Einleitung

Ein statistischer Test dient dazu, zu entscheiden, ob man aufgrund einer Stichprobe eine bestimmte Annahme über die Grundgesamtheit widerlegen oder bestätigen kann. Diese Annahme nennt man auch die Nullhypothese (\(H_0\) ), ihr Gegenteil ist die Alternativhypothese (\(H_1\)).

Der Binomialtest prüft, ob die beobachtete Anzahl von Erfolgen in einer Serie von Bernoulli-Experimenten signifikant von der erwarteten Anzahl abweicht. Die Schritte sind:

  1. Formulierung der Hypothesen:

  • Nullhypothese (H0): Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist gleich einem bestimmten Wert (z.B. 0,5).

  • Alternativhypothese (H1): Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist ungleich diesem Wert.

  1. Berechnung des p-Werts:
  • Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, die beobachtete Anzahl von Erfolgen oder eine extremere Anzahl zu erhalten, wenn die Nullhypothese wahr ist.
  1. Vergleich mit dem Signifikanzniveau:
  • Wähle ein Signifikanzniveau (z.B. 0,05).
  • Wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau, lehnen wir die Nullhypothese ab.
  1. Entscheidung:
  • Wenn der p-Wert < 0,05, gibt es statistische Evidenz dafür, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit nicht dem angenommenen Wert entspricht.

Beispiel: Münz-Experiment

Angenommen, wir haben eine Münze 100 Mal geworfen und 65 Mal “Kopf” erhalten. Wir möchten testen, ob die Münze ausgewogen ist (d.h. die Wahrscheinlichkeit für “Kopf” ist 0,5).

Aufgabe

  1. Formulierung der Hypothesen

  2. Durchführung des Binomialtests

  3. Ergebnisinterpretation

Erklärung

  • n: Die Anzahl der Würfe (100).
  • k: Die Anzahl der Erfolge (65).
  • p: Die erwartete Wahrscheinlichkeit für “Kopf” \(0.5\).
  • binom.test: Führt den Binomialtest durch.
  • print(result): Zeigt das Ergebnis des Tests an.

Lösung

  1. Formulierung der Hypothesen
  • Nullhypothese (H0): Die Münze ist ausgewogen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für “Kopf” ist 0,5.
  • Alternativhypothese (H1): Die Münze ist nicht ausgewogen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für “Kopf” ist nicht 0,5.
  1. Durchführung des Binomialtests

Wir verwenden den Binomialtest, um zu prüfen, ob die beobachtete Anzahl von 65 Mal “Kopf” signifikant von der erwarteten Anzahl von 50 abweicht.

Hier ist der R-Code, um den Binomialtest durchzuführen und den p-Wert zu berechnen:

# Anzahl der Würfe
n <- 100

# Anzahl der Erfolge (Kopf)
k <- 65

# Erwartete Wahrscheinlichkeit für Kopf
p <- 0.5

# Binomialtest durchführen
result <- binom.test(k, n, p)

# Ergebnis anzeigen
print(result)
  1. Ergebnisinterpretation

Der Binomialtest gibt uns einen p-Wert. Wenn der p-Wert kleiner als das gewählte Signifikanzniveau (z.B. 0,05) ist, lehnen wir die Nullhypothese ab und nehmen an, dass die Münze nicht ausgewogen ist.

  • p-Wert: Der p-Wert beträgt p-value = 0.003518. Da dieser Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau von \(0.05\), lehnen wir die Nullhypothese ab.

  • Schlussfolgerung: Es gibt statistische Evidenz dafür, dass die Münze nicht ausgewogen ist.

  • Konfidenzintervall : Das \(95\%\)-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, “Kopf” zu werfen, liegt zwischen 0.5481506 und 0.7427062. Dies bedeutet, dass wir mit 95%iger Sicherheit sagen können, dass die wahre Wahrscheinlichkeit, “Kopf” zu werfen, in diesem Bereich liegt.

Beispiel: Würfel-Experiment

Angenommen, wir haben einen Würfel 60 Mal geworfen und 18 Mal die Zahl “6” erhalten. Wir möchten testen, ob der Würfel fair ist (d.h. die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl ist 1/6).

