Nguyễn Thúy Vy
2025-02-15
\(X\) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{nếu } x < 0 \\ 7e^{-7x}, & \text{nếu } x \geq 0 \end{cases} \]
Tính:
a. P(X>1.3)
b. P(X<2.1)
c. P(1.44<X<2.33)
Giải:
a.
\[\begin{align*} P(X > 1.3) &= \int_{1.3}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 - \int_{-\infty}^{1.3} f(x) \, dx = 1 - \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{1.3} f(x) \, dx \\ &= 1 - 0 - \int_{0}^{1.3} 7e^{-7x} \, dx = 1 - \left( -e^{-7x} \right) \bigg|_{0}^{1.3} \\ &= 1 - \left( -e^{-7 \times 1.3} - (-e^{-7 \times 0}) \right) = e^{-9.1} \approx 0.0001 \end{align*}\]
b.
\[ \begin{aligned} P(X < 2.1) &= \int_{-\infty}^{2.1} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2.1} f(x) \, dx \\ &= 0 + \int_{0}^{2.1} 7e^{-7x} \, dx \\ &= \left. -e^{-7x} \right|_{0}^{2.1} \\ &= -e^{-7(2.1)} + e^{-7(0)} \\ &= 1 - e^{-14.7} \\ &\approx 0.999999 \end{aligned} \]
c.
\[\begin{align*} P(1.44 < X < 2.33) &= \int_{1.44}^{2.33} f(x) \, dx = \int_{1.44}^{2.33} 7e^{-7x} \, dx \\ &= (-e^{-7x})\bigg|_{1.44}^{2.33} = (-e^{-7 \times 2.33}) - (-e^{-7 \times 1.44}) \approx 4.18 \times 10^{-5} \end{align*}\]
Nhu cầu hàng năm về loại hàng \(A\) của tỉnh (đơn vị ngàn tấn) là biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm mật độ xác suất như sau:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{8}(4 - x), & \text{nếu } x \in (0, 4) \\ 0, & \text{nếu } x \notin (0, 4) \end{cases} \]
a. Tính xác suất cho nhu cầu của tỉnh về mặt hàng \(A\) từ 2.2 đến 2.7 ngàn tấn.
b. Tính xác suất cho nhu cầu của tỉnh về mặt hàng \(A\) không quá 2.3 ngàn tấn.
c. Tính khối lượng trung bình hàng năm của mặt hàng này.
Giải:
a.
\[ \begin{aligned} P(2.2 < X < 2.7) &= \int_{2.2}^{2.7} f(x) \, dx = \int_{2.2}^{2.7} \frac{1}{8} (4 - x) \, dx \\ &= \frac{1}{8} \left. \left( 4x - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{2.2}^{2.7} \\ &= \frac{1}{8} \left[ \left( 4(2.7) - \frac{(2.7)^2}{2} \right) - \left( 4(2.2) - \frac{(2.2)^2}{2} \right) \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ (10.8 - 3.645) - (8.8 - 2.42) \right] \\ &= \frac{1}{8} \times (7.155 - 6.38) \\ &= \frac{1}{8} \times 0.775 \\ & \approx 0.0969 \end{aligned} \]
b.
\[\begin{align*} P(X < 2.3) &= \int_{-\infty}^{2.3} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2.3} f(x) \, dx \\ &= \int_{0}^{2.3} \frac{1}{8} (4 - x) \, dx \\ &\approx 0.8194 \end{align*}\]
c.
\[\begin{align*} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} x f(x) \, dx + \int_0^4 x f(x) \, dx + \int_4^{+\infty} x f(x) \, dx \\ &= \frac{1}{8} \int_0^4 (4x - x^2) \, dx \\ &= \frac{4}{3} \approx 1.3333 \end{align*}\]
Cho \(X \sim N(0,1)\)
Tính: a. \(P(X > 1.18)\)
b. \(P(X < 2.22)\)
c. \(P(-3.21 < X < 1.45)\)
d. \(P(|X| < 2.79)\)
e. \(P(|X| < a) = 0.95\)
f. \(P(X < b) = 0.75\)
Giải:
a.
