Introdução

Um processo de Lévy é um processo estocástico que generaliza o movimento browniano permitindo a presença de saltos descontínuos. Ele é caracterizado por três propriedades fundamentais:

  1. Incrementos independentes
  2. Incrementos estacionários
  3. Continuidade estocástica

Essas propriedades tornam os processos de Lévy essenciais na modelagem de fenômenos do mundo real, especialmente em finanças, onde os preços de ativos podem sofrer saltos súbitos.

Representação de Lévy-Khintchine

Um dos principais resultados da teoria dos processos de Lévy é a representação de Lévy-Khintchine, que caracteriza a função característica de um processo de Lévy.

Função Característica

A função característica de um processo \(L_t\) é dada por:

\[ \varphi(u) = \mathbb{E}[e^{iu L_t}] \]

Para um processo com incrementos independentes e estacionários, assume a forma exponencial:

\[ \varphi_t(u) = e^{t \psi(u)} \]

onde \(\psi(u)\) é o expoente característico.

Movimento Browniano

Se \(B_t \sim N(0, t)\), então:

\[ \mathbb{E}[e^{iu B_t}] = e^{-\frac{1}{2} u^2 t} \]

Adicionando uma volatilidade \(\sigma\), tal que \(L_t = \sigma B_t\), a função característica se torna:

\[ \mathbb{E}[e^{iu L_t}] = e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 u^2 t} \]

Com Adição de Deriva

Se adicionarmos um termo de deriva \(\mu\), então \(L_t = \mu t + \sigma B_t\), e obtemos:

\[ \mathbb{E}[e^{iu L_t}] = e^{iu \mu t} e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 u^2 t} \]

O expoente característico correspondente é:

\[ \psi(u) = i \mu u - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 \]

Introdução de Saltos

Saltos são modelados por uma medida de Lévy \(\nu(dx)\), que descreve a intensidade e distribuição dos saltos. Isso modifica a função característica para:

\[ \psi(u) = i \mu u - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 + \int (e^{iux} - 1 - iux \mathbf{1}_{(|x| \leq 1)}) \nu(dx) \]

Essa integral representa a expectativa acumulada de saltos no processo.

Simulação em R

Podemos simular um processo de Lévy simples em R utilizando pacotes como sde e stabledist.

Movimento Browniano com Deriva

set.seed(123)
t <- seq(0, 1, length.out = 100)
mu <- 0.1
sigma <- 0.2
B_t <- cumsum(rnorm(length(t), mean = 0, sd = sqrt(diff(c(0, t)))))
L_t <- mu * t + sigma * B_t

plot(t, L_t, type = "l", col = "blue", main = "Movimento Browniano com Deriva", ylab = "L_t", xlab = "Tempo")

Processo de Lévy com Saltos (Distribuição de Poisson)

#install.packages("stabledist")

library(stabledist)
## Warning: pacote 'stabledist' foi compilado no R versão 4.4.3
lambda <- 5  # Taxa de saltos
jumps <- rpois(length(t), lambda = lambda / length(t)) * rnorm(length(t), mean = 0, sd = 1)
L_t_jumps <- L_t + cumsum(jumps)

plot(t, L_t_jumps, type = "l", col = "red", 
     main = iconv("Processo de Levy com Saltos", from = "latin1", to = "UTF-8"),
     ylab = "L_t", xlab = "Tempo")

Conclusão

Os processos de Lévy fornecem um arcabouço matemático robusto para modelar dinâmicas estocásticas com saltos e volatilidade contínua, sendo amplamente utilizados em finanças, física e teoria das filas. Utilizando R, conseguimos simular esses processos para entender melhor sua evolução temporal.