knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, warning = FALSE, message = FALSE)

1. Solucione los ejercicios 2.3, 2.5 del Capítulo 2 pág. 62-63 del libro [1]. Implemente si el ejercicio lo amerita.

2.3

En cada caso, genere las variables aleatorias y compárelas con la función de densidad. (a) Variables aleatorias normales utilizando un candidato de Cauchy en Aceptar-Rechazar; (b) Variables aleatorias Gamma Ga(4.3, 6.2) utilizando un Gamma Ga(4, 7); (c) Normal truncada: Normal estándar truncada a (2,$\infty$).

# Método de Aceptación y Rechazo en R


# Definir la densidad objetivo (Normal estándar)
fxNormal <- function(x) {
  return(dnorm(x))
}

# Definir la densidad auxiliar (Cauchy estándar)
fxCauchy <- function(x) {
  return(dcauchy(x))
}

# Encontrar la constante M
opt_res <- optimize(f = function(x) dnorm(x) / dcauchy(x), maximum = TRUE, interval = c(-5, 5))
M <- opt_res$objective

# Generación por Aceptación y Rechazo
n <- 1000
X <- numeric(n)
for (i in 1:n) {
  repeat {
    y <- rcauchy(1)
    u <- runif(1)
    if (M * u * dcauchy(y) <= dnorm(y)) {
      X[i] <- y
      break
    }
  }
}


hist(X, breaks = "FD", freq = FALSE, main = "Normal, AUX_Cauchy", col = "lightgray")
curve(dnorm(x), col = "cyan", lwd = 2, add = TRUE)

fxGamma <- function(x) {
  return(dgamma(x, shape = 4.3, rate = 6.2))
}


fxGammaAux <- function(x) {
  return(dgamma(x, shape = 4, rate = 7))
}


opt_res <- optimize(f = function(x) dgamma(x, shape = 4.3, rate = 6.2) / dgamma(x, shape = 4, rate = 7), 
                    maximum = TRUE, interval = c(0, 2))
M <- opt_res$objective


X <- numeric(n)
for (i in 1:n) {
  repeat {
    y <- rgamma(1, shape = 4, rate = 7)
    u <- runif(1)
    if (M * u * fxGammaAux(y) <= fxGamma(y)) {
      X[i] <- y
      break
    }
  }
}


hist(X, breaks = "FD", freq = FALSE, main = "Gamma(4.3,6.2)  AUX_Gamma(4,7)", col = "lightgray")
curve(dgamma(x, shape = 4.3, rate = 6.2), col = "cyan", lwd = 2, add = TRUE)

fxTruncNorm <- function(x) {
  return(dnorm(x) / (1 - pnorm(2)))
}


fxAux <- function(x) {
  return(dnorm(x, mean = 2, sd = 1))
}


opt_res <- optimize(f = function(x) fxTruncNorm(x) / fxAux(x), maximum = TRUE, interval = c(2, 5))
M <- opt_res$objective

# Generación por Aceptación y Rechazo
X <- numeric(n)
for (i in 1:n) {
  repeat {
    y <- rnorm(1, mean = 2, sd = 1)
    if (y >= 2) {
      u <- runif(1)
      if (M * u * fxAux(y) <= fxTruncNorm(y)) {
        X[i] <- y
        break
      }
    }
  }
}

# Graficar la comparación
hist(X, breaks = "FD", freq = FALSE, main = "Truncated Normal (2,∞)", col = "lightgray")
curve(fxTruncNorm(x), col = "cyan", lwd = 2, add = TRUE)

2.5

2.5 Para cada una de las siguientes distribuciones, calcule la forma explícita de la función de distribución y muestre cómo implementar su generación a partir de una variable aleatoria uniforme: (a) exponencial; (b) doble exponencial; (c) Weibull; (d) Pareto; (e) Cauchy; (f) valor extremo; (g) arcoseno.