\[ P(X < 1.18) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{1.18} e^{\frac{-z^2}{2}} dx = \Phi(+\infty) - \Phi(1.18) = 0.5 -0.3810 = 0.1190 \]
b.
\[ P(X<2.12) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{2.12} e^{\frac{-z^2}{2}} dx = 0.5 + \Phi (2.12) = 0.5 + 0.4868 = 0.9868 \]
c.
\[ P(-3.21 < X < 1.45) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-3.21}^{1.45} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = \Phi(1.45) - \Phi(-3.21) = \Phi(1.45) + \Phi(3.21) = 0.4265 + 0.4993 = 0.9258 \]
d.
\[ P(|X| < 2.79) = P(-2.79 < X < 2.79) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-2.79}^{2.79} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{2.79} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = 2 \times (\Phi(2.79) - \Phi(0)) = 2 \times 0.4974 = 0.9948 \]
e.
\[ 0.95 = P(|X| < a) = P(-a < X < a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-a}^{a} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{a} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = 2 \times \Phi (a) \]
Qua đó ta có \(\Phi(a) = 0.475\) => theo bảng tra ta tra được a = 1.96
f.
\[ 0.75 = P(X<b) = P({-\infty} <X< b )= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{b} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = 0.5 + \Phi(b) \]
Vậy \(\Phi(b)=0,25\). Tra bảng ta được kết quả cho b là 0.67
Biết rằng chiều cao của nam giới Việt Nam có phân phối chuẩn với trung bình là 168cm và độ lệch chuẩn là 5cm. Chọn ngẫu nhiên một người nam
a. Tính xác suất người này cao hơn 175cm.
b. Tính xác suất người này cao từ 160 cm đến 170cm.
Giải:
Ta có: \(X \sim N(168, 5^2)\) với \(X\) là chiều cao của nam giới Việt Nam.
Đặt \(Z = \frac{X - 168}{5}\)
a.
Xác suất người này cao hơn 175 cm:
\(P(X > 175) = P(Z > \frac{175-168}{5}) = P(Z > 1.4) = \Phi(+\infty) - \Phi(1.4) = 0.5 - 0.4192 = 0.0808\)
b.
Xác suất người này cao từ 160 cm đến 170 cm:
\(P(160 \leq X \leq 170) = P(-1.6 \leq Z \leq 0.4) = \Phi (0.4) - \Phi(-1.6) = \Phi (0.4) + \Phi(1.6) = 0.1554 + 0.4452 = 0.6006\)
Điểm thi môn Toán của học sinh viên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là 7 điểm và độ lệch chuẩn là 1.5 điểm. Tính tỷ lệ sinh viên:
a. Có điểm thi cao hơn 8 điểm.
b. Có điểm từ 5 điểm đến 8 điểm.
Giải:
Ta có \(X \sim N(7, 1.5^2)\) với \(X\) là điểm môn Toán của sinh viên.
Đặt \(Z = \frac{X-7}{1.5}\)
a.
Tỷ lệ sinh viên có điểm thi cao hơn 8 điểm:
Trường hợp 1
\(P(X > 8) = P(Z < \frac{8-7}{1.5} < +\infty) = P(Z > 0.67) = \Phi(+\infty) - \Phi(0.67) = 0.5 - 0.2486 = 0.2514\)
Trường hợp 2
\(P(X > 8) = P(Z < \frac{8-7}{1.5} < 10) = P( 0.67 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(0.67) = 0.4772 - 0.2486 = 0.2286\)
b.
