Nguyễn Thúy Vy
2025-01-25
Một phân xưởng có ba máy tự động với xác suất hỏng trong tháng tương ứng là 0,15; 0,25; 0,2. Gọi \(X\) là số máy hỏng trong 1 tháng.
a. Lập bảng phân phối xác suất cho \(X\).
b.Tính số máy hỏng trung bình, số máy hỏng có khả năng tin chắc nhất trong 1 tháng của phân xưởng.
Giải:
a.
Gọi \(A_i\) là biến cố “máy thứ \(i\) bị hỏng” ; \(i = 1, 2, 3\).
Ta có:
\[ \begin{aligned} P(A_1) &= 0.15 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_1}) = 0.85 \\ P(A_2) &= 0.25 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_2}) = 0.75 \\ P(A_3) &= 0.2 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_3}) = 0.8 \end{aligned} \]
Gọi \(X\) là số máy bị hỏng trong một tháng.
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=0) &= P(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0.85 \times 0.75 \times 0.8 = 0.51. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X = 1) &= P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3} + \overline{A_1}A_2\overline{A_3} + \overline{A_1}\overline{A_2}A_3) \\ &= P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3}) + P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) \\ &= P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3}) + P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3}) + P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3) \\ &= (0.15 \times 0.75 \times 0.8) + (0.85 \times 0.25 \times 0.8) + (0.85 \times 0.75 \times 0.2) \\ &= 0.3875. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X = 2) &= P(A_1A_2\overline{A_3} + A_1\overline{A_2}A_3 + \overline{A_1}A_2A_3) \\ &= P(A_1A_2\overline{A_3}) + P(A_1\overline{A_2}A_3) + P(\overline{A_1}A_2A_3) \\ &= [P(A_1)P(A_2)P(\overline{A_3})] + [P(A_1)P(\overline{A_2})P(A_3)] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(A_3)] \\ &= [0.15 \times 0.25 \times 0.8] + [0.15 \times 0.75 \times 0.2] + [0.85 \times 0.25 \times 0.2] \\ &= 0.095. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=3) = P(A_1A_2A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = 0.15 \times 0.25 \times 0.2 = 0.0075. \end{align*}\]
Ta có bảng phân phối xác suất:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.51 & 0.3875 & 0.095 & 0.0075 \\ \hline \end{array} \]
b.
Số máy trung bình:
\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = 0\times0.51 + 1\times0.3875 + 2\times0.095 + 3\times0.0075 = 0.6 (máy).\]
Ta thấy \(P(X=0) = 0.51\) lớn nhất, tức là khả năng cao nhất là không có máy nào hỏng.
Trong một đội tuyển gồm 3 vận động viên A, B và C, xác xuất thắng trận của mỗi người lần lượt là 0.6; 0.7 và 0.8. Trong một đợt thi đấu, mỗi vận động viên thi đấu một.
a. Tìm luật phân phối xác suất cho số trận thắng của đội tuyển.
b. Tính xác suất để đội tuyển thua nhiều nhất một trận.
c. Tính xác suất để đội tuyển thắng ít nhất một trận.
d. Tính số trận thắng trung bình.
Giải:
a.
Gọi \(A, B, C\) là các biến cố vận động viên \(A, B, C\) thắng.
Ta có:
\[ \begin{aligned} P(A) = 0.6 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A}) = 0.4 \\ P(B) = 0.7 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{B}) = 0.3 \\ P(C) = 0.8 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{C}) = 0.2 \end{aligned} \]
Gọi \(X\) là số người đầu thắng trong trận đấu.
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=0) = P(\overline{A}\overline{B}\overline{C}) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) = 0.4 \times 0.3 \times 0.2 = 0.024. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X = 1) &= P(A\overline{B}\overline{C}) + P(\overline{A}B\overline{C}) + P(\overline{A}\overline{B}C) \\ &= P(A\overline{B}\overline{C}) + P(\overline{A}B\overline{C}) + P(\overline{A}\overline{B}C) \\ &= P(A)P(\overline{B})P(\overline{C}) + P(\overline{A})P(B)P(\overline{C}) + P(\overline{A})P(\overline{B})P(C) \\ &= (0.6 \times 0.3 \times 0.2) + (0.4 \times 0.7 \times 0.2) + (0.4 \times 0.3 \times 0.8) \\ &= 0.188. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X = 2) &= P(AB\overline{C}) + P(A\overline{B}C) + P(\overline{A}BC) \\ &= [P(A)P(B)P(\overline{C})] + [P(A)P(\overline{B})P(C)] + [P(\overline{A})P(B)P(C)] \\ &= [0.6 \times 0.7 \times 0.2] + [0.6 \times 0.3 \times 0.8] + [0.4 \times 0.7 \times 0.8] \\ &= 0.452. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=3) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 0.6 \times 0.7 \times 0.8 = 0.336. \end{align*}\]
Ta có bảng phân phối xác suất:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.024 & 0.188 & 0.452 & 0.336 \\ \hline \end{array} \]
b.