(a) Distribución Exponencial

La CDF de una variable $X \sim Exp(\lambda)$ es: \[ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \] La inversa se obtiene despejando $x$: \[ F^{-1}(u) = -\frac{\log(1 - u)}{\lambda} \]

generate_exp <- function(n, lambda) {
  u <- runif(n)
  x <- -log(1 - u) / lambda
  return(x)
}

set.seed(123)
data_exp <- generate_exp(1000, lambda = 2)
hist(data_exp, probability = TRUE, main = "Distribucion Exponencial", breaks = "FD" ,
     xlab = "x", col = "brown", border = "black")
curve(dexp(x, rate = 2), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

(b) Distribución Doble Exponencial (Laplace)

La CDF de la distribución Laplace con media 0 y escala $b$ es: \[ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{x/b}, & x < 0 \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-x/b}, & x \geq 0 \end{cases} \] La inversa se obtiene resolviendo $u = F(x)$: \[ F^{-1}(u) = \begin{cases} b \log(2u), & u < 0.5 \\ -b \log(2(1-u)), & u \geq 0.5 \end{cases} \]

generate_laplace <- function(n, b) {
  u <- runif(n)
  x <- ifelse(u < 0.5, b * log(2 * u), -b * log(2 * (1 - u)))
  return(x)
}

set.seed(101)
data_laplace <- generate_laplace(1000, b = 1)
hist(data_laplace, probability = TRUE, main = "Distribucion Laplace",
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", breaks = "FD")
curve((1/2) * exp(-abs(x)), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

(c) Distribución Weibull

La CDF es: \[ F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}, \quad x \geq 0 \] La inversa es: \[ F^{-1}(u) = \lambda (-\log(1 - u))^{1/k} \]

generate_weibull <- function(n, lambda, k) {
  u <- runif(n)
  x <- lambda * (-log(1 - u))^(1/k)
  return(x)
}

set.seed(123)
data_weibull <- generate_weibull(1000, lambda = 1, k = 2)
hist(data_weibull, probability = TRUE, main = "Distribucion Weibull",
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", breaks = "FD")
curve(dweibull(x, shape = 2, scale = 1), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

(d) Distribución Pareto

La CDF es: \[ F(x) = 1 - \left( \frac{x_m}{x} \right)^\alpha, \quad x \geq x_m \] La inversa es: \[ F^{-1}(u) = x_m (1 - u)^{-1/\alpha} \]

generate_pareto <- function(n, xm, alpha) {
  u <- runif(n)
  x <- xm * (1 - u)^(-1/alpha)
  return(x)
}

set.seed(123)
data_pareto <- generate_pareto(1000, xm = 1, alpha = 2)
hist(data_pareto, probability = TRUE, main = "Distribucion Pareto", breaks = "FD" , 
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", xlim = c(1, 10))
#curve(dpareto(x, 1, 2), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)
curve(2 * 1^2 / x^(2 + 1), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

(e) Distribución Cauchy

La CDF es: \[ F(x) = \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(x) \] La inversa es: \[ F^{-1}(u) = \tan(\pi (u - 0.5)) \]## 2. Solucione los ejercicios 3.1, 3.11 del Capítulo 3 pág. 110-112 del libro [1]. Implemente si el ejercicio lo amerita.

generate_cauchy <- function(n) {
  u <- runif(n)
  x <- tan(pi * (u - 0.5))
  return(x)
}

set.seed(101)
data_cauchy <- generate_cauchy(1000)
hist(data_cauchy, probability = TRUE, main = "Distribucion Cauchy",
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", xlim = c(-10, 10), breaks = "FD")
curve(dcauchy(x), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

(f) Distribución de Valor Extremo

La CDF es: \[ F(x) = e^{-e^{-(x - \mu)/\sigma}} \] La inversa es: \[ F^{-1}(u) = \mu - \sigma \log(-\log u) \]

generate_extreme_value <- function(n) {
  u <- runif(n)
  x <- -log(-log(u))
  return(x)
}

set.seed(123)
data_extreme <- generate_extreme_value(1000)

hist(data_extreme, probability = TRUE, main = "Distribucion de Valor Extremo",
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", breaks = "FD")

(g) Arcsine

La CDF es:

\[ F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin(\sqrt{x}) \]

La inversa es:

\[ F^{-1}(u) = \sin^2(\frac{\pi}{2} u) \]

generate_arcsine <- function(n) {
  u <- runif(n)
  x <- sin(pi * u / 2)^2
  return(x)
}

set.seed(123)
data_arcsine <- generate_arcsine(1000)

hist(data_arcsine, probability = TRUE, main = "DistribuciOn Arcsine",
     xlab = "x", col = "brown", border = "black", breaks = "FD")
curve(1 / (pi * sqrt(x * (1 - x))), add = TRUE, col = "cyan", lwd = 2)

Estimador Bayesiano Normal-Cauchy

Para el estimador Bayesiano Normal-Cauchy:

\[ \delta(x) = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\theta}{1+\theta^2} e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}} d\theta}{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+\theta^2} e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}} d\theta} \]

(a) Graficar el integrando y utilizar integración de Monte Carlo para calcular la integral.

