Distribución chi-cuadrado

Introducción

texto

Ensayo sobre distribución chi-cuadrado

Distribución Chi-Cuadrado

La distribución chi-cuadrado (\(\chi^2\)) es una distribución continua de probabilidad que resulta de la suma de los cuadrados de variables aleatorias independientes y distribuidas normalmente con media cero y varianza uno. La fórmula para la función de densidad de probabilidad es la siguiente:

\[ f(x; k) = \frac{x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \]

Donde: - \(x \geq 0\) - \(\Gamma(\cdot)\) es la función gamma, que generaliza el concepto de factorial.

Propiedades

  • Media: \(\mu = k\)
  • Varianza: \(\sigma^2 = 2k\)

Código en R

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3
# Parámetros de la distribución
k <- 10  # grados de libertad

# Calcular la probabilidad acumulada hasta un valor x=15
p_value <- pchisq(15, df = k)
print(paste("Probabilidad acumulada hasta x = 15: ", p_value))
## [1] "Probabilidad acumulada hasta x = 15:  0.867938143712279"
# Graficar la función de densidad de probabilidad
x_values <- seq(0, 30, by = 0.1)
y_values <- dchisq(x_values, df = k)

df_plot <- data.frame(x = x_values, y = y_values)

ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line() +
  labs(title = paste("Distribución Chi-Cuadrado con", k, "grados de libertad"),
       x = "Valor de x", y = "Densidad") +
  theme_minimal()

# Generar un gráfico de la función acumulada
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = pchisq(x, df = k))) +
  geom_line() +
  labs(title = paste("Función Acumulada Chi-Cuadrado con", k, "grados de libertad"),
       x = "Valor de x", y = "Función acumulada") +
  theme_minimal()