Xác suất để có nhiều nhất một người thắng:
\[P(X \leq 1) = P[(X=0) + (X=1)] = P(X=0) + P(X=1) = 0.024 + 0.188 = 0.212\]
c.
Xác suất để đội tuyển thắng ít nhất một trận:
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.024 = 0.976\]
d.
Số trận thắng trung bình:
\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = 0 \times 0.024 + 1 \times 0.188 + 2 \times 0.452 + 3 \times 0.336 = 2.1 (trận)\]
Gieo 5 hạt giống, xác suất nẩy mần của từng hạt là 0,85. Gọi \(X\) là số hạt nẩy mần. Lập bảng phân phối xác suất cho \(X\).
Giải:
Gọi \(X\) là số hạt nảy mầm, \(X \sim B(5; 0.85)\)
Ta có:
\[ \begin{aligned} \bullet \ P(X=0) &= C_5^0 \times 0.85^0 \times (1-0.85)^{5-0} = 7.6 \times 10^{-5} \\ \bullet \ P(X=1) &= C_5^1 \times 0.85^1 \times (1-0.85)^{5-1} = 2.15 \times 10^{-3} \\ \bullet \ P(X=2) &= C_5^2 \times 0.85^2 \times (1-0.85)^{5-2} = 0.0244 \\ \bullet \ P(X=3) &= C_5^3 \times 0.85^3 \times (1-0.85)^{5-3} = 0.1382 \\ \bullet \ P(X=4) &= C_5^4 \times 0.85^4 \times (1-0.85)^{5-4} = 0.3915 \\ \bullet \ P(X=5) &= C_5^5 \times 0.85^5 \times (1-0.85)^{5-5} = 0.4437 \end{aligned} \]
Bảng phân phối xác suất cho \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P & 7.6 \times 10^{-5} & 2.15 \times 10^{-3} & 0.0244 & 0.1382 & 0.3915 & 0.4437 \\ \hline \end{array} \]
Xác suất chữa khỏi bệnh \(B\) của một phương pháp điều trị là 0,8. Có 4 người được điều trị bằng phương pháp này. Gọi \(X\) là số người được chữa khỏi bệnh.
a. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\).
b. Tính kỳ vọng và phương sai của \(X\).
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số người được chữa khỏi bệnh, \(X \sim B(4; 0.8)\)
Ta có:
\[ \begin{aligned} \bullet \ P(X=0) &= C_4^0 \times 0.8^0 \times (1-0.8)^4 = 1.6 \times 10^{-3} \\ \bullet \ P(X=1) &= C_4^1 \times 0.8^1 \times (1-0.8)^3 = 0.0256 \\ \bullet \ P(X=2) &= C_4^2 \times 0.8^2 \times (1-0.8)^2 = 0.1536 \\ \bullet \ P(X=3) &= C_4^3 \times 0.8^3 \times (1-0.8)^1 = 0.4096 \\ \bullet \ P(X=4) &= C_4^4 \times 0.8^4 \times (1-0.8)^0 = 0.4096 \end{aligned} \]
Bảng phân phối xác suất của \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & 0.0016 & 0.0256 & 0.1536 & 0.4096 & 0.4096 \\ \hline \end{array} \]
b.
Kỳ vọng:
\[E(X) = np = 0.8 \times 4 = 3.2\]
Phương sai:
\[Var(X) = np(1-p) = 0.8 \times 4 \times (1-0.8) = 0.64\]
Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người đi xe máy thì có 25 người bị tai nạn trong 1 năm. Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm loại này cho 20.000 người trong 1 năm với giá 98 ngàn đồng và mức chi trả khi bị tai nạn là 4 triệu đồng. Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình của công ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu?
Giải:
Xác suất người bị tai nạn trong 1 năm: \(p = \frac{25}{1000} = 0.025\)
Gọi \(X\) là số người bị tai nạn trong năm, \(X \sim B(20000; 0.025)\)
Kỳ vọng của \(X\):
\[E(X) = np = 20000 \times 0.025 = 500\]
Doanh thu của công ty thu được từ việc bán bảo hiểm:
\[20000 \times 98.000 = 1.960.000.000 \text{ (đồng)}\]
Chi phí công ty phải trả để bồi thường cho người bị tai nạn:
\[500 \times 4.000.000 = 2.000.000.000 \text{ (đồng)}\]
Vậy lợi nhuận trung bình của công ty là:
\[ 1.960.000.000 -2.000.000.000 = -40.000.000 \text{ (đồng)}\]
Một cửa hàng xe máy ghi nhận lại số lượng xe gắn máy bán được hàng tuần như sau:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số xe} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \text{Số tuần} & 4 & 7 & 13 & 16 & 19 & 25 & 18 & 11 & 8 & 5 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \]
a. Tìm số xe trung bình bán được mỗi tuần.
b. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của số xe bán được mỗi tuần và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được.
Giải:
a.