# Definir la función integrando
integrand_num <- function(theta, x=0) {
  (theta / (1 + theta^2)) * exp(- (x - theta)^2 / 2)
}

integrand_den <- function(theta, x=0) {
  (1 / (1 + theta^2)) * exp(- (x - theta)^2 / 2)
}

# Parámetro x
x_val <- 0  

# Graficar la función integrando
theta_seq <- seq(-5, 5, length.out = 1000)
num_values <- sapply(theta_seq, integrand_num, x = x_val)
den_values <- sapply(theta_seq, integrand_den, x = x_val)

plot(theta_seq, num_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2, 
     ylab = "Integrand", xlab = "Theta", main = "Integrand Functions", ylim = c(-0.5, 1))
lines(theta_seq, den_values, col = "red", lwd = 2)
legend("topright", legend = c("Numerador", "Denominador"), 
       col = c("blue", "red"), lwd = 2)

Para realizar la aproximacion del cocientes de integrales, se realizará el calculo por separado de cada integral, observando las dos funciones que hay en cada integral podemos definir f(x) y h(x), donde logramos identificar que el termino $\frac{1}{1+\theta^2}$, $-\infty<\theta<\infty$ corresponde a una cuasi-densidad. ya que al integrar sobre todos los valores de $\theta$, obtenemos la constante de normalización que es igual a $\pi$. De lo anterior logramos ver que f(x) con su correspondiente constante de normalización es la funcion de densidad de la distribución Cauchy-estandardonde $x_0 = 0, \gamma = 1$.

Por lo tanto usando el metodo de la tranformada inversa simularemos realizaciones de la distribucion Cauchy-estandar, para usarla en el calculo de la media empirica.

n_muestras <-100
#Implementacion de la  tranformada inversa.

inverCauchy <-  function (u){
  return(tan(pi*(u-(1/2))))
}

#Para generar la misma información.
set.seed(101)


u <- runif(n_muestras)
Fiu <- inverCauchy(u)

#  Función de densidad de la Cauchy.

fdCauchy <- function (x){
  return(1/(pi*(1+x^2)))
}

hist(Fiu, breaks = "FD" , freq = FALSE, main = "")
curve(fdCauchy(x),add = TRUE)

La aproximacion para la intregral del denominador es: ${\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+\theta^2} e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}} d\theta}$, donde $f(\theta)= \frac{1}{\pi(1+\theta^2)}$ y $h(\theta)= e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}}$

n_muestras <- 1000
u <- runif(n_muestras)
Fiu <- inverCauchy(u)

h_theta <- function(theta, x){exp(- (x - theta)^2 / 2)}
  
estimacion_den <- mean(h_theta(Fiu, x=0)) ; estimacion_den

## [1] 0.5236165

La aproximacion para la intregral del nuemerador es: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\theta}{1+\theta^2} e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}} d\theta$, donde $f(\theta)= \frac{1}{\pi(1+\theta^2)}$ y $h(\theta)= \theta e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}}$

h_theta <- function(theta, x){theta * exp(- (x - theta)^2 / 2)}
  
estimacion_num <- mean(h_theta(Fiu, x=0)) ; estimacion_num

## [1] -0.01405673

La aproximación para el Estimador Bayesiano Normal-Cauchy, que corresponde al cociente de las integrales calculadas anteriormente es:

Delta <- estimacion_num/estimacion_den ; Delta

## [1] -0.02684547

b. Supervise la convergencia con el error estándar de la estimación. Obtén tres dígitos de precisión con probabilidad de .95.

theta_samples <- Fiu
x_val <- 0
n_samples <- 1000

se_num <- sd(integrand_num(theta_samples, x_val)) / sqrt(n_samples)
se_den <- sd(integrand_den(theta_samples, x_val)) / sqrt(n_samples)

se_estimator <- sqrt((se_num / estimacion_den)^2 + (estimacion_num * se_den / estimacion_den^2)^2)

