Introducción

En este informe se analizara unos estimadores en dos distribuciones continuas. La estimación de parámetros problacionales ayudan a realizar inferencias sobre una población a partir de una muestra. La distribución normal se utiliza en diversas áreas debido a su simetria y centralidad de la media, mientras que la distribución exponencial es fundamental en la modelización de tiempos entre eventos.

Objetivos

Este informe tiene objetivo comparar diferentes estimadores propuestos para ambas distribuciones, evaluando su desempeño.

Metodología

Se realizara simulaciones para observar el comportamientos de los estimadores bajo diferentes condiciones de muestra y media.

\[ T_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n - 1} \]

\[ T_2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

\[ T_3 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n + 1} \]

\[ T_4 = x_i \]

Para las distribuciones se tendra en cuenta que se esta estudiando una variable aleatoria X para la que se distribuye Normal (µ, σ2 = 3) y también se distribuye exponencialmente con un parámetro de tasa λ.

Análisis

– Distribución Normal

Inicialmente tendremos unos parámetros generales como muestra 10 y media 10.

El estimador T1 tiene una mayor varianza y esta un poco alejado a la media por lo que no es el mejor estimado, en T2 es el estimador de media muestral estandar, es insesgado y es el que se utiliza más comúnmente, en este caso es el mejor estimador. El T3 tiene una muestra sesgada, y divide por n+1 por lo que esta más alejado a la media en comparación a T2. El último estimador es T4 no es representativo nada a la media de la muestra por tanto es el más alejado para esta situación.

En los siguientes ejemplos donde se cambia, la muestra a n=2 y n=400, se nota un cambio en T1 si aumenta tiende a ser más preciso, ya que hay más datos por lo que la variabilidad disminuirá, asimismo en T2 Y T3. En el caso de T4 es más sensible a la variabilidad de la muestra, ya que si es muy pequeña la muestra no suele ser representativo ya que es muy variable, mientras que sea más grande no se vera como un valor atípico.

El estimador T1 tiene una mayor varianza y esta un poco alejado a la media por lo que no es el mejor estimado, en T2 es el estimador de media muestral estandar, es insesgado y es el que se utiliza más comúnmente, en este caso es el mejor estimador. El T3 tiene una muestra sesgada, y divide por n+1 por lo que esta más alejado a la media en comparación a T2. El último estimador es T4 no es representativo nada a la media de la muestra por tanto es el más alejado para diferentes situaciónes.

Aquí se muestra el n= 10 y el λ=0.1 y λ=10

En los estimadores T1 y T2 son generalmente más cercanos a la media verdadera de la distribución, pero T1 tiende a ser más sesgado hacia valores más altos.T3 tiende a ser más conservador y puede subestimar la media, especialmente en muestras pequeñas.Por último, T4 como es de un solo dato puede ser mu variable en este caso esta muy alejado de la media.

Podemos notar que hacia una tasa más baja la media es mayor, lo que significa que los valores de la muestra sera más altos. Por lo que en T1 y T2 seran más altos en comparación con la muestra con una tasa alta. Con una tasa alta, los valores tienden a ser pequeños y todos se acercan lo que puede llevar a una estimación mas precisa a la media.

Se mantuvo un λ=0.1 y un n=30, n=5. En todas las estimaciones en n=30 cuando es más grande se acercan a la media, entre más grande la muestra se acercaria más debido a la reducción de variabilidad.

Cuando el n es pequeño, los estimadores son muy variables ya que puede haber valores atipicos por lo que todos pueden estar alejados a la media. En el caso de T4 es el más alejado a la media, ya que solo toma un dato en este caso fue más alejado a la media.

Conclusión

Este informe ha abordado la comparación de diferentes estimadores en dos distribuciones continuas: normal y exponencial. La selección del estimador adecuado es necesario para obtener inferences precisas acerca de la población a partir de muestras. En la distribución normal, el T2 es el más confiable, independiente al cambio de parametros. T1 presenta mayor varianza y sesgo y T3, T4 no son representativos y menos en muestras pequeñas. En la distribución exponencial, el T2 también es el que se acerca más cambiando los parametros, la variabilidad de los estimadores aumenta en muestras pequeñas, por lo que la precisión de inferencias será difícil.

Finalmente, el tamaño de la muestra es importante para una precisión de los estimadores, para reducir variabilidad y sesgo, también dependiendo eso los otros estimadores también pueden ayudar pero la idea es que el estimador elegido sirva para todos los casos.