Probabilidad 🎲

Estadística para las Ciencias Sociales

Diego Solís Delgadillo

Tipos de probabilidad

  • Se puede distinguir entre dos tipos de probabilidad:
    • Objetiva
    • Subjetiva

Corriente objetiva

  • Está basada en la observaciones de los datos (frecuencias)
  • Se concentra en la razón entre el resultado y todos los posibles resultados

Probabilidad subjetiva

  • Se concentra en las creencias de los seres humanos
  • Se basa en el expertise de las personas y sus juicios

Probabilidad Clásica

Conceptos clave

  • Resultados: son los casos individuales de lo que puede suceder
  • Eventos: un resultado en particular dentro de un grupo de posibles resultados
  • Espacio muestral: el conjunto de todos sus posibles resultados

Resultados

Ejemplos resultados

  • En un dado cada uno de los números es un resultado
  • En una moneda, cada una de las caras es un resultado
  • En una baraja de poker es cada una de las cartas

Eventos

  • 📌 Los eventos pueden referirse a un resultado o una combinación

Ejemplo

  • Obtener una suma de siete en dos dados
  • Obtener pares

Combinación de tres letras

  • Si tengo los elementos {a,b,c,d,e} y genero la combinación de tres letras, los resultados posibles son

  • {abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bce, bde, cde}

  • La probabilidad de obtener la combinación abe es de 1/10

Tipos de eventos

Dos tipos de eventos

  1. Suceden con cierto grado de probabilidad bajo ciertas condiciones
  2. Suceden (o no suceden) con certidumbre dadas ciertas condiciones
  • Los primeros eventos son como los conocidos como aleatorios o estocásticos

Warning

  • La probabilidad solamente aplica a eventos estocásticos

Espacio muestral

Important

  • Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
  • Se calcula elevando el número de resultados por el número de intentos

Espacio muestral volado

  • El espacio muestral de tres volados sería=

\[ 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

  • S= {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}

Espacio muestral

Lanzamiento de dado

  • Si lanzamos tres veces un dado, cada lanzamiento tiene 6 posibles resultados.

  • 🔢 Número total de resultados posibles: \[ 6 \times 6 \times 6 = 216 \]

  • Algunos elementos del espacio muestral: \[ S = \{ (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), \dots, (6,6,6) \} \]

Probabilidad de un evento

  • La probabilidad clásica de un evento es:

\[ Pr(e) = \frac{\text{Número de resultados en el evento } e}{\text{Número de resultados en el espacio muestral}} \]

Ejemplo

  • La probabilidad de obtener un cinco en un dado justo es:

\[ Pr(e) = \frac{1}{6} \]

  • La probabilidad de que ocurra un evento \(A\) se representa como:

\[ Pr(A) \]

Rango de la probabilidad

¿Qué es el rango de probabilidad?

  • El rango de probabilidad se refiere a los valores que una probabilidad puede tomar, que siempre están entre 0 y 1.

\[ Pr(A) \in [0,1] \] 📌 Reglas clave:

  • 0 significa que el evento es imposible.
  • 1 significa que el evento es seguro.
  • Cualquier probabilidad está en el intervalo 0,1.

Note

  • Para calcular la probabilidad de obtener un 7 en la suma de dos tiros de un dado, consideramos todas las combinaciones posibles.

  • Dado que cada dado tiene 6 caras, el total de combinaciones posibles es:

\[ 6 \times 6 = 36 \]

  • Cálculo de la probabilidad:

\[ Pr(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

¿Qué significan esas probabilidades?

Variabilidad pocos tiros

  • Si tiramos un dado 100 veces, el número de veces que obtenemos un 6 puede variar:

  • ✅ Ejemplo tres tiros

    • Primero: 19 veces.
    • Segundo: 22 veces.
    • Tercero 13 veces.

¿Qué significan esas probabilidades?

Probabilidad y número de experimentos

  • Con un número limitado de tiros (por ejemplo, 10), la proporción de 6s puede fluctuar mucho.
  • Si simulamos un número muy grande de tiros de dados, la proporción acumulada para el número 6 se va a acercar a \(\frac{1}{6}\).

