Distribución normal no estandarizada

Distribución normal no estandarizada

Se presentan cuatro situaciones

• P(X < x )

• P(X > x )

• P(a < X < b)

• Hallar el valor x dado su probabilidad acumulada.

Si se tiene una variable aleatoria con distribución normal usaremos la

función: \[pnorm(x,\mu,sigma)\]

Veamos :

Caso 1. Hallar P( X < x )

Una variable aleatoria x tiene distribución normal con:

\(\mu\) = 170

\(\sigma\) = 12

Calcular la probabilidad para valores menores o igual a 150

x=150

P(x <= 150)

P<-pnorm(150,170,12)
P

[1] 0.04779035

Para realizar el gráfico de área sombreada hacemos lo siguiente:

Calculamos los limites del eje x: min = 170 - 3*12 y max=170 + 3*12

[1] 134

[1] 206

# Curva sombreando para valores menores que: P(x< a).
# Hallar :P(x<150)


regionX= seq(130,150,0.01)      # puntos en el eje x para la región a sombrear

xp <- c(130,regionX,150)          # escala en el eje x
yp<- c(0,dnorm(regionX,170,12),0)  # scala en el eje y

# la campana de gauss

curve(dnorm(x,170,12),
      xlim = c(130,210),
      yaxs="i",
      ylim= c(0,0.035),
      ylab = "fx",
      main="Área o probabilidad bajo la curva\n  P(x< 150)")
# el area sombreada
polygon(xp,yp, col="orange")

# colocando el valor de la probabilidad
P<-pnorm(150,170,12)

text(147,0.002,paste0(round(P*100,1),"%"))

Caso 2. Hallar P(X > x)

Calcular la probabilidad para valores mayores a 180

P(X > 180 ) = 1- P(x < 180 )

# curva sombreando valores mayores que: P(x> 180)

regionX= seq(180,210,0.01)
xp <- c(180,regionX,210)
yp<- c(0,dnorm(regionX,170,12),0)

# el gráfico
curve(dnorm(x,170,12),
      xlim = c(130,210),
      yaxs="i",
      ylim= c(0,0.035),
      ylab = "fx",
      main="Distribución de densidad  N(170,12)")
# area sombreada
polygon(xp,yp, col="skyblue")

# colocando el valor de la probabilidad

P<-1-pnorm(180,170,12)

text(187,0.005,paste0(round(P*100,1),"%"))

Caso3. P(a < x < b)

Hallar la probabulidad de que se encuentre : 150 < x 180

          P(x<180)- P(x < 150)

# curva sombreado entre dos valores: P(a < x <b) ---> P(150 < x < 168)

# vamos calcular la probabilidad: P(x<168) - P(x<150)
Px<- pnorm(180,170,12)- pnorm(150,170,12);Px

[1] 0.7498813

regionX= seq(150,180,0.01)                       #regiona sombrear
xp <- c(150,regionX,180)                   # eje x a sombrear

yp<- c(0,dnorm(regionX,170,12),0)          # eje y a sombrear

# la curva normal
curve(dnorm(x,170,12),
      xlim = c(130,210),      #   escala eje x
      yaxs="i",
      ylim= c(0,0.035),      # escala eje y
      ylab = "fx",
      main="Densidad  x~N(170,12)")

# el area a sombrear
polygon(xp,yp, col="red2")

# colocando el valor de la probabilidad
text(165,0.01,paste0(round(Px*100,1),"%"))

Caso 4. Dada la probabilidad p hallar el valor de X

Es sería : \(P(X< x )= p\)

El valor x lo podemos encontrar mediante la función : \(qnorm(p,\mu,\sigma)\)

Veamos un ejemplo: hallar el valor de x maximo para tener el 95% de los datos.

qnorm(0.95,170,12)

[1] 189.7382

hasta el valor de x = 189.73 se tiene el 95% de los datos

Otro ejemplo: P(X> x)

hallar el valor minimo de x para el 10% superior de los datos

esto se puede escribir asi: P(X>x) = 1-0.10 = 0.90

p= 0.90
round(qnorm(0.90,170,12),2)

[1] 185.38

El 10 % superior de los datos estaran comprendidos apartir de x = 185.38.