Théorie

Une méthode est proposée pour corriger l’accélération des cadences de paiement. Elle s’appuie sur un principe fondamental du calcul des provisions mathématiques en assurance vie, qui consiste à utiliser la probabilité de passage d’un état de vie à un état de non-vie. Dans ce contexte, bien qu’il ne s’agisse pas d’assurance vie avec des décès d’assurés, le risque de dépassement du délai de paiement sera utilisé comme analogue.

Formulation de la methode

En se basant sur les données de 2021 et 2022, la probabilité qu’un paiement pour une survenance en 2023 suive la cadence des deux années précédentes ou une cadence accélérée sera modélisée.

Soit \(T\) la variable aléatoire modélisant le délai de paiement d’une déclaration. Pour une déclaration survenue et payée en 2023, soit \(d_0\) son délai de paiement. L’objectif est de déterminer, en fonction des cadences de 2021 et 2022, la probabilité que \(T\) prenne une valeur inférieure à \(d_0\) (zone de cadence accélérée) ou, au contraire, que \(T\) se situe dans la zone de cadence normale, comme illustré dans le graphique ci-dessous.

Objectif : Déterminer la probabilité \(P(T \leqslant d_0)\) en utilisant les données des années précédentes pour évaluer si le paiement suit une cadence normale ou accélérée.e.

Soit \(y^{(k)}_{i,j}\) le \(k\)-ième montant payé en \(j\) pour une survenance en \(i\). Cette formulation permet d’examiner chaque paiement individuellement. Soit \(d^{(k)}_{2023,j}\) le délai de paiement pour une déclaration \(k\) survenue en 2023 et payée en \(j\). Pour chaque déclaration \(k\), la probabilité que son délai de paiement se trouve dans l’une des zones indiquées est calculée. Mathématiquement, cela se traduit par :

\[ p^{(k)}_{2023,j} = P(T \leqslant d^{(k)}_{2023,j}). \]

Une fois ces probabilités déterminées pour chaque déclaration, les montants des paiements pour 2023 sont corrigés de la manière suivante :

\[ y^{(k)}_{2023,j} = (1 - p^{(k)}_{2023,j}) \cdot y^{(k)}_{2023,j}. \]

Les \(y^{(k)}_{2023,j}\) représentent les montants corrigés avec les probabilités. Pour calculer les valeurs des \(p^{(k)}_{2023,j}\), plusieurs variantes du modèle de Cox seront utilisées.

Algorithme

Pour modéliser les délais de paiement de 2023 en effaçant l’accélération de la cadence, les délais des années 2021 et 2022 seront utilisés avec plusieurs modèles de durée : Cox, Cox boost, forêt aléatoire de Cox et réseau de neurones de Cox. Les bases B2021-2022 (données de 2021 et 2022) et B2023 (données de 2023) seront utilisées pour cette analyse. L’algorithme suivant décrit ce processus :

Algorithme 2 : Méthode de calcul des provisions

  1. Entrée : B2021-2022 et B2023.
  2. Séparer la base B2021-2022 en deux sous-bases :
    • Bapp_2021-2022 pour l’apprentissage.
    • Bval_2021-2022 pour les tests et la validation.
  3. Appliquer les modèles de Cox sur la base Bapp_2021-2022 pour modéliser les risques de dépassement des délais de paiement.
  4. Valider la modélisation à l’aide de la base Bval_2021-2022 et des hypothèses propres aux modèles de Cox.
  5. Calculer les probabilités de dépassement des délais de paiement pour les paiements de 2023 sur la base B2023.
  6. Pour chaque déclaration \(k\) de délai de paiement \(d^{(k)}_{2023,j}\) et de montant de paiement \(y^{(k)}_{2023,j}\) survenue et payée en 2023 : \[ p^{(k)}_{2023,j} = P(T \leqslant d^{(k)}_{2023,j}) \quad \text{et} \quad y^{(k)}_{2023,j} = (1 - p^{(k)}_{2023,j}) \cdot y^{(k)}_{2023,j}. \]
  7. Utiliser les données des paiements de 2021, 2022 et 2023 avec les nouvelles valeurs pour 2023 pour agréger les paiements dans le triangle de paiement.
  8. Calculer les provisions avec la méthode de Taylor arithmétique.
  9. Sortie : Provision calculée.

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