Tổng số tuần bán hàng là:
\[ 4+7+13+16+19+25+18+11+8+5+2+1 =129\]
Dựa vào tổng số tuần bán hàng ta tính được tần suất bán hàng cho số lượng xe bán được như sau:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số xe} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \text{Số tuần} & 4 & 7 & 13 & 16 & 19 & 25 & 18 & 11 & 8 & 5 & 2 & 1 \\ \hline \text{Tần suất} & \frac{4}{129} & \frac{7}{129} & \frac{13}{129} & \frac{16}{129} & \frac{19}{129} & \frac{25}{129} & \frac{6}{43} & \frac{11}{129} & \frac{8}{129} & \frac{5}{129} & \frac{2}{129} & \frac{1}{129} \\ \hline \end{array} \]
Vậy số xe trung bình bán được là:
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = 0 \times \frac{4}{129} + 1 \times \frac{7}{129} + 2 \times \frac{13}{129} + 3 \times \frac{16}{129} + 4 \times \frac{19}{129} + 5 \times \frac{25}{129} + 6 \times \frac{6}{43} + 7 \times \frac{11}{129} + 8 \times \frac{8}{129} + 9 \times \frac{5}{129} + 10 \times \frac{2}{129} + 11 \times \frac{1}{129} = \frac{607}{129} \approx 4.71 \]
Ý nghĩa: Trung bình mỗi tuần cửa hàng bán được khoảng gần 5 chiếc xe.
b.
Phương sai:
\[ Var(X)= E(X^2) - [E(X)]^2 = 0^2 \times \frac{4}{129} + 1^2 \times \frac{7}{129} + 2^2 \times \frac{13}{129} + 3^2 \times \frac{16}{129} + 4^2 \times \frac{19}{129} + 5^2 \times \frac{25}{129} + 6 \times \frac{6}{43} + 7^2 \times \frac{11}{129} + 8^2 \times \frac{8}{129} + 9^2 \times \frac{5}{129} + 10^2 \times \frac{2}{129} + 11^2 \times \frac{1}{129} \approx 5.43. \]
Độ lệch chuẩn:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{5.43} \approx 2.33 \]
Ý nghĩa: Phương sai đo lường mức độ phân tán của số xe bán được quanh giá trị trung bình. Giá trị càng lớn, dữ liệu càng biến động mạnh. Độ lệch chuẩn giúp biểu diễn mức độ dao động bằng cùng đơn vị với dữ liệu. Ở đây, số xe bán được mỗi tuần thường dao động khoảng ±2.33 xe quanh mức trung bình 4.71.
Thống kê số lượng hành khách trên mỗi chuyến của một tuyến xe bus, người ta có bảng số liệu sau:
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Số khách} & 30 & 40 & 45 & 50 & 60 \\ \hline \text{Tần suất} & 0.15 & 0.2 & 0.3 & 0.25 & 0.1 \\ \hline \end{array} \]
a. Tìm kỳ vọng và phương sai của số khách hàng đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được.
b. Chi phí cho mỗi chuyến xe là 400.000 đồng không phụ thuộc vào số khách đi trên xe thì công ty xe buýt có thể thu lãi bình quân cho mỗi chuyến xe là 312.000 đồng. Công ty phải quy định giá vé là bao nhiêu?
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số khách hàng trên một chuyến xe bus.
Kỳ vọng:
\[E(X) = \sum_{i} x_i p_i = 30 \times 0.15 + 40 \times 0.2 + 45 \times 0.3 + 50 \times 0.25 + 60 \times 0.1 = 44.5\]
Ý nghĩa: Số hành khách trung bình trên mỗi chuyến của một tuyến xe bus là 44.5 hành khách.
Phương sai:
\[Var(X) = \sigma^2(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (30^2 \times 0.15 + 40^2 \times 0.2 + 45^2 \times 0.3 + 50^2 \times 0.25 + 60^2 \times 0.1) - 44.5^2 = 67.25\]
\[\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{67.25} = 8.2\]
Ý nghĩa: Phương sai đo lường mức độ biến động của số khách trên mỗi chuyến so với trung bình. Giá trị lớn cho thấy số khách có thể dao động nhiều quanh mức 44.5 khách. Cụ thể, số khách sẽ dao động trong khoảng \(44.5 \pm 8.2\) khách.
b.
Chi phí: \(TC = 400.000\) đồng/chuyến.
Doanh thu: \(TR = P \times Q = P \times E(X) = 44.5P\) đồng/chuyến.
Lợi nhuận:
\(TP = TR - TC\)
\(\Leftrightarrow 312.000 = 44.5P - 400.000\)
\(\Rightarrow P = 16.000\) đồng/chuyến.
Vậy công ty phải quy định giá vé là 16.000 đồng/chuyến.
Có 2 kiện hàng, kiện thứ nhất có 6 sản phẩm loại \(A\), 9 sản phẩm loại \(B\); kiện thứ hai có 7 sản phẩm loại \(A\), 8 sản phẩm loại \(B\). Lấy ngẫu nhiên mỗi kiện ra 1 sản phẩm để bán, mỗi sản phẩm loại \(A\) bán được 9.000đ, mỗi sản phẩm loại \(B\) bán được 7.000đ. Gọi \(X\) là số tiền nhận được khi bán 2 sản phẩm này.
a. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\).
b. Tính kỳ vọng và phương sai của \(X\).
