\(~\)

Punto 2

Hallar \(A^T\), \(A^{-1}\), \(\mathrm{adj}(A)\), \(B^T\), \(B^{-1}\), \(\mathrm{adj}(B)\), \(C^T\), \(C^{-1}\), \(\mathrm{adj}(C)\). Verificar

\[ \begin{matrix} \det(AB)=\det(A)\det(B) & \det(BC)=\det(B)\det(C) & \mathrm{adj}(A)\times A=\det(A)I \\ \det(A)=\det(A^T) & \det(B)=\det(B^T) & \mathrm{adj}(C)\times C=\det{C}I. \end{matrix} \]

\[ \begin{matrix} A=\begin{pmatrix} 2 & 21 & -1 \\ 8 & 8 & \phantom{-}5 \\ 8 & 1 & \phantom{-}7 \end{pmatrix} & B=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -8 \\ 7 & -2 & \phantom{-}2 \\ 12 & -23 & \phantom{-}22 \end{pmatrix} & C=\begin{pmatrix} -9 & -2 & -5 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}5 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}3 & -6 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \end{matrix}. \]

Solución

En primer lugar, creamos las matrices \(A\), \(B\) y \(C\) en R:

A <- matrix(c(2, 21, -1, 8, 8, 5, 8, 1, 7), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); A
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2   21   -1
## [2,]    8    8    5
## [3,]    8    1    7
B <- matrix(c(2, -3, -8, 7, -2, 2, 12, -23, 22), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2   -3   -8
## [2,]    7   -2    2
## [3,]   12  -23   22
C <- matrix(c(-9, -2, -5, 1, 5, 4, 3, -6, 2), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -9   -2   -5
## [2,]    1    5    4
## [3,]    3   -6    2

Para obtener las matrices transpuestas, usamos la función t():

t(A)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    8    8
## [2,]   21    8    1
## [3,]   -1    5    7
t(B)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    7   12
## [2,]   -3   -2  -23
## [3,]   -8    2   22
t(C)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -9    1    3
## [2,]   -2    5   -6
## [3,]   -5    4    2

Para obtener las matrices inversas, usamos la función solve(). Para que en el output nos aparezcan las inversas con entradas fraccionarias, aplicamos a las inversas la función fractions() del paquete MASS:

fractions(solve(A))
##      [,1]     [,2]     [,3]    
## [1,]  -51/178    74/89 -113/178
## [2,]     8/89   -11/89     9/89
## [3,]    28/89   -83/89    76/89
fractions(solve(B))
##      [,1]      [,2]      [,3]     
## [1,]     1/745    25/149   -11/745
## [2,]   -13/149    14/149    -6/149
## [3,] -137/1490     1/149   17/1490
fractions(solve(C))
##      [,1]    [,2]    [,3]   
## [1,]   -2/13   -2/13   -1/13
## [2,] -10/221   3/221 -31/221
## [3,]  21/221  60/221  43/221

Para obtener las matrices adjuntas, sabemos que la adjunta de una matriz es igual a su determinante por su inversa. Así, calculamos el determinante de cada matriz mediante la función det() y lo multiplicamos a las inversas que encontramos en el paso anterior:

Ainv = solve(A)
Binv = solve(B)
Cinv = solve(C)
det(A)*Ainv
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   51 -148  113
## [2,]  -16   22  -18
## [3,]  -56  166 -152
det(B)*Binv
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2  250  -22
## [2,] -130  140  -60
## [3,] -137   10   17
det(C)*Cinv
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   34   34   17
## [2,]   10   -3   31
## [3,]  -21  -60  -43

Ahora, para verificar que \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) y \(\det(BC)=\det(B)\det(C)\), calculamos \(\det(AB)\) como det(A%*%B), donde %*% representa el producto matricial; lo propio hacemos para \(\det(BC)\). Y calculamos \(\det(A)\det(B)\) como det(A)*det(B), usando el producto usual (*) ya que los determinantes son números reales; lo propio hacemos para \(\det(B)\det(C)\). Asignamos letras a estos valores para mayor facilidad. Luego, con la función all.equal( , ), que nos devuelve booleanos, verificamos si estos valores son iguales:

a <- det(A%*%B)
b <- det(A)*det(B) 
c <- det(B%*%C)
d <- det(B)*det(C) 

all.equal(a, b); all.equal(c, d)
## [1] TRUE
## [1] TRUE

Para verificar que \(\mathrm{adj}(A)\times A=\det(A)I\) y \(\mathrm{adj}(C)\times C=\det(C)I\), creamos la matriz identidad de orden 3 como diag(3). Después, para efectos de comodidad, nombramos las matrices adjuntas de \(A\) y \(C\) que calculamos en el penúltimo paso. Y nuevamente, con all.equal( , ), verificamos que estas adjuntas por su matriz sean iguales a los determinantes por la identidad de orden 3:

I <- diag(3)

AdjA = det(A)*Ainv
AdjC = det(C)*Cinv

all.equal(AdjA%*%A, det(A)*I); all.equal(AdjC%*%C, det(C)*I)
## [1] TRUE
## [1] TRUE

Finalmente, para comprobar que \(\det(A)=\det(A^T)\) y \(\det(B)=\det(B^T)\), utilizamos otra vez all.equal( , ):

all.equal(det(A), det(t(A))); all.equal(det(B), det(t(B)))
## [1] TRUE
## [1] TRUE