Tỷ lệ sinh viên có từ 5 điểm đến 8 điểm:
\(P(5 < X < 8) = P(-1.33 < Z < 0.67) = \Phi(0.67) - \Phi(-1.33) = \Phi(0.67) + \Phi(1.33) = 0.2486 + 0.4082 = 0.6568\)
Pin của một loại điện thoại di động được công bố là có tuổi thọ tuân theo phân phối chuẩn với thời gian hoạt động bình thường trung bình là 500 giờ và độ lệch chuẩn là 50 giờ. Tính xác suất để một cục pin loại này có tuổi thọ:
a. Từ 450 giờ đến 550 giờ.
b. Ít nhất 650 giờ.
c. Không quá 750 giờ.
Giải:
Gọi \(X\) là tuổi thọ của pin điện thoại \(X \sim N(500, 50^2)\)
Đặt \(Z = \frac{X-500}{50}\)
a.
Xác suất pin có tuổi thọ từ 450 đến 550 giờ:
\(P(450 < X < 550) = P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) + \Phi(1) = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826\)
b.
Xác suất pin có tuổi thọ ít nhất 650 giờ:
\(P(X > 650) = P(\frac{650-500}{50} < Z < +\infty) = P(3 < Z < +\infty) = \Phi(+\infty) - \Phi(3) = 0.5 - 0.4987 = 0.0013\)
c.
Xác suất pin có tuổi thọ không quá 750 giờ:
\(P(X \leq 750) = P(0 \leq X \leq 750) = P(-10 \leq Z \leq 5) = \Phi(5) + \Phi(10) = 0.5 + 0.5 = 1\)
Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kì vọng 25mm, phương sai 0.09mm. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có đường kính trong khoảng 24.5mm đến 26.5mm.
Giải:
Gọi \(X\) là đường kính của một chiếc máy chi tiết do máy sản xuất.
\(X \sim N(25; 0.3^2)\)
Đặt \(Z = \frac{X - 25}{0.3}\)
Xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có đường kính trong khoảng 24.5mm đến 26.5mm:
\(P(24.5 \leq X \leq 26.5) = P(-1.67 \leq Z \leq 5) = \Phi(5) - \Phi(-1.67) = \Phi(5) + \Phi(1.67) = 0.5 + 0.4525 = 0.9525\)
Chiều cao của nam giới khi trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 168cm và độ lệch chuẩn là 9cm. Tìm xác suất để đo ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người có chiều cao nằm trong khoảng từ 164cm đến 172cm.
Giải:
Gọi \(X\) là chiều cao của nam giới khi trưởng thành, \(X \sim N(168; 3^2)\)
Đặt \(Z = \frac{X-168}{3}\)
Xác suất để một người có chiều cao từ 164 cm đến 172 cm:
\(P(164 \leq X \leq 172) = P(-0.44 \leq Z \leq 0.44) = \Phi(0.44) - \Phi(-0.44) = \Phi(0.44) + \Phi(0.44) = 0.1700 + 0.1700 = 0.34\)
Gọi \(A\) là biến cố “trong 4 người được đo thì có ít nhất một người có chiều cao trong khoảng 162 cm đến 172 cm”.
Và \(\overline{A}\) là biến cố “không có người nào có chiều cao trong khoản 162 cm đến 172cm trong 4 người được đo”.
Ta có: \(P(\overline{A})=0.34^2\)
\(=> P(A)=1-P(\overline{A})= 1-0.34^2 = 0.8103\)
Vậy xác suát để đo ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người có chiều cao trong khoản 164cm đến 172cm là 0.8103.
Quan sát lượng nước sử dụng của các hộ dân trong thành phố, người ta thấy lượng nước sử dụng có phân phối chuẩn với trung bình là \(6m^3\)/tháng và độ lệch chuẩn là \(3m^3\)/tháng. Tính:
a. Tỷ lệ hộ sử dụng ít hơn \(4,5m^3\)/tháng.
b. Tỷ lệ hộ sử dụng nhiều hơn \(9m^3\)/tháng.
Giải:
Gọi \(X\) là lượng nước sử dụng của các hộ dân \(X \sim N(6; 3^2)\)
Đặt \(Z = \frac{X-6}{3}\)
a.
