CLASE 2: PRUEBAS DE NORMALIDAD

Revisión lectura dirigida 2:

Shapiro–Francia test compared to other normality test using expected p-value

Descanso

Conceptos clave lectura 2

Estadísticos de orden

Los estadísticos de orden son variables aleatorias que se obtienen al ordenar una muestra de datos.

Si \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) es una muestra de variables aleatorias continuas, independientes e idénticamente distribuidas, al ordenar estos datos de forma creciente, obtenemos (Wackerly et al. 2009):

\[ X(1)​≤X(2)​≤⋯≤X(n)​, \]

donde \(X_{(1)}\) es el mínimo de la muestra, \(X_{(n)}\) ​ es el máximo, y en general \(X_{(k)}\) ​ es el k-ésimo estadístico de orden.

Ejemplo: Estadísticos de orden en Epidemiología

• Imaginemos que se está estudiando la distribución de los tiempos de supervivencia (en días) de pacientes que han sido diagnosticados con una determinada enfermedad.

• Si \(T_1, T_2, \cdots, T_n\) representan los tiempos de supervivencia de una muestra de n pacientes, se pueden ordenar de menor a mayor:

\[ T_{(1)} \leq T_{(1)} \leq \cdots T_{(n)} \]

• Uno de los estadísticos de orden más utilizados en este contexto es la mediana de supervivencia, la cual se define como:

\[ \text{Mediana} = \begin{cases} T_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & \text{si } n \text{ es impar}, \\ \frac{1}{2} \left( T_{\left(\frac{n}{2}\right)} + T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)} \right), & \text{si } n \text{ es par}. \end{cases} \]

Continuación ejemplo: Estadísticos de orden en Epidemiología

• Además, los estadísticos de orden permiten calcular otros cuantiles, por ejemplo, los cuartiles \(Q_1\) y \(Q_3\):

\[ Q_1 = T_{\left(\lceil 0.25 \, n \rceil \right)} \quad \text{y} \quad Q_3 = T_{\left(\lceil 0.75 \, n \rceil \right)}, \]

donde \(\lceil \cdot \rceil\) denota la función techo, que redondea al entero más cercano por arriba.

• Estos cuantiles son fundamentales para caracterizar la dispersión y la forma de la distribución de los tiempos de supervivencia en estudios epidemiológicos.

Instalación de librerías y parámetros de la simulación

# 1. Instalar y cargar el paquete DescTools si aún no está instalado
library(pacman)
p_load(DescTools)

# 2. Establecer los parámetros de la simulación
set.seed(527)         # Para reproducibilidad
n <- 20               # Tamaño de la muestra (número de pacientes)
lambda <- 0.1         # Tasa de la distribución exponencial (esperanza = 1/lambda)
k <- 3                # Estadístico de orden deseado (tercer menor tiempo de supervivencia)

Simulación de los tiempos de supervivencia

# 3. Simulación de los tiempos de supervivencia
survival_times <- rexp(n, rate = lambda)

## Ver en un gráfico los tiempos

hist(survival_times) ## pendiente: agregar curva de densidad

Obtener y graficar el estadístico de orden 3

# 4. Ordenar los tiempos de supervivencia de menor a mayor
ordered_times <- sort(survival_times)
cat("Tiempos de supervivencia ordenados:\n")

Tiempos de supervivencia ordenados:

print(ordered_times)

 [1]  0.01018847  0.12863760  0.39561271  0.41099794  0.45320501  0.61679631
 [7]  0.76113691  1.03533538  1.68801142  2.10189062  2.78642756  6.12886110
[13]  7.39187609 11.64217182 12.54007759 12.70896287 13.99002155 16.17126793
[19] 17.93712838 24.89819212

# 5. Seleccionar el tercer estadístico de orden (tercer menor tiempo)
observed_value <- ordered_times[k]
cat("\nEl tercer estadístico de orden observado es:", observed_value, "\n")

El tercer estadístico de orden observado es: 0.3956127 

Pruebas de normalidad

• Para realizar una prueba de normalidad partimos del supuesto común de que los datos de la muestra \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) son continuos, independientes e idénticamente distribuidas con una función de distribución desconocida \(F(X,\varTheta)\), donde \(\varTheta\) es el vector de parámetros.

• Cualquier prueba de normalidad contrasta las siguientes hipótesis:

  • \(H_0: F \in F_0(\mu,\sigma^2)\) La muestra proviene de una población con distribución normal vs

  • \(H_0: F \notin F_0(\mu,\sigma^2)\) La muestra NO proviene de una población con distribución normal

donde \(F_0()\) denota la distribución de probabilidad bajo \(H_0\) cierta (Normal) (Mbah and Paothong 2015).

Principales pruebas de Normalidad en R