Variables Aleatorias

Author

D. S. Fernández del Viso

Published

March 6, 2025

Variables Aleatorias

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Se usa una letra mayúscula para denotar una variable aleatoria, por ejemplo, $X$ .
Se usa una letra minúscula para denotar un valor específico de la variable aleatoria, por ejemplo, $x$ .
Por ejemplo, si $X$ es una variable aleatoria que representa el número de caras en dos lanzamientos de una moneda, entonces $X$ puede tomar los valores 0, 1 o 2.
La notación $P (X = x)$ denota la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome el valor $x$ .
La notación $P (X \leq x)$ denota la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor o igual a $x$ .

Ejemplo con Moneda

Supongamos que lanzamos una moneda dos veces. La variable aleatoria $X$ representa el número de caras en los dos lanzamientos.

El espacio muestral es ${C C, C S, S C, S S}$ , donde $C$ es cara y $S$ es sello.
La variable aleatoria $X$ puede tomar los valores 0, 1 o 2.
Por lo tanto, $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ y $P (X = 2)$ son las probabilidades de obtener 0, 1 o 2 caras en dos lanzamientos de una moneda.
Los valores serían: $P (X = 0) = 1 / 4$ , $P (X = 1) = 1 / 2$ y $P (X = 2) = 1 / 4$ .

Tipos de Variables Aleatorias

Las variables aleatorias se pueden clasificar en dos tipos: discretas y continuas.

Variables Aleatorias Discretas

Una variable aleatoria discreta es aquella que puede tomar un número finito o infinito numerable de valores.
Por ejemplo, el número de caras en dos lanzamientos de una moneda es una variable aleatoria discreta.

Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor en un intervalo de números reales.
Por ejemplo, la altura de una persona es una variable aleatoria continua.

Expectativa Matemática

La expectativa matemática de una variable aleatoria $X$ es el valor promedio ponderado de $X$ .

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta $X$ se calcula como:

$μ = E (X) = \sum x \cdot P (X = x)$

Donde:

$x$ es un valor específico de la variable aleatoria $X$ .
$P (X = x)$ es la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome el valor $x$ .

Ejemplo 1 de Expectativa con Variable Aleatoria Discreta.

Supongamos que lanzamos un dado legal. La variable aleatoria $X$ representa el número de puntos obtenidos en un lanzamiento.

La expectativa matemática de $X$ es:

$E (X) = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + 4 \cdot P (X = 4) + 5 \cdot P (X = 5) + 6 \cdot P (X = 6)$

Si el dado es legal, entonces $P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) = P (X = 5) = P (X = 6) = 1 / 6$ .
Por lo tanto, la expectativa matemática de $X$ es:

$E (X) = 1 \cdot 1 / 6 + 2 \cdot 1 / 6 + 3 \cdot 1 / 6 + 4 \cdot 1 / 6 + 5 \cdot 1 / 6 + 6 \cdot 1 / 6 = 3.5$

EJERCICIO: Calcular la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ que representa el número de caras en dos lanzamientos de una moneda.

Gráfica de la Distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta se puede representar gráficamente mediante un histograma.

En el eje $x$ se colocan los valores de la variable aleatoria.
En el eje $y$ se colocan las probabilidades de los valores de la variable aleatoria.

Gráfica del ejemplo anterior:

# Crear un vector con los valores de la variable aleatoria
x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)

# Crear un vector con las probabilidades de los valores
p <- rep(1/6, 6)

# Crear un histograma de la distribución de probabilidad
barplot(p, names.arg = x, xlab = "Valor de la Variable Aleatoria", ylab = "Probabilidad", col = "steelblue")

Figura 1. Histograma de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

EJERCICIO: Crear un histograma de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$ que representa el número de caras en dos lanzamientos de una moneda.

