867, 6.017, 7.223, 5.940, 7.468, 8.070, 8.397, 7.426, 5.966, 6.365, 6.445, 6.017, 7.919,
                       8.207, 6.707, 6.292, 3.689, 4.700, 4.094, 5.075, 5.828, 3.689),
  check.names = FALSE
)

# Modelo de regressão linear
model <- lm(ln_Best_Estimate ~ ln_GDP_Capita, data = dados)
print(summary(model))

Call:
lm(formula = ln_Best_Estimate ~ ln_GDP_Capita, data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.75334 -0.01346  0.00211  0.00815  0.41552 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   -1.48278    0.14974  -9.902 1.46e-13 ***
ln_GDP_Capita  0.94462    0.01662  56.826  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1512 on 52 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9842,    Adjusted R-squared:  0.9838 
F-statistic:  3229 on 1 and 52 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Adicionar resíduos ao dataframe
dados$residuals <- abs(resid(model))

# Encontrar os 5 maiores resíduos
top_residuals <- tail(sort(dados$residuals), 5)

# Criar o gráfico de dispersão
p <- ggplot2::ggplot(dados, ggplot2::aes(x = ln_GDP_Capita, y = ln_Best_Estimate, label = País)) +
  ggplot2::geom_point(ggplot2::aes(color = País %in% c("Brazil")), show.legend = FALSE) +
  ggplot2::scale_color_manual(values = c("TRUE" = "red", "FALSE" = "blue")) +
  ggplot2::geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linetype = "dashed") +
  ggplot2::geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = "solid", color = "gray") + # Bissetriz
  ggplot2::geom_text(data = subset(dados, residuals %in% top_residuals), hjust = 1.1, vjust = 1.1) +
  ggplot2::labs(title = "Gráfico de Dispersão de ln(GDP/Capita) vs.
       ln(VSL Best Estimate) com Regressão",
       x = "ln(GDP/Capita)",
       y = "ln(VSL Best Estimate)") +
  ggplot2::theme_minimal()

# Exibir o gráfico
print(p)

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

Warning: The following aesthetics were dropped during statistical transformation: label.
ℹ This can happen when ggplot fails to infer the correct grouping structure in
  the data.
ℹ Did you forget to specify a `group` aesthetic or to convert a numerical
  variable into a factor?

library(ggplot2)

# Creating a data frame with your data
data <- data.frame(
  Country = c("Brazil", "India", "China", "United States", "Russia", "Japan", "Germany",
              "United Kingdom", "France", "Italy", "South Africa", "Nigeria",
              "Mexico", "Argentina", "Canada", "Australia", "Spain", "Netherlands",
              "Switzerland", "Sweden", "Belgium", "Chile", "Greece"),
  Population_1995 = c(162661000, 963922000, 1204855000, 266278000, 148244000, 125439000,
                      81338000, 58167000, 58109000, 57237000, 43309000, 109583000,
                      91158290, 34672000, 29597000, 18310000, 39433942, 15495000, 7017000,
                      8743000, 10082000, 14316000, 10689000),
  Best_Estimate_1997 = c(1200, 60, 110, 3670, 370, 4680, 3100, 2750, 3200, 2520, 410, 40,
                         500, 1200, 2540, 2680, 1750, 2930, 4430, 3200, 3000, 650, 1490),
  check.names = FALSE
)

# Calculate the natural log of population and best estimate
data$ln_Population <- log(data$Population_1995)
data$ln_Best_Estimate <- log(data$Best_Estimate_1997)

# Modelo de regressão linear
model <- lm(ln_Best_Estimate ~ ln_Population, data = data)
print(summary(model))

Call:
lm(formula = ln_Best_Estimate ~ ln_Population, data = data)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.9807 -0.5862  0.1458  0.7183  2.0491 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    17.3176     3.1491   5.499 1.86e-05 ***
ln_Population  -0.5752     0.1764  -3.261  0.00373 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.15 on 21 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3362,    Adjusted R-squared:  0.3046 
F-statistic: 10.64 on 1 and 21 DF,  p-value: 0.003731

# Adding a new column to identify if the country is Brazil
data$is_Brazil <- ifelse(data$Country == "Brazil", "Brazil", "Other")

# Create the scatter plot with regression line
plot <- ggplot(data, aes(x = ln_Population, y = ln_Best_Estimate, color = is_Brazil, label = Country)) +
  geom_point(size = 3) +  # Adjust the size of the points
  scale_color_manual(values = c("Brazil" = "red", "Other" = "blue")) +
  geom_smooth(method = MASS::rlm, col = "black", se = FALSE) +  # Regression line in black
  geom_text(aes(label = ifelse(Country == "Brazil", "Brazil", "")), hjust = 0.5, vjust = -1.5) +
  labs(title = "Log of Population 1995 vs. Log of VSL Best Estimate in 1997",
       x = "ln(Population in 1995)",
       y = "ln(VSL Best Estimate in 1997)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")  # Hide the legend

# Print the plot
print(plot)

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

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ℹ This can happen when ggplot fails to infer the correct grouping structure in
  the data.
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Aptidão darwiniana: Evolução do comportamento social

Autocontrole: Psicologia comportamental

Desconto do futuro: Psicologia comportamental

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