分散分析
九州 栄大
2025-02-21
①分散分析の概説(ANOVA：analysis of variance)
３組以上のデータ（対応のない３標本のデータか，対応のある１標本の３群のデータ） の間に差があるかどうか検定する手法である。この手法は，数値データ （順序，間隔と比率尺度）に適用される。図１は，15名の患者が３組の 疾患（A，BとC）に分けられ，各組の患者の歩行速度を測定したデータである。 各組間の歩行速度の差があるかどうかを検定したい場合，分散分析が用いられる。 ここで，「疾患」を要因といい，疾患A，疾患Bと疾患Cをそれぞれ水準という。 即ち，各水準間に有意な差があるかを検定する手法である。
分散分析には，主に一元配置分散分析（one-way
ANOVA） とクラスカル・ワリスの検定(Kruskal-Wallis
test)がある。
一元配置分散分析
分散分析は，３組以上のデータは，各組が正規分布であれば， 各組の「平均値1」に差があるかを検定するパラメトリック手法である。
正規性の検定には，シャピロ・ウイルク(Shapiro-Wilk)検定法がよく使われる。 各組のデータを検定した結果，各組のp値が0.05以上ならば（正規分布と認め）， 分散分析が適用される。要因が１つしかない場合，一元配置分散分析といい， 要因がn個の場合，n元配置分散分析(n-way ANOVA)という。 ここでは，一元配置分散分析のみを説明する。
クラスカル・ワリスの検定
クラスカル・ワリスの検定は，３組以上のデータにおいて， シャピロ・ウイルク検定で，少なくとも１組が 正規分布でなければ，各組間の「中央値」に差があるかを 検定するノンパラメトリック手法である。
②一元配置分散分析の手順
一元配置分散分析の手順は図２に示す2。
（１）一元配置分散分析の対象データの尺度（順序，間隔と比率）をチェックする。
（２）帰無仮説：要因に差がないと仮定する。
（３）シャピロ検定で各水準のデータの正規性を検定する。すべて正規分布 であれば，一元配置分散分析が適用され，少なくとも１つが正規分布ではない場合， クラスカル・ワリスの検定が適用される。
（４）一元配置分散分析（またはクラスカル・ワリスの検定）を 行った後，分析した結果のp値0.05未満ならば， 帰無仮説を棄却し，要因に有意な差があると判断する。この場合， 例えば，３つの水準（A,B,C）があり，AとBの間か，AとCの間か，BとCの間か， 少なくともある２つの水準に差があるならば，要因に有意な差があると認める。
（５）要因に有意な差があると判断された場合，多重比較法を行い， 各水準間に差があるかどうかを詳しく調べる。上の（４）で要因に差があると言えない 場合（p値0.05以上），多重比較法を行わない。
（６）各水準のデータの特性値を箱ひげ図で表示し，検定した結果が確認できる。
③分散分析の実装
R言語で分散分析を実装するとき，下記のことを考慮に入れた。
（１）ライブラリ「dplyr」，「FSA」，「ggplot2」を利用するため， Line 2-4は，３つのライブラリを読み込む。
（２）データは，データフレームで与える。例として，３つのデータ （例１，例２，例３）をLine7-12に用意し，実行時に1つを選んで， その他を#で閉じること。例１(Line 9)と例２(Line 10)は， 一元配置分散分析に適用され，例１は有意な差があると認め， 例２は，有意な差があると言えない。例３(Line 11)は クラスカル・ワリスの検定に適用される。 各水準のデータ数が異なる場合，Line 8のgroup = factor() の中のTimes = c()で指定する。例えば，A群の要素が6，B群の要素が5， C群の要素が4の場合，Times = C(6, 5, 4)と指定する。データ数が多い場合， csvファイルで入力することを勧める。
（３）正規性はシャピロ・ウイルク検定(Line 19-26)を用いる。全ての水準が 正規分布（シャピロ検定結果，p>0.05）であれば，Line 31-38は， 自動に一元配置分散分析を行い，少なくとも１つが正規分布ではなければ， Line 50-55は，クラスカル・ワリス検定を行う。
（４）一元配置分散分析の結果，p値が0.05未満の場合，帰無仮説を棄却し， 「要因に有意な差がある」と認めた場合， Line 42-44の多重比較法（Tukey HSD）を行い， 各水準間に差があるか（p値が0.05未満）， また，あるとは言えないか（p値が0.05以上）を検定する。 「要因に有意な差がある」と認められない場合（p値が0.05以上）， 多重比較法を実行しない。
（５）クラスカル・ワリス検定の結果，p値が0.05未満の場合，帰無仮説を棄却し， 「要因に有意な差がある」と認めた場合，Line 58-61のDunnのbonferroniという 多重比較法（スティール・ドゥワス検定の代替)を実行する。
（６）Line 68は箱ひげ図を表示する。 # fill = group を color = groupに変えれば，グラフの枠線に色付けられる。
実装したプログラム
#３群以上差の検定（一元配置分散分析とクラスカル・ワリス検定＋多重比較法）
library(dplyr) #なければ, install.packages("dplyr")を実行
library(FSA) #なければ, install.packages("FSA")を実行
library(ggplot2) #なければ, install.packages("ggplot2")を実行
#データの入力
data <- data.frame(
group =factor(rep(c("A", "B", "C"), times = c(5, 5, 5))),
value = c(8, 9, 6, 7, 10, 12, 14, 13, 15, 11, 5, 7, 6, 8, 9) #one-way ANOVA例1
#value = c(30.5,22.5,28,18.5,34,31,36.5,13,25.5,16,18,33,45.5,39,26) #one-way ANOVA例2
#value = c(8, 9, 6, 7, 10, 12, 14, 13, 15, 11, 1, 9, 1, 8, 9) #Krushal-wallis例3
)
# データの確認
cat("\n入力されたデータ：\n")
print(data)
#シャピロ検定
result <- data %>%
group_by(group) %>%
summarise(shapiro_p_value = shapiro.test(value)$p.value) %>%
ungroup() # グループ化を解除（念のため）
# 結果を出力
cat("\nシャピロ法で正規性を検定した結果：\n")
