Este é Super Mega Hiper Guia Completo de Estudos e Revisão para a prova de Micro II, abordando os modelos de oligopólio (Cournot, Bertrand, Edgeworth, Stackelberg e Conluio). Este guia reúne explicações teóricas, fórmulas, passos detalhados e exemplos práticos (baseados nos slides de revisão e na lista de exercícios) para que você possa entender profundamente cada modelo e saber como aplicá-los nos exercícios.

OBS:

Montei esse material alimentando várias IA’s diferentes com os slides de aula, de revisão e com a Lista 3 e em seguida filtrando aquelas explicações que achei mais intuitivas.

A ideia disso aqui não é preparar para a prova por sí só, mas ser uma ferramenta útil pra ter do lado enquanto resolve a lista de exercícios e não precisar ficar caçando a teoria em vários slides e anotações diferentes.

Tmj, espero que seja útil 😁🫡

1. Modelo de Cournot

1.1. Fundamentos Teóricos

No modelo de Cournot (1838) as firmas competem simultaneamente em quantidades. Cada firma decide quanto produzir (variáveis \(y_1\) e \(y_2\)) com o objetivo de maximizar seu lucro, levando em conta que o preço de mercado depende da soma total da produção (\(Y = y_1 + y_2\)). A função de demanda é geralmente do tipo linear, por exemplo,
\[ P(Y) = a - bY, \] e os custos podem ser considerados lineares, como
\[ C_i(y_i) = c \cdot y_i. \] Cada firma maximiza seu lucro: \[ \pi_i = P(Y) \cdot y_i - C(y_i). \]

1.2. Passo-a-Passo para Resolver o Modelo

Hipóteses Fundamentais:

  • Decisão simultânea de quantidades (\(y_1, y_2\)).
  • Produto homogêneo: Demanda de mercado depende da produção total (\(Y = y_1 + y_2\). Vamos considerar apenas 2 firmas).
  • Informação completa: Ambas firmas conhecem a estrutura de custos e demanda.

Passo-a-Passo para Resolução:

  1. Escrever a função de demanda e custos:

    • Demanda inversa: \(P(Y) = a - bY\).
    • Custo marginal: \(C_i(y_i) = c \cdot y_i\).

  2. Função de lucro da firma \(i\):
    \[ \pi_i = (a - b(y_1 + y_2)) \cdot y_i - c \cdot y_i \]

  3. Derivar a função de reação:

    • Maximizar \(\pi_i\) em relação a \(y_i\):
      \[ \frac{\partial \pi_i}{\partial y_i} = a - b(y_1 + y_2) - b \cdot y_i - c = 0 \]
    • Isolar \(y_i\):
      \[ y_i = \frac{a - c}{2b} - \frac{y_j}{2} \quad \text{(Função de Reação)} \]

  4. Resolver o sistema de equações:

    • Substituir \(y_j\) na função de reação da firma \(i\).
    • Exemplo: Para \(y_1 = y_2\) (firmas simétricas):
      \[ y_1 = y_2 = \frac{a - c}{3b} \]

  5. Calcular preço e lucros:

    • Preço de equilíbrio: \(P^* = a - b(y_1^* + y_2^*)\).
    • Lucro individual: \(\pi_i^* = (P^* - c) \cdot y_i^*\).

1.3. Exemplo Prático

Considere o exercício (Questão 3 dos slides) com: - Demanda: \(P = 122 - 0,5(y_1 + y_2)\) - Custos: \(C_1(y_1)=2y_1\) e \(C_2(y_2)=2y_2\)

Passos:

  1. Função de lucro para a firma 1: \[ \pi_1 = (122 - 0,5(y_1+y_2))y_1 - 2y_1. \]

  2. Derivada em relação a \(y_1\): \[ \frac{d\pi_1}{dy_1} = 122 - 0,5y_1 - 0,5y_2 - 0,5y_1 - 2 = 122 - y_1 - 0,5y_2 - 2 = 0. \] Rearranjando: \[ y_1 = 120 - 0,5y_2. \] (Analogamente, a função de reação para a firma 2 é: \(y_2 = 120 - 0,5y_1\).)

  3. Resolução do sistema:
    Resolvendo as duas equações simultaneamente, chega-se a: \[ y_1^* = y_2^* = 80. \]

  4. Cálculo do preço: \[ P^* = 122 - 0,5(80+80) = 122 - 80 = 42. \]

  5. Lucro de cada firma: \[ \pi_i = 42 \times 80 - 2 \times 80 = 3200. \]

Além disso, a revisão também apresenta variações – como o caso do monopólio (quando há apenas uma firma) e a situação com muitas firmas (por exemplo, 39 empresas) – destacando os efeitos da concorrência sobre as quantidades, preços e lucros.

