Skilaverkefni 1 Hagrannsókn Óskar Steinn Birgisson

output: html_document

#1 (a)hvað eru mörg hverfi Það eru 506 hverfi # Nota dplyr til að telja einstök hverfi með crime, radial og dist library(dplyr)

Telja einstök hverfi

num_hverfi <- communityprices %>% distinct(crime, dist, radial ) %>% # Velur einstaka samsetningar þessara dálka nrow() # Telja fjölda þeirra

Birta niðurstöðuna

num_hverfi

Hvað eru mörg hverfi með aðgengisvísitölu jafna 5? en jafna 8? Það eru 24 með radial 8 og 115 með radial 5

#fjöldi hverfa með radial = 5 num_radial_5 <- sum(communityprices$radial == 5, na.rm = TRUE)

#fjöldi hverfa með radial = 8 num_radial_8 <- sum(communityprices$radial == 8, na.rm = TRUE)

#birta niðurstöður num_radial_8 num_radial_5

Hvað er meðaltal og staðalfrávik breytunnar rooms? meðtaltal fyrir rooms er 6.283602 staðalfrávik fyrir price er 9208.856

#meðatal fyrir rooms mean_rooms <- mean(communityprices$rooms, na.rm = TRUE)

#staðalfrávik fyrir rooms sd_rooms <- sd(communityprices$rooms, na.rm = TRUE)

birta niðurstöður

mean_rooms sd_rooms

Hvað er meðaltal og staðalfrávik breytunnar price meðaltal fyrir price er 22511.51 staðalfrávik fyrir price er 9208.856

#meðatal fyrir price mean_price <- mean(communityprices$price, na.rm = TRUE)

#staðalfrávik fyrir price sd_price <- sd(communityprices$price, na.rm = TRUE)

á hvaða bili liggur breytan rooms? hvað eru mörg hverfi með meira en 5 herbergi að meðaltali í úrtakinu

Rooms liggur á bilinu 3,56-8,78 Það eru 491 hverfi með meira en 5 herbergi að meðaltali í úrtakinu

#bil fyrir rooms range_rooms <- range(communityprices$rooms, na.rm = TRUE)

#fjöldi hverfa með rooms > 5 num_rooms_above_5 <- sum(communityprices$rooms > 5, na.rm = TRUE)

#birta niðurstöðr range_rooms num_rooms_above_5

á hvaða bili liggur breytan stratio? Hvað eru mörg hverfi með lægsta gildi hlutfalls nemenda á hvern kennara í úrtakinu

Breytan liggur milli 3-22 það eru 3 hverfi með lægsta gildið sem er 3

#bil fyrir stratio range_stratio <- range(communityprices$stratio, na.rm = TRUE)

#finna lægsta gildi f. stratio min_stratio <- min(communityprices$stratio, na.rm =TRUE)

#fjöldi hverfa með lægsta gildi stratio num_min_stratio <- sum(communityprices$stratio == min_stratio, na.rm = TRUE)

#birta niðurstöður range_stratio min_stratio num_min_stratio

Skoðum einfalt línulegt líkan með price sem háða breytuu og rooms sem skýribreytu

Teiknið upp breyturnar price og rooms í sama gra􏰃 (e. scatter plot). Lýsið í stuttu máli hvað myndin sýnir. Getum við dregið einhverjar ályktanir af myndinni? Munið að hafa háðu breytuna á lóðrétta ásnum og skýribreytuna á lárétta ásinum.

Það er jákvætt samband milli herbergja og meðalhúsnæðisverðs. Þetta þýðir að húsnæðisverð hækkar almennt eftir því sem fjöldi herbergja eykst Það er þó ekki beint línulegt samband, þannig það virðist vera sterkara þegar fjöldi herbergja fer yfir 6.

