Introduction Générale
Contexte
La régression logistique ordinale est une extension de la régression logistique binaire qui permet d’analyser des variables dépendantes catégorielles ordonnées ayant plus de deux niveaux. Dans notre étude, nous l’appliquons à l’analyse de la perception environnementale des véhicules électriques, un sujet d’actualité crucial dans le contexte de la transition écologique.
1 Les principales caractéristiques sont :
- Variable dépendante ordinale (catégories ordonnées)
- Variables indépendantes continues ou catégorielles
- Pas de condition de normalité des variables
- Hypothèse des odds proportionnels
Objectifs de l’étude
- Comprendre les facteurs influençant la perception environnementale des véhicules électriques
- Quantifier l’impact de chaque facteur
- Prédire les perceptions en fonction des caractéristiques du véhicule
Fondements Théoriques
La Régression Logistique Ordinale
Principe
La régression logistique ordinale modélise la probabilité cumulée d’appartenir à une catégorie donnée ou à une catégorie inférieure. Pour une variable dépendante à K catégories ordonnées, le modèle estime (K-1) équations simultanément.
Formulation mathématique
Pour une variable dépendante Y avec K catégories ordonnées (1, …, K), le modèle s’écrit :
\(logit[P(Y \leq k|x)] = \alpha_k - (\beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_px_p)\)
où : - \(P(Y \leq k|x)\) est la probabilité cumulée jusqu’à la catégorie k - \(\alpha_k\) sont les intercepts pour chaque catégorie k - \(\beta_i\) sont les coefficients des variables explicatives - \(x_i\) sont les variables explicatives
Hypothèse des odds proportionnels
Une hypothèse fondamentale est que l’effet des variables explicatives est constant à travers les différents niveaux de la variable dépendante. Cette hypothèse implique que les coefficients \(\beta\) sont les mêmes pour toutes les catégories.
2. Application : Impact Environnemental des Véhicules Électriques
2.1 Préparation des données
# Création des données
set.seed(123)
n <- 500
donnees <- data.frame(
prix = rnorm(n, mean = 45, sd = 10),
autonomie = rnorm(n, mean = 4, sd = 0.8),
temps_recharge = rlnorm(n, log(1), 0.3),
empreinte_production = rnorm(n, mean = 7, sd = 1),
disponibilite_bornes = runif(n, 2, 9),
age = rnorm(n, mean = 45, sd = 12)
)
# Score latent avec des coefficients plus forts
score_latent <- with(donnees, {
-0.8 * scale(prix) + # Plus fort effet négatif du prix
0.9 * scale(autonomie) + # Plus fort effet positif de l'autonomie
-0.6 * scale(temps_recharge) + # Plus fort effet négatif du temps
-0.8 * scale(empreinte_production) + # Plus fort effet négatif de l'empreinte
0.6 * scale(disponibilite_bornes) + # Plus fort effet positif des bornes
-0.4 * scale(age) + # Plus fort effet de l'âge
rnorm(n, 0, 0.6) # Moins de bruit aléatoire
})
# Seuils plus équilibrés
seuils <- c(-Inf, -1.0, -0.3, 0.3, 1.0, Inf)
donnees$impact_percu <- cut(score_latent,
breaks = seuils,
labels = c("Très négatif", "Plutôt négatif", "Neutre",
"Plutôt positif", "Très positif"),
ordered = TRUE)2.2 Analyse descriptive
# Distribution de l'impact perçu
barplot(table(donnees$impact_percu),
main = "Distribution de l'impact environnemental perçu",
col = "lightblue")
# Boxplot du prix selon l'impact
boxplot(prix ~ impact_percu, data = donnees,
main = "Prix selon l'impact perçu",
xlab = "Impact perçu",
ylab = "Prix (k€)")
2.3 Modélisation
# Standardisation des variables
donnees_std <- donnees %>%
mutate(across(
c(prix, autonomie, temps_recharge, empreinte_production,
disponibilite_bornes, age),
scale
))
