PENDAHULUAN
Restricted Maximum Likelihood Estimation (RMLE) adalah metode estimasi yang digunakan untuk memperoleh estimasi tak bias dari komponen varians dalam model linear campuran (linear mixed models).
Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh M. S. Bartlett pada tahun 1937 dan kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh Desmond Patterson dan Robin Thompson pada tahun 1971.
Dalam konteks model linear campuran, RMLE bekerja dengan memaksimalkan likelihood yang dihitung dari kombinasi linear tertentu dari data dengan menghilangkan pengaruh parameter tetap (fixed effects).
Pendekatan ini berbeda dengan Maximum Likelihood Estimation (MLE), yang dapat menghasilkan estimasi bias untuk komponen varians karena tidak mempertimbangkan kehilangan derajat kebebasan akibat estimasi parameter tetap.
Dengan memfokuskan pada komponen varians, RMLE memberikan estimasi yang tak bias.
CONTOH PENERAPAN RMLE
Model One-way Linear Random-Effects untuk menguji variabilitas antar subjek dalam pengukuran estrone pada wanita pascamenopause
Struktur Data: Terdiri dari 5 subjek (wanita pascamenopause). Setiap subjek memiliki 16 pengukuran estrone (total 80 observasi). Data diasumsikan terdistribusi normal dalam skala \(\log_{10} x\)
Bentuk Model: \[ Y_{ij} = \alpha + U_i + \epsilon_{ij} \] dimana\[ Y_{ij} : \text{pengukuran} \ \log_{10} x \ \text{estrone dari subjek ke-}i \ \text{pada replikasi ke-}j \]
\[ 𝛼 : intersep \]
\[ U_i \sim N(0, \sigma_u^2) : \text{ efek acak subjek (variasi antar subjek)} \]
\[ \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2) \]
\[ Y_{ij} \mid u_i \sim N(\alpha + u_i, \sigma^2) \]
\[ 𝑖 : 1, …, 5 \]
\[ 𝑗 : 1, …, 16 \]
TAHAPAN YANG DILAKUKAN
1. Memanggil package yang diperlukan
library(lme4)## Loading required package: Matrixlibrary(RLRsim)2. Menginput data
estrone_data <- data.frame(
Subject = rep(1:5, each = 16), # 5 subjek, masing-masing 16 replikasi
Estrone = c(
23, 23, 22, 20, 25, 22, 27, 25, 22, 22, 23, 23, 27, 19, 23, 18,
25, 33, 27, 27, 30, 28, 24, 22, 26, 30, 30, 29, 29, 37, 24, 28,
38, 38, 41, 38, 38, 32, 38, 42, 35, 40, 41, 37, 28, 36, 30, 37,
14, 16, 15, 19, 20, 22, 16, 19, 17, 18, 20, 18, 12, 17, 15, 13,
46, 36, 30, 29, 36, 31, 30, 32, 32, 31, 30, 32, 25, 29, 31, 32
)
)
# Transformasi log10
estrone_data$log_Estrone <- log10(estrone_data$Estrone)
estrone_data## Subject Estrone log_Estrone
## 1 1 23 1.361728
## 2 1 23 1.361728
## 3 1 22 1.342423
## 4 1 20 1.301030
## 5 1 25 1.397940
## 6 1 22 1.342423
## 7 1 27 1.431364
## 8 1 25 1.397940
## 9 1 22 1.342423
## 10 1 22 1.342423
## 11 1 23 1.361728
## 12 1 23 1.361728
## 13 1 27 1.431364
## 14 1 19 1.278754
## 15 1 23 1.361728
## 16 1 18 1.255273
## 17 2 25 1.397940
## 18 2 33 1.518514
## 19 2 27 1.431364
## 20 2 27 1.431364
## 21 2 30 1.477121
## 22 2 28 1.447158
## 23 2 24 1.380211
## 24 2 22 1.342423
## 25 2 26 1.414973
## 26 2 30 1.477121
## 27 2 30 1.477121
## 28 2 29 1.462398
## 29 2 29 1.462398
## 30 2 37 1.568202
## 31 2 24 1.380211
## 32 2 28 1.447158
## 33 3 38 1.579784
## 34 3 38 1.579784
## 35 3 41 1.612784
## 36 3 38 1.579784
## 37 3 38 1.579784
## 38 3 32 1.505150
## 39 3 38 1.579784
## 40 3 42 1.623249
## 41 3 35 1.544068
## 42 3 40 1.602060
## 43 3 41 1.612784
## 44 3 37 1.568202
## 45 3 28 1.447158
## 46 3 36 1.556303
## 47 3 30 1.477121
## 48 3 37 1.568202
## 49 4 14 1.146128
## 50 4 16 1.204120
## 51 4 15 1.176091
## 52 4 19 1.278754
## 53 4 20 1.301030
## 54 4 22 1.342423
## 55 4 16 1.204120
## 56 4 19 1.278754
## 57 4 17 1.230449
## 58 4 18 1.255273
## 59 4 20 1.301030
## 60 4 18 1.255273
## 61 4 12 1.079181
## 62 4 17 1.230449
## 63 4 15 1.176091
## 64 4 13 1.113943
## 65 5 46 1.662758
## 66 5 36 1.556303
## 67 5 30 1.477121
## 68 5 29 1.462398
## 69 5 36 1.556303
## 70 5 31 1.491362
## 71 5 30 1.477121
## 72 5 32 1.505150
## 73 5 32 1.505150
## 74 5 31 1.491362
## 75 5 30 1.477121
## 76 5 32 1.505150
## 77 5 25 1.397940
## 78 5 29 1.462398
## 79 5 31 1.491362
## 80 5 32 1.5051503. Membuat Model Random-Effects dengan REML
model_reml <- lmer(log_Estrone ~ 1 + (1 | Subject), data = estrone_data, REML = TRUE)
summary(model_reml)## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: log_Estrone ~ 1 + (1 | Subject)
## Data: estrone_data
##
## REML criterion at convergence: -206.1
##
## Scaled residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.56578 -0.41058 0.08074 0.57329 2.84352
##
## Random effects:
## Groups Name Variance Std.Dev.
## Subject (Intercept) 0.017494 0.13227
## Residual 0.003254 0.05705
## Number of obs: 80, groups: Subject, 5
##
## Fixed effects:
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 1.41751 0.05949 23.83Penjelasan:
Estimasi rata-rata estrone \[ \hat{\alpha} = e^{(1.41751 \times \ln(10))} = 26.1 \text{ pg/mL} \]
Estimasi varians error \[ \hat{\sigma}^2 = 0.003254 \]
Estimasi varians efek acak ‘Subjek’ \[ \hat{\sigma}_u^2 = 0.017494 \]
4. Uji Hipotesis H0: σ²u = 0 dengan exactLRT
Hipotesis: \[ H_0 : \sigma_u^2 = 0 \] \[ H_1 : \sigma_u^2 > 0 \]
lrt_test <- exactRLRT(model_reml)
print(lrt_test)##
## simulated finite sample distribution of RLRT.
##
## (p-value based on 10000 simulated values)
##
## data:
## RLRT = 114.7, p-value < 2.2e-16Keputusan: Tolak \(H_0\)
Kesimpulan: Dengan taraf signifikansi 5% terdapat cukup bukti bahwa terdapat efek acak dalam model, atau dengan kata lain efek acak perlu dimasukkan ke dalam model untuk menangkap variabilitas antar subjek
Sumber: Millar, R. B. (2011). Maximum likelihood estimation and inference: with examples in R, SAS and ADMB. John Wiley & Sons.