SAMPLING & SURVEY TECHNIQUES
Tiga Sigma dan Six Sigma
1. \(3\text{-}\Sigma\) dan \(6\text{-}\Sigma\)
a. \(3\text{-}\Sigma\)
Pendekatan \(3\text{-}\Sigma\) dalam pengendalian kualitas berfokus pada penggunaan batas tiga deviasi standar (\(3\sigma\)) di sekitar rata-rata (\(\mu\)) dari distribusi normal. Prinsip dasarnya adalah bahwa jika suatu proses beroperasi dalam kendali, maka sekitar 99,73% dari nilai hasil akan jatuh dalam rentang \([\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]\). Dengan kata lain, hanya sekitar 0,27% dari hasil yang diharapkan bisa berada di luar batas tersebut, mencerminkan adanya potensi cacat atau outlier dalam proses.
Perhitungan dan Contoh Kasus:
Misalkan sebuah pabrik memproduksi komponen elektronik dengan rata-rata ukuran \(\mu = 100\) mm dan deviasi standar \(\sigma = 2\) mm. Maka batas atas dan batas bawah ukuran yang dapat diterima dihitung sebagai berikut:
\[ \text{Batas bawah} = \mu - 3\sigma = 100 - (3 \times 2) = 100 - 6 = 94 \text{ mm} \]
\[ \text{Batas atas} = \mu + 3\sigma = 100 + (3 \times 2) = 100 + 6 = 106 \text{ mm} \]
Hasil:
- Batas bawah: 94 mm
- Batas atas: 106 mm
Misalkan dalam pengujian kualitas, 200 buah komponen diperiksa, dan 3 di antaranya ditemukan di luar batas tersebut, misalnya satu ukuran 93 mm dan dua ukuran 107 mm. Maka analisis lebih lanjut perlu dilakukan untuk mengidentifikasi sumber variasi dan memperbaiki proses.
b. \(6\text{-}\Sigma\)
Konsep \(6\text{-}\Sigma\) adalah metode manajemen yang dirancang untuk mengurangi cacat dan meningkatkan kualitas proses dengan identifikasi serta eliminasi penyebab variasi. Inti dari \(6\text{-}\Sigma\) adalah menerapkan batas enam deviasi standar (\(6\sigma\)) dari rata-rata, di mana diharapkan hanya ada 3,4 cacat per sejuta kesempatan (DPMO), menciptakan standar kualitas yang sangat tinggi.
Metodologi DMAIC:
Metodologi yang sering digunakan dalam \(6\text{-}\Sigma\) adalah DMAIC (Define, Measure, Analyze, Improve, Control) yang berfokus pada perbaikan berkelanjutan.
Perhitungan:
Untuk memperlihatkan aplikasi \(6\text{-}\Sigma\), misalkan ukuran rata-rata dari proses adalah \(\mu = 50\) mm dengan deviasi standar \(\sigma = 1\) mm. Maka langkah-langkah perhitungan adalah sebagai berikut:
\[ \text{Batas bawah} = \mu - 6\sigma = 50 - (6 \times 1) = 50 - 6 = 44 \text{ mm} \]
\[ \text{Batas atas} = \mu + 6\sigma = 50 + (6 \times 1) = 50 + 6 = 56 \text{ mm} \]
Hasil:
- Batas bawah: 44 mm
- Batas atas: 56 mm
Dalam skenario ini, jika perusahaan memiliki target cacat tidak lebih dari 3,4 DPMO, kita bisa menghitung total produk yang diuji. Misalkan total produksi adalah 1.000.000 unit, maka jumlah cacat yang diharapkan adalah:
\[ \text{Jumlah cacat yang diharapkan} = \frac{3,4}{1.000.000} \times 1.000.000 = 3,4 \text{ cacat} \]
Ini berarti perusahaan ingin merancang proses untuk memastikan bahwa tidak lebih dari 3,4 unit cacat dari setiap sejuta produk yang dihasilkan.
Perbandingan antara \(3\text{-}\Sigma\) dan \(6\text{-}\Sigma\)
| Aspek | \(3\text{-}\Sigma\) | \(6\text{-}\Sigma\) |
|---|---|---|
| Batas Cacat | 0,27% (3,4 DPMO) | 0,00034% (3,4 DPMO) |
| Standar Kualitas | Cukup baik, cocok untuk banyak jenis industri | Sangat tinggi, cocok untuk industri yang kritis |
| Pendekatan | Fokus pada pengendalian variasi | Fokus pada pengurangan cacat dengan alat statistik |
| Metodologi | Umum, tidak terstruktur | DMAIC yang terstruktur |
| Ukuran Sampel | Ukuran besar (>30) | Ukuran kecil (≤30) karena lebih fokus pada proses |
Dengan perhitungan yang disajikan di atas, kita bisa mendapatkan gambaran jelas tentang bagaimana kedua metode bekerja serta cara pengaplikasiannya dalam pengendalian kualitas.
2. Kapan Menggunakan Z-score dan T-score
a. Z-score
Z-score adalah ukuran statistik yang digunakan untuk menentukan seberapa banyak deviasi standar suatu nilai individu dari rata-rata populasi. Z-score sering digunakan ketika ukuran sampel besar (n > 30) dan distribusi data dianggap normal. Ini memungkinkan kita untuk membandingkan nilai-nilai dalam satu distribusi dengan nilai dalam distribusi lain, serta untuk mengidentifikasi outlier dalam data.
