Caso 06 Técnicas de conteo Principio aditivo multiplicativo y diagrama de árbol
Miriam Lizeth Borja Berumen
2025-02-24
1 Objetivo
Aplicar y simular algunas técnicas de conteo para determinar probabilidades.
2 Descripción
Cargar librerías
Generar datos a partir de la función source()
Aplicar técnicas de conteo aditivo y multiplicativo
Interpretar resultados de técnicas de conteo
Interpretar diagrama de árbol
Interpretar probabilidades elementales
3 Marco conceptual
3.1 ¿Que son las técnicas de conteo en probabilidad?
Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de casos o eventos o situaciones a partir de contabilizar cada uno de ellos dentro de un espacio muestral.
El espacio muestral se define con una literal matemática S
3.1.1 Principio suma o aditivo
Contar cuántas ocasiones existe de un evento dentro de un espacio muestral.
Se tienen cuatro opciones a elegir en un espacio muestral identificada S, ¿Cual es el número de opciones?.
Imaginar que se tienen ciertas opciones ’A, B, C y D para desplazarse de un lugar a otro.
S <- c("A", 'B', 'C', 'D')
n.opciones <- length(S)
paste("El número total de opciones de S es cuatro.", n.opciones)## [1] "El número total de opciones de S es cuatro. 4"El principio aditivo significa contar las opciones.
¿En cuántas ocasiones existe A dentro de S?. Una ¿En cuántas ocasiones existe B dentro de S?. Una ¿En cuántas ocasiones existe C dentro de S?. Una.
Imaginar que se acude a una tienda de ropa se pueden elegir algún producto de entre varios de ellos; pantalones, camisas, playeras, zapatos.
Se identifica S nuevamente como espacio muestral que contiene todos los elementos de la muestra.
productos <- c('PANTALON', 'CAMISA', 'PLAYERA', 'ZAPATO')
productos## [1] "PANTALON" "CAMISA" "PLAYERA" "ZAPATO"n.productos <- length(productos)
paste("El número total de opciones de productos diferentes es: ", n.productos)## [1] "El número total de opciones de productos diferentes es: 4"3.1.2 Principio multiplicativo
Combina el principio aditivo con la operación de multiplicación.
Se trata de multiplicar las opciones de un tipo por las opciones de otro tipo y sumar los resultados de cada alternativa.
Se decide ir a una tienda de ropa, se puede adquirir, P Pantalones, C Camisas, P Playeras, Z Zapatos; existe por cada producto marcas de fabricantes específicas. De cada tipo de productos existen diferentes marcas X, Y y Z. De igual forma se puede elegir alguna talla de cualquier marca de algún tipo de productos.
La idea es determinar la cantidad de opciones que se tienen en total utilizando el principio multiplicativo.
¿Cuántas y cuáles opciones existen para elegir un sólo producto diferente?, Es el total de productos. Resp. cuatro opciones, un producto diferente de cada uno.
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de pantalón. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de camisa. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de playera. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de zapato. Resp. tres
marcas <- c("X", "Y", "Z")
n.marcas <- length(marcas)
paste("Marcas diferentes a elegir son: ", n.marcas)## [1] "Marcas diferentes a elegir son: 3"- ¿Cuántas opciones existen para elegir un tipo de producto de alguna marca en particular?. Resp.
\[ 4\text{ productos diferentes}\times 3\text{ marcas diferentes} = 12 \]
paste("Alternativas de elegir producto y marca diferente son: ", n.productos * n.marcas)## [1] "Alternativas de elegir producto y marca diferente son: 12"Existe variedad en tallas de cada producto diferente, es decir, los pantalones, las camisas y las playeras tienen tallas diferentes, C Chica, M Mediana, G Grande, X Extra Grande:
De los pantalones existe talla C, M y G, son tres tallas
De las camisas existen tallas M y G, son dos tallas
De las playeras existen tallas C, M, G y X, son cuatro tallas
De los zapatos existen medidas 24, 25, 26, 27 y 28 en tallas centímetros., son cinco tallas o medidas.
