Lista de Exercícios – Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Regra da Probabilidade Total
Exercício 1: Diagnóstico de Falhas em um Sistema de Produção Automatizado
Um sistema de produção pode falhar devido a três componentes: Sensores (S), CLP e Atuadores (A). As probabilidades de falha por componente são:
\[ P(S) = 0.4, \quad P(CLP) = 0.35, \quad P(A) = 0.25 \]
Se ocorrer uma falha, a chance de ela ser detectada é:
\[ P(D|S) = 0.95, \quad P(D|CLP) = 0.9, \quad P(D|A) = 0.85 \]
Qual a probabilidade de uma falha ser detectada?
Exercício 2: Controle de Qualidade em uma Linha de Montagem
Uma linha de montagem possui três robôs (R1, R2 e R3) com as seguintes probabilidades de operação:
\[ P(R1) = 0.5, \quad P(R2) = 0.3, \quad P(R3) = 0.2 \]
As chances de um robô produzir uma peça defeituosa são:
\[ P(D|R1) = 0.02, \quad P(D|R2) = 0.05, \quad P(D|R3) = 0.08 \]
Qual a probabilidade de uma peça produzida ser defeituosa?
Exercício 3: Fornecimento de Energia Industrial
Uma fábrica possui três fontes de energia: Rede Elétrica, Gerador a Diesel e Baterias.
\[ P(Rede) = 0.7, \quad P(Gerador) = 0.2, \quad P(Baterias) = 0.1 \]
Se uma fonte está ativa, a chance de fornecer energia corretamente é:
\[ P(F|Rede) = 0.99, \quad P(F|Gerador) = 0.95, \quad P(F|Baterias) = 0.9 \]
Qual a probabilidade de a fábrica ter fornecimento adequado de energia?
Teorema de Bayes
Exercício 4: Diagnóstico de Falhas em Sensores Industriais
Um sensor pode falhar por desgaste natural (70%) ou sobrecarga elétrica (30%). As chances de leituras inconsistentes são:
\[ P(I|Desgaste) = 0.9, \quad P(I|Sobrecarga) = 0.8 \]
Dado que um sensor apresentou leituras inconsistentes, qual a probabilidade de a falha ter sido causada por sobrecarga elétrica?
Exercício 5: Deteção de Anomalias em Processos de Produção
Uma linha de produção usa Sensores Ópticos e Sensores de Vibração para detectar falhas:
- 60% das falhas são detectadas pelos sensores ópticos e 40% pelos sensores de vibração.
- Se a falha for grave: \[ P(A|G) = 0.95, \quad P(A|L) = 0.3 \]
- Se a falha for leve: \[ P(A|G) = 0.85, \quad P(A|L) = 0.2 \]
Dado que um alerta foi disparado, qual a probabilidade de a falha ser grave?
Exercício 6: Classificação de Defeitos em Peças Usinadas
Peças podem apresentar defeitos mecânicos (40%) ou defeitos térmicos (60%). Um sistema de inspeção tem precisão:
\[ P(I|M) = 0.8, \quad P(I|T) = 0.7 \]
Uma peça foi classificada como defeituosa. Qual a probabilidade de o defeito ser mecânico?
Exercício 7: Probabilidade de Manutenção Preventiva
A chance de uma falha grave sem manutenção é 8%, e com manutenção é 2%. Apenas 75% das máquinas recebem manutenção. Uma falha grave ocorreu. Qual a probabilidade de a máquina não ter passado por manutenção?
Exercício 8: Eficiência de Diagnóstico de Motores
Um sistema de diagnóstico avalia motores:
- 5% dos motores falham.
- O sistema identifica corretamente falhas em 98% dos casos.
- 3% dos motores sem falha são classificados erroneamente como defeituosos.
Dado que um motor foi identificado como propenso a falha, qual a probabilidade de ele realmente falhar?