MArcela Guadalupe Hernández
2025/03/02

#Creación de Matrices Matriz Y

matriz_y <- matrix(data = c(30, 20, 36, 24, 40), 
        nrow = 5,
        ncol = 1,byrow = TRUE)
                  
colnames(matriz_y)<-c("y")
print(matriz_y)
##       y
## [1,] 30
## [2,] 20
## [3,] 36
## [4,] 24
## [5,] 40

Matriz X

matriz_x <- cbind(rep(1,5),matrix(data = c(4,10,3,8,6,11,4,9,8,12),nrow = 5,ncol = 2,byrow = TRUE))
colnames(matriz_x)<-c("Cte","x1","x2")
print(matriz_x)
##      Cte x1 x2
## [1,]   1  4 10
## [2,]   1  3  8
## [3,]   1  6 11
## [4,]   1  4  9
## [5,]   1  8 12

Importación de Datos Archivo de Excel

Calculo el Producto de Matrices Cálculo de (xx) (Sigma matriz)

matriz_xx<-t(matriz_x)%*%matriz_x
print(matriz_xx)
##     Cte  x1  x2
## Cte   5  25  50
## x1   25 141 262
## x2   50 262 510
sigma_matriz<- function(matriz)(t(matriz)%*%matriz)
matriz_xx2<-sigma_matriz(matriz_x)
print(matriz_xx2)
##     Cte  x1  x2
## Cte   5  25  50
## x1   25 141 262
## x2   50 262 510

#La siguiente operación obtiene la matriz (XY)

matriz_xy <- t(matriz_x) %*% matriz_y
print(matriz_xy)
##        y
## Cte  150
## x1   812
## x2  1552

#Calculando la inversa de matrices -> (x′x)^(-1)

xx_inv<-solve(matriz_xx)
print(xx_inv)
##        Cte     x1    x2
## Cte 40.825  4.375 -6.25
## x1   4.375  0.625 -0.75
## x2  -6.250 -0.750  1.00

#Obtención del Estimador MCO βˆ: ##Puede obtenerse a través del producto de la inversa de X’X, con la matriz X’Y: β=(X′X)(−1) * X′Y

Beta_<-solve(a = matriz_xx,b = matriz_xy)
colnames(Beta_)<-c("parámetros")
print(Beta_)
##     parámetros
## Cte     -23.75
## x1       -0.25
## x2        5.50

También puede obtenerse a través de la solución de las ecuaciones normales, usando el comando solve

Beta_<-solve(a = matriz_xx,b = matriz_xy)
colnames(Beta_)<-c("parámetros")
print(Beta_)
##     parámetros
## Cte     -23.75
## x1       -0.25
## x2        5.50

#obtención de autovalores y autovectores #Los autovalores se definen como las raices “λ”, de la siguiente ecuación polinómica: |C−λ∗I|=0, donde C es una matriz cuadrada!Se usará el comando eigen()

autovalores<-eigen(matriz_xx)
print(autovalores)
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 650.78185037   5.19448432   0.02366531
## 
## $vectors
##             [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.08623239  0.1629390  0.9828606
## [2,] -0.45874789 -0.8822205  0.1060061
## [3,] -0.88437229  0.4417441 -0.1508239

#Muestra sólo los autovalores

autovalores<-eigen(matriz_xx)
print(autovalores$values)
## [1] 650.78185037   5.19448432   0.02366531

Ejercicios práctica 1

library(readr)
## Warning: package 'readr' was built under R version 4.4.3
practica_1 <- read_csv("C:/Users/HP/Downloads/practica_1.csv")
## Rows: 5 Columns: 3
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## dbl (3): Y, X1, X2
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.
head(practica_1)
## # A tibble: 5 × 3
##       Y    X1    X2
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    30     4    10
## 2    20     3     8
## 3    36     6    11
## 4    24     4     9
## 5    40     8    12

#crear la matriz

matrizprincipal <- matrix(c(90, 1, 0,
                  100, 2, 0,
                  110, 3, 0,
                  135, 4, 1,
                  145, 5, 1,
                  165, 6, 1), 
                nrow = 6, ncol = 3, byrow = TRUE)
colnames(matrizprincipal)<-c("Y","X1","X2")
print(matrizprincipal)
##        Y X1 X2
## [1,]  90  1  0
## [2,] 100  2  0
## [3,] 110  3  0
## [4,] 135  4  1
## [5,] 145  5  1
## [6,] 165  6  1

#Matriz y

matrizdey <- matrix(c(90,
                  100,
                  110,
                  135,
                  145,
                  165), 
                nrow = 6, ncol = 1, byrow = TRUE)
colnames(matrizdey)<-c("Y")
print(matrizdey)
##        Y
## [1,]  90
## [2,] 100
## [3,] 110
## [4,] 135
## [5,] 145
## [6,] 165