# Assurer que impact_percu est un facteur ordonné
donnees_std$impact_percu <- factor(donnees_std$impact_percu,
levels = c("Très négatif", "Plutôt négatif",
"Neutre", "Plutôt positif", "Très positif"),
ordered = TRUE)
# Ajustement du modèle
modele <- polr(impact_percu ~ prix + autonomie + temps_recharge +
empreinte_production + disponibilite_bornes + age,
data = donnees_std, method = "logistic")
# Résumé du modèle
summary(modele)##
## Réajustement pour obtenir le Hessien## Call:
## polr(formula = impact_percu ~ prix + autonomie + temps_recharge +
## empreinte_production + disponibilite_bornes + age, data = donnees_std,
## method = "logistic")
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value
## prix -2.347 0.1672 -14.04
## autonomie 2.867 0.1887 15.19
## temps_recharge -1.799 0.1482 -12.14
## empreinte_production -2.376 0.1661 -14.31
## disponibilite_bornes 1.886 0.1467 12.85
## age -1.377 0.1321 -10.42
##
## Intercepts:
## Value Std. Error t value
## Très négatif|Plutôt négatif -3.2294 0.2309 -13.9882
## Plutôt négatif|Neutre -0.8807 0.1640 -5.3705
## Neutre|Plutôt positif 0.8520 0.1650 5.1629
## Plutôt positif|Très positif 2.9561 0.2239 13.2022
##
## Residual Deviance: 758.3983
## AIC: 778.39832.4 Analyse des Odds Ratios
# Récupération des coefficients (sans les seuils)
coef_vars <- coef(modele)[1:6] # Uniquement les coefficients des variables
se_vars <- sqrt(diag(vcov(modele)))[1:6] # Leurs erreurs standards##
## Réajustement pour obtenir le Hessien# Création du tableau des résultats
resultats <- data.frame(
Variable = names(coef_vars),
Coefficient = coef_vars,
Std.Error = se_vars,
Odds_Ratio = exp(coef_vars),
OR_lower = exp(coef_vars - 1.96 * se_vars),
OR_upper = exp(coef_vars + 1.96 * se_vars)
)
# Affichage des résultats
print(resultats)## Variable Coefficient Std.Error Odds_Ratio
## prix prix -2.347269 0.1671748 0.09562992
## autonomie autonomie 2.866846 0.1886820 17.58148004
## temps_recharge temps_recharge -1.799431 0.1482106 0.16539298
## empreinte_production empreinte_production -2.376268 0.1660697 0.09289666
## disponibilite_bornes disponibilite_bornes 1.885583 0.1467346 6.59019424
## age age -1.377488 0.1321347 0.25221120
## OR_lower OR_upper
## prix 0.06891150 0.1327076
## autonomie 12.14635849 25.4486512
## temps_recharge 0.12369658 0.2211447
## empreinte_production 0.06708705 0.1286357
## disponibilite_bornes 4.94305273 8.7862021
## age 0.19466553 0.3267681# Visualisation des odds ratios
ggplot(resultats, aes(x = Variable, y = Odds_Ratio)) +
geom_point() +
geom_errorbar(aes(ymin = OR_lower, ymax = OR_upper), width = 0.2) +
coord_flip() +
geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed", color = "red") +
labs(title = "Odds Ratios avec Intervalles de Confiance",
y = "Odds Ratio") +
theme_minimal()
Interprétation des Odds Ratios :
OR > 1 : effet positif sur la perception OR < 1 : effet négatif sur la perception OR = 1 : pas d’effet
Par exemple, pour le prix :
OR = 0.096 Interprétation : Une augmentation d’une unité standardisée du prix multiplie par 0.096 les chances d’avoir une perception plus positive
Interprétation des coefficients
Les résultats du modèle montrent que :
Autonomie (OR = 17.581) : L’effet le plus positif. Une augmentation d’une unité standardisée de l’autonomie multiplie par 17.6 les chances d’avoir une perception plus positive.
Empreinte production (OR = 0.096) : Impact très négatif. Une augmentation d’une unité de l’empreinte carbone réduit de 90.4% les chances d’une perception positive.
Disponibilité bornes (OR = 6.590) : Impact positif significatif. Une meilleure disponibilité des bornes multiplie par 6.6 les chances d’une perception positive.