#teikna scatter plot fyrir price og rooms ggplot(communityprices, aes(x = rooms, y = price))+ geom_point(color= “blue”)+ labs(title = “Samband milli fjölda herbergja og húsnæðisverðs”, x = “meðalfjöldi herbergja”, y = “meðalhúsnæðisverðs”)+ theme_minimal()

(b)Metið einfalda línulega líkanið: pricei = β0 + β1roomsi + ui Skri􏰃ð niðurstöðuna á jöfnuformi, teiknið línuna inn á myndina úr (a) og túlkið stuðlamatið fyrir β0 og β1. (4)

pricei = −34796.2 + 9119.5 ⋅ roomsi + ui

Túlkun: Þetta þýðir að grunnverðið (rooms = 0) er neikvætt, sem er ekki hægt, en lýsir skurðpunktinum við y ásinn. Meðalhúsnæðisverðið hækkar að jafnaði um 9119.5$ fyrir hvert herbergi í viðbót

#teikna scatter plot með líkanslínunni ggplot(communityprices, aes(x=rooms, y = price))+ geom_point(color = “blue”)+ geom_smooth(method = “lm”, color= “red”, se = FALSE)+ labs(title = “línulegt líkan af sambandi milli fjölda herbergja og húsnæðisverðs”,x = “meðalfjöldi herbergja”, y = “meðalhúsnæðisverð”)+ theme_minimal()

model <- lm(price ~ rooms, data = communityprices) summary(model)

(c)Hver er útskýringarmáttur líkansins og hvað segir sú tala okkur? (2) úskýringamáttur líkansins er R^2 = 0.4841, sem þýðir að 48.41% af breytileikanum í meðalhúsnæðsverði er útskýrður með meðalfjölda herbergja. Þetta segir okkur það að fjöldi herbergja sé mikilvægur þáttur í að ákvarða húsnæðisverð, en aðrir þættir útskýra enn 51,59% af breytileikanum. Þetta bendir til þess að aðrir þættir, eins og staðsetning eða gæði húsnæðisins, hafi einnig áhrif á verðið

Er stuðullinn við rooms marktækt frábrugðinn núlli og, ef svo er, miðað við hvaða marktæknikröfu? Hvað segir þetta okkur?

Stuðullin við rooms er marktækt frábrugðin núlli, þar sem p-gildið er <2e-16, sem er langt undir öllum hefðbundnum marktæknistigum (5%, 1% og 0.1%). Þetta þýðir að við getum hafnað núlltilgátunni og ályktað að fjöldi herbergja hafi marktæk áhrif á meðalhúsnæðisverð.

Framkvæmið tilgátupróf um hvort stuðullinn við rooms sé marktækt frábrugðinn 10,000. Setjið tilgátupró􏰃ð formlega fram, reiknið út prófstærðina (t-gildið) og túlkið niðurstöðuna.

T- gildið var t= -2,1 og p- gildið var p=0.036. Þar sem p-gildið er minni en 0.05, getum við hafnað núlltilgátunni á 5% marktæknistigi og ályktað að stuðulinn sé marktækt frábrugðinn 10.000$. Þetta bendir til þess að áhrif fjölda herbergja á meðalhúsnæðisverð séu lítillega minni en 10.000$ á herbergi.

#gögn úr niðurstöðunum beta1_hat <- 9119.5 # stuðlumat fyrir rooms beta1_0 <- 10000 # núllilgátan se_beta1 <- 419.3 # staðalvilla stuðulsins

#reikna t- gildið t_value <- (beta1_hat - beta1_0) / se_beta1 t_value

#fjöldi frígráða df <- 504 # Degrees of Freedom

reikna p- gildið

p_value <- 2 * pt(abs(t_value), df = df, lower.tail = FALSE) p_value

Hvert er spáð meðalhúsnæðisverð hver􏰃s sem er með meðalherbergisfjölda jafnan 6 samkvæmt líkaninu?

samkvæmt línulega líkaninu er spáð meðalhúsnæðisverð fyrir hverfi með meðalherbergisfjölda 6 er 19920.8$. Þessi spá byggit á jákvæðu sambanid milli fjölda herbergja og meðalhúsnæðisverðs og gefur til kynna að fleiri herbergi leiði að jafnaði til hærra verðs.

