grupo = c(rep("Con Nitrogeno", 10), rep("Sin Nitrogeno", 10))
peso = c(0.28,0.43,0.48,0.48,0.52,0.74,0.76,0.86,0.62,0.43,
0.31,0.54,0.27,0.39,0.45,0.43,0.39,0.42,0.37,0.39)DISEÑO DE COMPARACIONES SIMPLE
1 Introducción
El estudio de las interacciones simbióticas entre árboles y hongos micorrícicos es fundamental para comprender el crecimiento vegetal y la absorción de nutrientes. En este contexto, en el presente informe busca evaluar el impacto del nitrógeno en el desarrollo de robles rojos en asociación con el hongo Pisolithus tinctorus.
El objetivo del análisis es determinar si la adición de nitrógeno influye significativamente en el peso de los tallos de los árboles. Para ello, se aplicarán herramientas estadísticas que permitan establecer si existen diferencias significativas entre los árboles que recibieron nitrógeno y aquellos que no. Los resultados contribuirán a una mejor comprensión del papel del nitrógeno en el crecimiento de los robles en condiciones de simbiosis con Pisolithus tinctorus.
2 Problema
En un estudio que se lleva a cabo en Virginia Tech sobre el desarrollo de micorriza, una relación simbiótica entre las raíces de árboles y un hongo, en la cual se transfieren minerales del hongo a los árboles y azúcares de los árboles a los hongos, se cultivaron en un invernadero 20 robles rojos que fueron expuestos al hongo Pisolithus Tinctorus. Todos los árboles se plantaron en el mismo tipo de suelo y recibieron la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad no recibió nitrógeno en el momento de plantarlos y sirvió como control, y la otra mitad recibió 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO3 . Después de 140 días se registraron los siguientes pesos de los tallos, en gramos:
| Con nitrógeno | Sin nitrógeno |
|---|---|
| 0.28 | 0.31 |
| 0.43 | 0.54 |
| 0.48 | 0.27 |
| 0.48 | 0.39 |
| 0.52 | 0.45 |
| 0.74 | 0.43 |
| 0.76 | 0.39 |
| 0.86 | 0.42 |
| 0.62 | 0.37 |
| 0.43 | 0.39 |
Los investigadores se preguntan si existe suficiente evidencia estadística que permita establecer el efecto del nitrógeno en el crecimiento de robles rojos cultivados con el hongo Pisolithus tinctorus. Específicamente, se busca entender si la adición de nitrógeno, afecta el peso de los tallos de los robles rojos en comparación con aquellos que no recibieron nitrógeno.
3 Desarrollo y datos generales
Se realizaron dos pruebas estadísticas:
Prueba de igualdad de varianzas (Prueba F).
Prueba de diferencia de medias (t-test de Student).
Se utilizó un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\)
3.1 Factor de interés
En el caso de estudio el factor de interés es el Efecto del nitrogeno en el crecimiento de robles rojos cultivados con el hongo Pisolithus tinctorus.
3.2 Variable respuesta
En el caso de estudio la variable respuesta es el peso de los tallos de los robles rojos y los pesos se registran en gramos.
3.3 Niveles del factor
En el caso de estudio se presentan los siguientes niveles del factor:
Nivel 1: Con nitrogeno.
Nivel 2: Sin nitrogeno.
3.4 Muestra
- Muestra 1 = \(\ n_1 = 10\ \)
- Muestra 2 \(\ n_2 = 10\ \)
4 Prueba de igualdad de varianzas
Las varianzas de las muestras pueden llegar a ser iguales ( \(\sigma _{1}^{2} = \sigma _{2}^{2}\) ) o diferentes (\(\sigma _{1}^{2} \neq \sigma _{2}^{2}\)) y esto se rectifica mediante los siguientes procesos estadisticos dependiendo sin son iguales o no las varianzas.
Esto significa que la variabilidad en los pesos de los tallos es similar entre los árboles con y sin nitrógeno.