Ley de los grandes números 🔢

  • En fenómenos aleatorios, la proporción de veces que algo ocurre es altamente aleatoria y variable en el corto plazo.
  • Sin embargo, en el largo plazo, esta proporción se vuelve muy predecible.

Jacob Bernoulli 💡

  • En el siglo XVII, Jacob Bernoulli demostró que conforme el número de pruebas incrementa, la proporción de ocurrencias de un resultado se acerca a un número en particular.
  • Sus resultados fueron conocidos como la Ley de los Grandes Números.

Expresión matemática LGN

Expresión matemática LGN

  • Si repetimos un experimento de manera independiente \(n\) veces y contamos las veces que ocurre un evento \(A\), entonces:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\text{Número de veces que ocurre A en } n \text{ pruebas}}{n} = P(A) \]

Simulación dado en R

Aplicación

Pruebas médicas y diagnósticos

  • Una prueba médica tiene una precisión del 95%
    • No significa que siempre acertará en cada paciente.
  • Pero si se realizan miles de pruebas, la tasa de aciertos se acercará al 95% esperado.

Complemento de un evento

Definición

  • El complemento de un evento \(A\) incluye todos los resultados en el espacio muestral que no están dentro del evento \(A\).

Notación y propiedades:

  • Se denota como \(A^C\) o \(\bar{A}\).
  • La probabilidad de un evento y su complemento siempre suman 1:

\[ P(A^C) = 1 - P(A) \]

Complemento de un evento

Ejemplo probabilidad de lluvia

  • Si la probabilidad de que llueva mañana es \(P(A) = 0.3\), la probabilidad de que no llueva es:

\[ P(A^C) = 1 - 0.3 = 0.7 \]

Complemento de un evento

Ejemplo: No obtener un 4 en un dado

  • Si lanzamos un dado de seis caras, la probabilidad de obtener un 4 es:

\[ P(A) = \frac{1}{6} \]

El complemento de este evento es no obtener un 4, lo que significa obtener cualquier otro número (1,2,3,5 o 6).

Cálculo del Complemento:

\[ P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Complemento

Usos del complemento

  • A veces, es más sencillo calcular la probabilidad del complemento y restarla de 1.

Tip

Ejemplo: Composición de un Jurado

  • Un jurado está compuesto por 12 personas.
  • Se encuentra que todos son hombres
  • El abogado defensor acusa sesgo en la selección.

Resultados posibles

  • Cada persona en el jurado puede ser hombre (H) o mujer (M), por lo que hay:

\[ 2^{12} = 4096 \]

  • posibles combinaciones.

Usos del complemento

Cálculo de Probabilidad

  • Solo una de esas combinaciones incluye únicamente hombres.
  • La probabilidad de que todos sean hombres es:

\[ P(A) = \frac{1}{4096} = 0.00024 \]

  • La probabilidad de que al menos haya una mujer en el jurado es:

\[ P(A^C) = 1 - 0.00024 = 0.99976 \]

Ejemplos cálculo de probabilidad

Tip

  • Tiramos dos dados, queremos saber la probabilidad de que la suma de los resultados sea 11.

  • Solo dos combinaciones suman 11

    • (5,6)
    • (6,5)

Espacio muestral

  • Cada dado tiene 6 caras, por lo que el número total de combinaciones posibles es:

\[ 6 \times 6 = 36 \]

Ejemplo dado

Cálculo de la probabilidad:

\[ P(11) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]

Obtener al menos un número parar

  • Probabilidad de obtener, al menos, un número par en dos tiros de dados

Ejemplo 2

  • Tiramos dos dados y queremos saber la probabilidad de que alguno de los resultados sea par

Resultados impares

Los números impares en un dado son: 1, 3, 5.
Por lo tanto, las combinaciones impares son:

  • (1,1), (1,3), (1,5)
  • (3,1), (3,3), (3,5)
  • (5,1), (5,3), (5,5)

En total, hay 9 combinaciones

Ejemplo 2

Cálculo de la Probabilidad:

  • La cantidad de casos donde al menos uno es par es:

\[ 36 - 9 = 27 \]

  • Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos un número par es:

\[ P(\text{par}) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \]

Ejemplo 3

  • Obtener el mismo número en dos tiros
  • Hay 6 combinaciones favorables

Cálculo de la Probabilidad

\[ P(\text{doble}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Pruebas independientes

Definición

  • Muchos fenómenos aleatorios, como tirar un dado o una moneda, no son afectados por los resultados previos

  • Un intento es independiente si su resultado no depende de intentos anteriores

🎲 La Falacia del Jugador

  • Cuando observamos fenómenos aleatorios, podemos llegar a creer que si un resultado no ha ocurrido en varias rondas, es más probable que ocurra pronto

Pruebas independientes

Ejemplo de Falacia:

  • Tiramos un dado y no hemos sacado un 5 en las últimas 10 rondas
  • Creemos que la probabilidad de obtener un 5 en la siguiente tirada es mayor
  • La probabilidad de obtener un 5 en un dado siempre es:

\[ P(5) = \frac{1}{6} \]

Eventos Equiprobables vs. No Equiprobables

Concepto

  • En algunos fenómenos aleatorios, como lanzar una moneda o un dado, todos los resultados son igualmente probables
  • Sin embargo, en la mayoría de los casos los resultados no tienen la misma probabilidad

Ejemplo

  • En una elección🗳️, los votos por cada candidato no son equiprobables.
  • En lugar de asumir que cada resultado tiene la misma probabilidad, se calculan las proporciones basadas en los datos observados.

Ejemplo: Probabilidad de que un elector haya votado por Maynez

\[ Pr(e) = \frac{\text{Votos Maynez}}{\text{Total de votos}} \]

Dado que:

  • Votos por Maynez = 5,832,105

  • Total de votos = 55,976,881

  • La probabilidad empírica de que un voto sea para Maynez es:

\[ Pr(e) = \frac{5,832,105}{55,976,881} = 0.1041 \]

Actividad

Intersección y Unión de Eventos

Conceptos Clave

  • Intersección \((A \cap B)\) → Probabilidad de que dos eventos sucedan al mismo tiempo.
  • Unión \((A \cup B)\) → Probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos.

🎯 Probabilidad de la Intersección

Definición

  • La probabilidad de intersección se refiere a la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente:

\[ P(A \cap B) \]

Ejemplo

  • En una encuesta, la probabilidad de que alguien sea mujer y {vote por un partido X]{style=“color: #0392cf”}

🔹 Reglas Específicas: - Si los eventos son independientes:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Probabilidad de la Unión

Definición

  • La probabilidad de una unión se refiere a la probabilidad de que ocurra \(A\) o \(B\), o ambos:

\[ P(A \cup B) \]

Ejemplo

  • La probabilidad de que un estudiante apruebe matemáticas o estadística.

🔹 Fórmula General:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

  • (Se resta \(P(A \cap B)\) para evitar contar dos veces la intersección).

Eventos no independientes

📌 Cuando los eventos NO son independientes, no podemos calcular la intersección usando la multiplicación

Ejemplo examen

  • Un profesor aplica un examen con dos preguntas y obtiene las siguientes proporciones de respuestas:
Primera Pregunta Segunda Pregunta Proporción
❌ Incorrecta ❌ Incorrecta 0.26
❌ Incorrecta ✅ Correcta 0.11
✅ Correcta ❌ Incorrecta 0.05
✅ Correcta ✅ Correcta 0.58

Ejemplo examen

🎯 Cálculo de Probabilidades

  • Evento \(A\): Obtener la primera respuesta correcta.
    \[ P(A) = 0.05 + 0.58 = 0.63 \]

  • Evento \(B\): Obtener la segunda respuesta correcta.
    \[ P(B) = 0.11 + 0.58 = 0.69 \]

  • Intersección \(A \cap B\): Que ambas respuestas sean correctas.
    \[ P(A \cap B) = 0.58 \]

Ejemplo examen

  • Si asumimos que los eventos son independientes y usamos la regla de la multiplicación:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.63 \times 0.69 = 0.43 \]

❌ ¡Esto es incorrecto!
✅ El valor correcto era 0.58

🔹 Conclusión:
🚨 Cuando los eventos no son independientes, la intersección no se puede calcular con multiplicaciones simples.

