CASO 04. Medidas de dispersión
Jaqueline Rubi Lopez Camara
01/02/2025
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras.(Devore 2016).
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016)
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(2021)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 24 55 56 29 23 55 55 22 56 58 40 29 35 20 57 43 53 54 39 48 51 36 21 39 22
## [26] 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34 57
## [51] 58 48 26 46 44 28 53 55 32 35 26 36 33 51 54 59 39 55 44 30 50 38 42 48 28
## [76] 26 40 60 39 53 47 24 46 18 36 53 26 26 27 18 54 60 46 33 22 36 29 46 24 28
## [101] 20 37 40 18 32 49 40 44 18 21 18 30 23 47 38 56 30 54 27 28 39 47 25 36 36
## [126] 24 18 41 19 38 38 60 54 30 22 25 30 28 46 52 36 22 36 40 39 31 48 39 39 36
## [151] 30 30 46 46 43 20 56 23 21 56 55 54 58 36 52 23 54 37 57 41 60 41 39 58 27
## [176] 55 40 28 49 18 60 41 41 25 25 33 20 37 26 45 24 48 48 35 45 60 46 51 60 32Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 23 0.12 11.5 23 11.5
## [22.57,27.33) 26 0.13 13.0 49 24.5
## [27.33,32.08) 22 0.11 11.0 71 35.5
## [32.08,36.83) 21 0.10 10.5 92 46.0
## [36.83,41.59) 31 0.16 15.5 123 61.5
## [41.59,46.34) 16 0.08 8.0 139 69.5
## [46.34,51.09) 17 0.09 8.5 156 78.0
## [51.09,55.85) 23 0.12 11.5 179 89.5
## [55.85,60.6) 21 0.10 10.5 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23
## [26] 23 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31
## [126] 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36
## [176] 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 44 44Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.61## [1] 29.605Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 24 38.61 -14.61 213.4521
## 2 55 38.61 16.39 268.6321
## 3 56 38.61 17.39 302.4121
## 4 29 38.61 -9.61 92.3521
## 5 23 38.61 -15.61 243.6721
## 6 55 38.61 16.39 268.6321
## 7 55 38.61 16.39 268.6321
## 8 22 38.61 -16.61 275.8921
## 9 56 38.61 17.39 302.4121
## 10 58 38.61 19.39 375.9721
## 11 40 38.61 1.39 1.9321
## 12 29 38.61 -9.61 92.3521
## 13 35 38.61 -3.61 13.0321
## 14 20 38.61 -18.61 346.3321
## 15 57 38.61 18.39 338.1921
## 16 43 38.61 4.39 19.2721
## 17 53 38.61 14.39 207.0721
## 18 54 38.61 15.39 236.8521
## 19 39 38.61 0.39 0.1521
## 20 48 38.61 9.39 88.1721
## 21 51 38.61 12.39 153.5121
## 22 36 38.61 -2.61 6.8121
## 23 21 38.61 -17.61 310.1121
## 24 39 38.61 0.39 0.1521
## 25 22 38.61 -16.61 275.8921
## 26 26 38.61 -12.61 159.0121
## 27 55 38.61 16.39 268.6321
## 28 35 38.61 -3.61 13.0321
## 29 60 38.61 21.39 457.5321
## 30 23 38.61 -15.61 243.6721
## 31 39 38.61 0.39 0.1521
## 32 23 38.61 -15.61 243.6721
## 33 32 38.61 -6.61 43.6921
## 34 51 38.61 12.39 153.5121
## 35 39 38.61 0.39 0.1521
## 36 33 38.61 -5.61 31.4721
## 37 32 38.61 -6.61 43.6921
## 38 41 38.61 2.39 5.7121
## 39 34 38.61 -4.61 21.2521
## 40 55 38.61 16.39 268.6321
## 41 54 38.61 15.39 236.8521
## 42 37 38.61 -1.61 2.5921
## 43 21 38.61 -17.61 310.1121
## 44 47 38.61 8.39 70.3921
## 45 25 38.61 -13.61 185.2321
