O risco de crédito refere-se à possibilidade de um emissor de dívida não cumprir suas obrigações. Há duas abordagens principais para modelá-lo:
Os modelos estruturais partem da ideia de que a falência de uma empresa ocorre quando o valor de seus ativos cai abaixo de um determinado limite (geralmente o valor da dívida). Eles são inspirados na teoria das opções e foram iniciados com o Modelo de Merton (1974).
Merton propôs modelar os ativos de uma empresa (\(V_A\)) como um movimento Browniano geométrico:
\[ dV_A = \mu V_A dt + \sigma V_A dW_t \]
onde: - \(\mu\) = taxa de retorno esperada dos ativos - \(\sigma\) = volatilidade dos ativos - \(W_t\) = movimento Browniano padrão
A falência ocorre quando, no vencimento \(T\), os ativos da empresa são menores do que sua dívida (\(D\)):
\[ V_A(T) < D \]
A dívida da empresa pode ser vista como um derivativo dos ativos, onde: - A ação é uma opção de compra (call option) sobre os ativos da empresa, com strike igual à dívida (\(D\)). - Os credores recebem os ativos da empresa, caso \(V_A(T) \geq D\), ou sofrem default caso \(V_A(T) < D\).
A fórmula de precificação da dívida segue o modelo de Black-Scholes:
\[ V_D = V_A N(-d_1) + D e^{-rT} N(-d_2) \]
onde:
\[ d_1 = \frac{\ln(V_A / D) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]
onde \(N(\cdot)\) é a função de distribuição normal acumulada.
Os modelos de forma reduzida evitam modelar a estrutura de capital da empresa e assumem que a falência ocorre de acordo com um processo estocástico exógeno, governado por uma taxa de intensidade (hazard rate).
A falência é modelada como um processo de Poisson com intensidade \(\lambda_t\), que governa a probabilidade instantânea de default:
\[ P(\text{default em } [t, t+dt]) = \lambda_t dt \]
onde \(\lambda_t\) pode ser: - Constante (\(\lambda\)) → Modelo de Jarrow-Turnbull (1995) - Estocástica (\(d\lambda_t = \alpha dt + \beta dW_t\)) → Modelos mais sofisticados (Duffie-Singleton, Lando)
Se um título de dívida paga fluxo \(C\) e tem probabilidade de default \(\lambda_t\), seu preço é dado por:
\[ P(t) = \mathbb{E} \left[ e^{-\int_t^T (r_s + \lambda_s) ds} C \right] \]
onde: - \(r_s\) é a taxa livre de risco. - \(\lambda_s\) representa o risco de crédito.
Se houver default, o investidor recebe uma taxa de recuperação \(R\), e o preço reflete essa recuperação esperada:
\[ P(t) = \mathbb{E} \left[ e^{-\int_t^T r_s ds} C \right] + (1 - R) \mathbb{E} \left[ e^{-\int_t^\tau (r_s + \lambda_s) ds} \right] \]
onde \(\tau\) é o tempo de default.
| Critério | Modelos.Estruturais | Modelos.de.Forma.Reduzida |
|---|---|---|
| Origem do Default | Ocorre quando V_A < D | Modelado como um processo exógeno (lambda_t) |
| Fundamentação Econômica | Baseado no balanço da empresa | Baseado em dados de mercado |
| Parâmetros Principais | Valor dos ativos, volatilidade, dívida | Taxa de default (lambda_t), recuperação |
| Facilidade de Estimação | Difícil, requer estimativa do valor dos ativos | Fácil, calibração com preços de mercado |
| Previsão de Eventos de Default | Antecipável pela deterioração dos ativos | Pode ocorrer de forma inesperada |
| Adequação ao Mercado | Melhora previsões de longo prazo | Melhor para precificação de curto prazo |
| Exemplo de Modelo | Merton (1974), Black-Cox (1976) | Jarrow-Turnbull (1995), Duffie-Singleton (1999) |
A escolha entre os dois depende do objetivo: se o foco é prever o risco de falência com base em fundamentos econômicos, modelos estruturais são preferíveis. Se a intenção é precificar derivativos e capturar mudanças rápidas nos spreads de crédito, modelos de forma reduzida são mais adequados.