Supongamos que se quiere calcular la integral definida:
\[\begin{align} I = \int_a^b{f(x)dx} \end{align}\]
Se parte de la definición de esperanza, valor esperado o media de una variable aleatoria \(x\). Si \(x\) es una variable aleatoria y \(f(x)\) su función de densidad de probabilidad, entonces:
\[\begin{align} E(x) = \int_{-\infty}^\infty xf(x)dx \end{align}\]
Además:
\[\begin{align} E(g(x)) = \int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx \end{align}\]
Por ejemplo, si \(g(x)=x^2\), entonces:
\[\begin{align} E(x^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx \end{align}\]
Ahora, recuerde que, si \(x\) es una variable aleatoria que distribuye uniforme entre \(0\) y \(1\), esto es:
\[\begin{align} x \sim U(0,1) \end{align}\]
Entonces:
\[\begin{align} f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & 0 \leq x \leq 1 \\ \\ 0 & dlc \\ \end{array} \right. \end{align}\]
Entonces,
\[\begin{align} E(g(x))&= \int_0^1 g(x)*1~ dx\\ \\ E(g(x))&= \int_0^1 g(x) dx \end{align}\]
Es necesario tener en cuenta que:
\[\begin{align} E(x)&= \mu_x\\ \hat{\mu_x}&=\bar{x}\\ \bar{x} &= \frac{\sum_{i=1}^n xi}{n} \end{align}\]
Por lo tanto:
\[\begin{align} E(g(x)) &= \mu_{g(x)}\\ \hat{\mu}_{g(x)}&=\bar{g(x)}\\ \bar{g(x)} &= \frac{\sum_{i=1}^n g(xi)}{n} \end{align}\]
Por lo tanto:
\[\begin{align} \int_0^1 g(x)dx &= \frac{\sum_{i=1}^n g(xi)}{n} \end{align}\]
Resuelva \[\begin{align} \int_0^1 xe^x~dx \end{align}\]
De forma exacta y aproxime la solución usando números aleatorios.
De manera exacta usamos integración por partes. Recuerde LIATE y que:
\[\begin{align} \int u~dv &= uv - \int v~du \end{align}\]
Por lo tanto:
\[\begin{align} u&=x \rightarrow du = dx\\ \\ dv &= e^x~dx \rightarrow v=e^x \end{align}\]
Aplicando la ecuación de integración por partes:
\[\begin{align} \int_0^1 xe^x~dx &= xe^x - \int_0^1 e^x~dx\\ \\ \int_0^1 xe^x~dx &= xe^x -e^x \Big|_0^1\\ \\ xe^x -e^x \Big|_0^1 &=\left[ 1*e^1-e^1 \right] - \left[ 0*e^0-e^0 \right]\\ \\ \int_0^1 xe^x~dx &= 1 \end{align}\]
Ahora se realiza la aproximación mediante números pseudoaleatorios. Se generan \(20\) números aleatorios como sigue:
Warning: package 'knitr' was built under R version 4.4.2| Pseudoaleatorios \(x_i\) |
|---|
| 0.2875775 |
| 0.7883051 |
| 0.4089769 |
| 0.8830174 |
| 0.9404673 |
| 0.0455565 |
| 0.5281055 |
| 0.8924190 |
| 0.5514350 |
| 0.4566147 |
| 0.9568333 |
| 0.4533342 |
| 0.6775706 |
| 0.5726334 |
| 0.1029247 |
| 0.8998250 |
| 0.2460877 |
| 0.0420595 |
| 0.3279207 |
| 0.9545036 |
Se evalúan los números aleatorios en \(g(x) = xe^x\), obteniendo lo siguiente:
| Pseudoaleatorios \(x_i\) | \(g(x_i) = x_ie^{x_i}\) |
|---|---|
| 0.2875775 | 0.3833966 |
| 0.7883051 | 1.7340073 |
| 0.4089769 | 0.6156235 |
| 0.8830174 | 2.1352998 |
| 0.9404673 | 2.4087041 |
| 0.0455565 | 0.0476799 |
| 0.5281055 | 0.8955173 |
| 0.8924190 | 2.1784194 |
| 0.5514350 | 0.9571489 |
| 0.4566147 | 0.7208671 |
| 0.9568333 | 2.4910575 |
| 0.4533342 | 0.7133439 |
| 0.6775706 | 1.3341964 |
| 0.5726334 | 1.0152388 |
| 0.1029247 | 0.1140825 |
| 0.8998250 | 2.2128250 |
| 0.2460877 | 0.3147491 |
| 0.0420595 | 0.0438663 |
| 0.3279207 | 0.4551798 |
| 0.9545036 | 2.4792097 |
Si se realiza la suma de \(g(x_i)\) se obtiene:
\[ \sum_1^{20} g(x_i) = 23.25041 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{\sum_1^{20}g(x_i)} {n} = \frac{23.25041}{20} =1.16 \]
Obteniendo una buena aproximación para
\[\int_0^1 xe^x \approx \frac{\sum_1^{20}f(x_i)} {n} =1.16 \]
#Generando aleatorios
set.seed(123)
numeros <- runif(1000)
#Evaluando en g(x)
evaluacion <- numeros * exp(numeros)
#Aproximación
aproximacion <- mean(evaluacion)
aproximacion[1] 0.9912536Resuelva \[\begin{align} \int_0^1 xln(x)~dx \end{align}\]
De forma exacta y aproxime la solución usando números aleatorios.
