Ejercicio 1
Una empresa de retail analiza el crecimiento porcentual de sus ventas trimestrales. Se ha determinado que dicho crecimiento sigue una distribución normal con media \(µ=8.5\%\) y desviación estándar \(σ=2.8\%\). La gerencia selecciona una muestra aleatoria de \(n=16\) trimestres para analizar el desempeño de la empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del crecimiento en ventas sea menor que \(7\%\)?
media_poblacional <- 8.5
desviacion_poblacional <- 2.8
n <- 16
error_estandar <- desviacion_poblacional / sqrt(n)
probabilidad <- pnorm(7, mean = media_poblacional, sd = error_estandar)
print(paste("La probabilidad de que la media muestral del crecimiento en ventas sea menor al 7% es:", round(probabilidad, 4) * 100, "%"))## [1] "La probabilidad de que la media muestral del crecimiento en ventas sea menor al 7% es: 1.61 %"Ejercicio 2
Una institución bancaria está analizando el tiempo de espera de los clientes en sus sucursales. Se sabe que los tiempos de espera siguen una distribución normal con una media poblacional de \(15\) minutos. Para evaluar la eficiencia del servicio, se toma una muestra aleatoria de \(20\) clientes y se registra su tiempo de espera. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de espera sea mayor a \(13.8\) minutos, asumiendo que la desviación estándar muestral de \(5\) minutos?
media_poblacional <- 15
n <- 20
valor_critico <- 13.8
desviacion_muestral <- 5
gl <- n - 1
error_estandar <- desviacion_muestral / sqrt(n)
probabilidad <- 1 - pt((valor_critico - media_poblacional) / error_estandar, df = gl)
print(paste("La probabilidad de que la media muestral del tiempo de espera sea mayor a 13.8 minutos es ", (round(probabilidad, 4)) * 100, "%"))## [1] "La probabilidad de que la media muestral del tiempo de espera sea mayor a 13.8 minutos es 85.17 %"Ejercicio 3
Se quiere comparar el rendimiento laboral (medido en unidades producidas por hora) entre los empleados de dos empresas A y B. Se sabe que el rendimiento en ambas empresas sigue una distribución normal con varianza poblacional igual de \(σ^2=4 unidades^2\). Se toman dos muestras aleatorias:
Empresa A: \(n_1=25\), con una media muestral de \(x̄_1=50\).
Empresa B: \(n_2=30\), con una media muestral de \(x̄_2=48\).
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias entre la empresa A y la empresa B sea menor que \(3\) unidades?
n1 <- 25
n2 <- 30
x1 <- 50
x2 <- 48
sigma <- 4
diferencia_esperada <- x1 - x2
sigma_dif <- sqrt((sigma^2 / n1) + (sigma^2 / n2))
z_valor <- (3 - diferencia_esperada) / sigma_dif
probabilidad <- pnorm(z_valor)
print(paste("La probabilidad de que la diferencia de medias entre la empresa A y la empresa B sea menor que 3 unidades es:", (round( probabilidad, 4)) * 100, "%"))## [1] "La probabilidad de que la diferencia de medias entre la empresa A y la empresa B sea menor que 3 unidades es: 82.2 %"Ejercicio 4
Un analista financiero está evaluando el rendimiento de dos fondos de inversión en los últimos cinco años. Para ello, seleccionó muestras aleatoria de cada fondo y calculó las rentabilidades anuales (%):
Fondo A: \(n_1=10\), media muestral \(x̄_1=7.5\%\), varianza muestral \(s^2_1=4.2\).
Fondo B: \(n_2=12\), media muestral \(x̄_2=5.8\%\), varianza muestral \(s^2_2=3.8\).
Se asume que los rendimientos anuales siguen una distribución normal y que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Pregunta: Halla la probabilidad de que la diferencia muestral de medias entre los rendimientos del Fondo A y el Fondo B sea mayor a \(2\%\).
na <- 10
barra_1a <- 7.5
varianza_muestral_1a <- 4.2
nb <- 12
barra_2b <- 5.8
varianza_muestral_2b <- 3.8
df <- 10 + 12 - 2
denominador <- sqrt((varianza_muestral_1a / na) + (varianza_muestral_2b / nb))
diferencia_muestral <- barra_1a - barra_2b
t_valor <- diferencia_muestral / denominador
probabilidad <- 1 - pt(t_valor, df)
print(paste("la probabilidad de que la diferencia muestral de medias entre los rendimientos del Fondo A y el Fondo B sea mayor a 2 % es", (round(probabilidad, 4)) * 100, "%"))## [1] "la probabilidad de que la diferencia muestral de medias entre los rendimientos del Fondo A y el Fondo B sea mayor a 2 % es 3.08 %"