Théorie

Cette méthode repose sur la conjecture qu’il existe une manière unique de positionner les montants agrégés dans le triangle de paiement pour obtenir une provision déterminée à l’avance. Cela a permis de développer une correction arithmétique de la méthode Chain Ladder de Taylor, en ajustant les montants pour refléter la cadence de paiement attendue.

Formulation de la méthode

L’idée est de partir du triangle de paiement de l’année précédente \(N\), noté \(T^N\), pour estimer les cadences de règlement et corriger celui de l’année \(N + 1\), noté \(T^{N+1}\). Le triangle de paiement de l’année \(N\) permet de calculer les provisions pour l’année \(N\).

Soient \(PT^N\) la prestation totale constatée au 31 décembre \(N\) et \(X = \{x_{i,j} \mid 0 \leq i, j \leq n, i + j \leq n\}\), où les \(x_{i,j}\) sont des montants. La question est de savoir comment ces montants auraient pu être placés dans \(T^N\) pour que la provision totale calculée soit très proche de \(PT^N\).

La variable \(X\) représente l’ensemble des montants à retirer du triangle \(T^N\) pour obtenir un triangle corrigé \(T^{(N)}\), en supprimant les effets d’accélération des cadences de paiement. En se basant sur les hypothèses des méthodes déterministes, cette correction sera appliquée au triangle de l’année \(N + 1\) pour obtenir le triangle corrigé suivant.

La provision pour l’année \(N + 1\) sera calculée en utilisant le triangle corrigé, ce qui corrige les effets d’accélération et annule les biais générés par les données précédentes.

Estimations des cadences \(x_{i,j}\)

Posons \(\text{CL}\) et \(\text{TA}\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}^n\) qui, à une matrice carrée \(X\) de taille \(n \times n\) (triangle de paiement pour l’année \(N\)), associent les provisions \(P^{(N)}_{\text{cl}}\) et \(P^{(N)}_{\text{ta}}\) respectivement calculées avec la méthode de Chain Ladder et la méthode de Taylor Arithmétique. On a :

\[ \text{CL}(T^{(N)}) = P^{(N)}_{\text{cl}} \quad \text{et} \quad \text{TA}(T^{(N)}) = P^{(N)}_{\text{ta}}. \]

Les provisions \(P^{(N)}_{\text{cl}}\) et \(P^{(N)}_{\text{ta}}\) dépendent des variables \(x_{i,j}\). L’objectif est de déterminer ces variables pour que :

\[ P^{(N)}_{\text{cl}} = PT^N \quad \text{et/ou} \quad P^{(N)}_{\text{ta}} = PT^N. \]

Les expressions respectives de \(P^{(N)}_{\text{cl}}\) et \(P^{(N)}_{\text{ta}}\) découragent rapidement quiconque souhaite s’aventurer dans une résolution d’équations à plusieurs variables. Une approche possible consiste à considérer le problème d’optimisation suivant :

\[ \min_{X} \sum_{i,j} (C^N_{i,j} - x_{i,j})^2 \]

sous les contraintes :

\[ K = \begin{cases} \sum_{i,j} x_{i,j} = 0, \\ C^N_{i,j} - x_{i,j} > 0 \quad \forall i, j, \\ P^{(N)}_{\text{cl}} = PT^N \quad \text{et/ou} \quad P^{(N)}_{\text{ta}} = PT^N. \end{cases} \]

Avec la contrainte \(\sum_{i,j} x_{i,j} = 0\), les périodes de paiement et de survenance des montants sont modifiées dans le triangle, sans affecter le montant total réglé pendant la période considérée. La contrainte \(P^{(N)}_{\text{cl}} = PT^N\) et/ou \(P^{(N)}_{\text{ta}} = PT^N\) permet de calculer les \(x_{i,j}\) de manière à ce que les provisions obtenues avec le nouveau triangle soient suffisamment proches de la prestation totale observée.

Existence et unicité de la solution

Posons à présent le problème suivant, qui servira de fil conducteur :

\[ \min_{x \in S} f(x), \quad \text{sous} \quad S = \{x \in \mathbb{R}^n \mid g(x) \leqslant 0, h(x) = 0\}, \] où les fonctions \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), \(g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), et \(h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) sont typiquement non linéaires, et \(S \subset \mathbb{R}^n\). On a les théorèmes suivants permettant d’affirmer l’existence et l’unicité de la solution :

Théorème 1 (Existence) : Si \(f: S \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) est continue et si de plus \(S\) est un ensemble compact, alors le problème d’optimisation admet une solution optimale \(\hat{x} \in K\), qui vérifie donc \(f(\hat{x}) \leqslant f(x)\) pour tout \(x \in K\).

Théorème 2 (Unicité) : Si \(f: S \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) est strictement convexe sur \(K\) convexe, alors le minimum de \(f\) sur \(K\), s’il existe, est unique.

La première étape est de démontrer que l’ensemble \(K\), défini comme suit, est un ensemble compact. \(K\) peut être interprété comme l’intersection de trois sous-ensembles \(K_1\), \(K_2\) et \(K_3\). L’ensemble \(K_1 = \{(x_{i,j}) \mid \sum_{i,j} x_{i,j} = 0\}\) est fermé car il est défini par une égalité linéaire, ce qui implique qu’il est un sous-espace affine de dimension \(n^2 - 1\).

L’ensemble \(K_3\), défini par la contrainte de bornitude : \[ K_3 = \{(x_{i,j}) \mid C^N_{i,j} - x_{i,j} > 0 \quad \forall i, j\}, \] est borné et fermé, car \(|x_{i,j}| \leqslant \max T^N \quad \forall i, j\). Par conséquent, \(K_1 \cap K_3\) est borné, et ainsi, \(K_1 \cap K_2 \cap K_3\) est également borné. Grâce au théorème, nous pouvons affirmer l’existence d’une solution à ce problème. De plus, la fonction \(f\) est strictement convexe, car il s’agit de la somme de fonctions strictement convexes. On a donc également l’unicité de la solution.

Calcul des provisions

Une fois les \(x_{i,j}\) determinés, la correction des cadences appliquée, le tableau est mis à jour et le calcul normal des IBNR est refait. Malheureusement, ce calcul n’a pas été effectué, car dans le pire des cas, il s’agissait d’optimiser une fonction non linéaire avec plus de 665 variables. Le temps de calcul devenait alors trop important. Il n’est donc pas possible de déterminer si cette méthode fonctionne ou non.