## 46 36 38.61 -2.61 6.8121
## 47 20 38.61 -18.61 346.3321
## 48 19 38.61 -19.61 384.5521
## 49 34 38.61 -4.61 21.2521
## 50 57 38.61 18.39 338.1921
## 51 58 38.61 19.39 375.9721
## 52 48 38.61 9.39 88.1721
## 53 26 38.61 -12.61 159.0121
## 54 46 38.61 7.39 54.6121
## 55 44 38.61 5.39 29.0521
## 56 28 38.61 -10.61 112.5721
## 57 53 38.61 14.39 207.0721
## 58 55 38.61 16.39 268.6321
## 59 32 38.61 -6.61 43.6921
## 60 35 38.61 -3.61 13.0321
## 61 26 38.61 -12.61 159.0121
## 62 36 38.61 -2.61 6.8121
## 63 33 38.61 -5.61 31.4721
## 64 51 38.61 12.39 153.5121
## 65 54 38.61 15.39 236.8521
## 66 59 38.61 20.39 415.7521
## 67 39 38.61 0.39 0.1521
## 68 55 38.61 16.39 268.6321
## 69 44 38.61 5.39 29.0521
## 70 30 38.61 -8.61 74.1321
## 71 50 38.61 11.39 129.7321
## 72 38 38.61 -0.61 0.3721
## 73 42 38.61 3.39 11.4921
## 74 48 38.61 9.39 88.1721
## 75 28 38.61 -10.61 112.5721
## 76 26 38.61 -12.61 159.0121
## 77 40 38.61 1.39 1.9321
## 78 60 38.61 21.39 457.5321
## 79 39 38.61 0.39 0.1521
## 80 53 38.61 14.39 207.0721
## 81 47 38.61 8.39 70.3921
## 82 24 38.61 -14.61 213.4521
## 83 46 38.61 7.39 54.6121
## 84 18 38.61 -20.61 424.7721
## 85 36 38.61 -2.61 6.8121
## 86 53 38.61 14.39 207.0721
## 87 26 38.61 -12.61 159.0121
## 88 26 38.61 -12.61 159.0121
## 89 27 38.61 -11.61 134.7921
## 90 18 38.61 -20.61 424.7721
## 91 54 38.61 15.39 236.8521
## 92 60 38.61 21.39 457.5321
## 93 46 38.61 7.39 54.6121
## 94 33 38.61 -5.61 31.4721
## 95 22 38.61 -16.61 275.8921
## 96 36 38.61 -2.61 6.8121
## 97 29 38.61 -9.61 92.3521
## 98 46 38.61 7.39 54.6121
## 99 24 38.61 -14.61 213.4521
## 100 28 38.61 -10.61 112.5721
## 101 20 38.61 -18.61 346.3321
## 102 37 38.61 -1.61 2.5921
## 103 40 38.61 1.39 1.9321
## 104 18 38.61 -20.61 424.7721
## 105 32 38.61 -6.61 43.6921
## 106 49 38.61 10.39 107.9521
## 107 40 38.61 1.39 1.9321
## 108 44 38.61 5.39 29.0521
## 109 18 38.61 -20.61 424.7721
## 110 21 38.61 -17.61 310.1121
## 111 18 38.61 -20.61 424.7721
## 112 30 38.61 -8.61 74.1321
## 113 23 38.61 -15.61 243.6721
## 114 47 38.61 8.39 70.3921
## 115 38 38.61 -0.61 0.3721
## 116 56 38.61 17.39 302.4121
## 117 30 38.61 -8.61 74.1321
## 118 54 38.61 15.39 236.8521
## 119 27 38.61 -11.61 134.7921
## 120 28 38.61 -10.61 112.5721
## 121 39 38.61 0.39 0.1521
## 122 47 38.61 8.39 70.3921
## 123 25 38.61 -13.61 185.2321
## 124 36 38.61 -2.61 6.8121
## 125 36 38.61 -2.61 6.8121
## 126 24 38.61 -14.61 213.4521
## 127 18 38.61 -20.61 424.7721
## 128 41 38.61 2.39 5.7121
## 129 19 38.61 -19.61 384.5521
## 130 38 38.61 -0.61 0.3721
## 131 38 38.61 -0.61 0.3721
## 132 60 38.61 21.39 457.5321
## 133 54 38.61 15.39 236.8521
## 134 30 38.61 -8.61 74.1321
## 135 22 38.61 -16.61 275.8921
## 136 25 38.61 -13.61 185.2321
## 137 30 38.61 -8.61 74.1321
## 138 28 38.61 -10.61 112.5721
## 139 46 38.61 7.39 54.6121
## 140 52 38.61 13.39 179.2921
## 141 36 38.61 -2.61 6.8121
## 142 22 38.61 -16.61 275.8921
## 143 36 38.61 -2.61 6.8121
## 144 40 38.61 1.39 1.9321
## 145 39 38.61 0.39 0.1521
## 146 31 38.61 -7.61 57.9121
