Restricted Maximum Likelihood (REML) merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menduga parameter ragam dalam model multilevel (Patterson dan Thompson, 1971). REML merupakan pengembangan dari metode maksimum likelihood yang dirancang untuk mengatasi bias dalam pendugaan parameter ragam.

Contoh Kasus : Misalkan kita memiliki data tinggi tanaman (Height) yang dipengaruhi oleh dua faktor:

  1. Faktor tetap: Jenis pupuk (Fertilizer)
  2. Faktor acak: Lokasi lahan (Farm)

Tujuan: Menggunakan REML untuk mengestimasi variabilitas antar lokasi serta efek pupuk terhadap tinggi tanaman.

library(lme4)
## Loading required package: Matrix
library(RLRsim) 
set.seed(123)

# Simulasi data
n_farms <- 10  # Jumlah lokasi (random effect)
n_obs <- 5     # Observasi per lokasi
n <- n_farms * n_obs  # Total observasi

Farm <- factor(rep(1:n_farms, each = n_obs))  # Faktor acak (lokasi)
Fertilizer <- factor(rep(c("A", "B"), times = n / 2))  # Faktor tetap (pupuk)

# Efek acak dari lokasi
farm_effect <- rnorm(n_farms, mean = 0, sd = 5)  # Variasi antar lokasi

# Tinggi tanaman dengan faktor tetap & acak
Height <- 50 + 3 * as.numeric(Fertilizer) + farm_effect[as.numeric(Farm)] + rnorm(n, mean = 0, sd = 2)

# Buat data frame
data <- data.frame(Farm, Fertilizer, Height)

# Lihat contoh data
head(data)
##   Farm Fertilizer   Height
## 1    1          A 52.64579
## 2    1          B 53.91725
## 3    1          A 50.99916
## 4    1          B 53.41899
## 5    1          A 49.08594
## 6    2          B 58.42294
# membuat model random effect dengan REML menggunakan lmer
model <- lmer(Height ~ Fertilizer + (1 | Farm), data = data, REML = TRUE)
summary(model)
## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: Height ~ Fertilizer + (1 | Farm)
##    Data: data
## 
## REML criterion at convergence: 233.9
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.30198 -0.46767 -0.02415  0.53157  1.98042 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  Farm     (Intercept) 20.424   4.519   
##  Residual              3.548   1.884   
## Number of obs: 50, groups:  Farm, 10
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error t value
## (Intercept)  53.3324     1.4789  36.062
## FertilizerB   3.3368     0.5434   6.141
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## FertilizerB -0.184
# Melakukan Uji Hipotesi variansi dalam komponen acak
# H0 : Tidak ada varians dalam komponen acak (artinya tidak ada efek acak atau error tidak memiliki struktur varians tambahan).
# H1 : Ada varians dalam komponen acak (efek acak signifikan atau error memiliki struktur varians tambahan).
lrt_test <- exactRLRT(model)
print(lrt_test)
## 
##  simulated finite sample distribution of RLRT.
##  
##  (p-value based on 10000 simulated values)
## 
## data:  
## RLRT = 58.529, p-value < 2.2e-16

Keterangan :

Metode REML digunakan untuk mengestimasi variansi komponen acak secara lebih akurat dibanding ML, terutama ketika ukuran sampel kecil. Model ini sering digunakan dalam analisis data hierarkis atau model campuran di berbagai bidang seperti pertanian, biostatistik, dan ilmu sosial.

Pembahasan :

  1. Estimasi rata-rata jenis pupuk : \(\hat{\alpha}=53.3324\).

  2. Estimasi varians error \(\hat{\sigma^{2}}=3.548\).

  3. Estimasi varians efek acak ‘Farm’ \(\hat{\sigma^{2}_{u}}=20.424\).

  4. Berdasarkan hasil uji hipotesis diperoleh Tolak H0, dengan menggunakan taraf signifikansi 5%, bahwa terdapat efek acak dalam model, sehingga efek acak diperlukan ke dalam model untuk mengetahui variabilitas antar farm