Matriz X

matrizdex <- cbind(rep(1,6),matrix(data = c(1,0,2,0,3,0,4,1,5,1,6,1),nrow = 6,ncol = 2,byrow = TRUE))
colnames(matrizdex)<-c("Cte","x1","x2")
print(matrizdex)
##      Cte x1 x2
## [1,]   1  1  0
## [2,]   1  2  0
## [3,]   1  3  0
## [4,]   1  4  1
## [5,]   1  5  1
## [6,]   1  6  1

#Matriz transpuesta de X

transpuesta_x<-t(matrizdex)
print(transpuesta_x)
##     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## Cte    1    1    1    1    1    1
## x1     1    2    3    4    5    6
## x2     0    0    0    1    1    1
  1. Calcule el producto escalar de la primera y segunda columnas de X
# Extraer las columnas X1 y X2
X1 <- matrizprincipal[, "X1"]
X2 <- matrizprincipal[, "X2"]
producto_escalar <- sum(X1 * X2)
print(producto_escalar)
## [1] 15
  1. Calcule X′X y X′Y ##Cálculo de X′X
matrizdexx<-t(matrizdex)%*%matrizdex
print(matrizdexx)
##     Cte x1 x2
## Cte   6 21  3
## x1   21 91 15
## x2    3 15  3

##Cálculo de X′X

matrizdexx<-t(matrizdex)%*%matrizdex
print(matrizdexx)
##     Cte x1 x2
## Cte   6 21  3
## x1   21 91 15
## x2    3 15  3

##Cálculo de X′Y

matrizdexy<-t(matrizdex)%*%matrizdey
print(matrizdexy)
##        Y
## Cte  745
## x1  2875
## x2   445
  1. Obtenga la inversa de X′X
xx_inversa<-solve(matrizdexx)
print(xx_inversa)
##           Cte    x1        x2
## Cte  1.333333 -0.50  1.166667
## x1  -0.500000  0.25 -0.750000
## x2   1.166667 -0.75  2.916667
  1. Calcule el producto de [X′X]^(−1) y X′Y
b_eta<-xx_inversa%*%matrizdexy
colnames(b_eta)<-c("parámetros")
print(b_eta)
##     parámetros
## Cte   75.00000
## x1    12.50000
## x2    10.83333

También puede obtenerse a través de la solución de las ecuaciones normales, usando el comando solve

Beta__<-solve(a = matrizdexx,b = matrizdexy)
colnames(Beta__)<-c("parámetros")
print(Beta__)
##     parámetros
## Cte   75.00000
## x1    12.50000
## x2    10.83333
  1. Calcule la matriz de proyeccción P compruebe que P es una matriz idempotente. #Calcular la matriz de proyección P=X(X′X)^(-1)X′
P<-matrizdex%*%xx_inversa%*%transpuesta_x
P_redondeada <- round(P, digits = 6)
print(P_redondeada)
##           [,1]     [,2]      [,3]      [,4]     [,5]      [,6]
## [1,]  0.583333 0.333333  0.083333  0.250000 0.000000 -0.250000
## [2,]  0.333333 0.333333  0.333333  0.000000 0.000000  0.000000
## [3,]  0.083333 0.333333  0.583333 -0.250000 0.000000  0.250000
## [4,]  0.250000 0.000000 -0.250000  0.583333 0.333333  0.083333
## [5,]  0.000000 0.000000  0.000000  0.333333 0.333333  0.333333
## [6,] -0.250000 0.000000  0.250000  0.083333 0.333333  0.583333
# Verificar simetría (P = P')
simetria <- all.equal(P_redondeada, t(P_redondeada))
print(simetria)
## [1] TRUE
# Verificar idempotencia (P %*% P = P)
idempotencia <- all.equal(P_redondeada, P_redondeada %*% P_redondeada)
print(idempotencia)
## [1] "Mean relative difference: 1e-06"
  1. Calcule la proyección de y sobre x, y^=PY
Y_hat <- P %*% matrizdey
Y_hat_redondeada <- round(Y_hat, digits = 2)
print(Y_hat_redondeada)
##           Y
## [1,]  87.50
## [2,] 100.00
## [3,] 112.50
## [4,] 135.83
## [5,] 148.33
## [6,] 160.83
  1. Calcule la diferencia entre Y e Y^ Cálculo de los residuos:
residuos <- matrizdey - Y_hat
residuos_redondeada <- round(residuos, digits = 2)
print(residuos_redondeada)
##          Y
## [1,]  2.50
## [2,]  0.00
## [3,] -2.50
## [4,] -0.83
## [5,] -3.33
## [6,]  4.17
# Crear vectores con los datos
Y_observado <- c(90, 100, 110, 135, 145, 165)
Y_predicho <- c(87.50, 100.00, 112.50, 135.83, 148.33, 160.83)
Residuos <- c(2.50, 0.00, -2.50, -0.83, -3.33, 4.17)