2. Modelo de Bertrand

2.1. Fundamentos Teóricos

No modelo de Bertrand (1883), as firmas competem simultaneamente por preços. Cada firma escolhe o preço de seu produto (\(p_1, p_2\)), e a quantidade vendida depende do preço relativo dos concorrentes. Dois casos são clássicos: - Bens homogêneos: Em equilíbrio, os preços tendem a ser iguais ao custo marginal (resultado conhecido como o paradoxo de Bertrand). - Bens diferenciados: Cada firma possui alguma vantagem ou diferenciação, e as funções de demanda dependem dos preços de ambas as firmas.

2.2. Passo-a-Passo para Resolver o Modelo

Hipóteses Fundamentais:

  • Decisão simultânea de preços (\(p_1, p_2\)).
  • Bens homogêneos: Consumidores compram do vendedor mais barato.
  • Sem restrição de capacidade: Firmas podem atender toda demanda.

Passo-a-Passo para Resolução:

  1. Equilíbrio de Bertrand:
    • Se \(Cmg = c\), o equilíbrio ocorre em \(p_1 = p_2 = c\).
    • Paradoxo de Bertrand: Competição em preços leva a lucro zero, mesmo com duas firmas.
  2. Casos Especiais:
    • Bens diferenciados: Demandas dependem de \(p_i\) e \(p_j\).
      • Exemplo: \(y_A = 21 - p_A + p_B\), \(y_B = 20 - 2p_B + p_A\).
      • Maximizar \(\pi_i = (p_i - Cmg_i) \cdot y_i\).

Exemplo Prático (Questão 4 da Lista):

Dados:
- Bens homogêneos, \(Cmg = c\).

Resolução:
1. Se uma firma cobrar \(p > c\), a outra pode capturar o mercado cobrando \(p - \epsilon\).
2. Equilíbrio único: \(p_1^* = p_2^* = c\).

3. Modelo de Edgeworth

3.1. Fundamentos Teóricos

O modelo de Edgeworth (1897) modifica o cenário do duopólio de Bertrand ao introduzir restrições de capacidade para as firmas. Quando as firmas não conseguem produzir toda a demanda (limite \(K\)), a competição em preços pode não levar ao preço marginal, e nem sempre há equilíbrio em estratégias puras. Essa limitação gera um ambiente onde os preços podem oscilar e o equilíbrio pode ser indeterminado.

3.2. Passo-a-Passo para Resolver o Modelo

Hipóteses Fundamentais:

  • Restrição de capacidade: Firmas têm limite máximo de produção (\(K\)).
  • Concorrência em preços: Preços podem oscilar devido à capacidade limitada.

  1. Definir a capacidade:
    Cada firma tem uma capacidade máxima \(K\).
    Por exemplo, se a demanda é dada por \(y(p) = 220 - 2p\), a produção efetiva será: \[ y_i(p_i) = \min\{220 - 2p_i, K\}. \]

  2. Construir a função de lucro:
    A função de lucro dependerá do preço relativo entre as firmas. Alguns casos são:

    • Caso 1: Se \(p_i < p_j\), a firma \(i\) capta todo o mercado, mas sua quantidade é limitada a \(K\) se \(220 - 2p_i > K\).
    • Caso 2: Se \(p_i = p_j\), as firmas dividem o mercado.
    • Caso 3: Se \(p_i > p_j\), a firma \(i\) fica com uma parcela residual (ou nenhuma, dependendo dos preços).

  3. Exemplo prático (Questão 6 dos slides):

    • Demanda: \(y(p)=220 - 2p\)
    • Capacidade: \(K = 150\)
    • Para \(p < 35\) (pois \(220 - 2p > 150\)), a firma enfrenta a restrição de capacidade, e a função lucro é: \[ \pi_i = \begin{cases} (p_i - c) \cdot 150, & \text{se } p_i < p_j \text{ e } p_i < 35,\\[1mm] (p_i - c) \cdot (220 - 2p_i), & \text{se } p_i < p_j \text{ e } p_i \geq 35,\\[1mm] \text{dividido se } p_i = p_j,\\[1mm] 0 \text{ ou resíduo, se } p_i > p_j. \end{cases} \]
    • A análise detalha como a restrição de capacidade impede que a competição reduza o preço até o custo marginal.

Essa abordagem ilustra como a restrição de capacidade altera os incentivos e pode levar a resultados diferentes dos modelos tradicionais de Bertrand.

4. Modelo de Stackelberg

4.1. Fundamentos Teóricos

No modelo de Stackelberg (1934), a competição ocorre de forma sequencial. Uma das firmas (líder) escolhe sua quantidade primeiro, e a outra (seguidora) observa essa escolha e decide sua produção em seguida. Essa assimetria gera uma vantagem para a firma líder, que pode antecipar a reação do competidor.

