1

Une matrice de mise à l’échelle est utilisée pour redimensionner un objet le long des axes x, y et z. En infographie 3D, la mise à l’échelle est représentée par une matrice 4x4 en coordonnées homogènes. La matrice de mise à l’échelle \(S\) est définie comme suit :

\[ S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Où : - \(s_x\) : Facteur de mise à l’échelle selon l’axe x - \(s_y\) : Facteur de mise à l’échelle selon l’axe y - \(s_z\) : Facteur de mise à l’échelle selon l’axe z

Un point 3D \(P\) en coordonnées homogènes est représenté par :

\[ P = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]

Pour appliquer la transformation de mise à l’échelle, on multiplie la matrice de mise à l’échelle \(S\) par le point \(P\) :

\[ P' = S \cdot P \]

Où \(P'\) est le point transformé.

Étant donné les facteurs de mise à l’échelle \(s_x = 2\), \(s_y = 3\), et \(s_z = 0.5\), et le point \(P = (4, 6, 8)\), calculez les nouvelles coordonnées du point après application de la transformation de mise à l’échelle.

Vous devriez obtenir le \(P' = (8, 18, 4)\)

2

Pour TRS, l’ordre est :

  1. Mise à l’échelle (S) : Redimensionner un point le long des axes.
  2. Rotation (R) : Faire pivoter un point autour d’un axe.
  3. Translation (T) : Déplacer un point dans l’espace.

Chaque transformation est représentée par une matrice 4x4 en coordonnées homogènes. La matrice de transformation combinée est obtenue en multipliant les matrices dans l’ordre inverse de leur application, c’est-à-dire \(M = TRS\).

Soit un point \(P = (1, 2, 3)\). Appliquez les transformations suivantes dans l’ordre TRS :

  1. Mise à l’échelle de \((2, 3, 0.5)\) le long des axes \(x\), \(y\) et \(z\).

  2. Rotation de \(90^\circ\) (ou \(\frac{\pi}{2}\) radians) autour de l’axe \(z\).

  3. Translation de \((2, -1, 4)\).

  4. Matrice de mise à l’échelle \(S\) : La mise à l’échelle de \((2, 3, 0.5)\) est représentée par : \[ S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

  5. Matrice de rotation \(R_z\) : Une rotation de \(90^\circ\) (ou \(\frac{\pi}{2}\) radians) autour de l’axe \(z\) est représentée par : \[ R = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

  6. Matrice de translation \(T\) : La translation de \((2, -1, 4)\) est représentée par : \[ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

  7. Point \(P\) en coordonnées homogènes : \[ P = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \]

  8. Combinaison des transformations : L’ordre des transformations est TRS, donc la matrice de transformation combinée est : \[ M = TRS \]

Calculez \(M\) et ensuite \(P′=MP\).

Vous devriez obtenir \(P'=(-4, 1, 5.5)\)

3

Dans une hiérarchie d’objets, chaque objet peut avoir ses propres transformations locales (translation, rotation, mise à l’échelle). Cependant, les transformations d’un objet parent affectent également ses enfants.

Dans cet exercice, nous avons la hiérarchie suivante :

  • A est à la racine de la hiérarchie.
  • B et C sont des enfants de A.
  • D est un enfant de B.

Chaque objet a ses propres transformations TRS :

  • A : Translation \((3, 2, 0)\), Rotation \(0^\circ\), Mise à l’échelle \((1, 1, 1)\).
  • B : Translation \((1, 0, 0)\), Rotation \(90^\circ\) autour de l’axe \(z\), Mise à l’échelle \((2, 1, 1)\).
  • C : Translation \((0, 2, 0)\), Rotation \(45^\circ\) autour de l’axe \(z\), Mise à l’échelle \((1, 1, 1)\).
  • D : Translation \((1, 0, 0)\), Rotation \(0^\circ\), Mise à l’échelle \((1, 1, 1)\).

Chaque objet a un point local à transformer en coordonnées du monde :

  • A : Point local \(P_A = (0, 0, 0)\).
  • B : Point local \(P_B = (1, 0, 0)\).
  • C : Point local \(P_C = (0, 1, 0)\).
  • D : Point local \(P_D = (0, 0, 0)\).

Calculez les coordonnées du monde des points locaux de chaque objet après application des transformations.

Vous devez obtenir

  • A : \((3, 2, 0)\)
  • B : \((4, 3, 0)\)
  • C : \(\left(3 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 4 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\)
  • D : \((4, 3, 0)\)