Soluciones a los Ejercicios de la Lista 5

Ejercicio 1

1. Proponer un contraste de hipótesis basado en la estimación máxima verosímil de $\theta$.

La función de densidad propuesta es:

\[ f_X(x|\theta) = \frac{\theta}{x^2}, \quad x \geq \theta, \] donde $\theta$ es el parámetro que define la menor remuneración percibida por los trabajadores.

El estimador de máxima verosimilitud para $\theta$ es el valor mínimo de la muestra, $X_{(1)}$. Por lo tanto, $\hat{\theta}_{MV} = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)$.

El analista desea demostrar que la menor remuneración percibida por los trabajadores es superior a 15 mil pesos, por lo que el contraste de hipótesis sería:

Hipótesis nula ($H_0$): $\theta \leq 15$, es decir, el salario mínimo no supera los 15,000 pesos.
Hipótesis alternativa ($H_1$): $\theta > 15$, es decir, el salario mínimo es mayor a 15,000 pesos.

La región de rechazo (RR) está definida como el conjunto de valores en los que se rechaza $H_0$. En este caso, se rechaza $H_0$ si el valor mínimo observado $X_{(1)}$ de la muestra es mayor o igual a $k$.

$R R=\left\{\vec{x}: x_{(1)} \geq k\right\}$

El cuadro de realidad (columnas) y decisión (filas) es el siguiente:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Realidad } \theta \leq 15 \, (\text{H}_0 \, \text{cierta}) & \text{Realidad } \theta > 15 \, (\text{H}_0 \, \text{falsa}) \\ \hline \text{Rechazar H}_0 & \text{Error de Tipo I} & \text{Decisión correcta} \\ \hline \text{No rechazar H}_0 & \text{Decisión correcta} & \text{Error de Tipo II} \\ \hline \end{array}$

Error de Tipo I: Se rechaza la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera (Decidir que el salario mínimo supera $ 15.000 cuando realmente es 15.000 o menor).
Error de Tipo II: No se rechaza la hipótesis nula cuando en realidad es falsa (Decidir que el salario mínimo es a lo sumo $ 15.000 cuando realmente supera 15.000).

\[ \]

2. Nivel de significación ($\alpha$) si el analista rechaza $H_0$ cuando $\hat{\theta}_{MV} \geq 21.813$.

El nivel de significación es la probabilidad de cometer un error de Tipo I, es decir, rechazar $H_0$ cuando es verdadera. Esto ocurre si el valor estimado de $\theta$, $\hat{\theta}_{MV}$, es mayor o igual a 21.813 cuando en realidad $\theta \leq 15$.

La función de distribución acumulada (CDF) de $\hat{\theta}_{MV}$ (el valor mínimo en la muestra) es:

\[ F_{\hat{\theta}_{MV}}(x) = \left( \frac{\theta}{x} \right)^n, \quad x \geq \theta. \]

Para $n = 8$ y $\theta = 15$, queremos calcular:

\[ P(\hat{\theta}_{MV} \geq 21.813 | \theta = 15) = 1 - F_{\hat{\theta}_{MV}}(21.813). \]

\[ \alpha = P(X_{(1)} \geq 21,813 \, | \, \theta = 15) =1-(15/21.8)^8= 0.05. \]

El nivel de significación del contraste, es decir, la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando $\theta = 15$, es aproximadamente $0.05$.

\[ \]

3. Calcular la potencia del contraste si la remuneración mínima percibida por los trabajadores rurales es de 20 mil pesos.

La potencia de un contraste es la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando es falsa, es decir, $P(\hat{\theta}_{MV} \geq 21.813 | \theta = 20)$.