4.2. Passo-a-Passo para Resolver o Modelo

Hipóteses Fundamentais:

  • Liderança sequencial: Líder escolhe \(y_1\) primeiro; seguidora reage.
  • Vantagem do primeiro movimento: Líder maximiza lucro antecipando a reação da seguidora.
  1. Derivar a função de reação da seguidora:
    • Como em Cournot, a seguidora resolve: \[ \max_{y_2} \, \pi_2 = (a - b(y_1+y_2))y_2 - c \cdot y_2, \] obtendo a função \(y_2 = f(y_1)\).
  2. Substituir a função de reação na função de lucro da líder:
    • A firma líder tem: \[ \pi_1 = (a - b(y_1 + f(y_1)))y_1 - c \cdot y_1. \]
  3. Maximização pela firma líder:
    • Diferencie \(\pi_1\) em relação a \(y_1\) e resolva para encontrar \(y_1^*\).
  4. Calcular \(y_2^*\), preço e lucros:
    • Use \(y_2^* = f(y_1^*)\) para encontrar a quantidade do seguidor e, em seguida, o preço \(P^*\) e os lucros.

4.3. Exemplo Prático

Utilizando o exemplo da Questão 7 da lista: - Demanda: \(P = 1000 - 0,5(y_1 + y_2)\) - Custos: \(C_1=2y_1\) e \(C_2=2y_2\)

Etapas:

  1. Função de reação da seguidora: \[ \max_{y_2}\, \pi_2 = (1000 - 0,5(y_1 + y_2))y_2 - 2y_2. \] Ao derivar e resolver, obtém-se: \[ y_2(y_1) = 998 - \frac{1}{2}y_1. \]

  2. Função lucro da líder: Substitua \(y_2(y_1)\) em \(\pi_1\): \[ \pi_1 = \left(1000 - 0,5\left(y_1 + \left(998 - \frac{1}{2}y_1\right)\right)\right)y_1 - 2y_1. \] Maximize em relação a \(y_1\) para encontrar \(y_1^*\).

  3. Resultados encontrados (conforme os slides):

    • \(y^*_1 \approx 998\) (valor ilustrativo no exemplo dos slides)
    • \(y^*_2\) é calculado via função de reação,
    • Preço e lucros:
      \[ P^* \approx 251,5, \quad \pi_1 \approx 249.000, \quad \pi_2 \approx 124.500. \]

Esse exemplo mostra a vantagem estratégica de ser a firma líder.

5. Conluio (Cartel)

5.1. Fundamentos Teóricos

No conluio, as firmas se unem para maximizar o lucro conjunto, atuando como se fossem um monopolista. Apesar de gerar lucros maiores do que a concorrência, o conluio enfrenta o problema da tentação de trair o acordo (o dilema do prisioneiro). Em jogos repetidos, a sustentabilidade do cartel depende do fator de desconto (\(\delta\)) que reflete a importância dos lucros futuros.

5.2. Passo-a-Passo para a Análise do Conluio

Hipóteses Fundamentais:

  • Cooperação: Firmas agem como monopolista para maximizar lucro conjunto.
  • Horizonte infinito: Interações repetidas permitem sustentar o acordo.
  1. Maximizar o lucro conjunto:
    • Considere a produção total \(Y = y_1 + y_2\) e maximize: \[ \pi_{\text{total}} = \left(P(Y) - C\right) Y, \] como se fosse um monopolista.
  2. Comparação dos cenários:
    • Lucro em regime de conluio versus o lucro em regime de concorrência (por exemplo, Cournot).
  3. Cálculo do fator de desconto mínimo:
    • Para que o cartel seja sustentável, deve valer a pena cooperar do que trair. O cálculo utiliza: \[ \delta \geq \frac{\pi_{\text{traição}} - \pi_{\text{cooperação}}}{\pi_{\text{traição}} - \pi_{\text{Nash}}}. \]

5.3. Exemplo Prático

Conforme a Questão 9 dos slides: - Em cada período, sob conluio, cada firma obtém lucro de 100; se competir em Cournot, o lucro é de 50; e se trair o acordo, a firma pode obter 200 no período de trair, mas nos períodos seguintes volta à concorrência. - O equilíbrio do cartel se mantém se: \[ \frac{100}{1-\delta} \geq 200 + \frac{50\delta}{1-\delta}, \] o que leva a: \[ \delta \geq \frac{2}{3} \approx 0,67. \]

Essa análise destaca a importância do horizonte de tempo e da taxa de desconto para a estabilidade do cartel.

Conclusão e Resumo

Comparação entre Modelos

Modelo Variável Estratégica Equilíbrio Lucro
Cournot Quantidade \(y_i^* = \frac{a - c}{3b}\) \(\pi_i^* = \frac{(a - c)^2}{9b}\)
Bertrand Preço \(p_i^* = Cmg\) \(\pi_i^* = 0\)
Stackelberg Quantidade (sequencial) Líder: maior produção Líder: maior lucro
Edgeworth Preço com capacidade Oscilação de preços Depende da capacidade
Conluio Colusão Produção monopolista Lucro máximo compartilhado

Referências: - Slides de Revisão 3
- Lista de Exercícios 3 de Microeconomia II