Aufgaben

  1. Formulierung der Hypothesen

  2. Durchführung des Binomialtests

  3. Ergebnisinterpretation

Erklärung

  • n: Die Anzahl der Würfe (60).
  • k: Die Anzahl der Erfolge (15).
  • p: Die erwartete Wahrscheinlichkeit für die Zahl “6” (1/6).
  • binom.test: Führt den Binomialtest durch.
  • print(result): Zeigt das Ergebnis des Tests an.

Lösung

  1. Formulierung der Hypothesen
  • Nullhypothese (H0): Der Würfel ist fair, d.h. die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl ist \(\frac{1}{6}\).
  • Alternativhypothese (H1): Der Würfel ist nicht fair, d.h. die Wahrscheinlichkeit für die Zahl ist nicht \(\frac{1}{6}\).
  1. Durchführung des Binomialtests Verwenden Sie dafür die bimon.test() Funktion.
# Anzahl der Würfe
n <- 60

# Anzahl der Erfolge (Zahl 6)
k <- 18

# Erwartete Wahrscheinlichkeit für Zahl 6
p <- 1/6

# Binomialtest durchführen
result <- binom.test(k, n, p)

# Ergebnis anzeigen
print(result)
  1. Ergebnisinterpretation:

Das Ergebnis des Binomialtests gibt uns einen p-Wert. Wenn der p-Wert kleiner als das gewählte Signifikanzniveau (z.B. 0,05) ist, lehnen wir die Nullhypothese ab und nehmen an, dass der Würfel nicht fair ist.

  • p-Wert: Der p-Wert beträgt 0.008926. Da dieser Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau von 0.05, lehnen wir die Nullhypothese ab.

  • Schlussfolgerung: Es gibt statistische Evidenz dafür, dass der Würfel nicht fair ist.

  • Konfidenzintervall: Das 95%-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, die Zahl “6” zu werfen, liegt zwischen 0.1884514 und 0.4320831. Dies bedeutet, dass wir mit 95%iger Sicherheit sagen können, dass die wahre Wahrscheinlichkeit, die Zahl “6” zu werfen, in diesem Bereich liegt.

Beispiel: Kundenservice in einem Restaurant

Angenommen, du bist der Manager eines Restaurants und möchtest sicherstellen, dass dein Personal einen guten Kundenservice bietet. Du entscheidest dich, die Zufriedenheit der Kunden zu testen.

Die Nullhypothese \(H_0\) lautet: 80% der Kunden sind mit dem Service zufrieden. Du befragst 30 Kunden und stellst fest, dass 25 von ihnen zufrieden sind.

Aufgaben

  1. Formulierung der Hypothesen

  2. Durchführung des Binomialtests

  3. Ergebnisinterpretation

Lösung

  1. Formuliere die Hypothesen
  • Nullhypothese \(\left(H_0\right)\) : \(80 \%\) der Kunden sind mit dem Service zufrieden ( \(p=0.80\) ).
  • Alternativhypothese \(\left(H_A\right)\) : Weniger als \(80 \%\) der Kunden sind mit dem Service zufrieden \((p<0.80)\).
  1. Führe den Binomialtest durch

In R kannst du den Binomialtest mit der Funktion binom.test() durchführen:

# Anzahl der zufriedenen Kunden

k <- 25

# Anzahl der befragten Kunden
n <- 30

# Wahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese
p <- 0.80

# Binomialtest durchführen
binom_test_ergebnis <- binom.test(k, n, p, alternative = "less")

# Ergebnis anzeigen
print(binom_test_ergebnis)
  1. Ergebnis interpretieren

Das Ergebnis des Binomialtests gibt dir den p-Wert. Wenn der p-Wert kleiner ist als dein Signifikanzniveau (z.B. 0.05), kannst du die Nullhypothese ablehnen.

  • In diesem Beispiel ist der p-Wert (p-value) = 0.7448, was grösser ist als 0.05. Daher kannst du die Nullhypothese nicht ablehnen und musst annehmen, dass mindestens \(80\%\) der Kunden mit dem Service zufrieden sind.