Giải:
a.
Gọi:
\(X\) là số tiền nhận được khi bán hai sản phẩm.
\(A_1\) là biến cố “lấy được sản phẩm \(A\) từ kiện thứ nhất”.
\(A_2\) là biến cố “lấy được sản phẩm \(A\) từ kiện thứ hai”.
\(B_1\) là biến cố “lấy được sản phẩm \(B\) từ kiện thứ nhất”.
\(B_2\) là biến cố “lấy được sản phẩm \(B\) từ kiện thứ hai”.
Xác suất cho mỗi biến cố là:
\[P(A_1) = \frac{6}{15}; P(A_2) = \frac{7}{15}\]
\[P(B_1) = \frac{9}{15}; P(B_2) = \frac{8}{15}\]
Ta có các trường hợp cho giá trị của \(X\) như sau:
TH1: Cả hai sản phẩm đều lấy được sản phẩm \(A\):
\[X = 2 \times 9.000 = 18.000\]
TH2: Lấy sản phẩm \(A\) từ kiện thứ nhất và sản phẩm \(B\) từ kiện thứ hai:
\[X = 9.000 + 7.000 = 16.000\]
TH3: Lấy sản phẩm \(B\) từ kiện thứ nhất và sản phẩm \(A\) từ kiện thứ hai:
\[X = 7.000 + 9.000 = 16.000\]
TH4: Cả hai kiện hàng đều lấy được sản phẩm \(B\):
\[X = 2 \times 7.000 = 14.000\]
Xác suất cho các trường hợp trên:
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=14.000) &= P(B_1B_2) = P(B_1)P(B_2) = \frac{9}{15} \times \frac{8}{15} = \frac{72}{225} = \frac{8}{25}. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=16.000) &= P(B_1A_2 + A_1B_2) = P(B_1A_2) + P(A_1B_2) \\ &= [P(B_1)P(A_2)] + [P(A_1)P(B_2)] = \left[\frac{9}{15} \times \frac{7}{15}\right] + \left[\frac{6}{15} \times \frac{8}{15}\right] \\ &= \frac{111}{225} = \frac{37}{75}. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=18.000) &= P(A_1A_2) = P(A_1)P(A_2) = \frac{6}{15} \times \frac{7}{15} = \frac{42}{225} = \frac{14}{75}. \end{align*}\]
Ta có bảng phân phối xác suất cho \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 14.000 & 16.000 & 18.000 \\ \hline P & \frac{8}{25} & \frac{37}{75} & \frac{14}{75} \\ \hline \end{array} \]
b.
Kỳ vọng:
\[E(X) = \sum_{i=1}^3 x_i p_i = 14.000 \times \frac{8}{25} + 16.000 \times \frac{37}{75} + 18.000 \times \frac{14}{75} = 15.733\]
Phương sai:
\[ \begin{aligned} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\ &= \left( 14.000^2 \times \frac{8}{25} + 16.000^2 \times \frac{37}{75} + 18.000^2 \times \frac{14}{75} \right) - 15.733^2 \\ &= 1.966.044. \end{aligned} \]
Có 3 lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ \(i\) có \(i\) phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 sản phẩm, gọi \(X\) là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất cho \(X\), tính kỳ vọng và phương sai cho \(X\).
Giải:
Gọi
\(X\) là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra.
\(A_i\) là biến cố “sản phẩm thứ \(i\) lấy được là phế phẩm” với \(i=1,2,3\).
Dựa vào đề ta có các xác suất:
\[ \begin{aligned} P(A_1) = \frac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_1}) = \frac{9}{10} \\ P(A_2) = \frac{2}{10} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_2}) = \frac{8}{10} \\ P(A_3) = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A_3}) = \frac{7}{10} \end{aligned} \]
Xác suất cho giá trị của \(X\) là:
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=0) &= P(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) P(\overline{A_2}) P(\overline{A_3})= \frac{9}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{7}{10} = 0.504. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=1) &= P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3}) + P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) \\ &= \left[ P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3}) \right] + \left[ P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3}) \right] + \left[ P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3) \right] \\ &= \left[ \frac{1}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{7}{10} \right] + \left[ \frac{9}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{7}{10} \right] + \left[ \frac{9}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{3}{10} \right] \\ &= 0.398. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=2) &= P(A_1A_2\overline{A_3}) + P(A_1\overline{A_2}A_3) + P(\overline{A_1}A_2A_3) \\ &= \left[ P(A_1)P(A_2)P(\overline{A_3}) \right] + \left[ P(A_1)P(\overline{A_2})P(A_3) \right] + \left[ P(\overline{A_1})P(A_2)P(A_3) \right] \\ &= \left[ \frac{1}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{7}{10} \right] + \left[ \frac{1}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{3}{10} \right] + \left[ \frac{9}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{3}{10} \right] \\ &= 0.092. \end{align*}\]
\[\begin{align*} \bullet \ P(X=3) &= P(A_1A_2A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = \frac{1}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{3}{10} = 0.006. \end{align*}\]
Ta lập được bảng phân phối xác suất cho \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.504 & 0.398 & 0.092 & 0.006 \\ \hline \end{array} \]
Kỳ vọng:
\(E(X) = \sum_{i} x_i p_i = 0 \times 0.504 + 1 \times 0.398 + 2 \times 0.092 + 3 \times 0.006 = 0.6\)
Phương sai:
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (0^2 \times 0.504 + 1^2 \times 0.398 + 2^2 \times 0.092 + 3^2 \times 0.006) - 0.6^2 = 0.46\)
Trong một đợt khuyến mãi dành cho khách hàng thân thiết, một công ty phát hành 100 vé trong đó có 10 vé có thưởng. Một khách hàng được tặng ngẫu nhiên 5 vé. Tính xác suất để trong 5 vé này có ít nhất một vé trúng thưởng.
