Nguyễn Thúy Vy
2025-03-09
Một nhà nghiên cứu nuôi 49 cá thể của một loài động vật và ghi nhận được số liệu như sau:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi thọ (năm)} & 6.5-8.5 & 8.5-10.5 & 10.5-12.5 & 12.5-14.5 & 14.5-16.5\\ \hline \text{Số cá thể} & 4 & 11 & 21 & 10 &3 \\ \hline \end{array} \]
Giả sử tuổi thọ của loài động vật này có phân phối chuẩn. Những cá thể sống trên 12.5 năm được gọi là sống thọ. Với độ tin cậy 90%.
a. Ước lượng tuổi thọ trung bình của của loài động vật này.
b. Ước lượng tuổi thọ trung bình tối thiểu của loài động vật này.
c. Tính sai số của bài toán ước lượng trung bình (2 phía).
d. Nếu muốn sai số của bài toán ước lượng trung bình (2 phía) giản 20% và giữ nguyên độ tin cậy là 90% thì cỡ mẫu là bao nhiêu?
e. Ước lượng tuổi thọ trung bình của những cá thể được gọi là sống thọ.
f. Ước lượng tỷ lệ sống thọ của loài động vật này với độ tin cậy 95%.
g. Ước lượng tỷ lệ sống thọ tối đa của loài động vật này với độ tin cậy 92%.
h. Tính sai số cho bài toán ước lượng tỷ lệ (2 phía).
i. Nếu muốn sai số của bài toán ước lượng tỷ lệ (2 phía) có sai số không quá 10% thì cỡ mẫu là bao nhiêu nếu giữ nguyên độ tin cậy là 95%.
j. Ước lượng phương sai về tuổi thọ của loài động vật này với độ tin cậy 90%.
k. Có tài liệu cho rằng tuổi thọ trung bình của loài động vật này là 12 năm, thông tin này đúng không với mức ý nghĩa 3%.
l. Có tài liệu cho rằng tỷ lệ sống thọ (sống trên 12.5 năm) của loài động vật này là 25%, thông tin này đúng không với mức ý nghĩa 2%.
Giải:
Từ bảng số liệu trên, ta tính được: \(n=49\); \(\bar{x}=11.3776\); \(s=2.0169\)
a.
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.9\), suy ra \(\alpha = 0.1\). Vậy \(z_{\alpha/2} = 1.645\).
Gọi \(\mu\) là tuổi thọ trung bình của loài động vật này. Ta có:
\[\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
\[\Leftrightarrow 11.3776 - 1.645 \cdot \frac{2.0169}{\sqrt{49}} \le \mu \le 11.3776 + 1.645 \cdot \frac{2.0169}{\sqrt{49}}\]
\[\Leftrightarrow 10.9036 \le \mu \le 11.8515\]
Vậy tuổi thọ trung bình của loài động vật này nằm trong khoảng \([10.9036; 11.8515]\) năm.
b.
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.9\), suy ra \(\alpha = 0.1\). Vậy \(z_{\alpha} = 1.285\).
Ta có:
\[\mu \ge \bar{x} - z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 11.3776 - 1.285 \cdot \frac{2.0169}{\sqrt{49}} = 11.0074\]
Vậy tuổi thọ trung bình của tối thiểu của loài động vật này là 11.0074 năm.
c.
Áp dụng công thức sai số ước lượng trung bình tổng thể, ta có:
\[\varepsilon = z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{2.0169}{\sqrt{49}} = 0.4740\]
Vậy với độ tin cậy là 90% thì sai số cho bài toán ước lượng trung bình là 0.4740.
d.
Nếu sai số giảm 20% và giữ nguyên độ tin cậy là 90% thì cỡ mẫu phải là:
\[ \begin{aligned} n &= \left(\frac{s \cdot z_{\alpha/2}}{\varepsilon(1 - 20\%)}\right)^2 = \left(\frac{2.0169 \cdot 1.645}{0.4740 \cdot (1 - 20\%)}\right)^2 = 76.5533 \end{aligned} \]
Vậy khi cỡ mẫu là 76.5533 thì sai số sẽ giảm 20% và vẫn giữ nguyên độ tin cậy là 90%.
e.