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional mide la probabilidad de que ocurra el evento \(A\) dado que sabemos que el evento \(B\) ya ocurrió.

Ejemplos

  • 🌧️ Probabilidad de que llueva mañana dado que llovió hoy.
  • 📉 Probabilidad de que suban las acciones de una empresa dado que cayeron el día anterior.

Probabilidad condiconal

Fórmula

  • La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) se expresa como:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

📌 Interpretación:

  • \(P(A \cap B)\) → Es la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos.
  • \(P(B)\) → Es la probabilidad del evento que ya sabemos que ocurrió.

Ejemplo

  • 8 personas prefieren café ☕.
  • 6 personas prefieren té 🍵.
  • 2 personas disfrutan ambos (café y té) ☕🍵
  • 4 personas no prefieren ninguna de las dos bebidas ❌ ☕🍵.

Ejemplo

Le gusta el café No le gusta el café Total
Le gusta el té 2 4 6
No le gusta el té 6 4 10
Total 8 8 16

  • Para calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar prefiera el té, usamos la fórmula:

\[ P(TÉ) = \frac{\text{Número de personas que les gusta el té}}{\text{Total de personas}} \]

Aplicación

Dado que en nuestra muestra:

  • 6 personas prefieren el té.
  • 16 personas en total.

La probabilidad es:

\[ P(TÉ) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375 \]

Tip

  • Probabilidad de que a alguien le guste el café pero no el té

\[ P(\text{CAFÉ y no TÉ}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375 \]

Note

  • Probabilidad de que a alguien no le guste ni el café ni el té

\[ P(\text{No CAFÉ y no TÉ}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Le gusta el café No le gusta el café Total
Le gusta el té 2 4 6
No le gusta el té 6 4 10
Total 8 8 16

  • Para calcular la probabilidad de que una persona disfrute tanto del café como del té, usamos la fórmula:

\[ P(\text{CAFÉ} \cap \text{TÉ}) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.125 \] - Dado que en nuestra tenemos:

  • 2 personas disfrutan tanto el café como el té.
  • 16 personas en total.

Tip

  • Esto significa que si elegimos una persona al azar, hay un 12.5% de probabilidad de que disfrute ambas bebidas.

Probabilidad condicionada

Tip

Conociendo que a una persona le gusta el té, ¿cuál es la probabilidad de que también le guste el café?

Para responder, usamos la fórmula de probabilidad condicional:

\[ P(\text{CAFÉ} \mid \text{TÉ}) = \frac{P(\text{CAFÉ} \cap \text{TÉ})}{P(\text{TÉ})} \]

📊 Cálculo

Dado que:

  • 6 personas en la muestra prefieren el té.

  • 2 personas disfrutan tanto el café como el té.

  • Aplicamos la fórmula:

\[ P(\text{CAFÉ} \mid \text{TÉ}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 0.33 \]

🔹 Esto es diferente a la probabilidad incondicional de que a una persona le gusten ambas bebidas:

\[ P(\text{CAFÉ} \cap \text{TÉ}) = 0.125 \]

Probabilidad condiconal

🎯 Otra Forma de Calcular Probabilidad Condicional

Podemos calcular la probabilidad condicional utilizando la fórmula:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

📊 Aplicación al Ejemplo

Dado que: - \(P(A \cap B) = \frac{2}{16}\) - \(P(B) = \frac{6}{16}\)

Sustituyendo en la fórmula:

\[ P(A \mid B) = \frac{\frac{2}{16}}{\frac{6}{16}} = \frac{2}{6} = 0.33 \]

📌 Este método es útil cuando ya tenemos las probabilidades individuales calculadas

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Probabilidad ~Café|Té

  • Probabilidad de que No le Guste el Café, dado que le Gusta el Té

  • Para calcular esta probabilidad condicional, usamos la fórmula:

\[ P(\neg \text{CAFÉ} \mid \text{TÉ}) = \frac{P(\neg \text{CAFÉ} \cap \text{TÉ})}{P(\text{TÉ})} \]

📊 Cálculo

Dado que:

  • 4 personas disfrutan el té pero no el café.
  • 6 personas en total disfrutan el té.