Ejemplo 2 de Expectativa con Variable Aleatoria Discreta

En un juego de cartas, ganas $1 si sacas un corazón, $5 si sacas un as (incluido el as de corazones), $10 si sacas el rey de espadas y nada por cualquier otra carta que saques. Escribamos el modelo de probabilidad para tus ganancias y calcula tu ganancia esperada.

Tabla 1. Cálculo de la expectativa matemática de las ganancias.

Interpretación: ¿Vale la pena jugar este juego de cartas?

Gráfica de la Distribución de Probabilidad

# Crear un vector con los valores de la variable aleatoria
x <- c(0, 1, 5, 10)
P_X <- c(35/52, 12/52, 4/52, 1/52)

# Crear un histograma de la distribución de probabilidad con el eje x de 0 a 10 con ggplot2
library(ggplot2)
data <- data.frame(x = x, P_X = P_X)
ggplot(data, aes(x = x, y = P_X)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "lightblue") +
  labs(x = "Ganancias", y = "Probabilidad") +
  theme_minimal()

Figura 2. Histograma de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, para ganancia según el juego de cartas.

Aplicación a Genética

Calcular la expectativa matemática del número de fenotipos con características dominantes en la descendencia de un cruce de dos individuos heterocigotos para un gen con dos alelos.

Escenario:

El gen A tiene dos alelos:
- A (dominante) y a (recesivo).
Posibles genotipos:
- AA: Homocigoto dominante.
- Aa: Heterocigoto.
- aa: Homocigoto recesivo.
Fenotipos:
- A_ (fenotipo dominante): Incluye tanto AA como Aa.
- aa (fenotipo recesivo).

Definición de la Variable Aleatoria:

Sea la variable aleatoria ( X ), que representa la presencia del fenotipo dominante: - ( X = 1 ): El individuo tiene el fenotipo dominante (A_). - ( X = 0 ): El individuo tiene el fenotipo recesivo (aa).

Frecuencias Alélicas:

Frecuencia de A = ( p ).
Frecuencia de a = ( q = 1 - p ).

Usando el principio de Hardy-Weinberg, las frecuencias genotípicas en la población son: 1. ( P(AA) = p^2 ) (homocigoto dominante), 2. ( P(Aa) = 2pq ) (heterocigoto), 3. ( P(aa) = q^2 ) (homocigoto recesivo).

Las probabilidades de ( X ) son: 1. ( P(X = 1) = P(A_) = P(AA) + P(Aa) = p^2 + 2pq ), 2. ( P(X = 0) = P(aa) = q^2 ).

Esperanza de ( X ):

La esperanza ( E(X) ) se calcula como: [ E(X) = _{x=0}^1 x P(X = x). ]

Sustituyendo las probabilidades: [ E(X) = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1), ] [ E(X) = P(X = 1). ]

Por lo tanto: [ E(X) = P(A_) = p^2 + 2pq. ]

Ejemplo Numérico:

Supongamos: - Frecuencia de A (( p )) = 0.6, - Frecuencia de a (( q )) = 1 - 0.6 = 0.4.

Paso 1: Calcular las Frecuencias Genotípicas

Usando el principio de Hardy-Weinberg: 1. ( P(AA) = p^2 = (0.6)^2 = 0.36 ), 2. ( P(Aa) = 2pq = 2(0.6)(0.4) = 0.48 ), 3. ( P(aa) = q^2 = (0.4)^2 = 0.16 ).

Paso 2: Calcular ( P(X = 1) )

[ P(X = 1) = P(A_) = P(AA) + P(Aa) = 0.36 + 0.48 = 0.84. ]

Paso 3: Calcular ( E(X) )

La esperanza es: [ E(X) = P(X = 1) = 0.84. ]

Interpretación:

El valor esperado ( E(X) = 0.84 ) significa que, en promedio, el 84% de los individuos en la población expresarán el fenotipo dominante. Este resultado depende de las frecuencias alélicas ( p ) y ( q ), y puede cambiar si estas frecuencias son diferentes.