Enunciado:

Seja \((a_k)_{k\geq 1}\) uma sequência de números reais não nulos, tais que, para todo \(n\geq 2\), tenhamos \[ \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{n-1}{a_1a_n}. \end{align} \] Prove que a referida sequência é uma PA (Progressão Aritmética).

Demonstração (Prova)

Exemplo numérico computacional

# Fórmula do k-esimo Termo Geral (termo que ocupa a posição k) de uma PA, cuja razao é r
a_k <- function(a_1, r, k){
  tg_k <- a_1 + (k-1)*r
  return(tg_k)
}

# Fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA (S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)
Sn_minus_1 <- function(n, r){
  a1 <- a_k(a_1,r,0) 
  an <- a_k(a_1,r,n)
  S <- (1/2) * ( a1 + an  ) * n
  return(S)
}

# Parâmetros escolhidos
n   = 6   # numero de termos da PA(a1, a2, ... ,an).
a_1 = 2   # primeiro elemento da PA.
r   = 3   # razao da PA (r = a2-a1 = a3-a2. Em geral, r = a(j)- a(j-1), para todo natural j>1.)

# Sequência do exercício: ( 1/a(1)a(2), 1/a(2)a(3), 1/a(3)a(4), ... , 1/a(n-1)a(n) ) 
Seq <- 1 / ( a_k(2,3,1:(n-1)) * a_k(2,3,2:n) )

# O valor do n-ésimo termo de uma PA.
a_n <- a_k(a_1,r,n)

# Resultado do Membro Esquerdo da igualdade do exercicio 9 = Soma Finita.
R_Left  = sum( Seq )       # soma finita dos elementos da sequencia acima (a do exercício).

# Resultado do Membro Direito da igualdade do exercício 9 = Fórmula Fechada para Soma Finita.
R_Right = (n-1)/(a_1*a_n)  # fórmula fechada (é mais simples para computador e para nós.)

# Display dos Resultados. 
list(Sequencia = Seq, Resultado_Left = R_Left, Resultado_Right = R_Right )
## $Sequencia
## [1] 0.100000000 0.025000000 0.011363636 0.006493506 0.004201681
## 
## $Resultado_Left
## [1] 0.1470588
## 
## $Resultado_Right
## [1] 0.1470588