print(result)
# 各 p値が 0.05 以上なら 1（AND が真）、そうでなければ 0（AND が偽）
and_result <- as.integer(all(result$shapiro_p_value >= 0.05))
if (and_result ==1){
cat("\n正規分布であるため，一元配置分散分析を行う\n")
# ANOVAの実行
anova_result <- aov(value ~ group, data = data)
# ANOVAの結果を表示
print(summary(anova_result))
# p値を取得
p_value <- summary(anova_result)[[1]]$`Pr(>F)`[1] # 第1行のp値
# p < 0.05 の場合のみ Tukey HSD 検定を実行
if (p_value < 0.05) {
cat("\n一元配置分散分析の結果p =", p_value, "なので，有意な差があると認め，\n")
cat("多重比較法(Tukey HSD)を行う。\n")
tukey_result <- TukeyHSD(anova_result)
print(tukey_result)
} else {
cat("\n一元配置分散分析のp =", p_value, "なので，有意な差があると言えないから，多重比較法を実行しない。\n")
}
#plot(tukey_result) #95%全体信頼水準のグラフ
}else{
cat("\n正規分布でない水準があり，クラスカル・ワリス検定を行う。\n ")
# クラスカル・ワリス検定の実行
kruskal_result <- kruskal.test(value ~ group, data = data)
print(kruskal_result)
# p値を取得
p_value <- kruskal_result$p.value
if (p_value < 0.05) {
cat("\nクラスカル・ワリス検定の結果p = ", p_value, "なので，有意な差があると認め，\n")
cat("多重比較法(Dunn検定（スティール・ドゥワス検定の代替)を行う。\n")
dunn_result <- dunnTest(value ~ group, data = data, method = "bonferroni")
cat("\n Dunn検定結果（スティール・ドゥワス検定の代替）\n ")
print(dunn_result)
} else {
cat("\nクラスカル・ワリス検定のp =", p_value, "なので，有意な差があると言えないから，多重比較法を実行しない。\n")
}
}
# ggplot2を使った箱ひげ図
print(ggplot(data, aes(x = group, y = value, fill = group)) + geom_boxplot() + theme_minimal()) # fill = group を color = groupグラフの枠線に色付け実行した結果
例１のデータを分散分布した結果：
## Warning: パッケージ 'dplyr' はバージョン 4.4.2 の R の下で造られました##
## 次のパッケージを付け加えます: 'dplyr'## 以下のオブジェクトは 'package:stats' からマスクされています:
##
## filter, lag## 以下のオブジェクトは 'package:base' からマスクされています:
##
## intersect, setdiff, setequal, union## Warning: パッケージ 'FSA' はバージョン 4.4.2 の R の下で造られました## ## FSA v0.9.6. See citation('FSA') if used in publication.
## ## Run fishR() for related website and fishR('IFAR') for related book.##
## 入力されたデータ：## group value
## 1 A 8
## 2 A 9
## 3 A 6
## 4 A 7
## 5 A 10
## 6 B 12
## 7 B 14
## 8 B 13
## 9 B 15
## 10 B 11
## 11 C 5
## 12 C 7
## 13 C 6
## 14 C 8
## 15 C 9##
## シャピロ法で正規性を検定した結果：## # A tibble: 3 × 2
## group shapiro_p_value
## <fct> <dbl>
## 1 A 0.967
## 2 B 0.967
## 3 C 0.967##
## 正規分布であるため，一元配置分散分析を行う
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## group 2 103.3 51.67 20.67 0.00013 ***
## Residuals 12 30.0 2.50
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## 一元配置分散分析の結果p = 0.0001297463 なので，有意な差があると認め，
## 多重比較法(Tukey HSD)を行う。
## Tukey multiple comparisons of means
## 95% family-wise confidence level
##
## Fit: aov(formula = value ~ group, data = data)
##
## $group
## diff lwr upr p adj
## B-A 5 2.332136 7.667864 0.0008342
## C-A -1 -3.667864 1.667864 0.5907706
## C-B -6 -8.667864 -3.332136 0.0001701
分散分析結果の解釈
例１のデータで実行した結果から，次のように解釈できる。
正規性の判定結果，3つの水準A，BとCのp値が0.967 > 0.05， 3つとも正規分布と認める。よって，一元配置分散分析が適用される。
一元配置分散分析結果，そのp値が0.00013<0.05， 帰無仮説を棄却し，要因に有意な差があると判断。
多重比較法の結果，BとA間にp=0.00083<0.05, CとB間にp=0.00017<0.05 となり，有意な差があると認められ，CとA間はp=0.59>0.05，差があると言えない。
各水準A，BとCのデータを箱ひげ図で示し，確かにAとB，BとCに差があり， AとCに差があるとは言えない状態を箱ひげ図で確認できる。