Esto indicaría que el tratamiento con nitrógeno afecta la variabilidad de los pesos de los tallos.
4.1 Planteamiento de hipótesis
El planteamiento de hipotesis sobre la prueba de igualdad se puede plantear de la siguiente manera.
\[\left\{\begin{matrix} H_0:\sigma _{1}^{2} = \sigma _{2}^{2} \\ H_1:\sigma _{1}^{2} \neq \sigma _{2}^{2} \end{matrix}\right.\]
Donde:
\(\sigma _{1}^{2}\) : La varianza poblacional 1
\(\sigma _{2}^{2}\) : La varianza poblacional 2
4.2 Estadistico de prueba \(F_0\)
El estadístico de prueba para la prueba F se calcula como:
\[F_{0} = \frac{S_1^2}{S_2^2}\]
Donde
- \(S_1^2\) : Varianza muestra 1 (con nitrogeno)
- \(S_2^2\) : Varianza muestra 2 (sin nitrogeno)
Para calcular las varianzas muestrales se debe implementar la siguiente formula de forma general:
\[S^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n - 1}\]
siendo
\(S^2\): Varianza muestral.
\(y_i\): Valor de la \(i\)-ésima observación en la muestra.
\(\bar{y}\): Media muestral.
\(n\): Tamaño de la muestra.
4.3 Distibución de referencia para \(F_0 = \frac{S_1^2}{S_2^2}\)
En la prueba de igualdad de varianzas, comparamos el estadístico de prueba \(F_0\) con el valor de la distribución F. Este valor se obtiene a partir de la distribución F para determinar si el estadístico calculado cae en una de las colas de la distribución, lo que llevaría a rechazar la hipótesis nula
se rechaza \(H_0\) si:
\[F_0 < F_{1-\frac{\alpha}{2}, \, n_1-1, \, n_2-1}\]
o si
\[F_0 > F_{\frac{\alpha}{2}, \, n_1-1, \, n_2-1}\]
4.4 Solucion del problema en R:
4.4.1 Planteamineto de hipotesis
\(H_0\): Las varianzas de los pesos de los tallos en ambos grupos son iguales.
\(H_1\): Las varianzas de los pesos de los tallos en ambos grupos son diferentes.
4.4.2 Prueba de igualdad de varianzas
# Prueba de igualdad de varianzas
grupo <- as.factor(grupo)
var.test(peso~grupo)
F test to compare two variances
data: peso by grupo
F = 5.9183, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.01419
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
1.470018 23.826980
sample estimates:
ratio of variances
5.918285 tes = var.test(peso~grupo)
tes
F test to compare two variances
data: peso by grupo
F = 5.9183, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.01419
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
1.470018 23.826980
sample estimates:
ratio of variances
5.918285 tes$statistic # valor F F
5.918285 qf(1-(0.05/2),9,9,lower.tail = F) # Cuantil de cola derecha[1] 0.2483859qf(0.05/2,9,9,lower.tail = F) # Cuantil de cola izquierda[1] 4.0259944.5 Comparacion con la distribucion de referencia
como el valor de \(f_0\) no es menor al valor del cuantil de la cola derecha, tenemos que no hay suficiente evidencia estadistica para rechazar la hipotesis nula basandonos en esta comparacion.
\[5.918285 \not\lt 0.2483859\]
Por otra lado tenemos que el valor \(f_0\) es mayor al cuantil de la coola Izquierda por que, hay suficiente evidencia estaditica para rechazar la hipotesis nula de igualdad en las varianzas
\[5.918285 > 4.025994\]
en conclusion tenemos que la variabilidad en el peso de los tallos es diferente entre los robles que recibieron nitrógeno y los que no lo recibieron.Por lo tanto, se concluye que el nitrógeno si afecta el crecimiento de los robles rojos , alterando la variabilidad en el peso de los tallos.
5 Prueba de diferencias de medias
Dado que se rechazó la hipotesis nula de igualdad de varianzas, se procede a realizar la prueba de diferencias de medias para determinar el efecto que tiene el nitrogeno sobre el peso de los tallos.
5.1 Planteamiento de hipótesis
Se plantea las siguientes hipótesis:
\[\left\{\begin{matrix} H_0:\mu _{1}^{2} = \mu _{2}^{2} \\ H_1:\mu _{1}^{2} \neq \mu _{2}^{2} \end{matrix}\right.\]
\(H_0\): No existe diferencias en las medias de los pesos de los tallos (\(\mu_{1}=\mu_{2}\)).
\(H_1\): Si existe diferencias en las medias de los pesos de los tallos (\(\mu_1 \neq \mu_2 \ \)).
5.2 Estadístico de prueba \(t_0\)
El estadístico de prueba t para dos muestras con varianzas desiguales conocida como prueba t de welch y se realiza con la siguiente formula:
\[t_0 = \frac{\bar{y}_1 - \bar{y}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\]
Donde:
- \(\bar{y}_1\): Media muestral del nivel 1 (con nitrógeno)
- \(\bar{y}_2\): Media muestral del nivel 2 (sin nitrógeno)
- \(n_1\): Tamaño de muestra del nivel 1 (con nitrógeno)
- \(n_2\): Tamaño de muestra del nivel 2 (sin nitrógeno)
- \(S_1^2\): Varianza muestral de los pesos de los tallos con nitrógeno.
- \(S_2^2\): Varianza muestral de los pesos de los tallos sin nitrógeno.
\(t_0\) se usa en la sigueinte expresion para determinar los grados de libertad
\[v = \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2 - 1}}\]
5.3 Comparación con la distribución de referencia
Dado que el estadístico t calculado (2.660276) es mayor que el valor crítico t (2.179682), existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula (H₀), que plantea que las medias de los pesos de los tallos en los grupos con y sin nitrógeno son iguales. Por lo tanto, concluimos que los pesos de los tallos entre los grupos con nitrógeno y sin nitrógeno son significativamente diferentes.
5.4 Solución del problema en R
5.4.1 Planteamiento de hipótesis
- \(H_0\): Las media de los pesos de los tallos son iguales.
- \(H_1\): Las medias de los pesos de los tallos son diferentes.
5.4.2 Estadístico de prueba \(t_0\)
testt=t.test(peso~grupo, var.equal = FALSE)
testt
Welch Two Sample t-test
data: peso by grupo
t = 2.6603, df = 11.957, p-value = 0.02084
alternative hypothesis: true difference in means between group Con Nitrogeno and group Sin Nitrogeno is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.02962751 0.29837249
sample estimates:
mean in group Con Nitrogeno mean in group Sin Nitrogeno
0.560 0.396 testt$statistic # valor t0 t
2.660276 qt(0.05/2,11.957,lower.tail = FALSE) [1] 2.1796825.4.3 Comparación de la distribución de probabilidad de referencia
Para evaluar si la diferencia en los pesos de los tallos entre ambos grupos es estadísticamente significativa, se compara el estadístico de prueba \(t_0\) con el valor crítico de la distribución t. En este análisis, si el valor absoluto del estadístico de prueba supera el valor teórico, se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto:\(|t_0| > \ t_{ \ \alpha/2, \ v}\)
\(|t_0| > \ t_{ \ 0.025, \ 11.957}\)
\(2.660276 \ > \ 2.179682\)
Como \(|t_0|\) supera el valor del cuantil, se rechaza la hipótesis nula. Esto indica que hay evidencia suficiente para afirmar que existe una diferencia significativa en el peso de los tallos entre los robles que fueron tratados con nitrógeno y aquellos que no lo fueron.
6 Resultados
Se determina que la incorporación de nitrógeno influye de manera significativa en el crecimiento de los robles rojos cultivados con el hongo Pisolithus tinctorus. Los árboles que fueron tratados con nitrógeno presentaron un incremento notable en el peso de sus tallos en comparación con aquellos que no lo recibieron. En consecuencia, se acepta la hipótesis alternativa.