INFERENCIA ESTADÍSTICA

Propiedades de las distribuciones: Chi-cuadrada, F y t

Práctica 2

José Antonio López Torres

Introducción

En esta práctica veremos el comportamiento de las distribuciones chi-cuadrada, F y t mediante simulaciones, además de aprender a calcular probabilidades y cuantiles de dichas distribuciones.

Objetivos

  1. Identificar el comportamiento de las distribuciones chi-cuadrada, F y t.
  2. Obtener probabilidades y cuantiles de las distribuciones mencionadas.

DESARROLLO

  1. En esta primera parte simulamos 1000 numeros aleatorios de distribución Normal, después guardamos los 1000 en 5 variables \(X_i\) para despues formar la siguiente variable: \[Y=X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2+X_5^2\] Esto en R se ve así:
x1=rnorm(1000,0,1)
x2=rnorm(1000,0,1)
x3=rnorm(1000,0,1)
x4=rnorm(1000,0,1)
x5=rnorm(1000,0,1)

Y= x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2
hist(Y,col="blue",main="Histograma de Y")

Podemos observar que el histograma no es tan simetrico.

  1. Simule 1000 números aleatorios de una distribución:
  1. Chi-cuadrada con grados de libertad 2,5,20,50.
w1=rchisq(1000,2) 
hist(w1,col="yellow",main="chi-cuadrada k=2")

w2=rchisq(1000,5)
hist(w2,col="yellow",main="chi-cuadrada k=5")

w3=rchisq(1000,20)
hist(w3,col="yellow",main="chi-cuadrada k=20")

w4=rchisq(1000,50)
hist(w4,col="yellow",main="chi-cuadrada k=50")

  1. t con grados de libertad 2,5,20,50.
q1=rt(1000,2) 
hist(q1,col="green",main="t-student k=2")

q2=rt(1000,5) 
hist(q2,col="green",main="t-student k=5")

q3=rt(1000,20) 
hist(q3,col="green",main="t-student k=20")

q4=rt(1000,50) 
hist(q4,col="green",main="t-student k=50")

  1. F con grados de libertad m=2,5,10,50 y n=2,5,10,5.
f1=rf(1000,2,5)
hist(f1,col="violet",main="F con  m=2 y n=5")

f2=rf(1000,5,10)
hist(f2,col="violet",main="F con  m=5 y n=10")

f3=rf(1000,10,50)
hist(f3,col="violet",main="F con  m=10 y n=50")

En esta segunda parte de la práctica, podemos observar que en cada uno de los 3 casos, cuando se incrementan los grados de libertad se muestra que el histograma se desplaza hacia la derecha y va tomando una forma más simétrica.

  1. Determine:
  1. el valor de los percentiles de \(\chi_{4,0.05}^2\) y \(\chi_{20,0.95}^2\)
perchi1<-qchisq(0.05,4)
perchi1
## [1] 0.710723
perchi2<-qchisq(0.95,20)
perchi2
## [1] 31.41043
  1. las probabilidades \(p(\chi_{26}^2>35.56)\) y \(p(\chi_{50}^2\leq 63.17)\).
prob_35.56<-pchisq(35.56,26,lower.tail=FALSE)
prob_35.56
## [1] 0.1000627
prob_63.17<-pchisq(63.17,50)
prob_63.17
## [1] 0.9000432
  1. Determine el valor del percentil \(t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}\)para:
  1. \(n=9\), \(\alpha=0.1\)
pert1<-qt(0.05,8)
pert1
## [1] -1.859548
  1. \(n=5\), \(\alpha=0.05\)
pert2<-qt(0.025,4)
pert2
## [1] -2.776445
  1. Determine el valor valor del percentil \(F_{m,n,\frac{\alpha}{2}}\) para:
  1. \(m=5,\ n=30,\ \alpha= 0.01\)
perf1<-qt(0.005,5,30)
perf1
## [1] 16.27471
  1. \(m=20,\ n=2,\ \alpha= 0.05\)
perf2<-qt(0.025,20,2)
perf2
## [1] 0.04049921

Conclusión

Como se pudo ver, pudimos hacer todos los requerimientos de la practica sin inconveninte alguno, aprendimos además, a utilizar las funciones en R y se pudo notar que entre mayores sean los grados de libertad de las diferentes distribuciones, sus respectivos histogramas tienden a tomar una forma simétrica.