Ejercicios de Práctica.

Distr Muestral de la Media

Muestras Grandes

  1. Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las corporaciones medianas se distribuye siguiendo una normal con media del \(12.2\%\) y desviación típica de \(3.6\%\). Se toma una muestra aleatoria de \(n = 9\) observaciones de esta población de incrementos porcentuales de salario. Se desea calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor al \(10\%\).
media_poblacional <- 12.2 
desviacion_poblacional <- 3.6   
n <- 9  
error_estandar <- desviacion_poblacional / sqrt(n)
probabilidad <- 1 - pnorm(10, mean = media_poblacional, sd = error_estandar)

print(paste("La probabilidad de que la media muestral sea mayor al 10% es:", round(probabilidad, 2)))
## [1] "La probabilidad de que la media muestral sea mayor al 10% es: 0.97"
  1. Supongamos que el tiempo de respuesta de todos los servidores de una red empresarial sigue una distribución normal con una media de 15 milisegundos y una desviación estándar de 4 milisegundos. Se selecciona una muestra aleatoria de nueve observaciones de estos tiempos de respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor de 12 milisegundos?
media_poblacional <- 15 
desviacion_poblacional <- 4   
n <- 9  
error_estandar <- desviacion_poblacional / sqrt(n)
probabilidad <- 1 - pnorm(12, mean = media_poblacional, sd = error_estandar)

print(paste("La probabilidad de que la media muestral sea mayor a 12 milisegundos es:", round(probabilidad, 2)))
## [1] "La probabilidad de que la media muestral sea mayor a 12 milisegundos es: 0.99"

Muestras Pequeñas

  1. Supongamos que estamos analizando los tiempos de entrega de productos en una cadena de suministro global. Se sabe que los tiempos de entrega siguen una distribución normal, con una media poblacional de \(20\) días y una desviación estándar muestral de \(4\) días. Se decide tomar una muestra aleatoria de \(n = 16\) envíos para evaluar el rendimiento del sistema logístico. Se desea calcular la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de entrega sea estrictamente mayor que \(21.753\) días.
media_poblacional <- 20  
desviacion_muestral <- 4  
n <- 16  
gl <- n - 1  

error_estandar <- desviacion_muestral / sqrt(n)
valor_critico <- 21.753
probabilidad <- 1 - pt((valor_critico - media_poblacional) / error_estandar, df = gl)

print(paste("La probabilidad de que la media muestral sea mayor que 21.753 días es:",
             round(probabilidad, 4)))
## [1] "La probabilidad de que la media muestral sea mayor que 21.753 días es: 0.05"
  1. En el marco de un ambicioso programa de bienestar implementado en escuelas alrededor del mundo como parte de una iniciativa global de responsabilidad social corporativa, se lleva a cabo un estudio para evaluar el impacto del programa en los pesos promedio de los estudiantes de sexto grado. La muestra seleccionada aleatoriamente incluye a 20 niños y 25 niñas de diversas nacionalidades. La muestra incluye aleatoriamente a 20 niños y 25 niñas. Se sabe que, tanto para niños y niñas, los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14,142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado es de 85 libras y su desviación estándar es de 12,247 Se desea determinar la probabilidad de que el peso promedio de los 20 niños sea al menos 20 libras mayor que el de las 25 niñas, con la hipótesis de que el programa ha tenido un efecto significativo en la salud y el peso de los estudiantes La investigación busca determinar si la implementación del programa ha tenido un efecto significativo en la salud y el peso de los estudiantes en comparación con los niños y niñas que no han participado en el programa.
n_ninos <- 20
n_ninas <- 25

mu_ninos <- 100
sigma_ninos <- 14.142

mu_ninas <- 85
sigma_ninas <- 12.247

diferencia_esperada <- mu_ninos - mu_ninas

sigma_dif <- sqrt((sigma_ninos^2 / n_ninos) + (sigma_ninas^2 / n_ninas))

z_valor <- (20 - diferencia_esperada) / sigma_dif
probabilidad <- 1 - pnorm(z_valor)


cat("La probabilidad de que el peso promedio de  los niños sea al menos 20 libras mayor que el de las niñas es:", probabilidad, "\n")
## La probabilidad de que el peso promedio de  los niños sea al menos 20 libras mayor que el de las niñas es: 0.1056453
  1. Un analista financiero está comparando la rentabilidad anual de dos sectores económicos diferentes: empresas manufactureras y empresas comerciales. Se seleccionan dos muestras independientes de empresas y se registran los siguientes datos:

Empresas Manufactureras:

  • Tamaño de muestra: \(n_1 = 15\)
  • Media de rentabilidad: \(\bar{X}_1 = 18\%\)
  • Desviación estándar: \(s_1 = 4\%\)

Empresas Comerciales:

  • Tamaño de muestra: \(n_2 = 12\)
  • Media de rentabilidad: \(\bar{X}_2 = 15\%\)
  • Desviación estándar: \(s_2 = 5\%\)
n1 <- 15  
n2 <- 12  

x1_bar <- 18  
x2_bar <- 15  

s1 <- 4  
s2 <- 5  

sp2 <- (((n1 - 1) * s1^2) + ((n2 - 1) * s2^2)) / (n1 + n2 - 2)
se_diff <- sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n2))

df <- n1 + n2 - 2

cat("La diferencia de medias sigue una distribución t con", df, "grados de libertad.\n")
## La diferencia de medias sigue una distribución t con 25 grados de libertad.
t_value <- (5 - (x1_bar - x2_bar)) / se_diff
probabilidad <- 1 - pt(t_value, df)

cat("La probabilidad de que la rentabilidad de las manufactureras sea al menos 5% mayor que las comerciales es:", round(probabilidad, 4), "\n")
## La probabilidad de que la rentabilidad de las manufactureras sea al menos 5% mayor que las comerciales es: 0.1293