Giải:
Gọi \(X\) là số lượng vé trúng thưởng trong 5 vé được tặng. \(X~H(100,10,5).\)
Để tính được xác suất có ít nhất một vé trúng thưởng thì:
Ta cần tính: \(P(X\ge1)= 1 - P(X=0)\)
Theo công thức ta có: \(P(X=0)=\frac{C^{0}_{10}\times C^{5-0}_{100-10}}{C^{5}_{100}} = 0.5838\)
Vậy các suất để ít nhất một vé trúng thưởng là: \(P(X\ge1)= 1 - P(X=0) = 1 - 0.5838 = 0,4162\)
Một kiện hàng có 15 sản phẩm. Trong đó có 9 sản phẩm loại I và 6 sản phẩm loại II. Giá bán một sản phẩm loại I là 11.000đ, loại II là 13.000đ. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm để bán, gọi \(X\) là số tiền thu được. Tìm quy luật phân phối xác suất của \(X\). Tính kỳ vọng, phương sai cho \(X\) và cho biết ý nghĩa.
Giải:
Gọi \(X\) là số tiền thu được.
Khi lấy 3 sản phẩm từ kiện hàng, số sản phẩm loại 1 có thể là:
\(k = 0\)
\(k = 1\)
\(k = 2\)
\(k = 3\)
Khi đó, \(X\) được tính như sau:
\[X = 11.000 \times k + 13.000 \times (3-k)\]
Giá trị mà \(X\) có thể nhận được là:
Với \(k=0\) thì \(X=39.000\)
Với \(k=1\) thì \(X=37.000\)
Với \(k=2\) thì \(X=35.000\)
Với \(k=3\) thì \(X=33.000\)
\(X\) thuộc phân phối siêu bội, \(X \sim H(15, 9, 3)\), ta có:
\[P(X=39.000) = P(k=0) = \frac{C_9^0 C_6^3}{C_{15}^3} = 0.043956\]
\[P(X=37.000) = P(k=1) = \frac{C_9^1 C_6^2}{C_{15}^3} = 0.2967\]
\[P(X=35.000) = P(k=2) = \frac{C_9^2 C_6^1}{C_{15}^3} = 0.4747\]
\[P(X=33.000) = P(k=3) = \frac{C_9^3 C_6^0}{C_{15}^3} = 0.1846\]
Ta lập được bảng phân phối xác suất cho \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 39.000 & 37.000 & 35.000 & 33.000 \\ \hline P & 0.043956 & 0.2967 & 0.4747 & 0.1846 \\ \hline \end{array} \]
Kỳ vọng:
\[E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_i p_i =39.000 \times 0.043956 + 37.000 \times 0.2967 + 35.000 \times 0.4747 + 33.000 \times 0.1846 = 35.400 (đồng)\]
Ý nghĩa: Số tiền trung bình thu được khi bán 3 sản phẩm từ kiện hàng là 35.400 đồng.
Phương sai:
\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 39.000^2 \times 0.043956 + 37.000^2 \times 0.2967 + 35.000^2 \times 0.4747 + 33.000^2 \times 0.1846 - 35.400^2 = 2.416.276 \text{ (đồng^2)}\]
Ý nghĩa: 2.416.276 (đồng²) cho thấy số tiền thu được có sự dao động lớn xung quanh giá trị trung bình. Với độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{2.416.276} = 1.554 \text{ đồng}\). Số tiền thu được khi bán san phẩm dao động trong khoảng \(35.400 \pm 1.554\) đồng.
Một kiện hàng có 15 sản phẩm. Trong đó có 8 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II, và 4 sản phẩm loại III. Giá bán một sản phẩm loại I là 15.000đ, loại II là 13.000đ và loại III là 10.000đ. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 2 sản phẩm để bán:
a. Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền thu được khi bán 2 sản phẩm này.
b. Tính kỳ vọng và phương sai cho số tiền thu được, giải thích ý nghĩa.
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số tiền thu được khi bán 2 sản phẩm.