# Tolerancia para tres dígitos de precisión con 95% de confianza
z_value <- qnorm(0.975)  # Valor crítico para 95% de confianza
precision_required <- 0.001  # Tres dígitos de precisión

n_required <- (z_value * se_estimator / precision_required)^2
n_required

## [1] 688.0323

# Monitoreo de la convergencia
cum_estimates <- cumsum(integrand_num(Fiu, x_val)) / (1:n_samples)
plot(1:n_samples, cum_estimates, type="l", col="blue", lwd=2, 
     ylab="Estimador acumulado", xlab="Número de muestras", 
     main="Convergencia del Estimador (Cauchy)")

# Monitoreo de la convergencia
cum_estimates <- cumsum(integrand_den(Fiu, x_val)) / (1:n_samples)
plot(1:n_samples, cum_estimates, type="l", col="green", lwd=2, 
     ylab="Estimador acumulado", xlab="Número de muestras", 
     main="Convergencia del Estimador (Cauchy)")

(b) Monitorear la convergencia con el error estándar de la estimación. Obtener tres cifras decimales de precisión con una probabilidad de 0.95.

set.seed(101)
 #n_muestras <- 1000
 #Cauchy sample
x <- 0
 fbar=cumsum(Fiu*exp(-(x-Fiu)^2/2))/(1:n_muestras)
 sigf=(cumsum(Fiu^2*exp(-(x-Fiu)^2))/(1:n_muestras))-fbar^2
 gbar=cumsum(exp(-(x-Fiu)^2/2))/(1:n_muestras)
 sigg=(cumsum(exp(-(x-Fiu)^2))/(1:n_muestras))-gbar^2
 glob=sqrt(((sigf/gbar^2)+(sigg*fbar^2/gbar^4))/(1:n_muestras))
 plot(fbar/gbar,type="l",xlab="n",ylab=expression(delta[n](x)),
 col="cyan3",lwd=2 , ylim = c(-0.3,1))
 lines(fbar/gbar-2*glob,col="cyan",lty=2, ylim = c(-0.3,1))
 lines(fbar/gbar+2*glob,col="cyan",lty=2, ylim = c(-0.3,1))

3.11 Calcular los dos primeros momentos de la distribución Log-Normal

La distribución log-normal $ X LN(, ^2)$ se define como aquella donde el logaritmo natural de la variable sigue una distribución normal:

\[ Y = \log(X) \sim N(\mu, \sigma^2) \]

Queremos calcular su primer momento, es decir, la esperanza matemática:

\[ E[X] = \int_0^{\infty} x f(x) dx \]

donde la función de densidad de probabilidad (PDF) de $X$ es:

\[ f(x) = \frac{1}{x \sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad x > 0. \]

La esperanza matemática está dada por:

\[ E[X] = \int_0^{\infty} x \frac{1}{x \sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\log x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dx. \]

Simplificando:

\[ E[X] = \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\log x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dx. \]

Ahora hacemos el cambio de variable o sustitucion:

\[ u = \log x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}, \quad \text{por lo que } dx = e^u du. \]

La integral puede reescribirse en términos de la variable $ u $, lo que implica un cambio en los límites de integración.

Cuando $ x $, entonces $ u -$.

Cuando $ x $, entonces $ u $.

Esto nos permite reescribir la integral con los nuevos límites de $ u $, transformando la integral original en una forma más manejable para su resolución.

Reescribimos la integral en términos de $u$:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^u}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) du. \]

En el exponente de la exponencial vamos a Completar el Cuadrado:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} + u. \]

Reescribimos $ u $:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} + \frac{2\sigma^2}{2\sigma^2} u. \]

Factorizamos $ $:

\[ -\frac{1}{2\sigma^2} \left[(u - \mu)^2 - 2\sigma^2 u\right]. \]

Expandimos el término cuadrático $(u - )^2 $:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{u^2 - 2\mu u + \mu^2}{2\sigma^2} = -\frac{u^2}{2\sigma^2} + \frac{\mu u}{\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2}. \]

Ahora tenemos:

\[ -\frac{u^2}{2\sigma^2} + \frac{\mu u}{\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2} + \frac{2\sigma^2}{2\sigma^2} u. \]

Agrupamos los términos de $u$:

\[ -\frac{u^2}{2\sigma^2} + 2\left(\mu + \sigma^2\right) \frac{u}{2\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2}. \]

Ahora completamos el cuadrado dentro del exponente:

\[ -\frac{(u - (\mu + \sigma^2))^2}{2\sigma^2} + \frac{\left(\mu + \sigma^2\right)^2}{2\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2}. \]

Esto se simplifica a:

\[ -\frac{(u - (\mu + \sigma^2))^2}{2\sigma^2} + \mu + \frac{\sigma^2}{2}. \]

Reescribiendo la integral:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(u - (\mu + \sigma^2))^2}{2\sigma^2} \right) \exp\left( \mu + \frac{\sigma^2}{2} \right) du. \]

La primera parte de la integral es la densidad de una normal estándar, que integra a 1. Por lo tanto:

\[ E[X] = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right). \]

El primer momento de la distribución log-normal es:

\[ E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}. \]

Este resultado muestra que la media de una variable log-normal no es simplemente $ e^$, sino que está influenciada por la varianza $^2 $.