tallas.PANTALON <- c("C", "M", "G")
tallas.CAMISAS <- c("M", "G")
tallas.PLAYERAS <- c("C", "M", "G", "X")
# Los zapatos tienen medidas particulares
tallas.ZAPATOS <- as.character(c(24:28))
tallas.PANTALON## [1] "C" "M" "G"tallas.CAMISAS## [1] "M" "G"tallas.PLAYERAS## [1] "C" "M" "G" "X"tallas.ZAPATOS## [1] "24" "25" "26" "27" "28"¿Cuántas opciones hay en total de elegir un producto distinto de marca diferente y de talla única?.
n.tallas.pantalones <- length(tallas.PANTALON)
n.tallas.camisas <- length(tallas.CAMISAS)
n.tallas.playeras <- length(tallas.PLAYERAS)
n.tallas.zapatos <- length(tallas.ZAPATOS)
n.opciones <- (n.marcas * n.tallas.pantalones) + (n.marcas * n.tallas.camisas) + (n.marcas * n.tallas.playeras) + (n.marcas * n.tallas.zapatos)
paste("Existen varias alternativas de elegir producto, marca y talla diferente, son: ", n.opciones)## [1] "Existen varias alternativas de elegir producto, marca y talla diferente, son: 42"\[ opciones = (n.marcas \times n.tallas.pantalones) + (n.marcas \times n.tallas.camisas) + \\ (n.marcas \times n.tallas.playeras) + (n.marcas \times n.tallas.zapatos) \]
Si se multiplica el número de opciones de marcas de cada producto por sus correspondientes tallas y sumando parcialmente cada resultado para determinar finalmente el total de opciones.
Se aplica un principio aditivo y multiplicativo para encontrar la cantidad de opciones y poder elegir un producto de entre todo el espacio muestral S.
¿Que sucede si de entre todos los productos hay alternativas de seleccionar para el género femenino y para el género masculino?
\[ opciones = (n.marcas \times n.tallas.pantalones \times n.generos) + (n.marcas \times n.tallas.camisas\times n.generos) + \\ (n.marcas \times n.tallas.playeras\times n.generos) + (n.marcas \times n.tallas.zapatos\times n.generos) \]
4 Desarrollo
4.1 Espacio muestral
Se visualiza todo el espacio muestral S
La función source() permite cargar funciones y scripts, para este ejemplo se carga un script que contiene la construcción del espacio muestral.
La función nrow() devuelve la cantidad de registros u observaciones de un data.frame.
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/scripts/ESPACIO%20MUESTRAL%20pantalones%20camisas%20playeras%20zapatos.r")##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionS## productos marcas tallas generos
## 1 PANTALON X C Femenino
## 2 PANTALON Y C Femenino
## 3 PANTALON Z C Femenino
## 4 PANTALON X M Femenino
## 5 PANTALON Y M Femenino
## 6 PANTALON Z M Femenino
## 7 PANTALON X G Femenino
## 8 PANTALON Y G Femenino
## 9 PANTALON Z G Femenino
## 10 PANTALON X C Masculino
## 11 PANTALON Y C Masculino
## 12 PANTALON Z C Masculino
## 13 PANTALON X M Masculino
## 14 PANTALON Y M Masculino
## 15 PANTALON Z M Masculino
## 16 PANTALON X G Masculino
## 17 PANTALON Y G Masculino
## 18 PANTALON Z G Masculino
## 19 CAMISA X M Femenino
## 20 CAMISA Y M Femenino
## 21 CAMISA Z M Femenino
## 22 CAMISA X G Femenino
## 23 CAMISA Y G Femenino
## 24 CAMISA Z G Femenino
## 25 CAMISA X M Masculino
## 26 CAMISA Y M Masculino
## 27 CAMISA Z M Masculino
## 28 CAMISA X G Masculino
## 29 CAMISA Y G Masculino
## 30 CAMISA Z G Masculino
## 31 PLAYERA X C Femenino
## 32 PLAYERA Y C Femenino
## 33 PLAYERA Z C Femenino
## 34 PLAYERA X M Femenino
## 35 PLAYERA Y M Femenino
## 36 PLAYERA Z M Femenino
## 37 PLAYERA X G Femenino
## 38 PLAYERA Y G Femenino
## 39 PLAYERA Z G Femenino
## 40 PLAYERA X X Femenino
## 41 PLAYERA Y X Femenino
## 42 PLAYERA Z X Femenino
## 43 PLAYERA X C Masculino
## 44 PLAYERA Y C Masculino
## 45 PLAYERA Z C Masculino
## 46 PLAYERA X M Masculino
## 47 PLAYERA Y M Masculino
## 48 PLAYERA Z M Masculino
## 49 PLAYERA X G Masculino
## 50 PLAYERA Y G Masculino
## 51 PLAYERA Z G Masculino
## 52 PLAYERA X X Masculino
## 53 PLAYERA Y X Masculino
## 54 PLAYERA Z X Masculino
## 55 ZAPATO X 24 Femenino
## 56 ZAPATO Y 24 Femenino
## 57 ZAPATO Z 24 Femenino
## 58 ZAPATO X 25 Femenino
## 59 ZAPATO Y 25 Femenino
## 60 ZAPATO Z 25 Femenino
## 61 ZAPATO X 26 Femenino
## 62 ZAPATO Y 26 Femenino
## 63 ZAPATO Z 26 Femenino
## 64 ZAPATO X 27 Femenino
## 65 ZAPATO Y 27 Femenino
## 66 ZAPATO Z 27 Femenino
## 67 ZAPATO X 28 Femenino
## 68 ZAPATO Y 28 Femenino
## 69 ZAPATO Z 28 Femenino
## 70 ZAPATO X 24 Masculino
## 71 ZAPATO Y 24 Masculino
## 72 ZAPATO Z 24 Masculino
## 73 ZAPATO X 25 Masculino
## 74 ZAPATO Y 25 Masculino
## 75 ZAPATO Z 25 Masculino
## 76 ZAPATO X 26 Masculino
## 77 ZAPATO Y 26 Masculino
## 78 ZAPATO Z 26 Masculino
## 79 ZAPATO X 27 Masculino
## 80 ZAPATO Y 27 Masculino
## 81 ZAPATO Z 27 Masculino
## 82 ZAPATO X 28 Masculino
## 83 ZAPATO Y 28 Masculino
## 84 ZAPATO Z 28 MasculinoN <- nrow(S) # nrow determina la cantidad de observacionesEn caso de que hubiese sólo un artículo de cada tipo de producto de cada marca de cada talla.
¿Cuántas opciones hay de elegir un pantalón de entre todo el espacio muestral? Resp. 18/84=0.2142=2118/84=0.2142=21
La función subset() en R significa hacer un filtro, entre paréntesis se le indica de cual data.frame procesar seguido de alguna condición que es precisamente la que hace el filtro. subset(data.frame, condicion)
producto <- "PANTALON"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos## productos marcas tallas generos
## 1 PANTALON X C Femenino
## 2 PANTALON Y C Femenino
## 3 PANTALON Z C Femenino
## 4 PANTALON X M Femenino
## 5 PANTALON Y M Femenino
## 6 PANTALON Z M Femenino
## 7 PANTALON X G Femenino
## 8 PANTALON Y G Femenino
## 9 PANTALON Z G Femenino
## 10 PANTALON X C Masculino
## 11 PANTALON Y C Masculino
## 12 PANTALON Z C Masculino
## 13 PANTALON X M Masculino
## 14 PANTALON Y M Masculino
## 15 PANTALON Z M Masculino
## 16 PANTALON X G Masculino
## 17 PANTALON Y G Masculino
## 18 PANTALON Z G Masculinon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 18 opciones de elegir un(a) PANTALON de entre todo el espacio muestral , representan 0.2143 o sea 21.43 % del total del espacio muestral"- ¿Cuántas opciones hay de elegir una camisa de entre todo el espacio muestral? Resp. 12/84=1428=14
producto <- "CAMISA"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos## productos marcas tallas generos
## 19 CAMISA X M Femenino
## 20 CAMISA Y M Femenino
## 21 CAMISA Z M Femenino
## 22 CAMISA X G Femenino
## 23 CAMISA Y G Femenino
## 24 CAMISA Z G Femenino
## 25 CAMISA X M Masculino
## 26 CAMISA Y M Masculino
## 27 CAMISA Z M Masculino
## 28 CAMISA X G Masculino
## 29 CAMISA Y G Masculino
## 30 CAMISA Z G Masculinon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 12 opciones de elegir un(a) CAMISA de entre todo el espacio muestral , representan 0.1429 o sea 14.29 % del total del espacio muestral"- ¿Cuántas opciones hay de elegir una playera de entre todo el espacio muestral? Resp. 24/84=0.2857=28
producto <- "PLAYERA"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos## productos marcas tallas generos