Theo đề bài, những bài thể sống trên 12.5 năm được coi là sống thọ. Từ đó ta có:
\(n' = 18\)
\(\bar{x'} = 13.9615\)
\(s' = 0.8771\)
Khoảng tin cậy đối xứng:
\[\bar{x'} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma'}{\sqrt{n'}} \le \mu \le \bar{x'} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma'}{\sqrt{n'}}\]
\[\Leftrightarrow 13.9615 - 1.845 \cdot \frac{0.8771}{\sqrt{18}} \le \mu \le 13.9615 + 1.845 \cdot \frac{0.8771}{\sqrt{18}}\]
\[\Leftrightarrow 13.5618 \le \mu \le 14.3617\]
Vậy tuổi thọ trung bình của những cá thể được xem là sống thọ nằm trong khoảng \([13.5618;14.3617]\) năm.
f.
Gọi \(p\) là tỷ lệ sống thọ của loài động vật này.
Khi đó \(\hat{p} = \frac{13}{49} = 0.2653\)
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.95\), suy ra \(\alpha = 0.05\). Vậy \(z_{\alpha/2} = 1.96\)
Ta có:
\[\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
\[\Leftrightarrow 0.2653 - 1.96 \sqrt{\frac{0.2653(1-0.2653)}{49}} \le p \le 0.2653 + 1.96 \sqrt{\frac{0.2653(1-0.2653)}{49}}\]
\[\Leftrightarrow 0.1419 \le p \le 0.3889\]
Vậy tỷ lệ sống thọ của loài động vật này nằm trong khoảng \([0.1419; 0.3889]\) với độ tin cậy là 95%.
g.
Với độ tin cậy \(\gamma=0.92\), suy ra \(\alpha=0.08 \Rightarrow z_{\alpha} = 1.405\)
Ta có:
\[p \ge \hat{p} - z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.2653 - 1.405 \sqrt{\frac{0.2653(1-0.2653)}{49}} = 0.18539\]
Vậy với độ tin cậy là 92% thì loài động vật này có tỷ lệ sống thọ tối đa là 0.3539
h.
Áp dụng công thức tính sai số cho bài toán ước lượng tỷ lệ ta có:
\[\varepsilon = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.2653(1-0.2653)}{49}} = 0.1286\]
Vậy với độ tin cậy là 92% thì sai số cho bài toán ước lượn tỷ lệ là 0.1286.
i.
Nếu muốn sai số của bài toán chỉ có sai số không quá 10% và độ tin cậy vẫn là 95% thì:
\[\varepsilon \le 10\% \]
\[\Leftrightarrow z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le 10\%\]
Từ đó suy ra:
\[ n \ge \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{(10\%)^2} = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.2653(1-0.2653)}{(0.10)^2} \approx 74.8789\]
\[\Rightarrow n \ge 74.8789\]
Vậy khi cỡ mẫu lớn hơn 74.8789 thì sai số sẽ không vượt quá 10% và độ tin cậy vẫn được giữ nguyên.
j.
Gọi \(\sigma^2\) là phương sai tổng thể
Với độ tin cậy \(\gamma =0.9\), suy ra \(\alpha=0.1\)
Vậy:
\(\chi_{n-1;1-\alpha/2}^2 = \chi_{48;0.05}^2 = 65.1708\)
\(\chi_{n-1;\alpha/2}^2 = \chi_{48;0.95}^2 = 33.6981\)
Ta có:
\[\frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}^2} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}^2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{(49-1) \cdot 4.0680}{65.1708} \le \sigma^2 \le \frac{(49-1) \cdot 4.0680}{33.6981}\]
\[\Rightarrow 2.9962 \le \sigma^2 \le 5.8996\]
Vậy với độ tin cậy 90%, thì phương sai về tuổi thọ của loài động vật này nằm trong khoảng \([2.9962; 5.8996]\)
k.
Với \(\mu\) là trung bình tổng thể. Ta có giả thuyết:
\[ \left\{ \begin{array}{l} H_0: \mu = 12 \\ H_1: \mu \neq 12 \end{array} \right. \]
Với \(\alpha = 8\% \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1.77\)
Ta có:
\[z = \frac{\bar{x} - 12}{s} \sqrt{n} = \frac{11.3776-12}{2.0169} \sqrt{49} = -2.1661\]
Do \(|z| > z_{\alpha/2}\) nên đủ cơ sở để bác bỏ \(H_0\) Vậy ở mức ý nghĩa 8%, tuổi thọ trung bình của loài động vật này không phải là 12 năm.
l.