La potencia se calcula como:

\[ \text{Potencia} = 1 - F_{\hat{\theta}_{MV}}(21.813 | \theta = 20) = 1 - \left( \frac{20}{21.813} \right)^8. \]

El error de Tipo II ocurre cuando no se rechaza $H_0$ cuando en realidad $\theta > 15$.

\[ \beta = P(X_{(1)} \geq 21,813 \, | \, \theta = 20) = 0.499. \]

La potencia del contraste, es decir, la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando la remuneración mínima es de 20 mil pesos, es aproximadamente $0.50$.

\[ \]

4. Obtener la función de potencia del contraste y graficarla.

La función de potencia describe cómo varía la potencia del contraste en función de distintos valores de $\theta$. Para cada valor de $\theta$, la potencia es:

Si $\theta \leq 21,813$, resulta que:

\[ \text{Potencia}(\theta) = \left( \frac{\theta}{21,813} \right)^8. \]

Si $\theta > 21,813$, resulta que:

\[ \text{Potencia}(\theta) = 1. \]

Implementación en R

tita = seq(0, 21.813, .003)
plot(tita,(tita/21.813)^8,col=2,xlim=c(0,25),ylim=c(0,1.1),
main ="Funcion de potencia",ylab="Potencia",type ="l")
segments(21.813,1,25,1,col=2)

\[ \]

Ejercicio 2

Información proporcionada:

El Banco Central sospecha que el rendimiento promedio de un producto financiero ha caído por debajo del nivel histórico de 8%.
Se sabe que el rendimiento sigue una distribución normal.
Se toma una muestra de 9 bancos, en la que se observa un rendimiento promedio de 6% y un desvío estándar de 3%.
Se debe realizar el contraste de hipótesis con un nivel de significación del 5%.

El contraste de hipótesis que el Banco Central debe realizar es:

Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \geq 8$ (el rendimiento promedio no ha caído por debajo del nivel histórico).
Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu < 8$ (el rendimiento promedio ha caído por debajo del nivel histórico).

$X=$ «rendimiento del producto financiero (medido en %)» con distribución normal cuya media histórica es $\mu=8$.

Muestra de tamaño 9 en la que $\bar{x}=6$ y $s=3$.

$\left.H_0\right) \mu\geq8$ contra $\left.H_1\right) \mu<8 \Rightarrow R R=\{\vec{x}: \bar{x} \leq k\}$.

\[ 0,05=P(\bar{X} \leq k \mid \mu=8)=P\left(t_8 \leq \frac{\sqrt{9}(k-8)}{3}\right) \Rightarrow \frac{\sqrt{9}(k-8)}{3}=-1,86 \Rightarrow k=6,14 \]

$\bar{x}=6 \in R R \Rightarrow$ La evidencia muestral corrobora la creencia del Banco al $5 \%$ de significación.

\[ \]

2. La deducción del intervalo de confianza se realiza partiendo de la cantidad pivotal

\[ Q=\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2 \text { y resulta }\left(\frac{(n-1) s^2}{\chi_{n-1 ; \alpha / 2}^2} ; \frac{(n-1) s^2}{\chi_{n-1 ; 1-\alpha / 2}^2}\right) \]

En este caso $n=9, s^2=9$ y $\alpha=0,01$ por lo que el IC al $98 \%$ para $\sigma^2$ es: $(3,58383 ; 43,7291)$

\[ \]

Ejercicio 3

1. Proponer la forma de una región de rechazo para el contraste $H_0: \theta \leq 2$ contra $H_a: \theta > 2$ basada en $\hat{\theta}_{MV}$.

La función de densidad de $Y$ es:

\[ f_Y(y|\theta) = \frac{2y}{\theta^2}, \quad 0 \leq y \leq \theta. \]

El estimador de máxima verosimilitud $\hat{\theta}_{MV}$ para $\theta$ es el valor máximo de la muestra, es decir:

\[ \hat{\theta}_{MV} = \max(Y_1, Y_2, \dots, Y_n). \]

El contraste de hipótesis es: $\left.H_0\right) \theta \leq 2$ contra $\left.H_1\right) \theta>2$

Proponemos $R R=\left\{\vec{y}: y_{(n)} \geq k\right\}$.