Para calcular el segundo momento de una variable $ X $, utilizamos la definición:

\[ E[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 f(x) \, dx \]

La integral para el segundo momento es:

\[ E[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 \frac{1}{x \sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\log x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dx \]

Simplificando:

\[ E[X^2] = \int_0^{\infty} \frac{x}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\log x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dx \]

Ahora hacemos el cambio de variable o sustitución:

\[ u = \log x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}, \quad \text{por lo que } dx = e^u du \]

La integral puede reescribirse en términos de la variable $ u$, lo que implica un cambio en los límites de integración.

Cuando $ x $, entonces $ u -$.

Cuando $ x $, entonces $ u $.

Esto nos permite reescribir la integral con los nuevos límites de $ u $, transformando la integral original en una forma más manejable para su resolución.

Reescribimos la integral en términos de $u$:

\[ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2u}}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) du \]

Ahora, completamos el cuadrado en el exponente de la exponencial:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} + 2u \]

Reescribimos $ 2u $:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} + \frac{4 \sigma^2}{2 \sigma^2} u \]

Factorizamos $ $:

\[ -\frac{1}{2 \sigma^2} \left[ (u - \mu)^2 - 4 \sigma^2 u \right] \]

Expandimos el término cuadrático $ (u - )^2 $:

\[ -\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} = -\frac{u^2 - 2 \mu u + \mu^2}{2 \sigma^2} = -\frac{u^2}{2 \sigma^2} + \frac{\mu u}{\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2 \sigma^2} \]

Ahora tenemos:

\[ -\frac{u^2}{2 \sigma^2} + \frac{2 \mu u}{2\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2 \sigma^2} + \frac{4 \sigma^2}{2 \sigma^2} u \]

Agrupamos los términos de $u$:

\[ -\frac{u^2}{2 \sigma^2} + 2 \left( \mu + 2 \sigma^2 \right) \frac{u}{2 \sigma^2} - \frac{\mu^2}{2 \sigma^2} \]

Completamos el cuadrado dentro del exponente:

\[ -\frac{(u - (\mu + 2 \sigma^2))^2}{2 \sigma^2} + \frac{(\mu + 2 \sigma^2)^2}{2 \sigma^2} - \frac{\mu^2}{2 \sigma^2} \]

Esto se simplifica a:

\[ -\frac{(u - (\mu + 2 \sigma^2))^2}{2 \sigma^2} + \frac{4\mu \sigma^2}{2\sigma^2} + \frac{4(\sigma^2)^2}{2\sigma^2} \]

Reescribimos la integral de la siguiente manera:

\[ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(u - (\mu + 2 \sigma^2))^2}{2 \sigma^2} \right) \exp\left( 2\mu + 2\sigma^2 \right) du \]

La primera parte de la integral es la densidad de una normal, que integra a 1. Por lo tanto:

\[ E[X^2] = \exp\left(2\mu + 2 \sigma^2\right) \]

Finalmente, el segundo momento de la distribución log-normal es:

\[ E[X^2] = e^{2 \mu + 2 \sigma^2} \]

Este resultado muestra que el segundo momento de una variable log-normal depende de $ $ y $ ^2 $.

La varianza de una variable $X$ es dada por la fórmula:

\[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \]

Sabemos que el primer momento $E[X]$ y el segundo momento $E[X^2]$ de una variable log-normal son:

$E[X] = e^{\mu + \sigma^2 / 2}$
$E[X^2] = e^{2\mu + 2\sigma^2}$

Sustituyendo en la fórmula de la varianza:

\[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - \left(e^{\mu + \sigma^2 / 2}\right)^2 \]

\[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} \]

Factorizando:

\[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2} \left( e^{\sigma^2} - 1 \right) \]

La varianza para una distribución log-normal $\text{Var}(X)$ se puede expresar como: