Tugas 2 Distribusi Probabilitas
Soal 1
1. APA ITU 3\(\sigma\) :
Konsep 3\(\sigma\) sering digunakan sebagai batas kendali dalam pengendalian kualitas. Aturan 3\(\sigma\) menyatakan bahwa Heuristik konvensional bahwa hampir semua nilai dianggap berada di luar rentang ±3 standar deviasi dari nilai rata-rata. sehingga secara empiris berguna untuk memperlakukan probabilitas 99,7% sebagai kepastian yang mendekati, ini dianggap sebagai kejadian yang tidak biasa dan mungkin mengindikasikan adanya masalah dalam proses.
2. APA ITU 6\(\sigma\) :
6\(\sigma\) adalah pendekatan berbasis data untuk peningkatan kualitas yang berupaya mengurangi cacat dan kesalahan dalam hingga mendekati nol,dimana suatu proses hingga 3,4 cacat per juta peluang DPMO, atau mencapai tingkat kualitas 99,99966% hasil berkualitas baik. Program 6\(\sigma\) menggunakan siklus perbaikan lima fase yaitu define (mendefinisikan), measure (mengukur), analyze (menganalisis), improve (memperbaiki), dan control (mengendalikan ) untuk mencapai tujuan ini.
SOAL 2
1. KAPAN PENGUNAAN Z-score DALAM PENGAMBILAN SAMPEL
- Penggunaan Z-score ini biasanya digunakan dalam menentukan ukuran sampel yang diperlukan untuk mendapatkan estimasi yang akurat terhadap parameter populasi
Contoh : Sebuah perusahaan ingin mengetahui rata-rata kepuasan pelanggan dengan tingkat kepercayaan 95% dan margin of error ±3%. Standar deviasi populasi diketahui sebesar 12 poin.
\[ n = \left( \frac{3}{1.96 \times 12} \right)^2 \]
\[ n = \left( \frac{3}{23.52} \right)^2 = 61.6 \]
Maka minimal diperlukan 62 responden agar survei dapat memberikan hasil yang akurat.
- Dapat dilakukan saat Pengujian Hipotesis untuk membandingkan rata-rata sampel dengan rata-rata populasi ketika standart deviasi populasinya telah diketahui
Contoh : Sebuah universitas mengklaim bahwa rata-rata skor ujian masuk mahasiswa baru adalah 75 dengan standar deviasi 10. Seorang peneliti mengambil sampel 50 mahasiswa dan menemukan bahwa rata-rata skor mereka adalah 78.
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \]
\[ Z = \frac{78 - 75}{\frac{10}{\sqrt{50}}} \]
\[ Z = \frac{3}{\frac{10}{7.07}} \]
\[ Z = \frac{3}{1.41} = 2.13 \] Dengan tingkat kepercayaan 95%, nilai Z-tabel = ±1.96. Karena Z-hitung (2.13) > Z-tabel (1.96), maka dapat menolak hipotesis nol, yang berarti rata-rata skor ujian lebih tinggi.
- Dapat menganalisis/mendeteksi outlier dalam suatu distribusi data. Jika nilai Z-score Lebih besar dari 3 atau kurang dari -3, maka data tersebut dianggap sebagai oulier.
Contoh : Seorang analis keuangan sedang mengamati data penjualan bulanan dari sebuah perusahaan. Data dalam satu tahun menunjukkan bahwa rata-rata penjualan adalah 100 juta dengan standar deviasi 15 juta. Namun, ada satu bulan di mana penjualan hanya mencapai 40 juta.
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
\[ Z = \frac{40 - 100}{15} \]
\[ Z = \frac{-60}{15} = -4 \]
Karena Z-score -4 dan lebih kecil dari -3, maka bulan tersebut dianggap sebagai outlier.
- Z-score juga dapat membantu mengonversi data ke skala standart sehingga dapat dibandingan dengan dataset lain.
Contoh : Seorang siswa mengikuti 2 ujian berbeda dengan skor matematika ( skor = 85, Rata-rata kelas = 75, Standart deviasi = 10), dan Fisika ( Skor = 78, Rata-rata kelas = 70, Standart deviasi = 5)
- Matematika :
\[ Z = \frac{85 - 75}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
- Fisika :
\[ Z = \frac{78 - 70}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \]
Karena Z-score untuk Fisika 1.6 lebih tinggi dari Matematika 1.0, maka dia lebih unggul di Fisika dibanding teman-temannya.