Aplicamos la fórmula:

\[ P(\neg \text{CAFÉ} \mid \text{TÉ}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} = 0.66 \]

🔢 Cálculo Alternativo

También podemos calcularlo como:

\[ P(\neg \text{CAFÉ} \mid \text{TÉ}) = \frac{\frac{4}{16}}{\frac{(2+4)}{16}} = 0.66 \]

📌 Ambas formas nos llevan al mismo resultado.

Tip

  • ✅ La probabilidad condicional nos permite actualizar nuestras estimaciones con nueva información.
  • 📊 Existen diferentes formas de calcularla según la información disponible.

Probabilidad Condicional en Elecciones

Pregunta

  • Si sabemos que un votante se identifica como conservador, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por el Partido A?
  • Para responder, usamos la probabilidad condicional:

\[ P(\text{Voto A} \mid \text{Conservador}) = \frac{P(\text{Voto A} \cap \text{Conservador})}{P(\text{Conservador})} \]

Ejemplo elección

📊 Datos de una Encuesta

Votó por A No votó por A Total
Conservador 30 20 50
No Conservador 40 60 100
Total 70 80 150

Ejemplo elección

Cálculo de la Probabilidad

Dado que:

  • 30 votantes conservadores votaron por el Partido A.
  • 50 votantes en total se identificaron como conservadores.

\[ P(\text{Voto A} \mid \text{Conservador}) = \frac{30}{50} = 0.60 \]

🗳️ Conclusión:

  • Si sabemos que un votante es conservador, la probabilidad de que haya votado por el Partido A es 60%.

Actividad 2

Ejercicio: Probabilidad en Encuestas Electorales

Situación:

  • Se realizó una encuesta electoral a 100 personas, obteniendo los siguientes resultados:
Género Votó por A Votó por B No votó Total
Mujer 30 20 10 60
Hombre 25 15 5 45
Total 55 35 15 100

Género Votó por A Votó por B No votó Total
Mujer 30 20 10 60
Hombre 25 15 5 45
Total 55 35 15 100

🎯 Preguntas a resolver:

  1. Probabilidad de que una persona elegida al azar haya votado por el partido A.
  2. Probabilidad de que una persona NO haya votado.
  3. Probabilidad de que una persona sea mujer O haya votado por el partido A.
  4. Probabilidad de que una persona sea mujer Y haya votado por el partido A.
  5. Si sabemos que una persona es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por el partido A?
  6. Si sabemos que una persona votó por el partido A, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Solución

  • Solución: Paso a Paso

1️⃣ Probabilidad de que una persona haya votado por A

\[P(A) = \frac{\text{Total de votos por A}}{\text{Total de encuestados}}\]

\[P(A) = \frac{55}{100} = 0.55\]

Solución

  • 2️⃣ Probabilidad de que una persona NO haya votado

\[P(\text{No votó}) = \frac{\text{Total de personas que no votaron}}{\text{Total de encuestados}}\]

\[P(\text{No votó}) = \frac{15}{100} = 0.15\]

Solución

  • 3️⃣ Probabilidad de ser mujer O votar por A \[P(M \cup A) = P(M) + P(A) - P(M \cap A)\]

\[P(M \cup A) = \frac{60}{100} + \frac{55}{100} - \frac{30}{100} = 0.85\]

Solución

  • 4️⃣ Probabilidad de ser mujer Y votar por A \[P(M \cap A) = \frac{30}{100} = 0.30\]

Solución Probabilidad condiconal

  • 5️⃣ Probabilidad de votar por A dado que es mujer \[P(A \mid M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)}\]

\[P(A \mid M) = \frac{30}{60} = 0.50\]

Solución Probabilidad Condiconal

  • 6️⃣ Probabilidad de ser hombre dado que votó por A \[P(H \mid A) = \frac{P(H \cap A)}{P(A)}\]

\[P(H \mid A) = \frac{25}{55} \approx 0.45\]

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