Penggunaan Z-score
Z-score sering diterapkan dalam pengujian hipotesis dan analisis regresi. Dengan menggunakan Z-score, kita dapat menentukan kemungkinan bahwa suatu nilai individu berasal dari suatu populasi tertentu, serta untuk menilai apakah perbedaan antara dua nilai signifikan secara statistik.
Formula Z-score:
\[ z = \frac{(X - \mu)}{\sigma} \]
Di mana:
- \(X\) adalah nilai individu yang
ingin diuji.
- \(\mu\) adalah rata-rata
populasi.
- \(\sigma\) adalah deviasi standar
populasi.
Contoh Kasus dan Penyelesaian:
Misalnya, kita memiliki data nilai ujian dari 100 siswa dengan rata-rata nilai $ = 75 $ dan deviasi standar $ = 10 $. Kita ingin menghitung Z-score untuk seorang siswa yang mendapatkan nilai ujian \(X = 85\).
Langkah-langkah perhitungan:
- Identifikasi variabel:
- \(X = 85\)
- \(\mu = 75\)
- \(\sigma = 10\)
- \(X = 85\)
- Gunakan formula Z-score:
\[ z = \frac{(X - \mu)}{\sigma} = \frac{(85 - 75)}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
Interpretasi:
- Z-score 1 menunjukkan bahwa nilai siswa tersebut 1 deviasi standar di
atas rata-rata nilai populasi. Hal ini menunjukkan bahwa siswa tersebut
berdiri di posisi yang lebih tinggi dibandingkan dengan rata-rata
kelas.
b. T-score
T-score adalah ukuran statistik yang digunakan untuk mengukur posisi nilai individu dalam konteks distribusi yang lebih kecil atau ketika varians populasi tidak diketahui. T-score digunakan terutama ketika ukuran sampel kecil (n ≤ 30). Dalam kasus-kasus ini, T-score memberikan estimasi yang lebih tepat terhadap deviasi standar populasi, karena memperhitungkan ketidakpastian tambahan.
Penggunaan T-score
T-score sering digunakan dalam pengujian hipotesis dan analisis regresi, terutama ketika informasi mengenai populasi tidak sepenuhnya tersedia atau ketika kita bekerja dengan data yang diperoleh dari sampel kecil.
Formula T-score:
\[ t = \frac{(X - \bar{X})}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]
Di mana:
- \(X\) adalah nilai individu yang
ingin diuji.
- \(\bar{X}\) adalah rata-rata dari
sampel.
- \(s\) adalah deviasi standar
sampel.
- \(n\) adalah ukuran sampel.
Contoh Kasus dan Penyelesaian:
Misalkan kita memiliki data dari 15 siswa yang mengikuti ujian dengan nilai berikut: {70, 75, 80, 85, 90, 65, 88, 76, 81, 77, 79, 83, 92, 84, 78}. Kita ingin menghitung T-score untuk seorang siswa yang mendapatkan nilai \(X = 75\).
Langkah-langkah perhitungan:
- Hitung rata-rata (\(\bar{X}\)) dan deviasi standar
(s):
- Rata-rata:
\[ \bar{X} = \frac{(70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 65 + 88 + 76 + 81 + 77 + 79 + 83 + 92 + 84 + 78)}{15} = \frac{1200}{15} = 80 \]
- Hitung deviasi standar (s):
\[ \text{Langkah pertama: hitung varians } (s^2) = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n - 1} \]
\[ s^2 = \frac{(70-80)^2 + (75-80)^2 + (80-80)^2 + (85-80)^2 + (90-80)^2 + (65-80)^2 + (88-80)^2 + (76-80)^2 + (81-80)^2 + (77-80)^2 + (79-80)^2 + (83-80)^2 + (92-80)^2 + (84-80)^2 + (78-80)^2}{15 - 1} \]
\[ = \frac{(100 + 25 + 0 + 25 + 100 + 225 + 64 + 16 + 1 + 9 + 1 + 9 + 144 + 16 + 4)}{14} \]
\[ = \frac{ 625 }{14} \approx 44.64 \]
\[ s \approx 6.68 \]
- Variabel yang telah diketahui:
- \(X = 75\)
- \(\bar{X} = 80\)
- \(s \approx 6.68\)
- \(n = 15\)
- \(X = 75\)
- Gunakan formula T-score:
\[ t = \frac{(X - \bar{X})}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{(75 - 80)}{\frac{6.68}{\sqrt{15}}} \]
Hitung nilai dalam pengali:
\[ t = \frac{-5}{\frac{6.68}{3.87}} \approx \frac{-5}{1.73} \approx -2.89 \]
Interpretasi:
- T-score -2,89 menunjukkan bahwa nilai siswa tersebut berada 2,89
deviasi standar di bawah rata-rata. Ini menggambarkan bahwa siswa
tersebut memiliki nilai yang lebih rendah dibandingkan dengan rata-rata
kelompok.
Perbandingan antara Z-score dan T-score
| Aspek | Z-score | T-score |
|---|---|---|
| Ukuran Sampel | n > 30 (besar) | n ≤ 30 (kecil) |
| Varians | Varians populasi diketahui | Varians populasi tidak diketahui |
| Penerapan | Pengujian hipotesis, analisis regresi pada data normal | Pengujian hipotesis, analisis regresi pada data kecil |
| Distribusi | Diasumsikan normal | Diasumsikan mendekati normal, tetapi lebih adaptif pada sampel kecil |
Dengan penjelasan ini, Anda sekarang memiliki pemahaman yang lebih baik tentang penggunaan Z-score dan T-score, termasuk bagaimana menghitung setiap nilai dan menerapkannya dalam konteks nyata. Jika ada bagian lain yang perlu diperluas atau ditambahkan, silakan beri tahu!