La región de rechazo se basa en $\hat{\theta}_{MV}$. Si el valor máximo de la muestra es mayor que un cierto umbral, rechazamos $H_0$. Para determinar el umbral, necesitamos utilizar la distribución del estimador $\hat{\theta}_{MV}$ bajo $H_0$.

Sabemos que:

\[ F_{\hat{\theta}_{MV}}(y|\theta) = \left( \frac{y^2}{\theta^2} \right)^n, \] donde $n$ es el tamaño de la muestra.

\[ \]

2. Decisión en relación al contraste con los datos muestrales

La muestra proporcionada es: $0.99, 1.5, 2, 1.73, 1.86$. El tamaño de muestra es 5.

El estimador de máxima verosimilitud es el valor máximo de la muestra:

\[ \hat{\theta}_{MV} = \max(0.99, 1.5, 2, 1.73, 1.86) = 2. \]

Se debe entonces obtener $F_{Y_{(n)}}(y)$:

\[ F_{\hat{\theta}_{MV}}(y|\theta) = \left( \frac{y^2}{\theta^2} \right)^n, \]

y luego resolver la ecuación $\alpha=P\left(Y_{(n)} \geq k \mid \theta=2\right)=1-F_{Y_{(n)}}(k)$ para $\alpha=0,05$ y $n=5$.

Resulta $k=2 \sqrt[10]{0,95}=1,9897676$.

$y_{(5)}=2 \in R R \Rightarrow$ Se rechaza la hipótesis nula.

Dado que $\hat{\theta}_{MV} = 2$, que es mayor que el valor crítico de $1.99$, rechazamos la hipótesis nula $H_0$.

\[ \]

3. Función de potencia del contraste

La potencia del contraste depende de $\theta$ y se calcula como:

\[ \text{Potencia}(\theta) = P(\hat{\theta}_{MV} > 1.99 | \theta). \]

\[ F_{\hat{\theta}_{MV}}(y|\theta) =F_{Y_{(n)}}(y)= \left( \frac{y^2}{\theta^2} \right)^n, \]

\[ \text{Potencia}(\theta) = 1 - \left( \frac{1.99^2}{\theta^2} \right)^n. \]

$\operatorname{Potencia}(\theta)=P\left(\right.$ Rechazar $\left.H_0\right)=P\left(Y_{(n)} \geq 1,9897676\right)=1-F_{Y_{(n)}}(1,9897676)$.

Si $\theta \leq 1,9897676$ resulta que $\operatorname{Potencia}(\theta)=0$.

Si $\theta>1,9897676$ resulta que $\operatorname{Potencia}(\theta)=1-\left(\frac{1,9897676}{\theta}\right)^{10}$.

Voy a calcular y graficar la función de potencia para diferentes valores de $\theta$.

Implementación en R

tita = seq(1.99, 3.5, .01)
plot(tita,1-(1.9897676/tita)^10, type = "l", col=2,
main ="Funcion de potencia",xlim=c(0,3.5),ylim=c(0,1),ylab="Potencia")
segments(0,0,1.99,0,col=2)

La gráfica muestra la función de potencia del contraste para diferentes valores de $\theta$. A medida que $\theta$ aumenta, la potencia del contraste también aumenta, alcanzando un valor cercano a 1.

\[ \]

4. Cálculo del valor-p

El valor-p es la probabilidad de observar un valor de $\hat{\theta}_{MV}$ tan extremo o más extremo que el valor observado, dado que $H_0$ es verdadera. En este caso, $\hat{\theta}_{MV} = 2$ y bajo $H_0: \theta = 2$, el valor-p es:

\[ \text{Valor-p} = P(\hat{\theta}_{MV} \geq 2 | \theta = 2)=1-F_{Y_{(n)}}(2)=1-\left(\frac{2}{2}\right)^{10}=1-1=0. \]

El valor-p para este contraste es $0$. Esto confirma la decisión anterior de rechazar la hipótesis nula.

\[ \]

Ejercicio 4

1. Plantear el contraste de hipótesis

La empresa quiere investigar si los nuevos procedimientos reducen los costos de gestión de las cuentas de los clientes. Para ello, el contraste de hipótesis es:

Hipótesis nula ($H_0$): El costo promedio de gestión no ha disminuido o incluso ha aumentado. Matemáticamente: $\mu \geq 195$.
Hipótesis alternativa ($H_a$): El costo promedio de gestión ha disminuido. Matemáticamente: $\mu < 195$.