Ta có các trường hợp cho X như sau:
TH1: Cả hai sản phẩm đều loại I
\[X = 2 \times 15.000 = 30.000\]
\[\Rightarrow P(X=30.000) = \frac{C_8^2}{C_{15}^2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}\]
TH2: Một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II
\[X = 15.000 + 13.000 = 28.000\]
\[\Rightarrow P(X=28.000) = \frac{C_8^1 C_3^1}{C_{15}^2} = \frac{24}{105} = \frac {8}{35}\]
TH3: Một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại III
\[X = 15.000 + 10.000 = 25.000\]
\[\Rightarrow P(X=25.000) = \frac{C_8^1 C_4^1}{C_{15}^2} = \frac{32}{105}\]
TH4: Cả hai sản phẩm đều loại II
\[X = 2 \times 13.000 = 26.000\]
\[\Rightarrow P(X=26.000) = \frac{C_3^2}{C_{15}^2} = \frac{3}{105}= \frac{1}{35}\]
TH5: Một sản phẩm loại II và một sản phẩm loại III
\[X = 13.000 + 10.000 = 23.000\]
\[\Rightarrow P(X=23.000) = \frac{C_3^1 C_4^1}{C_{15}^2} = \frac{12}{105} = \frac{4}{35} \]
TH6: Cả hai sản phẩm đều loại III
\[X = 2 \times 10.000 = 20.000\]
\[\Rightarrow P(X=20.000) = \frac{C_4^2}{C_{15}^2} = \frac{6}{105} =\frac{2}{35}\]
Vậy ta có bảng phân phối xác suất cho X:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 30.000 & 28.000 & 26.000 & 25.000 & 23.000 & 20.000 \\ \hline P & \frac{4}{15} & \frac {8}{35} & \frac{1}{35} & \frac{32}{105} & \frac{4}{35} & \frac{2}{35} \\ \hline \end{array} \]
b.
Kỳ vọng:
\[E(X) = \sum_{i=1}^6 x_i p_i = 30.000 \times \frac{4}{15} + 28.000 \times \frac {8}{35} + 26.000 \times \frac{1}{35} + 25.000 \times \frac{32}{105} + 23.000 \times \frac{4}{35} + 20.000 \times \frac{2}{35} = 26.533 \text{ (đồng)}\]
Ý nghĩa: Số tiền trung bình bán được 2 sản phẩm là 26.533 đồng.
Phương sai:
\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (30.000^2 \times \frac{4}{15} + 28.000^2 \times \frac {8}{35} + 26.000^2 \times \frac{1}{35} + 25.000^2 \times \frac{32}{105} + 23.000^2 \times \frac{4}{35} + 20.000^2 \times \frac{2}{35}) - 26.533^2 = 8.304.673 \text{ (đồng^2)}\]
Ý nghĩa: 8.304.673 đồng bình phương thì mức độ biến động quanh giá trị kỳ vọng và có thể độ biến động của giá trị hiện qua độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = 2.882 \text{ đồng}\). Số tiền bán được 2 sản phẩm dao động trong khoảng \(26.533 \pm 2.882\) đồng.
Một chuồng có 20 con vịt trong đó có 3 con vịt trống. Bắt ngẫu nhiên 3 con. Gọi X là số con vịt trống bắt được.
a. Lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải:
Gọi \(X\) là số con vịt trống bắt được.
Xác suất bắt được vịt trống là: \(p=\frac{3}{20}=0.15\)
Với \(X \sim H(20, 3, 3)\), ta có:
\[P(X=0) = \frac{C_3^0 C_{17}^3}{C_{20}^3} = \frac{34}{57}\]
\[P(X=1) = \frac{C_3^1 C_{17}^2}{C_{20}^3} = \frac{34}{95}\]
\[P(X=2) = \frac{C_3^2 C_{17}^1}{C_{20}^3} = \frac{17}{380}\]
\[P(X=3) = \frac{C_3^3 C_{17}^0}{C_{20}^3} = \frac{1}{1140}\]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{34}{57} & \frac{34}{95} & \frac{17}{380} & \frac{1}{1140} \\ \hline \end{array} \]
Kỳ vọng: \(E(X) = n \frac{M}{N} = 3 \times \frac{3}{20} = 0.45\)
Phương sai: \(Var(X) = n \frac{M}{N}(1 - \frac{M}{N}) \frac{N-n}{N-1} = 3 \times \frac{3}{20}(1-\frac{3}{20}) \frac{20-3}{20-1} = 0.3422\)
Gọi X là số tiền một người chơi đề sẽ nhận được hoặc mất đi (khi có 1.000đ để chơi). Lập bảng phân phối xác suất cho X, tính kỳ vọng, phương sai, giải thích ý nghĩa.
Giải:
Gọi \(X\) là số tiền người chơi nhận được hoặc mất đi khi chơi đề.