Tỷ lệ hộ sử dụng ít hơn 4.5 \(m^3\)/tháng:
\(P(X < 4.5) = P(0 < X < 4.5) = P(-0.5 < Z < -2) = \Phi(-0.5) - \Phi(-2) = -\Phi(0.5) + \Phi(2) = -0.1915 + 0.4772 = 0.2857\)
b.
Tỷ lệ hộ sử dụng nhiều hơn 9 \(m^3\)/tháng:
\(P(X > 9) = P(9 < X < +\infty) = P(1 < Z < +\infty) = \Phi(+\infty) - \Phi(1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587\)
Khoảng thời gian từ khi sản phẩm được sử dụng cho đến khi bị hư do lỗi của nhà sản xuất của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối chuẩn với trung bình là 15 tháng và độ lệch chuẩn là 3 tháng.
a. Nếu quy định thời gian bảo hành là 12 tháng thì tỷ lệ sản phẩm bảo hành là bao nhiêu?
b. Muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành tối đa là 10% thì phải quy định thời gian bảo hành là bao lâu?
Giải:
Gọi \(X\) là thời gian từ khi sản phẩm được sử dụng đến khi bị hư \(X \sim N(15; 3^2)\)
Đặt \(Z = \frac{X-15}{3}\)
a.
Nếu quy định thời gian bảo hành là 12 tháng thì tỷ lệ sản phẩm bảo hành là:
\(P(X \leq 12) = P(0 \leq X \leq 12) = P(-5 \leq Z \leq -1) = \Phi(-1) - \Phi(-5) = -\Phi(1) + \Phi(5) = -0.3413 + 0.5 = 0.1587\)
b.
Muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành tối đa là 10% thì ta phải tìm \(x\) sao cho \(P(X \leq x) = 0.1\)
Ta có:
\(0.1=P(X \leq x)= P(Z \leq z)\)
Tra bảng phân phối ta tìm được \(z=-1.28\)
Mà \(z = \frac{x-15}{3}\) vậy ta tính được \(x=[(-1.28) \times 3] + 15 = 11.16\)
Vậy thời gian bảo hành là 11.16 tháng.
Cho \(X \sim \chi^2_6\). Tìm \(a\) sao cho \(P(X > a) = 0.25\).
Giải:
Sử dụng hàm mật độ xác suất của phân phối chi bình phương: \[ f(x) = \frac{1}{2^{3} \Gamma(3)} x^{2} e^{-x/2} = \frac{1}{16} x^2 e^{-x/2} \]
Ta có phương trình tích phân: \[ \int_{a}^{\infty} \frac{1}{16} x^2 e^{-x/2} \, dx = 0.25 \]
Dùng bảng phân phối, ta tìm được: \[ a = \chi^2_{6,0.75} \approx 7.841 \]
Vậy \(P(X > 7.841) = 0.25\)
Cho \(X \sim \chi^2_{20}\). Tìm \(a\) sao cho \(P(X < a) = 0.95\).
Giải:
Dùng bảng phân phối, ta tìm được: \[ a = \chi^2_{20,0.95} \approx 31.41 \]
Vậy \(P(X < 31.41) = 0.95\)
Cho \(X \sim t(15)\). Tìm \(a\) sao cho \(P(|X| > a) = 0.1\).
Giải:
Sử dụng bảng phân phối, ta tìm được: \[ a = t_{15,0.95} \approx 1.753 \]
Vậy \(P(|X| > 1.753) = 0.1\)
Cho \(X \sim t(13)\). Tìm \(a\) sao cho \(P(X > a) = 0.1\).
Giải:
Sử dụng bảng phân phối, ta tìm được: \[ a = t_{13,0.9} \approx 1.350 \]
Vậy \(P(X > 1.350) = 0.1\)
Cho \(X \sim t(18)\). Tìm \(a\) sao cho \(P(X < a) = 0.15\).
Giải:
Sử dụng bảng phân phối hoặc phương pháp số, ta tìm được: \[ a = t_{18,0.15} \approx -1.067 \]
Vậy \(P(X < -1.067) = 0.15\)