Ejercicios de parcial fila B .

  1. Una empresa de retail analiza el crecimiento porcentual de sus ventas trimestrales. Se ha determinado que dicho crecimiento sigue una distribución normal con media µ = 8.5 % y desviación estándar σ = 2.8 %. La gerencia selecciona una muestra aleatoria de n = 16 trimestres para analizar el desempeño de la empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del crecimiento en ventas sea mayor que 7 %?.
  mu <- 8.5      
sigma <- 2.8   
n <- 16        
x_bar <- 7     

sigma_x_bar <- sigma / sqrt(n)

probabilidad <- 1 - pnorm(x_bar, mean = mu, sd = sigma_x_bar)

print(probabilidad)
## [1] 0.9839377
  1. Una institución bancaria está analizando el tiempo de espera de los clientes en sus sucursales. Se sabe que los tiempos de espera siguen una distribución normal con una media poblacional de 15 minutos. Para evaluar la eficiencia del servicio, se toma una muestra aleatoria de 20 clientes y se registra su tiempo de espera. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de espera sea menor a 13.8 minutos, asumiendo que la desviación estándar muestral de 5 minutos?.
mu <- 15       
sigma <- 5     
n <- 20        
x_bar <- 13.8  
sigma_x_bar <- sigma / sqrt(n)

probabilidad <- pnorm(x_bar, mean = mu, sd = sigma_x_bar)

print(probabilidad)
## [1] 0.1415654
  1. Se quiere comparar el rendimiento laboral (medido en unidades producidas por hora) entre los empleados de dos empresas A y B. Se sabe que el rendimiento en ambas empresas sigue una distribución normal con varianza poblacional igual de σ 2 = 4 unidades2. Se toman dos muestras aleatorias: Empresa A: n1 = 25, con una media muestral de X¯ 1 = 50. Empresa B: n2 = 30, con una media muestral de X¯2 = 48. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias entre la empresa A y la empresa B sea mayor que 3 unidades?.
sigma2 <- 4  
sigma <- sqrt(sigma2)  

n1 <- 25  
n2 <- 30  
X1_bar <- 50  
X2_bar <- 48  

diferencia <- 3  

sigma_diff <- sqrt(sigma2 / n1 + sigma2 / n2)

z <- (diferencia - (X1_bar - X2_bar)) / sigma_diff

probabilidad <- 1 - pnorm(z)

cat("Probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor que 3 unidades:", round(probabilidad, 4), "\n")
## Probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor que 3 unidades: 0.0324
  1. Un analista financiero está evaluando el rendimiento de dos fondos de inversión en los últimos cinco años. Para ello, seleccionó muestras aleatoria de cada fondo y calculó lasrentabilidades anuales ( %): Fondo A: n1 = 10, media muestral X¯ 1 = 7.5 %, varianza muestral s 2 1 = 4.2. Fondo B: n2 = 12, media muestral X¯ 2 = 5.8 %, varianza muestral s2 2 = 3.8. [1.25] Se asume que los rendimientos anuales siguen una distribución normal y que lasvarianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Pregunta: Halla la probabilidad de que la diferencia muestral de medias entre los rendimientos del Fondo A y el Fondo B sea menorr a 2 %..
n1 <- 10  
n2 <- 12   
X1_bar <- 7.5  
X2_bar <- 5.8  
s1_sq <- 4.2   
s2_sq <- 3.8  

diff_threshold <- 2  

s_p_sq <- ((n1 - 1) * s1_sq + (n2 - 1) * s2_sq) / (n1 + n2 - 2)

s_diff <- sqrt(s_p_sq * (1/n1 + 1/n2))

t_value <- (diff_threshold - (X1_bar - X2_bar)) / s_diff

df <- n1 + n2 - 2

probabilidad <- pt(t_value, df)

cat("Probabilidad de que la diferencia de medias sea menor a 2%:", round(probabilidad, 4), "\n")
## Probabilidad de que la diferencia de medias sea menor a 2%: 0.6354