# Crear un data.frame con los datos
tabla_residuos <- data.frame(
  Fila = 1:6,
  Y_Observado = Y_observado,
  Y_Predicho = Y_predicho,
  Residuo = Residuos)

# Mostrar la tabla
print(tabla_residuos)
##   Fila Y_Observado Y_Predicho Residuo
## 1    1          90      87.50    2.50
## 2    2         100     100.00    0.00
## 3    3         110     112.50   -2.50
## 4    4         135     135.83   -0.83
## 5    5         145     148.33   -3.33
## 6    6         165     160.83    4.17
  1. Obtenga los autovalores de la matriz X′X, ¿Son todos positivos? ¿Porqué?
autovaloress<-eigen(matrizdexx)
print(autovaloress)
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 98.356654  1.377669  0.265677
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.2238107  0.8591615  0.4601633
## [2,] -0.9616881 -0.1179798 -0.2474608
## [3,] -0.1583188 -0.4979179  0.8526505

#Muestra sólo los autovalores

autovaloress<-eigen(matrizdexx)
print(autovaloress$values)
## [1] 98.356654  1.377669  0.265677
todos_positivos <- all(autovaloress$values > 0)
print(todos_positivos)
## [1] TRUE

Los autovalores son todos positivos. Esto confirma que X′X es una matriz definida positiva.

  1. Obtenga los autovalores de la matriz P. Compruebe que la traza de P es igual a la suma de sus autovalores
# Calcular autovalores de P
autovalores_P <- eigen(P)$values
autovalores_P_redondeada <- round(autovalores_P, digits = 1)
print(autovalores_P_redondeada)
## [1] 1 1 1 0 0 0
# Calcular la traza de P
traza_P <- sum(diag(P))
print(traza_P)
## [1] 3
#Sumar los autovalores de P
suma_autovalores_P <- sum(autovalores_P)
print(suma_autovalores_P)
## [1] 3
# Verificar si la traza de P es igual a la suma de sus autovalores
traza_igual_suma <- all.equal(traza_P, suma_autovalores_P)
print(traza_igual_suma)
## [1] TRUE
  1. Obtenga los autovalores de la matriz I−P y I+P Calcular la matriz identidad I
# Crear la matriz identidad I del mismo tamaño que P
I <- diag(nrow(P))
print(I)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]    1    0    0    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0    0    0
## [3,]    0    0    1    0    0    0
## [4,]    0    0    0    1    0    0
## [5,]    0    0    0    0    1    0
## [6,]    0    0    0    0    0    1
  1. Calcular las matrices I−P y I+P
# Calcular I - P
I_menos_P <- I - P

# Calcular I + P
I_mas_P <- I + P

# Mostrar las matrices redondeadas a 2 decimales
print(round(I_menos_P, digits = 2))
##       [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6]
## [1,]  0.42 -0.33 -0.08 -0.25  0.00  0.25
## [2,] -0.33  0.67 -0.33  0.00  0.00  0.00
## [3,] -0.08 -0.33  0.42  0.25  0.00 -0.25
## [4,] -0.25  0.00  0.25  0.42 -0.33 -0.08
## [5,]  0.00  0.00  0.00 -0.33  0.67 -0.33
## [6,]  0.25  0.00 -0.25 -0.08 -0.33  0.42
print(round(I_mas_P, digits = 2))
##       [,1] [,2]  [,3]  [,4] [,5]  [,6]
## [1,]  1.58 0.33  0.08  0.25 0.00 -0.25
## [2,]  0.33 1.33  0.33  0.00 0.00  0.00
## [3,]  0.08 0.33  1.58 -0.25 0.00  0.25
## [4,]  0.25 0.00 -0.25  1.58 0.33  0.08
## [5,]  0.00 0.00  0.00  0.33 1.33  0.33
## [6,] -0.25 0.00  0.25  0.08 0.33  1.58

3.Obtener los autovalores de I−P y I+P:

# Calcular autovalores de I - P
autovalores_I_menos_P <- eigen(I_menos_P)$values

# Calcular autovalores de I + P
autovalores_I_mas_P <- eigen(I_mas_P)$values

# Redondear los autovalores a 2 decimales
autovalores_I_menos_P_redondeados <- round(autovalores_I_menos_P, digits = 2)
autovalores_I_mas_P_redondeados <- round(autovalores_I_mas_P, digits = 2)

# Mostrar los autovalores redondeados
print(autovalores_I_menos_P_redondeados)
## [1] 1 1 1 0 0 0
print(autovalores_I_mas_P_redondeados)
## [1] 2 2 2 1 1 1