Xác suất đề thắng khi chơi đề là \(\frac{1}{100} = 0.01\)
\(X\) có hai trường hợp như sau:
TH1: Trúng số: \(X = 70 \times 1000 - 1000 = 69.000\)
TH2: Không trúng số: \(X = -1000\)
Vậy ta lập được bảng phân phối xác suất của \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X & -1000 & 69.000 \\ \hline P & 0.99 & 0.01 \\ \hline \end{array} \]
Kỳ vọng:
\[E(X) = (-1000) \times 0.99 + 69.000 \times 0.01 = -300\] (đồng)
Ý nghĩa: Trung bình mỗi người chơi khi chơi đề mất 300 đồng.
Phương sai:
\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (-1000)^2 \times 0.99 + 69.000^2 \times 0.01 - (-300)^2 = 48.500.000 (đồng)^2\]
Ý nghĩa: Giá trị phương sai cho thấy mức dao động trong số tiền được/mất là rất lớn và \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = 6.965\). Cụ thể số tiền nhận/mất khi dùng 1000 để chơi đề có thể dao động trong khoảng \(-300 \pm 6.965\) đồng.
Có một lô bóng đèn, trong đó có 8% bóng đèn không đạt chất lượng. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra và nếu có không quá một bóng đèn không đạt chất lượng thì mua lô hàng này. Tính xác suất để lô hàng được mua.
Giải:
Xác suất bóng đèn không đạt chất lượng là: \(p= 0.08\)
Gọi \(X\) là số bóng đèn không đạt chất lượng trong 10 bóng đi kiểm tra \(X \sim B(10; 0.08)\)
Xác suất lô hàng được mua là xác suất trong 10 bóng đi kiểm tra thì trong số đó không có quá 1 bóng đèn không đạt chất lượng.
\(P(X \leq 1) = P[(X=0) + (X=1)] = P(X=0) + P(X=1) = (C_{10}^0 \times 0.08^0 \times (1-0.08)^{10}) + (C_{10}^1 \times 0.08^1 \times (1-0.08)^9) = 0.812\)
Vậy xác suất để lô hàng được mua là 81.2%.
Trong trò chơi “Bầu - Cua - Tôm - Cá”, giả sử một người đặt 1.000đ vào ô bất kỳ (trong 6 ô), gọi X là số tiền mà anh ta sẽ nhận được hoặc mất đi. Tính kỳ vọng, phương sai cho X, giải thích ý nghĩa.
Giải:
Gọi \(X\) là số tiền nhận được hoặc mất đi khi chơi trò chơi.
Ta có các trường hợp sau:
TH1: Không thắng con nào
Người chơi mất đi tiền cược => \(X = -1.000\).
\(P(X=-1.000) = \frac{C_3^0 \times 5^3}{C_6^3} = \frac{125}{216}\)
TH2: Thắng 1 con
Người chơi nhận được thêm 1.000 đồng và nhận lại tiền cược => \(X = 1.000 + 1.000 = 2.000\)
\(P(X=2.000) = \frac{C_3^1 \times 5^2}{C_6^3} = \frac{75}{216}\)
TH3: Thắng 2 con
Người chơi nhận được thêm 2.000 đồng và nhận lại tiền cược => \(X = 2 \times 1.000 + 1.000 = 3.000\)
\(P(X=3.000) = \frac{C_3^2 \times 5^1}{C_6^3} = \frac{15}{216}\)
TH4: Thắng 3 con
Người chơi nhận được thêm 3.000 đồng và nhận lại tiền cược \(X = 3 \times 1.000 + 1.000 = 4.000\)
\(P(X=4.000) = \frac{C_3^3 \times 1}{C_6^3} = \frac{1}{216}\)
Ta có bảng phân phối xác suất cho \(X\) như sau:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -1.000 & 2.000 & 3.000 & 4.000 \\ \hline P & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{15}{216} & \frac{1}{216} \\ \hline \end{array} \]
Kỳ vọng
\(E(X) = \sum_{i} x_i p_i = (-1.000) \times \frac{125}{216} + 2.000 \times \frac{75}{216} + 3.000 \times \frac{15}{216} + 4.000 \times \frac{1}{216} = 343 \text{ (đồng)}\)
Ý nghĩa: Trung bình mỗi lượt chơi, người chơi sẽ nhận được 343 đồng.
Phương sai
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (-1.000)^2 \times \frac{125}{216} + 2.000^2 \times \frac{75}{216} + 3.000^2 \times \frac{15}{216} + 4.000^2 \times \frac{1}{216} - (343)^2 = 2.549.018 (đồng)^2\)
Ý nghĩa: Phương sai cho thấy mức độ biến động quanh giá trị kỳ vọng. Độ lệch chuẩn của số tiền thắng/thua được tính là: \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = 1.597 \text{ đồng}\). Số tiền mà người chơi nhận được hoặc mất đi dao động trong khoảng \(343 \pm 1.597\) đồng. Điều này cho thấy mức độ rủi ro cao trong trò chơi, khi số tiền thực tế có thể thay đổi đáng kể so với mức nhận được trung bình 343 đồng mỗi lượt.
Một khu dân cư có tỉ lệ bị bệnh A là 30%. Trong một đợt điều tra, người ta chọn ngẫu nhiên 10 người.
a. Lập bảng phân phối xác suất cho số người bị bệnh trong 10 người.
b. Tính kỳ vọng và phương sai cho số người bị bệnh trong 10 người.
