Metode Penarikan Contoh - Pendugaan Ukuran Populasi

Video Pembelajaran - P6

Video Pembelajaran dapat diakses melalui link berikut : https://ipb.link/materis2mpc

Definisi

Pendugaan ukuran populasi digunakan untuk memperkirakan jumlah individu dalam populasi tertentu, baik manusia, hewan, kendaraan, maupun entitas lainnya. Pendugaan ini sangat penting dalam berbagai bidang seperti ekologi, statistika sosial, transportasi, dan epidemiologi. Metode pendugaan dapat digunakan saat penghitungan langsung tidak memungkinkan karena keterbatasan waktu, biaya, atau sumber daya.

Metode Pendugaan Ukuran Populasi

Metode-metode yang umum digunakan antara lain:

a. Capture-Recapture

Metode ini sangat populer dalam biologi konservasi untuk menduga populasi satwa liar. Prinsipnya melibatkan dua langkah utama:

  1. Tangkap dan Tandai (Capture and Tag): Ambil sampel pertama sebanyak \(t\), tandai individu tersebut, dan lepaskan kembali ke populasi.
  2. Tangkap Kembali (Recapture): Ambil sampel kedua sebanyak \(n\), dan hitung jumlah individu bertanda yang ditemukan kembali (\(s\)).

b. Direct Sampling vs Inverse Sampling

  • Direct Sampling: Sampel kedua diambil dengan ukuran tetap (\(n\)), dan jumlah individu bertanda (\(s\)) dicatat. Contoh: Pengamatan burung yang ditandai di lapangan terbuka.

  • Inverse Sampling: Sampel diambil sampai jumlah individu bertanda mencapai nilai tertentu (\(s\)), dan ukuran sampel kedua (\(n\)) menjadi acak. Contoh: Studi untuk menduga ikan di sungai.

c. Quadrat Samples

Populasi dibagi menjadi beberapa kuadran kecil dengan luas tertentu (\(a\)), kemudian diambil sampel dari beberapa kuadran. Metode ini sering digunakan untuk mengestimasi kepadatan populasi tanaman atau satwa kecil yang tidak bergerak.

d. Stocked Quadrats

Modifikasi dari metode kuadran, yang hanya mengamati ada/tidaknya spesies di kuadran, tanpa menghitung jumlahnya. Metode ini berguna ketika sulit menghitung total elemen, misalnya untuk spesies mikroskopis atau serangga kecil.

e. Adaptive Sampling

Metode ini memodifikasi kuadran standar dengan fokus pada wilayah dengan kepadatan tinggi. Misalnya, jika ditemukan banyak individu di satu kuadran, maka kuadran di sekitarnya akan lebih diperhatikan.

Capture-Recapture

Dalam metode ini, proporsi individu bertanda dalam populasi diasumsikan sama dengan proporsi individu bertanda dalam sampel kedua: \[ \frac{t}{N} \approx \frac{s}{n} \]

Dari sini, penduga ukuran populasi adalah: \[ \hat{N} = \frac{n \cdot t}{s} \]

Variansi Estimasi (Direct Sampling):

\[ \hat{V}(\hat{N}) = \frac{n^2 \cdot t \cdot (n - s)}{s^3} \]

Variansi Estimasi (Inverse Sampling):

\[ \hat{V}(\hat{N}) = \frac{n^2 \cdot t \cdot (n - s)}{(s + 1)^2 \cdot s} \]

Bias penduganya adalah: \[ \text{Bias} = \frac{N \cdot (N - t)}{n \cdot t} \]

Quadrat Samples

Jika populasi dibagi menjadi \(N\) kuadran dengan luas \(a\), dan total area populasi adalah \(A = N \cdot a\), maka:

Estimasi Kepadatan:

\[ \hat{\lambda} = \frac{\bar{m}}{a}, \quad \text{dengan } \bar{m} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} m_i \]

Estimasi Total Populasi:

\[ \hat{M} = \hat{\lambda} \cdot A \]

Variansi Kepadatan:

\[ \hat{V}(\hat{\lambda}) = \frac{\hat{\lambda}}{a \cdot n} \]

Variansi Total Populasi:

\[ \hat{V}(\hat{M}) = A^2 \cdot \hat{V}(\hat{\lambda}) \]

Stocked Quadrats

Jika hanya mencatat keberadaan spesies dalam kuadran: \[ \hat{\lambda} = -\frac{1}{a} \ln\left(\frac{y}{n}\right) \]

Estimasi total populasi: \[ \hat{M} = \hat{\lambda} \cdot A \]

Variansi estimasi kepadatan: \[ \hat{V}(\hat{\lambda}) = \frac{\hat{\lambda}^2}{a \cdot (n - 1)} \]

Implementasi R

a. Capture-Recapture

Misalkan \(t = 300\), \(n = 200\), \(s = 62\):

# Parameter
t <- 300
n <- 200
s <- 62

# Estimasi populasi
N_hat <- (n * t) / s

# Variansi
V_N_hat <- (n^2 * t * (n - s)) / s^3

# Interval Estimasi
B <- 2 * sqrt(V_N_hat)
lower <- N_hat - B
upper <- N_hat + B

list(Estimation = N_hat, Variance = V_N_hat, Interval = c(lower, upper))
## $Estimation
## [1] 967.7419
## 
## $Variance
## [1] 6948.407
## 
## $Interval
## [1]  801.0277 1134.4561

b. Quadrat Samples

Misalkan \(a = 10\), \(n = 20\), \(\bar{m} = 4\), \(A = 480\):

# Parameter
a <- 10
n <- 20
m_bar <- 4
A <- 480

# Kepadatan dan Populasi
lambda_hat <- m_bar / a
M_hat <- lambda_hat * A

# Variansi
V_lambda_hat <- lambda_hat / (a * n)
V_M_hat <- A^2 * V_lambda_hat

list(Kepadatan = lambda_hat, Populasi = M_hat, VarKepadatan = V_lambda_hat, VarPopulasi = V_M_hat)
## $Kepadatan
## [1] 0.4
## 
## $Populasi
## [1] 192
## 
## $VarKepadatan
## [1] 0.002
## 
## $VarPopulasi
## [1] 460.8

c. Stocked Quadrats

Misalkan \(a = 10\), \(n = 20\), \(y = 5\), \(A = 480\):

# Parameter
a <- 10
n <- 20
y <- 5
A <- 480

# Estimasi
lambda_hat <- -log(y / n) / a
M_hat <- lambda_hat * A

# Variansi
V_lambda_hat <- lambda_hat^2 / (a * (n - 1))
V_M_hat <- A^2 * V_lambda_hat

list(Kepadatan = lambda_hat, Populasi = M_hat, VarKepadatan = V_lambda_hat, VarPopulasi = V_M_hat)
## $Kepadatan
## [1] 0.1386294
## 
## $Populasi
## [1] 66.54213
## 
## $VarKepadatan
## [1] 0.000101148
## 
## $VarPopulasi
## [1] 23.3045