Ta có giả thuyết:
\[ \left\{ \begin{array}{l} H_0: p = 25\% \\ H_1: p \neq 25\% \end{array} \right. \]
Với \(\alpha = 2\%\) thì \(Z_{\alpha/2} = 2.325\)
Ta có:
\(Z = \frac{\hat{p} - 0.25}{\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{n}}} = \frac{0.2653 - 0.25}{\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{49}}} = 0.2473\)
Do \(|Z| < Z_{\alpha/2}\) nên ta không có đủ cơ sở để bác bỏ \(H_0\).
Vậy với mức ý nghĩa 2% thì tỷ lệ sống thọ của loài động vật này là 25%.
Chiều dài của một loại sản phẩm có phân phối chuẩn. Để kiểm tra chất lượng sau khi sản xuất người ta đo 150 sản phẩm và thu được bảng số liệu sau:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều dài sản phẩm (mm)} & 23-25.6 & 25.6-28.2 & 28.2-30.8 & 30.8-33.4 & 33.4-36\\ \hline \text{Số sản phẩm} & 2 & 39 & 50 & 53 & 6 \\ \hline \end{array} \]
Giả sử chiều dài loại sản phẩm này tuân theo quy luật phân phối chuẩn.
a. Ước lượng chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 91%.
b. Ước lượng chiều dài trung bình tối đa của loại sản phẩm này với độ tin cậy 93%.
c. Tính sai số cho bài toán ước lượng trung bình (2 phía).
d. Nếu muốn giảm sai số (cho bài toán ước lượng trung bình 2 phía) còn 50% so với câu a thì cỡ mẫu phải là bao nhiêu với độ tin cậy được giữ nguyên là 91%.
e. Những sản phẩm có chiều dài nhỏ hơn 25.6 và lớn hơn 33.4 là những sản phẩm không đạt chất lượng. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm đạt chất lượng với độ tin cậy 95%.
f. Hãy ước lượng tỷ lệ tối đa của sản phẩm đạt chất lượng với độ tin cậy 97%.
g. Tính sai số của bài toán ước lượng tỷ lệ (2 phía).
h. Nếu muốn sai số (của bài toán ước lượng tỷ lệ 2 phía là 15%) thì cỡ mẫu là bao nhiêu nếu giữ nguyên độ tin cậy là 95%.
i. Ước lượng phương sai của chiều dài của loại sản phẩm này.
j. Theo quy định thì chiều dài trung bình của sản phẩm là 35mm. Những sản phẩm này có đạt được quy định không?
k. Giám đốc sản xuất nói rằng tỷ lệ sản phẩm không đạt chất lượng là 1%, lời nói này đúng không với mức ý nghĩa 4%.
Giải:
Từ bảng số liệu trên, ta có: \(n = 150\); \(\bar{x} = 29.8813\); \(s = 2.3408\); \(s^2 = 5.4794\)
a.
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.91\), suy ra \(\alpha = 0.09 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1.695\)
Gọi \(\mu\) là chiều dài trung bình của loại sản phẩm này, ta có:
\[\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}\]
\[\Leftrightarrow 29.8813 - 1.695 \cdot \frac{2.3408}{\sqrt{150}} \le \mu \le 29.8813 + 1.695 \cdot \frac{2.3408}{\sqrt{150}}\]
\[\Leftrightarrow 29.5773 \le \mu \le 30.2053\]
Vậy với độ tin cậy 91%, chiều dài trung bình của loại sản phẩm này nằm trong khoảng \([29.5573; 30.2053]\) (mm).
b.
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.93\), suy ra \(\alpha = 0.07 \Rightarrow z_\alpha = 1.475\)
Ta có:
\[\mu \le \bar{x} + z_\alpha \frac{s}{\sqrt{n}} = 29.8813 + 1.475 \cdot \frac{2.3408}{\sqrt{150}} = 30.1632\]
Vậy với độ tin cậy 93%, chiều dài trung bình tối đa của loại sản phẩm này là 30.1632 mm.
c.
Áp dụng công thức sai số ước lượng trung bình, ta có:
\[\varepsilon = z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.695 \cdot \frac{2.3408}{\sqrt{150}} = 0.3239\]
Vậy với độ tin cậy 91%, sai số cho việc ước lượng trung bình là 0.3239
d.
