##Ejercicios taller

Muestra grande

  1. Tenemos una población de tiempos de respuesta a correos electrónicos que sigue una distribución normal con una media de \(10\) minutos y una desviación estándar de \(7\) minutos. Se toma una muestra de \(25\) trabajadores y queremos saber lo siguiente: ¿cual es la probabilidad de que el tiempo medio de respuesta de esta muestra sea mayor a \(8\) minutos?.
media_poblacional <- 10
desviacion_poblacional <- 7
n <- 25

error_estandar <- desviacion_poblacional / sqrt(n)
probabilidad <- 1 - pnorm(8, mean = media_poblacional, sd = error_estandar)

print(paste("La probabilidad de que el tiempo medio de respuesta de la muestra sea mayor a 8 minutos s de:", round(probabilidad, 3)))
## [1] "La probabilidad de que el tiempo medio de respuesta de la muestra sea mayor a 8 minutos s de: 0.923"

Muestra pequeña

  1. La empresa Amazon esta analizando cuanto se tardan en entregar paquetes grandes. Se sabe que los tiempos de entrega de la empresa siguen una distribución normal, con una media poblacional de \(35\) días y una desviación estándar muestral de \(6\) días. Se decide tomar una muestra aleatoria de \(14\) envíos para evaluar el rendimiento del sistema logístico de la empresa. ¿cual es la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de entrega sean mayor a \(36.156\) días?
media_poblacional <- 35
desviacion_muestral <- 6
n <- 14
gl <- n - 1

error_estandar <- desviacion_muestral / sqrt(n)
valor_critico <- 36.156
probabilidad <- 1 - pt((valor_critico - media_poblacional) / error_estandar, df = gl)

print(paste("la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de entrega sea mayor a 36.156 día es de:", round(probabilidad, 3)))
## [1] "la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de entrega sea mayor a 36.156 día es de: 0.242"

Primer caso:varianzas poblacionales conocidas o desconocidas y muestras grandes

  1. Un investigador está interesado en comparar la eficacia de dos nuevos programas de entrenamiento, A y B, para mejorar el rendimiento en una tarea de memoria. Se sabe que las puntuaciones en esta tarea se distribuyen normalmente en la población.

Información Poblacional:

Programa A: Media poblacional (μA): 75 puntos Desviación estándar poblacional (σA): 10 puntos Programa B: Media poblacional (μB): 70 puntos Desviación estándar poblacional (σB): 12 puntos Muestra:

Se selecciona una muestra aleatoria de 40 participantes que reciben el programa A. Se selecciona una muestra aleatoria independiente de 50 participantes que reciben el programa B. Resultados de la Muestra:

Programa A (n=40): Media muestral (x̄A): 78 puntos Programa B (n=50): Media muestral (x̄B): 68 puntos

n_A <- 40
n_B <- 50

media_A <- 78
media_B <- 68

desv_poblacional_A <- 10
desv_poblacional_B <- 12

diferencia_evaluar <- 12

diferencia_observada <- media_A - media_B 

error_estandar <- sqrt((desv_poblacional_A^2 / n_A) + (desv_poblacional_B^2 / n_B))

z_valor <- (diferencia_evaluar - diferencia_observada) / error_estandar

probabilidad <- 1 - pnorm(z_valor)

cat("La probabilidad de que el programa A muestre una mejora promedio de al menos 12 puntos más que el programa B es:", probabilidad,"\n")
## La probabilidad de que el programa A muestre una mejora promedio de al menos 12 puntos más que el programa B es: 0.1942719

Segundo caso: varianzas poblacionales desconocidas, iguales y muestras pequeñas

  1. Una empresa de marketing está evaluando la efectividad de dos campañas publicitarias diferentes (Campaña A y Campaña B) en términos del aumento porcentual en las ventas de un producto. Para ello, se seleccionan dos muestras independientes de clientes expuestos a cada campaña y se registran los siguientes datos:

Campaña A:

Tamaño de la muestra: \(n_1 = 10\)

Aumento promedio en ventas: \(\bar{X}_1 = 12%\)

Desviación estándar \(s_1 = 3%\)

Campaña B:

Tamaño de la muestra: \(n_2 = 8\)

Aumento promedio en ventas: \(\bar{X}_2 = 9%\)

Desviación estándar \(s_2 = 2.5%\)

La empresa desea determinar si existe una diferencia significativa en la efectividad de las dos campañas publicitarias.

n1 <- 10  
n2 <- 8  
x1_bar <- 12
x2_bar <- 9 
s1 <- 3
s2 <- 2.5  

sp2 <- (((n1 - 1) * s1^2) + ((n2 - 1) * s2^2)) / (n1 + n2 - 2)
se_diff <- sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n2))
df <- n1 + n2 - 2
cat("La diferencia de medias sigue una distribución t con", df, "grados de libertad.\n")
## La diferencia de medias sigue una distribución t con 16 grados de libertad.
diferencia_deseada <- 5
t_value <- (diferencia_deseada - (x1_bar - x2_bar)) / se_diff
probabilidad <- 1 - pt(t_value, df)
cat("La probabilidad de que la efectividad de la Campaña A sea al menos 5% mayor que la de la Campaña B es:", round(probabilidad, 3), "\n")
## La probabilidad de que la efectividad de la Campaña A sea al menos 5% mayor que la de la Campaña B es: 0.075