Temps recharge (OR = 0.165) : Impact négatif. Une augmentation du temps de recharge réduit de 83.5% les chances d’une perception positive.
Prix (OR = 0.093) : Impact très négatif. Une augmentation du prix réduit de 90.7% les chances d’une perception positive.
Age (OR = 0.252) : Impact négatif modéré. Une augmentation de l’âge réduit de 74.8% les chances d’une perception positive.
2.5 Évaluation du modèle
# Prédictions
predictions <- predict(modele, donnees_std, type = "class")
# Table de confusion
table_confusion <- table(predictions, donnees_std$impact_percu)
print(table_confusion)##
## predictions Très négatif Plutôt négatif Neutre Plutôt positif Très positif
## Très négatif 117 18 2 0 0
## Plutôt négatif 15 43 23 6 0
## Neutre 3 15 16 16 4
## Plutôt positif 1 4 20 29 18
## Très positif 0 2 3 19 126# Calcul de l'accuracy
accuracy <- sum(diag(table_confusion)) / sum(table_confusion)
print(paste("Précision du modèle:", round(accuracy, 3)))## [1] "Précision du modèle: 0.662"Performance du modèle
La matrice de confusion révèle que :
- Précision globale : 66.2% de prédictions correctes
- Points forts : Très bonne prédiction des catégories extrêmes (Très négatif et Très positif)
- Difficultés : Plus de confusion pour la catégorie “Neutre”
3. Conclusion
Conclusion et Recommandations
Synthèse des résultats
# Créer un résumé des effets principaux
resultats_synthese <- data.frame(
Variable = c("Empreinte production", "Autonomie", "Disponibilité bornes",
"Prix", "Temps recharge", "Age"),
Impact = c("Très négatif", "Très positif", "Positif",
"Négatif", "Négatif", "Légèrement négatif"),
Odds_Ratio = exp(coef(modele)[1:6])
)
# Afficher le tableau de synthèse
knitr::kable(resultats_synthese,
caption = "Synthèse des effets des variables",
digits = 3)| Variable | Impact | Odds_Ratio | |
|---|---|---|---|
| prix | Empreinte production | Très négatif | 0.096 |
| autonomie | Autonomie | Très positif | 17.581 |
| temps_recharge | Disponibilité bornes | Positif | 0.165 |
| empreinte_production | Prix | Négatif | 0.093 |
| disponibilite_bornes | Temps recharge | Négatif | 6.590 |
| age | Age | Légèrement négatif | 0.252 |
# Graphique de synthèse des effets
ggplot(resultats_synthese, aes(x = reorder(Variable, Odds_Ratio), y = Odds_Ratio)) +
geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue") +
geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed", color = "red") +
coord_flip() +
labs(title = "Impact relatif des variables sur la perception",
x = "Variables",
y = "Odds Ratio") +
theme_minimal()
Basées sur notre analyse, voici les principales recommandations :
1. Pour les constructeurs automobiles
- Priorité à la réduction de l’empreinte carbone lors de la production
- Investissement dans la technologie des batteries pour améliorer l’autonomie
- Optimisation des temps de recharge
2. Pour les pouvoirs publics
- Développement du réseau de bornes de recharge
- Sensibilisation sur l’impact environnemental réel des véhicules électriques
- Politique d’incitation ciblée selon les facteurs identifiés
3. Pour les études futures
- Approfondir l’analyse de l’effet de l’âge
- Étudier d’autres variables potentielles
- Suivre l’évolution des perceptions dans le temps
Limites de l’étude
- Données simulées
- Nécessité de validation avec des données réelles
- Patterns potentiellement simplifiés
- Variables non prises en compte
- Revenu des consommateurs
- Niveau d’éducation
- Zone géographique
- Hypothèses du modèle
- L’hypothèse des odds proportionnels pourrait être testée
- La linéarité des effets pourrait être vérifiée
Bibliographie
- Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data, Second Edition. Wiley.
- Christensen, R. H. B. (2019). ordinal - Regression Models for Ordinal Data. R package.
- Liu, I., & Agresti, A. (2005). The analysis of ordered categorical data: An overview and a survey of recent developments. Test, 14(1), 1-73.