Tabla de realidad (filas) y decisión (columnas) con la información proporcionada sobre la hipótesis nula y alternativa:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{No rechazar } H_0 & \text{Rechazar } H_0 \\ \hline H_0 \text{ es verdadera } (\mu \geq 195) & \text{Decisión correcta} & \text{Error tipo I} \\ \hline H_a \text{ es verdadera } (\mu < 195) & \text{Error tipo II} & \text{Decisión correcta} \\ \hline \end{array}$

Error Tipo I: Se rechaza la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.
Error Tipo II: No se rechaza la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

\[ \]

2. Cálculo del valor-p y conclusión para un nivel de significación del 5%

En la muestra de 6 clientes, el costo promedio de gestión fue de 192 pesos con una desviación estándar de 13.5 pesos. Utilizamos un contraste de medias basado en la distribución $t$ de Student, ya que el tamaño de la muestra es pequeño (n = 6).

El estadístico de prueba $t$ se calcula como:

\[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \]

donde:

$\bar{X} = 192$ es la media muestral,
$\mu_0 = 195$ es la media bajo $H_0$,
$s = 13.5$ es la desviación estándar de la muestra,
$n = 6$ es el tamaño de la muestra.

Sustituyendo los valores:

\[ t = \frac{192 - 195}{13.5 / \sqrt{6}} = \frac{-3}{5.51} = -0.544. \]

El valor-p es la probabilidad de obtener un valor de $t$ tan extremo o más extremo que el observado, bajo la hipótesis nula. Vamos a calcular el valor-p usando la distribución $t$ con $n-1 = 5$ grados de libertad.

El estadístico de prueba $t$ es aproximadamente $-0.544$ y el valor-p es $0.305$.

$Valor-p=P(\bar{X} \leq 192 \mid \mu=195)=P\left(t_5 \leq-0,5443\right)=0,30481$

Para el valor observado $t = -0.544$, el área acumulada (valor p) que se obtiene de la tabla de la t student, es aproximadamente $p = 0.305$, como se muestra en el siguiente código de R:

# Calcular el valor p para la T Student con 5 grados de libertad
pt(-0.544, 5)

## [1] 0.3049056

# Definir grados de libertad
df <- 5
# Definir valor observado de t
t_obs <- -0.544

# Calcular la distribución t
t_values <- seq(-4, 4, length=400)
t_dist <- dt(t_values, df)

# Crear gráfico
plot(t_values, t_dist, type="l", lwd=2, col="orange",
     main="Distribución t de Student y Valor t Observado",
     xlab="Valores t", ylab="Densidad de probabilidad")

polygon(c(min(t_values), t_values[t_values <= t_obs], t_obs),
        c(0, t_dist[t_values <= t_obs], 0),
        col=rgb(1, 0, 0, 0.5))

# Línea punteada en el valor t observado y leyenda
abline(v = t_obs, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
# Línea punteada en el valor crítico que acumula 0.05 de probabilidad
t_crit <- qt(0.05, df)
abline(v = t_crit, col = "blue", lty = 2, lwd = 2)

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución t con 5 grados de libertad", 
                              "Área bajo la curva hasta t = -0.544",
                              "Valor crítico t para alfa 0.05"),
       col = c("orange", "red", "blue"), lty = c(1, 2, 2), lwd = 2, 
       fill = c(NA, rgb(1, 0, 0, 0.5), NA))

Dado que el valor-p $0.305$ es mayor que el nivel de significación $\alpha = 0.05$, no rechazamos la hipótesis nula $H_0$. No hay evidencia suficiente para concluir que los costos de gestión han disminuido con los nuevos procedimientos.