## 31 PLAYERA X C Femenino
## 32 PLAYERA Y C Femenino
## 33 PLAYERA Z C Femenino
## 34 PLAYERA X M Femenino
## 35 PLAYERA Y M Femenino
## 36 PLAYERA Z M Femenino
## 37 PLAYERA X G Femenino
## 38 PLAYERA Y G Femenino
## 39 PLAYERA Z G Femenino
## 40 PLAYERA X X Femenino
## 41 PLAYERA Y X Femenino
## 42 PLAYERA Z X Femenino
## 43 PLAYERA X C Masculino
## 44 PLAYERA Y C Masculino
## 45 PLAYERA Z C Masculino
## 46 PLAYERA X M Masculino
## 47 PLAYERA Y M Masculino
## 48 PLAYERA Z M Masculino
## 49 PLAYERA X G Masculino
## 50 PLAYERA Y G Masculino
## 51 PLAYERA Z G Masculino
## 52 PLAYERA X X Masculino
## 53 PLAYERA Y X Masculino
## 54 PLAYERA Z X Masculinon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 24 opciones de elegir un(a) PLAYERA de entre todo el espacio muestral , representan 0.2857 o sea 28.57 % del total del espacio muestral"- ¿Cuántas opciones hay de elegir un zapato de entre todo el espacio muestral? Resp. 30/84=0.2857=28
producto <- "ZAPATO"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos## productos marcas tallas generos
## 55 ZAPATO X 24 Femenino
## 56 ZAPATO Y 24 Femenino
## 57 ZAPATO Z 24 Femenino
## 58 ZAPATO X 25 Femenino
## 59 ZAPATO Y 25 Femenino
## 60 ZAPATO Z 25 Femenino
## 61 ZAPATO X 26 Femenino
## 62 ZAPATO Y 26 Femenino
## 63 ZAPATO Z 26 Femenino
## 64 ZAPATO X 27 Femenino
## 65 ZAPATO Y 27 Femenino
## 66 ZAPATO Z 27 Femenino
## 67 ZAPATO X 28 Femenino
## 68 ZAPATO Y 28 Femenino
## 69 ZAPATO Z 28 Femenino
## 70 ZAPATO X 24 Masculino
## 71 ZAPATO Y 24 Masculino
## 72 ZAPATO Z 24 Masculino
## 73 ZAPATO X 25 Masculino
## 74 ZAPATO Y 25 Masculino
## 75 ZAPATO Z 25 Masculino
## 76 ZAPATO X 26 Masculino
## 77 ZAPATO Y 26 Masculino
## 78 ZAPATO Z 26 Masculino
## 79 ZAPATO X 27 Masculino
## 80 ZAPATO Y 27 Masculino
## 81 ZAPATO Z 27 Masculino
## 82 ZAPATO X 28 Masculino
## 83 ZAPATO Y 28 Masculino
## 84 ZAPATO Z 28 Masculinon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 30 opciones de elegir un(a) ZAPATO de entre todo el espacio muestral , representan 0.3571 o sea 35.71 % del total del espacio muestral"4.2 Diagrama de Árbol
Es una representación gráfica que permite representar probabilidades de un espacio muestral.
La suma de las frecuencias debe ser el total de los productos.
La suma de las frecuencias relativas o probabilidades relativas debe ser 1.
La suma de las probabilidades en valores % debe ser 100%.
5 Interpretación
Son ideas personales de los participantes, alumnos sobre lo que se desarrolla, a que conclusiones llegan.
De las preguntas 1 a 3, conteste descriptiva y narrativa, de las preguntas 4 en adelante realice el cálculo de probabilidades y muestre los resultados como lo indica la pregunta 4.
¿Para que sirven técnicas de conteo aditivas y multiplicativas?
Las técnicas de conteo aditivas y multiplicativas sirven para determinar la cantidad total de formas en que pueden ocurrir eventos en un experimento sin necesidad de listarlas una por una. Se utilizan en probabilidad, combinatoria y en la toma de decisiones para contar posibilidades de manera eficiente.
¿Para que sirven?
Facilitan el cálculo de probabilidades: Ayudan a determinar el número total de casos posibles para luego calcular la probabilidad de un evento.