#gögn ú niðurstöðum beta0 <- -34796.2 #intercept beta1 <- 9119.5 #stuðull við rooms rooms_value <- 6 #fjöldi herbergja fyrir spánna

#reikna predicted_price <- beta0 + beta1 * rooms_value predicted_price

#reikna leifaliðina og spágildin úr líkaninu residuals <- residuals(model) fitted_values <- fitted(model)

(g)Teiknið upp mynd með leifaliðina (e. residuals) á lóðrétta ásinum og spágildin (e. 􏰃tted values) á lárétta ásinum og útskýrið með hjálp myndarinnar hvað leifaliðir eru. Útskýrið einnig muninn á leifaliðum og villuliðum

Leifaliðirnir dreifast í kringum núll línuna, en það er óstöðug dreifing(heteroskedasticity) þar sem dreifingin eykst með hærra spágildi.

#teikna scatter plot af leifaliðum vs spágildum library(ggplot2)

ggplot(data= NULL, aes(x= fitted_values, y= residuals))+ geom_point(color = “blue”)+ geom_hline(yintercept = 0, color = “red”, linetype = “dashed”)+ labs(title = “leifaliðir vs spágildi”, x= “spágildi”, y = “leifaliðir”)+ theme_minimal()

3.Skoðum næst líkan með 􏰄eiri skýribreytum.

Metið líkanið pricei = β0 + β1roomsi + β2noxi + β3dist + β4stratio + ui Skri􏰃ð niðurstöðuna á jöfnuformi og túlkið stuðlamötin. Hverju þurfum við að gæta að við túlkun stuðlamatsins þegar við höfum 􏰄eiri en eina skýribreytu? Greinið einnig frá því hvort metnu stuðlarnir eru marktækt frábrugðnir núlli og útskýringamætti líkansins.

Metum fjölbreytulíkan þar sem Price er háða breytan og rooms, crime og nox eru skýribreyturnar.

Pricei = B0 + B1 * rooms + B2 * crimei + B3 * noxi + ui

Rooms hefur jákvæð og marktæk áhrif, sem bendir til þess að fleiri herbergi auki verðið

Crime hefur neikvæð og marktæk áhrif, sem bendir til þess að hærri glæpatíðni lækki verðið

Nox hefur neikvæð og marktæk áhrif, sem gefur til kynna að meiri mengun lækki verðið

Útskýringarmáttur líkansins er hærri en í fyrra líkaninu sem þýðir að þetta líkan útskýrir breytileikann í meðalhúsnæðisverði betur.

#meta fjölbreytnilíkan með rooms, crome og nex sem skýribreytum model_multi <- lm(price ~ rooms + crime + nox, data = communityprices )

#birta niðurstöður summary(model_multi)

Túlkið niðurstöðu F-prófsins sem R gerir sjálfkrafa og setjið pró􏰃ð fram með formlegum hætti.

Birta niðurstöðurnar fyrir fjölbreytulíkanið

summary(model_multi)

Núlltilgátan var að allir stuðlarnir væri núll, sem þýðir að engin af breytunum hefði áhrif á meðalhúsnæðisverð. Gagntilgátan var að minnsta kosti einn stuðull væri ekki núll. Niðurstöðurnar voru : F = 215.9, df = 3 og 502, og p- gildi <2.2e-16. Þar sem p- gildið er langt undir 0.05 getum við hafnað núlltilgátunni og ályktað það að minnsta kosti ein breytan hafi marktæk áhrif á meðalhúsnæðisverð. Þetta þýðir að líkanið með þessum þremur breytum útskýrir verðið marktækt betur en líkan án þeirra.

Framkvæmið tilgátupróf um að hvorki nox né dist ha􏰃 áhrif á price. Setjið tilgátupró􏰃ð formlega fram, sýnið takmarkaða og ótakmarkaða líkanið og túlkið niðurstöðuna. (5)

Takmarkaða líkanið ( án nox og dist) Pricei = B0 + B1 * rooms + rooms + B2 * crimei + ui

Ótakmarkaða líkanið (með nox og dist) Pricei = B0+ B1 * roomsi + B2 * crime + b3 * noxi + B4 * dist + ui

