Estimasi Interval
Estimasi dalam statistika adalah proses untuk menentukan rentang nilai yang mungkin dari parameter populasiberdasarkan data sampel. Estimasi ini memberikan informasi tentang tingkat kepercayaan terhadap parametertersebut.
Selang kepercayaan (confidence interval) adalah rentang nilai yang digunakan untuk mengestimasi parameterpopulasi dengan tingkat kepercayaan tertentu. Selang ini memberikan informasi mengenai seberapa percayadiri kita bahwa parameter populasi berada dalam rentang yang telah ditentukan.
Komponen Selang Kepercayaan
Selang kepercayaan dibentuk oleh tiga komponen utama:
Nilai Estimasi (Point Estimate): Ini adalah nilai tengah dari sampel yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi. Contoh umum adalah rata-rata sampel.
Tingkat Kepercayaan (Confidence Level): Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa selangkepercayaan yang dihitung mencakup parameter populasi yang sebenarnya. Tingkat kepercayaan yang umumdigunakan adalah 90%, 95%, dan 99%.
Margin of Error: Margin of error adalah nilai yang ditambahkan dan dikurangi dari nilai estimasi untukmembentuk selang kepercayaan. Besarnya margin of error bergantung pada variabilitas data dan ukuransampel.
Proses Perhitungan Selang KepercayaanProses untuk menghitung selang kepercayaan adalah sebagai berikut:
Tentukan Nilai Estimasi: Tentukan nilai estimasi dari sampel, misalnya rata-rata sampel.
Pilih Tingkat Kepercayaan: Pilih tingkat kepercayaan yang sesuai, misalnya 95%.
Hitung Margin of Error: Margin of error dihitung dengan menggunakan distribusi z (jika standar deviasi populasi diketahui) atau distribusi t (jika standar deviasi populasi tidak diketahui).
Tentukan Selang Kepercayaan: Selang kepercayaan diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi margin of error dari nilai estimasi.
Rumus Estimasi Interval
Untuk menghitung estimasi interval dari rata-rata populasi \((μ)\) berdasarkan sampel, digunakan rumus berikut:
Ketika standar deviasi populasi \((σ)\) diketahui: \[\bar{X} \pm Z_{\mathrm{\alpha}/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Ketika standar deviasi populasi \((σ)\) tidak diketahui:\[\bar{X} \pm t_{\mathrm{\alpha}/2,df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\]
Rumus Margin of Error
Jika standar deviasi populasi \((σ)\) diketahui, rumus margin of error \((E)\) adalah: \(E\) = \[Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan kita menggunakan standar deviasi sampel (s), rumus margin of error adalah: \[E = t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\]
Di mana:
\[Z_{\alpha/2}\] adalah nilai z dari distribusi normal standar untuk tingkat kepercayaan tertentu.
\[t_{\alpha/2, df}\] adalah nilai t dari distribusi t-Student untuk tingkat kepercayaan tertentu dan derajat kebebasan \((df)\).
\(σ\) adalah standar deviasi populasi.
\(s\) adalah standar deviasi sampel.
\(n\) adalah ukuran sampel.
Interpretasi Selang Kepercayaan
Selang kepercayaan memberikan informasi tentang rentang di mana kita memperkirakan parameter populasiberada. Misalnya, selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berarti kita 95% yakin bahwa rata-ratapopulasi berada dalam rentang tersebut. Perlu dicatat bahwa ini bukan berarti ada 95% kemungkinan bahwarata-rata populasi ada dalam selang tertentu dari satu sampel melainkan bahwa jika kita mengambil banyaksampel, 95% dari selang kepercayaan yang dihitung dari sampel-sampel tersebut akan mencakup rata-ratapopulasi yang sebenarnya. Ini berarti bahwa dalam jangka panjang, jika kita mengulang pengambilan sampeldan menghitung selang kepercayaan untuk masing-masing sampel tersebut, sekitar 95% dari selang-selangkepercayaan tersebut akan berisi nilai rata-rata populasi yang sebenarnya. Namun, ini juga berarti bahwa 5%dari selang kepercayaan yang dihitung mungkin tidak akan mencakup nilai rata-rata populasi yang sebenarnya.
Interpretasi Margin of Error
Margin of error adalah jarak dari nilai estimasi (misalnya, rata-rata sampel) ke batas atas atau batas bawahdari selang kepercayaan. Margin of error mencerminkan tingkat ketidakpastian yang kita miliki dalam estimasi.Semakin besar margin of error, semakin luas rentang estimasi kita, yang menunjukkan bahwa kita kurang yakintentang perkiraan nilai rata-rata populasi. Sebaliknya, margin of error yang lebih kecil menunjukkan estimasiyang lebih presisi dan keyakinan yang lebih tinggi terhadap estimasi tersebut. Margin of error yang kecil biasanya dihasilkan dari ukuran sampel yang lebih besar atau dari data yang memiliki variabilitas rendah.Dengan margin of error yang kecil, selang kepercayaan menjadi lebih sempit, yang berarti estimasi rata-ratapopulasi lebih dekat dengan nilai sebenarnya. Oleh karena itu, memahami margin of error membantu dalammenilai keandalan dan akurasi hasil dari analisis statistik, serta dalam mengambil keputusan berdasarkanestimasi tersebut.
Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan
Situasi: Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka.Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.
Data:
Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Tugas:
Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.
Jawab:
# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1## [1] 4.253188 5.746812# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2## [1] 4.603157 5.396843Interpretasi:
Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit.
Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit.
Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit,menunjukkan estimasi yang lebih presisi.
Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan
Situasi: Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas denganvariabilitas nilai yang berbeda.
Data: Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10 Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20
Tugas:
Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.