$RR=\{\vec{x}: \bar{x} \leq k\}$

\[ \]

3. Especificar el error de tipo II y calcular su probabilidad

El error de tipo II ocurre cuando no rechazamos la hipótesis nula $H_0$ cuando en realidad $H_0$ es falsa. Queremos calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II, asumiendo que el verdadero costo promedio de gestión es de 193 pesos (en lugar de 195).

La probabilidad de error de tipo II, denotada como $\beta$, se calcula como:

\[ \beta = P(\text{No rechazar } H_0 | \mu = 193). \]

\[ \begin{aligned} & 0,05=P(\bar{X} \leq k \mid \mu=195)=P\left(Z \leq \frac{\sqrt{6}(k-195)}{13}\right) \Rightarrow \\ & \frac{\sqrt{6}(k-195)}{13}=-1,645 \Rightarrow k=186,27 \end{aligned} \]

Para $\mu=193$ se tiene que:

\[ P(\text { Error II })=P(\bar{X}>186,27 \mid \mu=193)=P(Z>-1,2681)=0,89762 \text {. } \]

\[ \]

4. Análisis sobre la afirmación del gerente respecto a la varianza

El gerente de la empresa afirma que la varianza de los costos de gestión será superior a 169 si se implementan los nuevos procedimientos. Para verificar esta afirmación, realizamos un contraste de hipótesis sobre la varianza:

Hipótesis nula ($H_0$): $\sigma^2 \leq 169$ (la varianza es menor o igual a 169).
Hipótesis alternativa ($H_a$): $\sigma^2 > 169$ (la varianza es mayor a 169).

Utilizamos un contraste basado en la distribución $\chi^2$, dado que la varianza muestral se distribuye como $\chi^2$. El estadístico de prueba es:

\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}, \]

donde:

$n = 6$,
$s^2 = (13.5)^2 = 182.25$,
$\sigma_0^2 = 169$ es el valor de la varianza bajo $H_0$.

Voy a proceder a calcular el valor del estadístico $\chi^2$ y verificar si la afirmación del gerente es apoyada por la evidencia muestral.

El estadístico $\chi^2$ calculado es aproximadamente $5.39$, mientras que el valor crítico para un nivel de significación del $10\%$ es $9.24$.

Dado que el valor del estadístico $\chi^2 = 5.39$ es menor que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula $H_0$. Esto significa que no hay evidencia suficiente para apoyar la afirmación del gerente de que la varianza de los costos de gestión será superior a 169 pesos con los nuevos procedimientos.

\[ \begin{aligned} & R R=\left\{\vec{x}: s^2 \geq k\right\} \\ & \alpha=0,1=P\left(S^2 \geq k \mid \sigma^2=169\right)=P\left(\chi_5^2 \leq \frac{5 k}{169}\right) \Rightarrow \frac{5 k}{169}=9,23636 \Rightarrow k=312,19 \end{aligned} \]

$s^2=182,25 \notin R R \Rightarrow$ La evidencia muestral no sustenta la afirmación al $10 \%$ de significación.

\[ \]

Ejercicio 5

1. Deduzca el contraste de hipótesis basado en el cuadro de realidad versus decisión.

$H_0$ $\mu \geq 2$ contra $H_1$ $\mu < 2$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \textbf{Decisión Penalizar } (\mu \geq 2) & \textbf{No penalizar } (\mu < 2) \\ \hline \text{Realidad } \mu < 2 & \text{Error II} & \text{Correcto} \\ \hline \text{Realidad } \mu \geq 2 & \text{Correcto} & \text{Error I} \\ \hline \end{array}$

El peor error es No penalizar cuando se debería haber hecho.

\[ \]

2. Decisión basada en los datos muestrales

La muestra de 9 observaciones arrojó una concentración media de 1.8 unidades con una desviación estándar de 0.1333 unidades. Se debe tomar la decisión sobre si penalizar a la empresa, basándonos en un nivel de significación del $\alpha = 0.05$.

