L’espace du monde (World Space)

Une scène est un espace qui contient des objets. Cet espace est celui que nous voulons visualiser en créant une image à partir d’une caméra virtuelle.

L’espace de la scène est appelé espace du monde (world space).

Lorsqu’on charge les sommets d’un modèle 3D, le but est de les transformer pour les placer dans l’espace du monde.

L’espace des sommets (Object Space)

L’espace des sommets, parfois appelé (object space) est l’espace original où les sommets d’un objets sont définis. Dit autrement, cet espace n’est pas le résultat de transformations – les données sont brutes.

Un artiste qui créer la géométrie pour un personnage, par exemple, travaille dans cet espace. Les sommets sont placés par rapport à l’origine \((0,0)\).

Soit un personnage \(obj_1\) qui est un triangle. \[ \begin{align*} EspaceSommets(obj_1) = &\begin{bmatrix} 0.0 & 0.5 \\ -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

Les sommets du personnages seront ensuite transformés pour placer le personnage dans une scène quelconque.

Sommets directement dans l’espace du monde

Il faut passer d’espace de sommets à espace du monde. Essayons une première technique où on map directement d’un espace à l’autre. Dit autrement, les sommets seront placés aux mêmes coordonnées dans l’espace du monde que dans l’espace des sommets.

Cette transformation est représentée par la matrice identité \(I\).

\[ \begin{align*} I\times EspaceSommets(obj_1) &= \begin{bmatrix} 1.0 & 0.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.0 & 0.5 \\ -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{bmatrix}\\[10pt] &=\begin{bmatrix} 0.0 & 0.5 \\ -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

Soit deux objets à placer dans une scène. Chaque joueur contrôlera un personnage, mais le personnage a le même modèle : le triangle.

\[ \begin{align*} EspaceMonde(obj_1||obj_2) &= I \times EspaceSommets(obj_1)\\ &= I \times EspaceSommets(obj_2)\\ &=\begin{bmatrix} 0.0 & 0.5 \\ -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

Évidemment, la transformation identité n’est pas un mapping qui permettra à deux personnages de se déplacer dans une scène.

Matrice model

La matrice Model est la transformation de l’espace de sommets vers l’espace du monde. Elle est identifiée avec l’étiquette \(M\).

Dans l’exemple précédent, \(M = I\) pour la transformation des deux objets.

Soit maintenant deux objets avec des sommets différents dans leur object space.

\[ \begin{align*} EspaceSommets(obj_1)=\begin{bmatrix} 0.0 & 0.5 \\ -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{bmatrix}\\[10pt] EspaceSommets(obj_2)=\begin{bmatrix} 0.5 & 1.0 \\ 0.0 & 0.0 \\ 1.0 & 0.0 \\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

Notez où les triangles sont par rapport à l’origine de l’espace.

Voici des exemples avec des \(M\) qui représentent des rotations, scaling, et translations.

Rotation

\[M = R \quad R \in \mathbb{R}^{m \times n}\]

Scaling

\[M = S \quad S \in \mathbb{R}^{m \times n}\]

Lorsqu’on ne scale pas tous les axes par le même facteur (lorsque qu’on ne fait pas une homothétie), les angles ne sont pas préservés.

Cisaillement (Shearing)

Il est évident que le cisaillement ne préserve pas les angles. Par contre, les lignes demeures parralèles et l’origine ne se déplace pas. C’est une transformation linéaire.

Translation

La translation n’est pas une transformation linéaire. Elle est affine, où elle déplace l’origine. Notez que l’origine du repère pour l’objet n’est plus à l’origine de la scène.

\[M = T,\quad T \in \mathbb{R}^{m \times n}\]

La translation n’est pas une transformation linéaire, car elle ne préserve pas l’origine. Elle est une transformation affine, qui est une catégorie de transformations plus générale. La rotation, le scaling, et le cisaillement sont des transformations linéaires, donc aussi des transformations affines.

La translation d’un vecteur \(\mathbb{R}^n\) peut être exprimée comme une transformation linéaire à l’aide de coordonnées homogènes. Ceci augmente les vecteurs à une dimension \(\mathbb{R}^{n+1}\).

Par exemple, pour un sommet \((x,y)\) 2D et un vecteur de translation \((t_x, t_y)\) :

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

Matrice \(TRS\)

L’ordre des transformations la plus intuitive est scaling, après rotation, après translation. Chaque objet a une matrice \(TRS\) qui exprime comment étirer, orienter, et placer l’objet dans l’espace du monde. Cette matrice peut être calculée et ensuite envoyée au vertex shader.

Dans l’exemple précédent, \(T\) représente une translation de \((1,1)\), \(R\) représente une rotation de \(45^{\circ}\), et \(S = I\).