Punto 4

Calcular con cada una de las matrices: determinante, transpuesta, inversa y hallar los cofactores.

\[ \begin{matrix} \mathrm{a)}\,\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & \phantom{-}2 & 6 \\ \phantom{-}6 & -6 & 4 \\ -2 & -7 & 9 \end{pmatrix} & \mathrm{b)}\,\begin{pmatrix} 12 & 23 & \phantom{-}20 \\ 6 & 9 & -2 \\ 8 & 8 & \phantom{-}12 \end{pmatrix} & \mathrm{c)}\,\begin{pmatrix} \phantom{-}12 & \phantom{-}23 & \phantom{-}10 \\ \phantom{-}13 & -21 & -12 \\ -11 & -12 & -23 \end{pmatrix} \end{matrix} \]

\[ \begin{matrix} \mathrm{d)}\,\begin{pmatrix} 5 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ 6 & -8 & -2 \\ 5 & \phantom{-}2 & \phantom{-}1 \end{pmatrix} & \mathrm{e)}\,\begin{pmatrix} -4 & 6 & -4 \\ \phantom{-}2 & 6 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}14 & 2 & \phantom{-}8 \end{pmatrix} \end{matrix} \]

Solución

Establecemos estas cinco matrices en R. Cada una la nombraremos según su literal (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\)):

A <- matrix(c(3, 2, 6, 6, -6, 4, -2, -7, 9), nrow = 3, byrow = TRUE); A
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    2    6
## [2,]    6   -6    4
## [3,]   -2   -7    9
B <- matrix(c(12, 23, 20, 6, 9, -2, 8, 8, 12), nrow = 3, byrow = TRUE); B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   12   23   20
## [2,]    6    9   -2
## [3,]    8    8   12
C <- matrix(c(12, 23, 10, 13, -21, -12, -11, -12, -23), nrow = 3, byrow = TRUE); C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   12   23   10
## [2,]   13  -21  -12
## [3,]  -11  -12  -23
D <- matrix(c(5, 1, 2, 6, -8, -2, 5, 2, 1), nrow = 3, byrow = TRUE); D
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    5    1    2
## [2,]    6   -8   -2
## [3,]    5    2    1
E <- matrix(c(-4, 6, -4, 2, 6, 2, 14, 2, 8), nrow = 3, byrow = TRUE); E
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -4    6   -4
## [2,]    2    6    2
## [3,]   14    2    8

Para calcular el determinante de cada una de ellas, empleamos la función det():

det(A)
## [1] -526
det(B)
## [1] -1016
det(C)
## [1] 10111
det(D)
## [1] 68
det(E)
## [1] 216

Para las matrices transpuestas, hacemos uso de la función t():

t(A)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    6   -2
## [2,]    2   -6   -7
## [3,]    6    4    9
t(B)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   12    6    8
## [2,]   23    9    8
## [3,]   20   -2   12
t(C)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   12   13  -11
## [2,]   23  -21  -12
## [3,]   10  -12  -23
t(D)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    5    6    5
## [2,]    1   -8    2
## [3,]    2   -2    1
t(E)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -4    2   14
## [2,]    6    6    2
## [3,]   -4    2    8

Para las inversas, utilizamos la función solve(). Con fractions(), hacemos que las inversas aparezcan con fracciones en sus entradas en el output:

fractions(solve(A))
##      [,1]    [,2]    [,3]   
## [1,]  13/263  30/263 -22/263
## [2,]  31/263 -39/526 -12/263
## [3,]  27/263 -17/526  15/263
fractions(solve(B))
##      [,1]    [,2]    [,3]   
## [1,] -31/254  29/254 113/508
## [2,]  11/127   2/127 -18/127
## [3,]   3/127 -11/127  15/508
fractions(solve(C))
##      [,1]       [,2]       [,3]      
## [1,]  339/10111  409/10111  -66/10111
## [2,]  431/10111 -166/10111  274/10111
## [3,] -387/10111 -109/10111 -551/10111
fractions(solve(D))
##      [,1]   [,2]   [,3]  
## [1,]  -1/17   3/68   7/34
## [2,]  -4/17  -5/68  11/34
## [3,]  13/17  -5/68 -23/34
fractions(solve(E))
##      [,1]   [,2]   [,3]  
## [1,]  11/54  -7/27    1/6
## [2,]   1/18    1/9      0
## [3,] -10/27  23/54   -1/6

Finalmente, para la matriz de cofactores, usamos que, dada una matriz \(\mathbf{A}\), su matriz de cofactores \(\mathrm{cof}(\mathbf{A})\) es igual a \(\mathrm{adj}(\mathbf{A})^T\). Es decir, \(\mathrm{cof}(\mathbf{A})=(\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{-1})^T=\mathrm{det}(\mathbf{A})(\mathbf{A}^{-1})^T\):

det(A)*t(solve(A))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  -26  -62  -54
## [2,]  -60   39   17
## [3,]   44   24  -30
det(B)*t(solve(B))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  124  -88  -24
## [2,] -116  -16   88
## [3,] -226  144  -30
det(C)*t(solve(C))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  339  431 -387
## [2,]  409 -166 -109
## [3,]  -66  274 -551
det(D)*t(solve(D))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -4  -16   52
## [2,]    3   -5   -5
## [3,]   14   22  -46
det(E)*t(solve(E))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   44   12  -80
## [2,]  -56   24   92
## [3,]   36    0  -36

\(~\)