Jawab:
# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA## [1] 71.80184 78.19816# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB## [1] 68.60369 81.39631Interpretasi:
Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).
Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432).
Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yanglebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.
Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan
Situasi: Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakandua tingkat kepercayaan yang berbeda.
Data: Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%
Tugas:
Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.
Jawab:
# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90## [1] 96.4435 103.5565# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99## [1] 94.31496 105.68504Interpretasi:
Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).
Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinanyang lebih tinggi.
Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)
Situasi: Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan datahistoris, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.
Tugas:
Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.
Jawab: Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.
mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.3667 171.6333Interpretasi: Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.
Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)
Situasi: Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standardeviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):
tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)Tugas:
Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.
Jawab: Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.
mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.6802 170.5998Interpretasi: Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.
Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui
Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm,171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi.
Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambah ketidakpastian.
Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal).
Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).
Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebih sempit.
Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.
Faktor yang Mempengaruhi Selang KepercayaanBeberapa faktor yang dapat mempengaruhi lebar selang kepercayaan antara lain:
Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan, karena semakin banyak informasi yang tersedia untuk mengestimasi parameter populasi.
Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi), semakin lebar selang kepercayaan. Hal ini karena data yang lebih variabel memerlukan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi.
Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, karena kita memerlukan rentang yang lebih luas untuk meningkatkan keyakinan bahwa parameter populasi tercakup.
Kesimpulan Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kitauntuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami dan menghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untuk pengambilan keputusan.
Tugas
Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut:
Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100
Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, \(σ\) atau \(s\)), Level: 10, 50, 90
Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui \((σ)\), Tidak Diketahui \((s)\)
Interpretasikan hasilnya..
Jawab:
set.seed(123) # Untuk replikasi hasil
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, union# Parameter simulasi
sample_sizes <- c(5, 30, 100)
std_devs <- c(10, 50, 90)
n_sim <- 1000 # Banyaknya simulasi
# Simulasi
results <- expand.grid(n = sample_sizes, sigma = std_devs, known_sigma = c(TRUE, FALSE)) %>%
rowwise() %>%
mutate(mean_CI_width = {
widths <- numeric(n_sim)
for (i in 1:n_sim) {
sample_data <- rnorm(n, mean = 100, sd = sigma) # Sampel dari distribusi normal
x_bar <- mean(sample_data) # Rata-rata sampel
if (known_sigma) {
z_value <- qnorm(0.975) # Nilai Z untuk 95% CI
margin_error <- z_value * (sigma / sqrt(n))
} else {
s <- sd(sample_data) # Standar deviasi sampel
t_value <- qt(0.975, df = n - 1) # Nilai t dengan df = n-1
margin_error <- t_value * (s / sqrt(n))
}
widths[i] <- 2 * margin_error # Lebar interval kepercayaan
}
mean(widths) # Rata-rata lebar CI dari 1000 simulasi
})
# Menampilkan hasil
print(results)## # A tibble: 18 × 4
## # Rowwise:
## n sigma known_sigma mean_CI_width
## <dbl> <dbl> <lgl> <dbl>
## 1 5 10 TRUE 17.5
## 2 30 10 TRUE 7.16
## 3 100 10 TRUE 3.92
## 4 5 50 TRUE 87.7
## 5 30 50 TRUE 35.8
## 6 100 50 TRUE 19.6
## 7 5 90 TRUE 158.
## 8 30 90 TRUE 64.4
## 9 100 90 TRUE 35.3
## 10 5 10 FALSE 23.3
## 11 30 10 FALSE 7.32
## 12 100 10 FALSE 3.97
## 13 5 50 FALSE 117.
## 14 30 50 FALSE 36.8
## 15 100 50 FALSE 19.8
## 16 5 90 FALSE 204.
## 17 30 90 FALSE 66.6
## 18 100 90 FALSE 35.7Dari hasil simulasi, kita bisa melihat beberapa pola penting terkait pengaruh ukuran sampel (n), variabilitas data (\(σ\) atau \(s\)), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi terhadap lebar interval kepercayaan 95%.
Contoh:
Untuk \(σ = 10\) dan \(σ\) tidak diketahui:
\(n = 5\) → CI width = 23.33
\(n = 30\) → CI width = 7.32
\(n = 100\) ) → CI width = 3.97
Hal ini sesuai dengan teori bahwa semakin besar \(n\), semakin kecil standard error $ $), sehingga margin of error berkurang.
Contoh:
Untuk \(n = 30\), \(σ\) tidak diketahui:
\(σ = 10\) → CI width = 7.32
\(σ = 50\) → CI width = 36.81
\(σ = 90\) → CI width = 66.63
Hal ini sesuai dengan teori bahwa semakin besar variabilitas data, semakin besar ketidakpastian estimasi, sehingga interval kepercayaan lebih luas.
Contoh:
Untuk \(n = 5\) dan \(σ = 10\):
\(σ\) diketahui → CI width = 17.53
\(σ\) tidak diketahui → CI width = 23.33 (lebih besar)
Hal ini terjadi karena jika \(σ\) tidak diketahui, kita harus menggunakan distribusi t, yang memiliki variabilitas lebih tinggi dibandingkan distribusi Z.
Kesimpulan
Untuk menghasilkan estimasi yang lebih presisi (interval kepercayaan lebih kecil), kita sebaiknya:
Menggunakan sampel yang lebih besar.
Mengurangi variabilitas dalam data (misalnya dengan cara pengukuran yang lebih akurat).
Jika memungkinkan, mengetahui standar deviasi populasi agar bisa menggunakan distribusi Z.
Hasil ini sesuai dengan teori bahwa ukuran sampel besar mengurangi ketidakpastian, dan variabilitas tinggi meningkatkan ketidakpastian dalam estimasi parameter populasi.