Để sai số còn 50% so với câu a và độ tin cậy giữ nguyên thì:
\[n = (\frac{s \cdot z_{\alpha/2}}{\epsilon \times 50\%})^2 = (\frac{2.3408 \times 1.695}{0.3239 \times 50\%})^2 = 600.2140\]
Vậy khi n (cỡ mẫu) là 600.2140 thì sai số sẽ giảm còn 50% so với câu a mà độ tin cậy vẫn giữ nguyên 91%.
e.
Gọi p là tỷ lệ những sản phẩm đạt chất lượng. Vậy \(\hat{p} = \frac{142}{150} = 0.9467\)
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.95\) suy ra \(\alpha = 0.05 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1.96\)
Ta có:
\[\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
\[\Leftrightarrow 0.9467 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.9467(1-0.9467)}{150}} \le p \le 0.9467 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.9467(1-0.9467)}{150}}\]
\[\Leftrightarrow 0.9108 \le p \le 0.9826\]
Vậy với độ tin cậy 95%, thì tỷ lệ sản phẩm đạt chất lượng nằm trong khoảng \([0.9108; 0.9826]\)
f.
Với độ tin cậy \(\gamma = 0.97\), suy ra \(\alpha = 0.03 \Rightarrow z_\alpha = 1.885\)
Ta có:
\[p \le \hat{p} + z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.9467 + 1.885 \sqrt{\frac{0.9467(1-0.9467)}{150}} = 0.9813\]
Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ tối đa của sản phẩm đạt chất lượng là 0.9813
g.
Áp dụng công thức sai số bài toán tỷ lệ, ta có:
\(\epsilon = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.9467(1-0.9467)}{150}} = 0.0359\)
Vậy với độ tin cậy 95%, sai số của bài toán ước lượng tỷ lệ là 0.0359
h.
Để thoả để bài thì:
\(n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{(15\%)^2} = \frac{1.96^2 \cdot 0.9467(1-0.9467)}{(15\%)^2} = 8.6153\)
Vậy nếu sai số của bài toán ước lượng tỷ lệ là 15% và độ tin cậy là 95% thì cỡ mẫu phải là 8.6153
i.
Gọi \(\sigma^2\) là phương sai của chiều dài của loại sản phẩm này.
Với độ tin cậy là 95%, vậy \(\alpha=0.05\)
Từ đó ta có:
\(\chi_{n-1;1-\alpha/2}^2 = \chi_{149;0.025}^2 = 184.687\)
\(\chi_{n-1;\alpha/2}^2 = \chi_{149;0.025}^2 = 117.098\)
Theo công thức:
\(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}^2} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}^2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(150-1) \cdot 5.4794}{184.687} \le \sigma^2 \le \frac{(150-1) \cdot 5.4794}{117.098}\)
\(\Rightarrow 4.4206 \le \sigma^2 \le 6.9722\)
Với độ tin cậy 95% thì phương sai của chiều dài loại sản phẩm này nằm trong khoảng \([4.4206; 6.9722]\).
j.
Ta có giả thuyết:
\[ \left\{ \begin{array}{l} H_0: \mu = 35 \\ H_1: \mu \neq 35 \end{array} \right. \]
Ta có:
\(Z = \frac{\bar{x} - 35}{s} \sqrt{n} = \frac{29.8813 - 35}{2.3408} \sqrt{150} = -26.7819\)
Với \(\alpha = 5\%\) thì \(Z_{\alpha/2} = 1.96\)
Do \(|Z| > Z_{\alpha/2}\) nên ta bác bỏ \(H_0\).
Vậy với mức ý nghĩa 5%, thì chiều dài trung bình của loại sản phẩm này không phải là 35mm.
k.
Ta có giả thuyết như sau:
\[ \left\{ \begin{array}{l} H_0: p = 1\% \\ H_1: p \neq 1\% \end{array} \right. \]
Ta có:
\(Z = \frac{\hat{p}-1\%}{\sqrt{\frac{1\%(1-1\%)}{n}}} = \frac{0.0533-1\%}{\sqrt{\frac{1\%(1-1\%)}{150}}} = 51.3299\)
Với \(\alpha = 4\% \Rightarrow z_{\alpha/2} = 2.055\)
Do \(|Z| > z_{\alpha/2}\) nên ta bác bỏ \(H_0\).
Vậy với mức ý nghĩa 4%, thì tỷ lệ sản phẩm không đạt chất lượng không phải là 1%.