2. KAPAN PENGGUNAAN T-score DALAM PENGAMBILAN SAMPEL
- T-score digunakan ketika ukuran sampel yang diambil kurang dari 30 dan standart deviasi populasinya tidak diketahui.Oleh karena itu, t-score digunakan sebagai alternatif dari z-score untuk menghindari kesalahan dalam pengambilan keputusan statistik.
Contoh : Seorang guru yang akan mengevaluasi metode pengajaran baru dapat meningkatkan hasil ujian siswa. Disini dia mengambil sampel sebanyak 15 siswa dan menemukan rata-rata nilai 78 dengan standart deviasinya 5. Rata-rata nilai ujian sebelumnya adalah 75.
\[ t = \frac{78 - 75}{\frac{5}{\sqrt{15}}} \]
\[ t = \frac{3}{\frac{5}{3.87}} \]
\[ t = \frac{3}{1.29} = 2.33 \]
Dengan df = 15 - 1 = 14, nilai kritis t untuk tingkat kepercayaan 95% adalah 2.145. Karena t-hitung (2.33) > t-tabel (2.145), maka metode penhgajaran baru lebih efektif.
- Bisa digunakan ketika Standart deviasi populasi \(\sigma\) tidak diketahui dan hanya bisa diperkirakan dari standar deviasi sampel ( 𝑠).
Contoh : Seorang dokkter ingin mengetahui apakah diet baru dapat mempengaruhi berat badan. Disini dia mengambil sampel sebanyak 10 orang, dan menemukan rata-rata penurunan berat badan nya 5kg dengan standart deviasi 1.2kg.
\[ t = \frac{5 - 0}{\frac{1.2}{\sqrt{10}}} \]
\[ t = \frac{5}{\frac{1.2}{3.16}} \]
\[ t = \frac{5}{0.38} = 13.16 \] Dengan df = 10 - 1 = 9, nilai kritis t untuk tingkat kepercayaan 99% adalah 3.250. Karena t-hitung (13.16) jauh lebih besar dari t-tabel, maka diet baru berdampak signifikan terhadap penurunan berat badan.
- T-score juga dapat digunakan dalam uji sampel berpasangan ( Paired t-test) ketika kita ingin membandingkan 2 kondisi dari sebuah kelompok yang sama, seperti sebelum dan sesudah adanya perlakuan
Contoh : Sebuah perusahaan mobil ingin menguji efektivitas pelatihan karyawan. Mereka mengukur produktivitas sebelum dan sesudah pelatihan pada 12 karyawan, dengan rata-rata sebelum pelatihan 50 unit, setelah pelatihan 55 unit, dan standart deviasi perbedaan nya 4 unit.
\[ t = \frac{\bar{X}_d - 0}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \]
\[ t = \frac{5}{\frac{4}{\sqrt{12}}} \]
\[ t = \frac{5}{1.15} = 4.35 \]
Dengan df = 12 - 1 = 11, nilai t kritis pada tingkat kepercayaan 95% adalah 2.201. Karena t-hitung (4.35) > t-tabel (2.201), maka pelatihan secara signifikan meningkatkan produktivitas.
- Dapat digunakan untuk uji perbandingan 2 kelompok independen ( Independemt t-Test) seperti pria vs wanita, sebelum vs setelah perlakuan dll.
Contoh :Sebuah universitas dijogja ingin mengetahui apakah ada perbedaan tingkat stres antara mahasiswa teknik dan mahasiswa ekonomi. Dengan Mahasiswa Teknik ( rata-rata stres 80, standart deviasi 5, n = 25), Mahasiswa Ekonomi ( rata-rata skor stres 75, standart deviasi 6, n = 30).
\[ t = \frac{80 - 75}{\sqrt{\frac{25}{5^2} + \frac{30}{6^2}}} \]
\[ t = \frac{5}{\sqrt{1 + 1.2}} \]
\[ t = \frac{5}{1.53} = 3.27 \]
Dengan df = min(25,30) - 1 = 24, nilai t kritis pada 95% confidence level adalah 2.064. Karena |t-hitung (3.27)| > t-tabel (2.064), terdapat perbedaan signifikan dalam tingkat stres mahasiswa teknik dan ekonomi.