Optimización de conteo: Evitan contar manualmente todas las posibilidades, lo que ahorra tiempo y reduce errores.
Aplicación en combinatoria: Son la base para fórmulas de permutaciones y combinaciones, fundamentales en matemáticas y estadística.
Toma de decisiones: Se usan en análisis de escenarios en planificación, logística y algoritmos computacionales.
Resolución de problemas en la vida cotidiana: Desde la organización de horarios hasta la combinación de elementos en productos y servicios.
Diferencia entre ambas técnicas:
Técnica aditiva (Regla de la suma): Se usa cuando hay eventos excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo). Se suman las formas en que cada evento puede suceder.
Técnica multiplicativa (Regla del producto): Se usa cuando hay eventos independientes y sucesivos. Se multiplican las formas en que cada etapa puede ocurrir.
Que representa un diagrama de árbol e términos de probabilidad?
Eventos y sus posibles resultados: Cada rama del árbol muestra un posible resultado en cada etapa del experimento.
Probabilidades asociadas: Se asigna una probabilidad a cada rama, que representa la probabilidad de ocurrencia del evento en esa etapa.
Eventos sucesivos: Se usa para representar experimentos de múltiples pasos, donde el resultado de un evento afecta el siguiente.
Cálculo de probabilidades conjuntas: Permite encontrar la probabilidad de una secuencia de eventos multiplicando las probabilidades a lo largo de una rama.
3.¿Cómo determinar probabilidades?
Definir el experimento aleatorio
Identificar el espacio muestral (S)
ejemplo: s = {1,2,3,4,5,5,6}
Aplicar la regla de Laplace
- ¿Cuántas y cuáles ocasiones existen para elegir un producto que sea pantalón y del género Femenino?, ¿cuál es su probabilidad?
producto <- "PANTALON"
genero <- "Femenino"
productos <- subset(S, productos == producto & generos == genero)
productos## productos marcas tallas generos
## 1 PANTALON X C Femenino
## 2 PANTALON Y C Femenino
## 3 PANTALON Z C Femenino
## 4 PANTALON X M Femenino
## 5 PANTALON Y M Femenino
## 6 PANTALON Z M Femenino
## 7 PANTALON X G Femenino
## 8 PANTALON Y G Femenino
## 9 PANTALON Z G Femeninon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 9 opciones de elegir un(a) PANTALON Femenino de entre todo el espacio muestral , representan 0.1071 o sea 10.71 % del total del espacio muestral"- ¿Cuántas y cuáles ocasiones existen para elegir un producto que sea pantalón y del género Masculino?, ¿cuál es su probabilidad?
# Pendiente semilar al código de la pregunta 4- ¿Cuáles, cuántas opciones y cuál es la probabilidad que existe de elegir unos zapatos de marca X del género Femenino y del número 24?
producto <- "ZAPATO"
marca <- "X"
genero <- "Femenino"
talla <- "24"
productos <- subset(S, productos == producto & marcas == marca & tallas == talla & generos == genero )
productos## productos marcas tallas generos
## 55 ZAPATO X 24 Femeninon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ",marca, " ", talla, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 1 opciones de elegir un(a) ZAPATO X 24 Femenino de entre todo el espacio muestral , representan 0.0119 o sea 1.19 % del total del espacio muestral"- ¿Cuáles, cuántas opciones y cuál es la probabilidad que existe de elegir unos zapatos de marca Y del género Masculino y del número 28?
producto <- "ZAPATO"
genero <- "Masculino"
talla <- "28"
productos <- subset(S, productos == producto & generos == genero & tallas == talla)
productos## productos marcas tallas generos
## 82 ZAPATO X 28 Masculino
## 83 ZAPATO Y 28 Masculino
## 84 ZAPATO Z 28 Masculinon.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ", round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "% del total del espacio muestral")## [1] "Existen 3 opciones de elegir un(a) ZAPATO Masculino de entre todo el espacio muestral , representan 0.0357 o sea 3.57 % del total del espacio muestral"- ¿Cuáles, cuántas opciones y cuál es la probabilidad que existe de elegir unos zapatos del número 24?
# Pendiente- ¿Cuáles, cuántas opciones y cuál es la probabilidad que existe de elegir unos zapatos de marca Z del número 22?
# Pendiente