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số người bị bệnh A trong 10 người ngẫu nhiên.
\(X \sim B(10; 0.3)\) ta có:
\[ \begin{aligned} \bullet \ P(X=0) &= C_{10}^0 \times (0.3)^0 \times (1-0.3)^{10-0} = 0.028 \\ \bullet \ P(X=1) &= C_{10}^1 \times (0.3)^1 \times (1-0.3)^{10-1} = 0.121 \\ \bullet \ P(X=2) &= C_{10}^2 \times (0.3)^2 \times (1-0.3)^{10-2} = 0.233 \\ \bullet \ P(X=3) &= C_{10}^3 \times (0.3)^3 \times (1-0.3)^{10-3} = 0.267 \\ \bullet \ P(X=4) &= C_{10}^4 \times (0.3)^4 \times (1-0.3)^{10-4} = 0.200 \\ \bullet \ P(X=5) &= C_{10}^5 \times (0.3)^5 \times (1-0.3)^{10-5} = 0.103 \\ \bullet \ P(X=6) &= C_{10}^6 \times (0.3)^6 \times (1-0.3)^{10-6} = 0.037 \\ \bullet \ P(X=7) &= C_{10}^7 \times (0.3)^7 \times (1-0.3)^{10-7} = 0.009 \\ \bullet \ P(X=8) &= C_{10}^8 \times (0.3)^8 \times (1-0.3)^{10-8} = 0.001 \\ \bullet \ P(X=9) &= C_{10}^9 \times (0.3)^9 \times (1-0.3)^{10-9} = 0.0001 \\ \bullet \ P(X=10) &= C_{10}^{10} \times (0.3)^{10} \times (1-0.3)^{10-10} = 0.000006 \end{aligned} \]
Ta có bảng phân phối xác suất:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline P & 0.028 & 0.121 & 0.233 & 0.267 & 0.200 & 0.103 & 0.037 & 0.009 & 0.001 & 0.0001 & 0.000006 \\ \hline \end{array} \]
b.
Kỳ vọng: \(E(X) = n \times p = 10 \times 0.3 = 3\)
Phương sai: \(Var(X) = n \times p \times (1-p) = 10 \times 0.3 \times (1-0.3) = 2.1\)
Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 25 sản phẩm do máy này sản xuất. Tính xác suất:
a. Có 5 phế phẩm trong 25 sản phẩm này.
b. Có ít hơn 3 phế phẩm.
c. Tính số phế phẩm trung bình trong 25 phế phẩm này.
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số lượng phế phẩm trong lô hàng khảo sát \(X \sim B(25; 0.08)\)
Xác suất có 5 phế phẩm trong 25 sản phẩm:
\[P(X=5) = C_{25}^5 \times (0.08)^5 \times (1-0.08)^{20} \approx 0.033\]
b.
Xác suất có ít hơn 3 phế phẩm:
\[P(X < 3) = P[(X=0) + (X=1) + (X=2)]= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)= C_{25}^0 \times 0.08^0 \times 0.92^{25} + C_{25}^1 \times 0.08^1 \times 0.92^{24} + C_{25}^2 \times 0.08^2 \times 0.92^{23} \approx 0.677\]
c.
Số phế phẩm trung bình:
\[E(X) = n \times p = 25 \times 0.08 = 2\]
Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên \(A\) trong một cuộc bầu cử tổng thống là 65%. Người ta hỏi ngẫu nhiên 30 cử tri. Gọi \(X\) là số người bỏ phiếu cho ông \(A\) (trong 30 người này).
a. Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của \(X\).
b. Tính xác suất có 17 người đồng ý bỏ phiếu cho ông \(A\).
c. Tính xác suất không quá 4 người đồng ý bỏ phiếu cho ông \(A\).
Giải:
a.
Gọi \(X\) là số người bỏ phiếu cho ông \(A\) trong 30 người.
\(X \sim B(30, 0.65)\), ta có:
Giá trị trung bình:
\[E(X) = n \times p = 30 \times 0.65 = 19.5\]
Độ lệch chuẩn:
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{30 \times 0.65 \times (1-0.65)} = 2.61\]
b.
Xác suất có 17 người đồng ý bỏ phiếu:
\[P(X=17) = C_{30}^{17} \times 0.65^{17} \times (1-0.65)^{30-17} = 0.0934\]
c.
Xác suất không quá 4 người đồng ý bỏ phiếu:
\[P(X \leq 4) = P[(X=0) + (X=1) + (X=2) + (X=3) + (X=4)] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = C_{30}^0 \times 0.65^0 \times 0.35^{30} + C_{30}^1 \times 0.65^1 \times 0.35^{29} + C_{30}^2 \times 0.65^2 \times 0.35^{28} + C_{30}^3 \times 0.65^3 \times 0.35^{27} + C_{30}^4 \times 0.65^4 \times 0.35^{26} = 7.42 \times 10^{-9}\]