## 147 48 38.61 9.39 88.1721
## 148 39 38.61 0.39 0.1521
## 149 39 38.61 0.39 0.1521
## 150 36 38.61 -2.61 6.8121
## 151 30 38.61 -8.61 74.1321
## 152 30 38.61 -8.61 74.1321
## 153 46 38.61 7.39 54.6121
## 154 46 38.61 7.39 54.6121
## 155 43 38.61 4.39 19.2721
## 156 20 38.61 -18.61 346.3321
## 157 56 38.61 17.39 302.4121
## 158 23 38.61 -15.61 243.6721
## 159 21 38.61 -17.61 310.1121
## 160 56 38.61 17.39 302.4121
## 161 55 38.61 16.39 268.6321
## 162 54 38.61 15.39 236.8521
## 163 58 38.61 19.39 375.9721
## 164 36 38.61 -2.61 6.8121
## 165 52 38.61 13.39 179.2921
## 166 23 38.61 -15.61 243.6721
## 167 54 38.61 15.39 236.8521
## 168 37 38.61 -1.61 2.5921
## 169 57 38.61 18.39 338.1921
## 170 41 38.61 2.39 5.7121
## 171 60 38.61 21.39 457.5321
## 172 41 38.61 2.39 5.7121
## 173 39 38.61 0.39 0.1521
## 174 58 38.61 19.39 375.9721
## 175 27 38.61 -11.61 134.7921
## 176 55 38.61 16.39 268.6321
## 177 40 38.61 1.39 1.9321
## 178 28 38.61 -10.61 112.5721
## 179 49 38.61 10.39 107.9521
## 180 18 38.61 -20.61 424.7721
## 181 60 38.61 21.39 457.5321
## 182 41 38.61 2.39 5.7121
## 183 41 38.61 2.39 5.7121
## 184 25 38.61 -13.61 185.2321
## 185 25 38.61 -13.61 185.2321
## 186 33 38.61 -5.61 31.4721
## 187 20 38.61 -18.61 346.3321
## 188 37 38.61 -1.61 2.5921
## 189 26 38.61 -12.61 159.0121
## 190 45 38.61 6.39 40.8321
## 191 24 38.61 -14.61 213.4521
## 192 48 38.61 9.39 88.1721
## 193 48 38.61 9.39 88.1721
## 194 35 38.61 -3.61 13.0321
## 195 45 38.61 6.39 40.8321
## 196 60 38.61 21.39 457.5321
## 197 46 38.61 7.39 54.6121
## 198 51 38.61 12.39 153.5121
## 199 60 38.61 21.39 457.5321
## 200 32 38.61 -6.61 43.6921Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 31201.58varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 156.7919Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 156.7919## [1] 26.85324desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.52166## [1] 5.182011Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3243112CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1750384Interpretación
Las tablas de frecuencia nos ayudan a organizar los datos en grupos y ver cuántos valores hay en cada uno, también permiten analizar qué porcentaje de datos pertenece a ciertos rangos, en el caso de edades1, el 15.5% de los valores se encuentra entre 36.83 y 41.59 años, para edades2, el 14.5% de los datos está en el rango de 36.83 a 46.34 años.
La media representa el promedio de los datos y la desviación estándar nos dice qué tanto varían los valores con respecto a la media. En edades1, la media es de 38.61 y la desviación estándar es de 12.52, mientras que en edades2, la media es de 29.61 y la desviación estándar de 5.18, lo que indica que los valores en edades1 están más dispersos.
El coeficiente de variación (CV) nos permite comparar la variabilidad entre ambos conjuntos de datos, para edades1, el CV es 0.3243, y para edades2, es 0.1750, como edades1 tiene un coeficiente más alto, significa que sus valores son más variables en comparación con edades2.