Cálculo del estadístico de prueba:

Usamos un contraste de medias basado en la distribución $t$ de Student, dado que el tamaño de la muestra es pequeño (n = 9).

El estadístico de prueba $t$ se calcula como:

\[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \]

donde:

$\bar{X} = 1.8$ es la media muestral,
$\mu_0 = 2$ es la media bajo $H_0$,
$s = 0.1333$ es la desviación estándar de la muestra,
$n = 9$ es el tamaño de la muestra.

Sustituyendo los valores:

\[ t = \frac{1.8 - 2}{0.1333 / \sqrt{9}} = \frac{-0.2}{0.0444} = -4.505. \]

La región de rechazo ($RR$) es: \[ RR = \left\{ \bar{x} : \bar{x} \leq k \right\}. \]

El valor-p es: \[ \text{Valor-p} = P\left( \bar{X} \leq 1.82 \, | \, \mu = 2 \right) = P\left( t_8 \leq -4.501 \right) = 0.001. \]

Dado que el valor-p es $0.001$, se rechaza la hipótesis nula para todos los niveles usuales de significación (el valor p es menor a cualquier alfa). Se decide no penalizar a la empresa.

\[ \]

Ejercicio 10.33 libro

\[ \]

Un politólogo cree que la fracción p1 de republicanos es mayor que la fracción p2 de demócratas que están a favor de la pena de muerte. Él adquirió muestras aleatorias independientes de 200 republicanos y 200 demócratas y encontró 46 republicanos y 34 demócratas a favor de la pena de muerte. ¿Esta evidencia proporciona apoyo estadístico para la creencia del investigador? Use alfa = .05.

\[ \]

Solucion

\[ \]

El investigador quiere probar si la fracción de republicanos a favor de la pena de muerte ($p_1$) es mayor que la fracción de demócratas a favor de la pena de muerte ($p_2$).

Hipótesis Nula $H_0$: $p_1 - p_2 = 0$ (no hay diferencia en las proporciones).
Hipótesis Alternativa $H_1$: $p_1 - p_2 > 0$ (la fracción de republicanos a favor es mayor que la de demócratas).

El nivel de significancia es $\alpha = 0.05$.

Usaremos una prueba de diferencia de proporciones con el estadístico $z$. El estadístico de prueba se calcula como:

\[ z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} \]

donde: - $\hat{p}_1$ = proporción muestral de republicanos a favor, - $\hat{p}_2$ = proporción muestral de demócratas a favor, - $\hat{p}$ = proporción combinada, - $n_1$ y $n_2$ = tamaños de las muestras de republicanos y demócratas, respectivamente.

Proporción Muestral de Republicanos: \[ \hat{p}_1 = \frac{46}{200} = 0.23 \]
Proporción Muestral de Demócratas: \[ \hat{p}_2 = \frac{34}{200} = 0.17 \]
Proporción Combinada: \[ \hat{p} = \frac{46 + 34}{200 + 200} = 0.20 \]
Cálculo del estadístico $z$:

Sustituyendo los valores en la fórmula:

\[ z = \frac{0.23 - 0.17}{\sqrt{0.20 \times (1 - 0.20) \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{200} \right)}} \]

Procedamos con el cálculo:

El valor del estadístico de prueba $z$ es 1.5.

Determinación de la Región Crítica:

Dado que estamos realizando una prueba unilateral con $\alpha = 0.05$, buscamos el valor crítico de $z$ para una cola derecha de 0.05 en la distribución normal estándar.

El valor crítico para $\alpha = 0.05$ en una prueba unilateral es aproximadamente $z = 1.645$.

Decisión

Si $z > 1.645$, rechazamos $H_0$.
En este caso, $z = 1.5$, que es menor que 1.645, por lo que no rechazamos $H_0$.