Núlltilgátan var að hvorug breytan hafði áhrif á price, sem þýðir að takmarkaða líkanið með bara rooms og crime væri fullnægjandi. Gagntilgátan var að minnsta kosti ein breyta (nox eða dist) hefði áhrif á price Niðurstöðurnar voru F = 20.081, df = 2 og 501, og p-gildið = 4.08e-09. Þar sem p-gildið er langt undir 0.05, getum við hafnað núllgátunni og ályktað það að minnsta kosti ein breyta (nox eða dist) hafi marktæk áhrif á meðalhúsnæðisverð. Þetta þýðir að ótakmarkaða líkanið útskýrir verðið marktækt betur en takmarkaða líkanið, og að þessar breytur ættu að vera með í líkaninu

#ótakmarkaða líkanið (með nox og dist) model_unrestricted <- lm(price ~ rooms + crime + nox + dist, data = communityprices )

#takmarkaða líkanið (án) model_restricted <- lm(price ~ rooms + crime , data = communityprices)

#framkvæma F-próf með ANOVa anova(model_restricted, model_unrestricted)

Metið líkanið log(pricei) = β0 + β1roomsi + β2 log(noxi) + β3 log(dist) + β4stratio + ui Skri􏰃ð niðurstöðuna á jöfnuformi og túlkið stuðlamatið fyrir stuðulinn við rooms og stuðulinn við log(nox) (3)

log(pricei) = B0 + B1 * rooms + B2 * log(noxi) + B3 * log(dist) + B4 *stratioi + ui

= 11.083861 + 0.254527 * roomsi – 0.953539 * log(noxi) – 0.134339 * log(disti) – 0.052451 * stratio +ui

Rooms (0.254527) : fyrir hvert herbergi í viðbót hækkar meðlhúsnæðisverðið um 25.45% að meðaltali, allt annað óbreytt

Log(nox) (-0.953539) : fyrir 1% aukningu í mengun (nox) lækkar meðalhúsnæðisverðið um 0.95% allt annað óbreytt

Þetta sýnir að bæði fjöldi herbergja og mengun hafa marktæk áhrif á meðalhúsnæðisverð í þessu log líkani. Að auki gefur fjarlægð frá atvinnukjarna og hlutfall nemanda á hvern kennara einnig neikvæð áhrif á verðið

Metið líkanið pricei = β0 + β1roomsi + β2noxi + β3dist + β4stratio + β5rooms2i + ui Skri􏰃ð niðurstöðuna á jöfnuformi. Hvaða áhrif hefur það á meðalhúsnæðisverð hver􏰃s ef meðalherbergjafjöldi eykst um einn? (2)

Pricei = 120386.8 – 24993.1 * roomsi + 2477.3 * rooms^2 – 3086.5 * noxi – 723.5 * disti – 1082.9 * stratioi + ui

Til að meta áhrifin af því að auka meðalherbergjafjöldan um einn notum við jaðarbreytinguna

dpricei / droomsi = -24993.1 + 2 * 2477.3 * roomsi

Þetta sýnir að áhrifin af því að bæta við einu herbergi eru ólínuleg og háð fjölda herbergja

Fyrir 6 herbergi hækkar verðið um 4734.5$ Fyrir 8 herbergi hækkar verðið um 14643.7$

Þetta bendir til hnignandi jaðarhagnaðar þar sem fleiri herbergi auka verðið, en jaðarhagnaðurinn eykst þegar fjöldinn verður meiri. Þetta þýðir að stærri húsnæði verða að jafnaði meira virði en minni húsnæði, sérstaklega þegar fjöldinn fer yfir ákveðið stig.

Hvað myndum við búast við að meðalhúsnæðisverð væri fyrir hver􏰃 með 4 herbergi að meðaltali, nituroxíð mengun upp á 5, fjarlægð frá iðnaðarhverfum upp á 10, og meðalfjölda nemenda á hvern kennara upp á 15 samkvæmt líkaninu í (a)? (1)

meðalhúsnlæðisverðið sem er spáð er 7033.9. Þetta gildi sýnir veðalverðið samkvæmt líkaninu og gefur til kynna áætlað verð fyrir hverfi með þessum aðstæðum. Þetta er byggt á þeim tenglsum sem líkanið finnur milli þessara breytna og meðalhúsnæðisverðs