De manera exacta usamos integración por partes. Recuerde LIATE y que:
\[\begin{align} \int u~dv &= uv - \int v~du \end{align}\]
Por lo tanto:
\[\begin{align} u&= ln (x) \rightarrow du = \frac{1}{x} dx\\ \\ dv &= x~dx \rightarrow v=\frac{x^2}{2} \end{align}\]
Aplicando la ecuación de integración por partes:
\[\begin{align} \int_0^1 xln(x)~dx &= ln(x)\frac{x^2}{2} - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \frac{1}{x}~dx\\ \\ \int_0^1 xln(x)~dx &= ln(x)\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\int_0^1 x~dx\\ \\ \int_0^1 xln(x)~dx &= ln(x) \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} \Big|_0^1\\ \\ \int_0^1 xln(x)~dx &= \left[ ln(1) \frac{1^2}{2} - \frac{1^2}{4} \right] - \left[ ln(0) \frac{0^2}{2} - \frac{0^2}{4} \right]\\ \\ \int_0^1 xln(x)~dx &= - \frac{1}{4} \end{align}\]
Ahora se realiza la aproximación mediante números pseudoaleatorios. Se generan \(20\) números aleatorios como sigue:
| Pseudoaleatorios \(x_i\) |
|---|
| 0.2875775 |
| 0.7883051 |
| 0.4089769 |
| 0.8830174 |
| 0.9404673 |
| 0.0455565 |
| 0.5281055 |
| 0.8924190 |
| 0.5514350 |
| 0.4566147 |
| 0.9568333 |
| 0.4533342 |
| 0.6775706 |
| 0.5726334 |
| 0.1029247 |
| 0.8998250 |
| 0.2460877 |
| 0.0420595 |
| 0.3279207 |
| 0.9545036 |
Se evalúan los números aleatorios en \(g(x) = xln(x)\), obteniendo lo siguiente:
| Pseudoaleatorios \(x_i\) | \(g(x_i) = x_iln{x_i}\) |
|---|---|
| 0.2875775 | -0.3583972 |
| 0.7883051 | -0.1875142 |
| 0.4089769 | -0.3656649 |
| 0.8830174 | -0.1098565 |
| 0.9404673 | -0.0577244 |
| 0.0455565 | -0.1407150 |
| 0.5281055 | -0.3371738 |
| 0.8924190 | -0.1015747 |
| 0.5514350 | -0.3282314 |
| 0.4566147 | -0.3579473 |
| 0.9568333 | -0.0422213 |
| 0.4533342 | -0.3586443 |
| 0.6775706 | -0.2637386 |
| 0.5726334 | -0.3192486 |
| 0.1029247 | -0.2340258 |
| 0.8998250 | -0.0949810 |
| 0.2460877 | -0.3450315 |
| 0.0420595 | -0.1332727 |
| 0.3279207 | -0.3656262 |
| 0.9545036 | -0.0444453 |
Si se realiza la suma de \(f(x_i)\) se obtiene:
\[ \sum_1^{20} g(x_i) = -4.546035 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{\sum_1^{20}g(x_i)} {n} = \frac{-4.546035}{20} =-0.2273017 \]
Obteniendo una buena aproximación para
\[\int_0^1 xln(x) \approx \frac{\sum_1^{20}g(x_i)} {n} =-0.2273017\]
#Generando aleatorios
set.seed(123)
numeros <- runif(1000)
#Evaluando en g(x)
evaluacion <- numeros * log(numeros)
#Aproximación
aproximacion <- mean(evaluacion)
aproximacion[1] -0.2514037En el caso en que los límites de integración \(a \neq 0\) y \(b \neq 1\) se puede aplicar la corrección siguiente para la aproximación:
\[\begin{align} \int_a^b g(x)~dx \approx (b-a) \frac{\sum_1^n g(x_i)}{n} \end{align}\]
Resuelva \[\begin{align} \int_2^5 xe^x~dx \end{align}\]
De forma exacta y aproxime la solución usando números aleatorios.