Conclusión

No hay suficiente evidencia estadística al nivel de significancia $\alpha = 0.05$ para apoyar la creencia del investigador de que la fracción de republicanos a favor de la pena de muerte es mayor que la fracción de demócratas.

\[ \]

Ejercicio 10.25 libro

Un artículo en American Demographics publica que 67% de adultos estadounidenses siempre vota en elecciones presidenciales. Para probar esta afirmación, se tomó una muestra de 300 adultos y 192 dijeron que siempre votaban en elecciones presidenciales. ¿Los resultados de esta muestra proporcionan suficiente evidencia para indicar que el porcentaje de adultos que dicen que siempre votan en elecciones presidenciales, es diferente del porcentaje publicado en American Demographics? Pruebe usando alfa=0.01

\[ \]

Solucion

Queremos probar si el porcentaje de adultos que dicen que siempre votan en elecciones presidenciales es diferente del 67% publicado en American Demographics.

Hipótesis Nula $H_0$: $p = 0.67$ (el porcentaje de adultos que siempre votan en elecciones presidenciales es 67%).
Hipótesis Alternativa $H_1$: $p \neq 0.67$ (el porcentaje de adultos que siempre votan en elecciones presidenciales es diferente de 67%).

El nivel de significancia es $\alpha = 0.01$.

Dado que estamos trabajando con proporciones, usaremos una prueba de proporciones $z$. El estadístico de prueba $z$ para una muestra de proporciones se calcula con la fórmula:

\[ z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}} \]

donde: - $\hat{p}$ = proporción muestral, - $p_0$ = proporción poblacional (67% o 0.67), - $n$ = tamaño de la muestra.

Proporción Muestral: $\hat{p} = \frac{192}{300} = 0.64$
Proporción Poblacional: $p_0 = 0.67$
Tamaño de la Muestra: $n = 300$

Sustituyendo en la fórmula del estadístico de prueba:

\[ z = \frac{0.64 - 0.67}{\sqrt{\frac{0.67 \times (1 - 0.67)}{300}}} \]

Calculamos el valor de $z$:

El valor del estadístico de prueba $z$ es aproximadamente -1.105.

Determinación de la Región Crítica: Dado que estamos realizando una prueba bilateral con $\alpha = 0.01$, buscamos el valor crítico de $z$ para una cola de 0.005 en cada extremo de la distribución normal estándar.

Los valores críticos para $\alpha = 0.01$ en una prueba bilateral son aproximadamente $z = \pm 2.576$.

Decisión: - Si $|z| > 2.576$, rechazamos $H_0$. - En este caso, $|z| = 1.105$, que es menor que 2.576, por lo que no rechazamos $H_0$.

Para calcular el p-valor en esta prueba de hipótesis, seguimos los pasos siguientes:

Establecemos el valor del estadístico $z$ calculado: Ya habíamos calculado el estadístico de prueba $z = -1.105$.
Determinamos el p-valor para una prueba bilateral:
- Para una prueba bilateral, el p-valor se calcula multiplicando por 2 la probabilidad de que el estadístico normal estándar tome un valor mayor o igual al valor absoluto de $z$.
- Esto se representa como: \[ \text{p-valor} = 2 \times P(Z \geq |z|) \]
- Donde $P(Z \geq |z|)$ es la probabilidad acumulada en la cola derecha de la distribución normal estándar para el valor $|z|$.
Cálculo:
- Calculamos $P(Z \geq |z|)$ usando la función de distribución acumulada de la normal estándar, y luego multiplicamos por 2 para obtener el p-valor total: \[ \text{p-valor} = 2 \times (1 - P(Z \leq |z|)) \]

Con estos pasos, el p-valor resultante fue aproximadamente 0.269. Esto significa que, con una probabilidad del 26.9%, podríamos obtener un valor tan extremo o más que el observado bajo la suposición de que la hipótesis nula es cierta.

Conclusión: No hay suficiente evidencia estadística al nivel de significancia $\alpha = 0.01$ para afirmar que el porcentaje de adultos que dicen que siempre votan en elecciones presidenciales es diferente del 67% publicado en American Demographics.

Soluciones a los Ejercicios de la Lista 5 - Inferencia Estadística

Ejercicio 1

Implementación en R

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Implementación en R

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 10.33 libro

Ejercicio 10.25 libro