NOMOR 1

Formula yang akan digunakan: \[ n|q_x = q_x + (1 - q_x) q_{x+1} + (1 - q_x)(1 - q_{x+1}) q_{x+2} + \dots + (1 - q_x)(1 - q_{x+1}) \dots (1 - q_{x+n-1}) q_{x+n} \]

Untuk menyelesaikan kasus di atas maka kita akan mencari \[2|q_{x+2} = q_{x+1} + (1-q_{x+1})q_{x+2}\]

# Diketahui
q_x1 <- 0.095  # 1|q_{x+1}
q_x2 <- 0.171  # 2|q_{x+1}

# Menghitung q_{x+2} 
q_x2 <- (q_x2 - q_x1) / (1 - q_x1)

# Menghitung q_{x+1} + q_{x+2}
result <- q_x1 + q_x2

# Hasil
cat("q_{x+1} + q_{x+2} =", result, "\n")
## q_{x+1} + q_{x+2} = 0.1789779

 

NOMOR 2

Formula yang akan digunakan:

formula_1:

\[f_x(x) = \frac{d}{dx} F_x(x) = \frac{d}{dx}(1-s(x)) = -s'(x)\]

formula_2: \[\mu(x)= \frac{-s'(x)}{s(x)}\]

formula_3: \[F_x(x)=\int_{0}^{x}f_x(y)\,dy\]

Sub nomor (i)

# import library
library(pracma)
## Warning: package 'pracma' was built under R version 4.4.3
# Fungsi survival s(x)
s_x <- function(x) { -cos(x) }

# PDF f_X(x) = -s'(x)
f_x <- function(x) { -sin(x) }

# Laju kematian mu(x)
mu_x <- function(x) { tan(x) }

# CDF F_X(x)
F_x <- function(x) { cos(x) - 1 }

# Evaluasi di beberapa nilai berbeda
x_values <- seq(0, pi, length.out = 5)  # Sample points from 0 to π

# Dataframe (yang isinya hasil evaluasi nilai)
results <- data.frame(
  x = x_values,
  s_x = s_x(x_values),
  f_x = f_x(x_values),
  mu_x = mu_x(x_values),
  F_x = F_x(x_values)
)

knitr::kable(results, caption = "Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)")
Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)
x s_x f_x mu_x F_x
0.0000000 -1.0000000 0.0000000 0.000000e+00 0.0000000
0.7853982 -0.7071068 -0.7071068 1.000000e+00 -0.2928932
1.5707963 0.0000000 -1.0000000 1.633124e+16 -1.0000000
2.3561945 0.7071068 -0.7071068 -1.000000e+00 -1.7071068
3.1415927 1.0000000 0.0000000 0.000000e+00 -2.0000000

Sub nomor (ii)

# import library
library(pracma)

# Fungsi survival s(x)
s_x <- function(x) { exp(-x) }

# PDF f_X(x) = -s'(x)
f_x <- function(x) { exp(-x) }

# Laju kematian mu(x)
mu_x <- function(x) { 1 }

# CDF F_X(x)
F_x <- function(x) { 1 - exp(-x) }

# Evaluasi di beberapa nilai berbeda
x_values <- seq(0, 5, length.out = 5)  # Sample points from 0 to 5

# Dataframe (yang isinya hasil evaluasi nilai)
results <- data.frame(
  x = x_values,
  s_x = s_x(x_values),
  f_x = f_x(x_values),
  mu_x = mu_x(x_values),
  F_x = F_x(x_values)
)

knitr::kable(results, caption = "Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)")
Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)
x s_x f_x mu_x F_x
0.00 1.0000000 1.0000000 1 0.0000000
1.25 0.2865048 0.2865048 1 0.7134952
2.50 0.0820850 0.0820850 1 0.9179150
3.75 0.0235177 0.0235177 1 0.9764823
5.00 0.0067379 0.0067379 1 0.9932621

Sub nomor (iii)

# import library
library(pracma)

# Fungsi survival s(x)
s_x <- function(x) { 1 / (1 + x) }

# PDF f_X(x) = -s'(x)
f_x <- function(x) { 1 / (1 + x)^2 }

# Laju kematian mu(x)
mu_x <- function(x) { 1 / (1 + x) }

# CDF F_X(x)
F_x <- function(x) { 1 - (1 / (1 + x)) }

# Evaluasi di beberapa nilai berbeda
x_values <- seq(0, 5, length.out = 5)  # Sample points from 0 to 5

# Dataframe (yang isinya hasil evaluasi nilai)
results <- data.frame(
  x = x_values,
  s_x = s_x(x_values),
  f_x = f_x(x_values),
  mu_x = mu_x(x_values),
  F_x = F_x(x_values)
)

knitr::kable(results, caption = "Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)")
Hasil untuk f_x(x), F_x(x), dan μ(x)
x s_x f_x mu_x F_x
0.00 1.0000000 1.0000000 1.0000000 0.0000000
1.25 0.4444444 0.1975309 0.4444444 0.5555556
2.50 0.2857143 0.0816327 0.2857143 0.7142857
3.75 0.2105263 0.0443213 0.2105263 0.7894737
5.00 0.1666667 0.0277778 0.1666667 0.8333333

 

NOMOR 3

Formula yang akan kita gunakan adalah:

formula_1: \[ {}_t p_x = e^{-\int_0^t \mu(x+y) \, dy} \]

formula_2: \[ {}_t q_x = 1 - {}_t p_x \]

formula_3: \[ {}_s|_t q_x = {}_s p_x \cdot {}_t q_{x+s} \]

# library 
library(pracma)
library(knitr)

# Fungsi laju kematian mu(x), dibuat vektorized
mu_x <- Vectorize(function(x) { 0.01 })  # Laju kematian tetap

# Fungsi probabilitas bertahan p_x
p_x <- function(x, t) {
  exp(-integral(mu_x, x, x + t))  
}

# Fungsi probabilitas kematian q_x
q_x <- function(x, t) {
  1 - p_x(x, t)
}

# Menghitung probabilitas kematian tertunda 2|2q20
q_2_2_20 <- p_x(20, 2) * q_x(22, 2)

# Menampilkan hasil dalam tabel
result <- data.frame(
  `4p20` = p_x(20, 2),
  `2q22` = q_x(22, 2),
  `2|2q20` = q_2_2_20
)

kable(result, caption = "Hasil perhitungan untuk 2|2q20")
Hasil perhitungan untuk 2|2q20
X4p20 X2q22 X2.2q20
0.9801987 0.0198013 0.0194092

 

NOMOR 4

Untuk menyelesaikan persoalan ini kita akan menggunakan formula sebagai berikut:

\[ \overset{\circ}{e}_{x:t} = t - \frac{t (q_x + q_{x+t})}{2 (1 - t q_x)} \]

formula di atas adalah formula yang berdasarkan pada pendekatan fractional expected future lifetime dengan interpolasi linear, dan asumsi bahwa kematian berdistribusi seragam (uniform)

# Diketahui
t <- 1.5  # Interval waktu
q_x <- 0.020  # Nilai q_x
q_x_t <- 0.022  # Nilai q_{x+t}

# Hitung fractional expected future lifetime
e_x_t <- t - (t * (q_x + q_x_t)) / (2 * (1 - t * q_x))

# Tampilkan hasil
cat("Nilai e_x_t adalah", round(e_x_t, 4), "\n")
## Nilai e_x_t adalah 1.4675