De manera exacta usamos integración por partes. Recuerde LIATE y que:
\[\begin{align} \int u~dv &= uv - \int v~du \end{align}\]
Por lo tanto:
\[\begin{align} u&=x \rightarrow du = dx\\ \\ dv &= e^x~dx \rightarrow v=e^x \end{align}\]
Aplicando la ecuación de integración por partes:
\[\begin{align} \int_2^5 xe^x~dx &= xe^x - \int_2^5 e^x~dx\\ \\ \int_2^5 xe^x~dx &= xe^x -e^x \Big|_2^5\\ \\ xe^x -e^x \Big|_2^5 &=\left[ 5*e^5-e^5 \right] - \left[ 2*e^2-e^2 \right]\\ \\ \int_2^5 xe^x~dx &= 4e^5-e^2 = 578.263 \end{align}\]
Ahora se realiza la aproximación mediante números pseudoaleatorios. Se generan \(20\) números aleatorios, entre \(a=2\) y \(b=5\) como sigue:
| Pseudoaleatorios \(x_i\) |
|---|
| 2.862733 |
| 4.364915 |
| 3.226931 |
| 4.649052 |
| 4.821402 |
| 2.136669 |
| 3.584316 |
| 4.677257 |
| 3.654305 |
| 3.369844 |
| 4.870500 |
| 3.360002 |
| 4.032712 |
| 3.717900 |
| 2.308774 |
| 4.699475 |
| 2.738263 |
| 2.126179 |
| 2.983762 |
| 4.863511 |
Se evalúan los números aleatorios en \(g(x) = xe^x\), obteniendo lo siguiente:
[1] 4848.976| Pseudoaleatorios \(x_i\) | \(g(x_i) = e^{x_i}\) |
|---|---|
| 2.862733 | 50.12446 |
| 4.364915 | 343.26894 |
| 3.226931 | 81.32571 |
| 4.649052 | 485.76044 |
| 4.821402 | 598.52397 |
| 2.136669 | 18.10011 |
| 3.584316 | 129.13834 |
| 4.677257 | 502.68764 |
| 3.654305 | 141.20475 |
| 3.369844 | 97.97484 |
| 4.870500 | 635.04550 |
| 3.360002 | 96.73199 |
| 4.032712 | 227.50017 |
| 3.717900 | 153.09509 |
| 2.308774 | 23.23107 |
| 4.699475 | 516.42274 |
| 2.738263 | 42.33385 |
| 2.126179 | 17.82327 |
| 2.983762 | 58.96518 |
| 4.863511 | 629.71765 |
Si se realiza la suma de \(g(x_i)\) se obtiene:
\[ \sum_1^{20} g(x_i) = 4848.976 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{\sum_1^{20}g(x_i)} {n} = \frac{4848.976}{20} =242.4488 \]
Obteniendo una buena aproximación para
\[\int_2^5 xe^x \approx (b-a) \frac{\sum_1^{20}g(x_i)} {n} =727.3464\]
#Generando aleatorios
set.seed(123)
a <- 2
b <- 5
numeros <- runif(1000, min = a, max=b)
#Evaluando en g(x)
evaluacion <- numeros * exp(numeros)
#Aproximación
aproximacion <- (b-a)*mean(evaluacion)
aproximacion[1] 578.9831