2025-02-18
El Casino de Alonso | Jean Carlos Muñoz-G
Final Proyect - Ejercicio 1
Sabiendo que el dado tiene 6 Caras, tenemos que:
valores_d <- rep(1:6)
Probabilidad de cada valor
prob <- rep(1/6, 6)
valor esperado de X e Y
valore_x <- sum(valores_d * prob)
valore_y <- valore_x
Resultados
valore_x
valore_y
El valor esperado es 3.5.
b. ¿Cuál es la varianza de X y de Y ? ¿Qué tipo de distribución tienen X y Y ?
E_X2 <- sum((valores_d^2) * prob)
Calcular Var(X)
Varianza_X <- E_X2 - (valore_x^2)
Varianza_Y <- Varianza_X
Mostrar resultados
Varianza_X
Varianza_Y
La varianza de X y de Y es 2.91
Distribución de la varianza
c. ¿Cuál es el valor esperado de Z? Pista: Usa las propiedades de la esperanza matemática.
z <- 2 - valore_x + 0.5 * valore_y
z
Valor esperado de Z = 0.25
d. ¿Cuál es la varianza de Z? Pista: Recuerda que X y Y son independientes. Por lo tanto \(Cov(X,Y ) = 0\).
Aplicamos la fórmula de la varianza de una variable aleatoria discreta.\(\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 P(X = x_i)\)
Varianza de Z
varianza_z <- Varianza_X + 0.25 * Varianza_Y
varianza_z
La varianza es 3.65
Parte 2 a. ¿Es la ganancia promedio positiva? ¿Se acerca al valor esperado de Z que calculaste en la parte 1?
Simulación | set.seed(123)
1000 simulaciones n <- 10000
Simulación del lanzamiento de dos dados
X <- sample(1:6, n, replace = TRUE) # Primer dado
Y <- sample(1:6, n, replace = TRUE) # Segundo dado
Cálculo de la ganancia del casino
Z <- 2 - (X - 0.5 * Y)
Cálculo de la media de Z
mean_Z <- mean(Z)
mean_z = 0.28205
El valor de la variancia en la simulacion fue de 0.25 y el valor de la ganancia fue de 0.28. por lo tanto estos valores se acercan.
b. Calcula la varianza de la ganancia en la simulación. ¿Se acerca a la varianza de Z que calculaste en la parte 1?
Cálculo de la varianza de Z
var_Z <- var(Z)
resultado
var_Z
varianza = 3.68304110161016
La varianza de la simulación es 3.68 mientras que la varianza de Z es 3.64.
c. Muestra el gráfico de densidad de Z y descríbelo en dos o tres oraciones.
El gráfico tiende a una distribución normal. La mayor parte de valores se concentran en 0. Las colas indican que es poco probable tener pérdidas o ganancias demasiadas altas.
d. Utilizando los resultados de la simulación, ¿cuál es la probabilidad que el cansino tenga una ganancia positiva por juego?
Probabilidad de que Z > 0
prob_pos <- mean(Z > 0)
Resultado = 0.5047
e. ¿Cuál es la probabilidad que el casino tenga una ganancia de 1 a 2 dólares por juego?
Probabilidad de que 1 ≤ Z ≤ 2
prob_1_2 <- mean(Z >= 1 & Z <= 2)
Resultado 25%.