1. Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada, durante un Año determinado, en servicios médicos personales por empleado fue de 2.575 dólares y la desviación típica de 525 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados (seleccionados sin reemplazo) arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares?
media_poblacional <- 2575
desviacion_poblacional <- 525
n <- 100

error_estandar <- desviacion_poblacional / sqrt(n)
Z1 <- (2500 - media_poblacional) / error_estandar
Z2 <- (2700 - media_poblacional) / error_estandar
P1 <- pnorm(Z1)
P2 <- pnorm(Z2)
probabilidad <- (P2 - P1)

print(paste("La probabilidad de que la muestra aleatoria de 100 empleados arroje una media muestral entre 2500 y 2700 dólares es ", round(probabilidad, 3)))
## [1] "La probabilidad de que la muestra aleatoria de 100 empleados arroje una media muestral entre 2500 y 2700 dólares es  0.915"
  1. Se toma una muestra aleatoria de seis automóviles y se registra el consumo en kilómetros por litro. Los datos son los siguientes: 18,6, 18,4, 19,2, 20,8, 19,4 y 20,5. La pregunta que queremos responder es: ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que 17,6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con una media de 17 kilómetros por litro?
n <- 6
media_poblacional <- 17
desviacion_muestral <- 0.96
gl <- n - 1

error_estandar <- desviacion_muestral / sqrt(n)
valor_critico <- 17.6
probabilidad <- pt((valor_critico - media_poblacional) / error_estandar, df = gl)

print(paste("La probabilidad de que la media muestral sea menor que 17.6 kilometros por litro es", (round(probabilidad, 3))))
## [1] "La probabilidad de que la media muestral sea menor que 17.6 kilometros por litro es 0.907"

3.En el marco de un ambicioso programa de bienestar implementado en escuelas alrededor del mundo como parte de una iniciativa global de responsabilidad social corporativa, se lleva a cabo un estudio para evaluar el impacto del programa en los pesos promedio de los estudiantes de sexto grado. La muestra seleccionada aleatoriamente incluye a 20 niños y 25 niñas de diversas nacionalidades. La muestra incluye aleatoriamente a 20 niños y 25 niñas. Se sabe que, tanto para niños y niñas, los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14,142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado es de 85 libras y su desviación estándar es de 12,247 Se desea determinar la probabilidad de que el peso promedio de los 20 niños sea al menos 20 libras mayor que el de las 25 niñas, con la hipótesis de que el programa ha tenido un efecto significativo en la salud y el peso de los estudiantes La investigación busca determinar si la implementación del programa ha tenido un efecto significativo en la salud y el peso de los estudiantes en comparación con los niños y niñas que no han participado en el programa.

n_ninos <- 20
n_ninas <- 25

mu_ninos <- 100
sigma_ninos <- 14.142

mu_ninas <- 85
sigma_ninas <- 12.247

diferencia_esperada <- mu_ninos - mu_ninas

sigma_dif <- sqrt((sigma_ninos^2 / n_ninos) + (sigma_ninas^2 / n_ninas))

z_valor <- (20 - diferencia_esperada) / sigma_dif
probabilidad <- 1 - pnorm(z_valor)


cat("La probabilidad de que el peso promedio de  los niños sea al menos 20 libras mayor que el de las niñas es:", probabilidad, "\n")
## La probabilidad de que el peso promedio de  los niños sea al menos 20 libras mayor que el de las niñas es: 0.1056453
  1. Se identificaron dos poblaciones de alumnos de último año de un colegio. La variable de interés en la investigación consistía en los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento en estadística que hicieron los estudiantes de las dos poblaciones. Los investigadores suponían que los puntajes de las dos poblaciones estaban distribuidos normalmente con las siguientes medias y varianzas: miu1=50, desviación uno es 40, miu2=40, desviación dos es 60. Una muestra aleatoria de tamaño n1=10 se saca de la población1 y una de tamaño n2=12 de población 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales esté entre 5 y 15?
# Parámetros de la población 1
mu1 <- 50
sigma1_sq <- 40
n1 <- 10

# Parámetros de la población 2
mu2 <- 40
sigma2_sq <- 60
n2 <- 12

# Parámetros de la diferencia de medias
mu_diff <- mu1 - mu2                    # 10
var_diff <- sigma1_sq/n1 + sigma2_sq/n2   # 40/10 + 60/12 = 4 + 5 = 9
sd_diff <- sqrt(var_diff)               # √9 = 3

# Límites del intervalo de interés
lower <- 5
upper <- 15

# Cálculo de la probabilidad
p_diff <- pnorm(upper, mean = mu_diff, sd = sd_diff) -
          pnorm(lower, mean = mu_diff, sd = sd_diff)
p_diff
## [1] 0.9044193
# Conclusión:
# La probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales esté entre 5 y 15 es aproximadamente 0.9044.
# Dado que se conocen las varianzas poblacionales, se utiliza la distribución normal directamente sin necesidad de grados de libertad.